复合函数求导法则公式

2.5简单复合函数的求导法则（讲义+典型例题+小练）

复合函数(())yfgx的导数求法：

①换元，令()ugx（内函数），则()yfu（外函数）

②分别求导再相乘'()'()'ygxfu

③回代()ugx

规律：复合函数的导数=内函数的导数乘以外函数的导数

例：1．设2ln333fxxx，则1f（ ）

A．112 B．356 C．0 D．356

2．设0sin2cos2fxxx，10fxfx，21fxfx，…，1nnfxfx，nN，则2022fx（ ）

A．20212cos2sin2xx B．20222cos2sin2xx

C．20212cos2sin2xx D．20222cos2sin2xx

3．函数()2cos26fxx，其导函数为函数()fx，则6f__________．

4．函数212e()xfxx在点11,22f处的切线方程是_________．

5．求下列函数的导数：

(1)cos34yx；

(2)214xy；

(3)521yx；

(4)3log51yx.

举一反三：

1．已知函数()cos2fxx，那么()6f的值为（ ）

A．32 B．32 C．3 D．3

2．已知函数fx及其导函数fx，若存在0x使得00fxfx，则称0x是fx的一个“巧值点”.下列选项中没有“巧值点”的函数是( )

A．2fxx B．lnfxx C．exfx D．cosfxx

3．已知函数2e0ln4xffxx，则0f______．

4．求下列函数的导数：

复合函数的求导法则

定理2设函数y=f(u)，u=(x)均可导，则复合函数y = f((x)) 也可导.

且 或 或

证： 设变量x 有增量x，相应地变量u 有增量u，从而y 有增量y. 由于u 可导，

即

推论设y = f(u) ，u = (v)，v = (x) 均可导，则复合函数y =

f[((x))] 也可导，且

例1 设y = (2x +1)5，求y .

解 把2x + 1 看成中间变量u，将 y = (2x + 1)5看成是

y = u5，u = 2x + 1复合而成， ，xuxuyy，)()(xufyx.xuuyxydddddd.0lim0ux所以xuuyxx00limlim，xuxuuyxuuy00limlim.xuxuyyxuuyxyxx00limlim.xvuxvuyy

由于

所以

例2 设y =sin2x，求y .

解 这个函数可以看成是y = sinx·sinx, 可利用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法.将y = sin2 x 看成是由

y = u2，u = sinx 复合而成.

而

所以

例3 设y=sin3x，求 .

解：

例4 设y=lncosx，求

,5)(45uuyu.2)12(xux.)12(102544xuuyyxux,2)(2uuyu.cos)(sinxxux.cossin2cos2xxxuuyyxux，则，xuuysin3xuuyxyddddddxucos32.cossin32xxy'y'解：

例5 设

解：

例6 设y = etan x，求 y .

复合函数导数公式及运算法则

1.基本公式：

设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。那么$h(x)$的导数可以表示为：

$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot

\frac{{dg}}{{dx}}$$

或者可以写成简洁的形式：

$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。

2.反函数法则：

设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：

$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$

3.乘积法则：

设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot

g(x)$。那么$h(x)$的导数可以表示为：

$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$

这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。

4.商法则： 设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =

\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。那么$h(x)$的导数可以表示为：

$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot

g'(x)}}{{(g(x))^2}}$$

这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。

5.复合函数的高阶导数：

复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：

$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot

(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$

复合函数求导公式运算法则

1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。

2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。

3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。

4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。

5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。

8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。

下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。 例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。

解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。

对于f(u)=u^3，其导数为f'(u)=3u^2

对于u=2x+1，其导数为u'=2

将以上结果代入导数公式，得到dy/dx=3(2x+1)^2·2=6(2x+1)^2