2016年全国卷3理科数学试题及参考答案(WORD版)

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试题类型：新课标Ⅲ

2016年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，共24题，共150分，共4页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的XX、XX填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑字迹的签字笔书写，字体工整，笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破，不准使用涂改液、修正液、刮纸刀。

第I卷

一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

(1)设集合|(2)(3)0,|0SxxxTxx，则ST=

A. 2,3 B. ,23, C. 3, D. 0,23,

【答案】D

【解析】易得,23,S，0,23,ST，选D

【考点】解一元二次不等式、交集

(2)若12zi，则41izz

A. 1 B. 1 C. i D. i

【答案】C

【解析】易知12zi，故14zz，41iizz，选C

【考点】共轭复数、复数运算 (3)已知向量13,22BA，BC=(32，12)，则ABC

A. 30° B. 45° C. 60°D.120°

【答案】A

【解析】法一：332cos112BABCABCBABC，30ABC

法二：可以B点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知60,30,30ABxCBxABC

【考点】向量夹角的坐标运算

(4)某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15C，B点表示四月的平均最低气温约为5C.下面叙述不正确的是

A. 各月的平均最低气温都在0C以上

B. 七月的平均温差比一月的平均温差大

C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同

D. 平均最高气温高于20C的月份有5个

【答案】D

【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于20C的月份有七月、八月，六月为20C左右，故最多3个

【考点】统计图的识别

(5)若3tan4，则2cos2sin2

A. 6425 B. 4825 C. 1 D. 1625

【答案】A

【解析】22222cos4sincos14tan64cos2sin225cossin1tan

【考点】二倍角公式、弦切互化、同角三角函数公式

(6)已知4213332,3,25abc，则

A. bac B. abc C. bca D. cab

【答案】A xyCAB 【解析】422123333324,3,255abc，故cab

【考点】指数运算、幂函数性质

(7)执行右面的程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=

A. 3 B. 4 C. 5D. 6

【答案】B

【解析】列表如下

a 4 2 6 -2 4 2 6 -2 4

b 6 4 6 4 6

s 0 6 10 16 20

n 0 1 2 3 4

【考点】程序框图

(8)在ABC△中，π4B，BC边上的高等于13BC,则cosA

A.31010B. 1010C.1010D. 31010

【答案】C

【解析】如图所示，可设1BDAD，则2AB，2DC，5AC，由余弦定理知，25910cos10225A

【考点】解三角形

(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

A. 18365B. 54185C. 90D. 81

【答案】B

【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为

2332362393654185

【考点】三视图、多面体的表面积 DCAB (10)在封闭的直三棱柱ABC－A1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是

A. 4πB. 9π2C. 6πD. 32π3

【答案】B

【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，

又1322AA，所以内接球的半径为32，即V的最大值为34932R

【考点】内接球半径的求法

(11)已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)xyabab的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.

P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为

A. 13B. 12C. 23D. 34

【答案】A

【解析】易得,2ONOBaMFMFAFacMFBFacOEONAOa

12aacacacaac

13cea

【考点】椭圆的性质、相似

(12)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（ ）

A．18个 B．16个 C．14个 D．12个

【答案】C

【解析】 1086xyONBEMPAF 011110111010111101001110011110110011101010111001111011001110101

【考点】数列、树状图

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

(13)设x，y满足约束条件1020220xyxyxy，则zxy的最大值为________.

【答案】32

【解析】三条直线的交点分别为12,1,1,,0,12，代入目标函数可得33,,12，故最小值为10

【考点】线性规划

(14)函数sin3cosyxx的图像可由函数sin3cosyxx的图像至少向右平移______个单位长度得到.

【答案】23

【解析】sin3cos2sin,sin3cos2sin33yxxxyxxx，故可前者的图像可由后者向右平移23个单位长度得到

【考点】三角恒等变换、图像平移

(15)已知f(x)为偶函数，当0x时，()ln3fxxx，则曲线yfx在点1,3处的切线方程是______ 【答案】210xy

【解析】法一：11'()33fxxx，'12f，'12f，故切线方程为210xy

法二：当0x时，ln3fxfxxx，1'3,'12fxfx，故切线方程为210xy

【考点】奇偶性、导数、切线方程

(16)已知直线l：330mxym与圆2212xy交于,AB两点，过,AB分别作l的垂线与x轴交于,CD两点，若23AB，则||CD__________.

【答案】3

【解析】如图所示，作AEBD于E，作OFAB于F，23,23,3ABOAOF，即

23331mm，33m

∴直线l的倾斜角为30°

32332CDAE

【考点】直线和圆、弦长公式

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

(17)(本小题满分12分)

已知数列na的前n项和Sn=1+λan，其中λ≠0．

(1) 证明na是等比数列，并求其通项公式；

(2) 若53132S，求λ．

【答案】(1) ；(2)

【解析】

解：(1) 1,0nnSa

0na

当2n时，11111nnnnnnnaSSaaaa

即11nnaa， xyFEDCBA 0,0,10,na即1

即1,21nnana，

∴na是等比数列，公比1q，

当n=1时，1111Saa，

即111a

1111nna

（2）若53132S

则555111131113211S

1

【考点】等比数列的证明、由nS求通项、等比数列的性质

(18)(本小题满分12分)

下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.

(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；

(2)建立y关于t的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.

附注：

参考数据：719.32iiy，7140.17iiity，721()0.55iiyy，7≈2.646.