2019-2020新人教B版数学选修4-5第1章 1.2 基本不等式

1.2 基本不等式

学习目标：1.理解两个正数的基本不等式.2.了解三个正数和一般形式的基本不等式.3.会用基本不等式求一些函数的最值及实际应用题．

教材整理 基本定理(重要不等式及基本不等式)

1．定理1

设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

2．定理2

如果a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．这个不等式我们称之为基本不等式或平均值不等式．同时，我们称a＋b2为正数a，b的算术平均值，称ab为正数a，b的几何平均值，该定理又可叙述为：两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．

3．定理3

如果a，b，c为正数，则a＋b＋c3≥3abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

4．定理4

如果a1，a2，…，an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥na1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

设0

A．a

C．a

[解析] ∵00，即ab>a，故选B.

[答案]

B

利用基本不等式证明不等式

【例1】 已知a，b，c都是正数，求证：a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.

[精彩点拨] 观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．

[自主解答] ∵a>0，b>0，c>0，

∴a2b＋b≥2a2b·b＝2a，

同理：b2c＋c≥2b，c2a＋a≥2c.

三式相加得：

a2b＋b2c＋c2a＋(b＋c＋a)≥2(a＋b＋c)，

∴a2b＋b2c＋c2a≥a＋b＋c.

1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形，或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形进行证明．

2．当且仅当a＝b＝c时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．

1．(2019·全国卷Ⅰ)已知a，b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2；

(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.

[证明] (1)因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，又abc＝1，

故有a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca

＝ab＋bc＋caabc

＝1a＋1b＋1c.

所以1a＋1b＋1c≤a2＋b2＋c2.

(2)因为a，b，c为正数且abc＝1，故有

(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3

≥33a＋b3b＋c3a＋c3

＝3(a＋b)(b＋c)(a＋c)

≥3×(2ab)×(2bc)×(2ac)＝24，

所以(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.

利用基本不等式求最值

【例2】 (1)已知x，y∈R＋，且x＋2y＝1，求1x＋1y的最小值；

(2)已知x>0，y>0，且5x＋7y＝20，求xy的最大值．

[精彩点拨]

根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件．

[自主解答] (1)因为x＋2y＝1，

所以1x＋1y＝x＋2yx＋x＋2yy＝3＋2yx＋xy≥3＋22yx·xy＝3＋22，

当且仅当2yx＝xy，x＋2y＝1，即

x＝2－1，y＝1－22时，等号成立．

所以当x＝2－1，y＝1－22时，1x＋1y取最小值3＋22.

(2)xy＝135(5x·7y)≤1355x＋7y22

＝1352022＝207，

当且仅当5x＝7y＝10，即x＝2，y＝107时，等号成立，此时xy取最大值207.

在求最值时，除了注意“一正、二定、三相等”之外，还要掌握配项、凑系数等变形技巧，有时为了便于应用公式，还用换元法，多用于分母中有根式的情

况．

2．若将本例(1)的条件改为“已知x>0，y>0，且1x＋9y＝1”，试求x＋y的最小值．

[解] ∵x>0，y>0，且1x＋9y＝1，

∴x＋y＝(x＋y)1x＋9y＝yx＋9xy＋10≥2yx·9xy＋10＝16.

当且仅当yx＝9xy，

即y＝3x时等号成立．

又1x＋9y＝1，

∴当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.

基本不等式的实际应用

【例3】 某厂家拟举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m万元(m≥0)满足x＝3－km＋1(k为常数)，如果不搞促销活动，该产品的年销售量只能是1万件．已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为年平均每件产品成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．

(1)将该产品的年利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；

(2)该厂家的年促销费用投入为多少万元时，厂家的年利润最大？最大年利润是多少万元？

[精彩点拨] (1)可先通过m＝0时，x＝1求出常数k，再根据条件列出y关于m的函数；(2)在(1)的函数关系式下，利用基本不等式求最值．

[自主解答] (1)依题意得m＝0时，x＝1，代入x＝3－km＋1，得k＝2，即x

＝3－2m＋1.

年成本为8＋16x＝8＋163－2m＋1(万元)，

所以y＝(1.5－1)8＋163－2m＋1－m

＝28－m－16m＋1(m≥0)．

(2)由(1)得y＝29－m＋1＋16m＋1≤

29－2m＋1·16m＋1＝21.

当且仅当m＋1＝16m＋1，即m＝3时，厂家的年利润最大，为21万元．

设出变量――→建立数学模型――→定义域利用均值不等式求最值

――――→“＝”成立的条件结论

3．某工厂建一底面为矩形(如图)，面积为162 m2，且深为1 m的无盖长方体的三级污水池，由于受地形限制，底面的长和宽都不能超过16 m，如果池外围四壁建造单价为400 元/m2，中间两条隔墙建造单价为248

元/m2，池底建造单价为80 元/m2，试设计污水池的长和宽，使总造价最低．

[解] 设污水池的宽为x m，则长为162xm，则总造价

f(x)＝400×2x＋2×162x＋248×2x＋80×162

＝1 296x＋1 296×100x＋12 960＝1 296x＋100x＋12 960.

由限制条件，知 0＜x≤16，0＜162x≤16，得818≤x≤16.

设g(x)＝x＋100x818≤x≤16，

因为g(x)在818，16上是增函数，

所以当x＝818时此时162x＝16，g(x)有最小值，

即f(x)有最小值，f(x)min＝1 296×818＋80081＋12 960＝38 882(元)．

所以当长为16 m，宽为818 m时，

总造价最低，为38 882元.

基本不等式的特点

[探究问题]

1．在基本不等式a＋b2≥ab中，为什么要求a>0，b>0?

[提示] 对于不等式a＋b2≥ab，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a，b都为负数时，不等式不成立；当a，b中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．

2．你能给出基本不等式的几何解释吗？

[提示] 如图，以a＋b为直径的圆中，DC＝ab，且DC⊥AB.

因为CD为圆的半弦，OD为圆的半径，长为a＋b2，根据半弦长不大于半径，得不等式ab≤a＋b2.显然，上述不等式当且仅当点C与圆心重合，即当a＝b时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是：圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．

3．利用基本不等式，怎样求函数的最大值或最小值？

[提示] 利用算术平均数与几何平均数定理(即基本不等式)可以求函数的最大值、最小值．

(1)已知x，y∈(0，＋∞)，如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2P.

(2)已知x，y∈(0，＋∞)，如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值14S2.

以上两条可简记作：和一定，相等时，积最大；积一定，相等时，和最小．条件满足：“一正、二定、三相等”．

【例4】 求下列函数的值域．

(1)y＝x2＋12x；(2)y＝2xx2＋1.

[精彩点拨] 把函数转化为y＝ax＋bx或y＝1ax＋bx的形式，再利用基本不等式求解．

[自主解答] (1)y＝x2＋12x＝12x＋1x，当x＞0时，

x＋1x≥2，∴y≥1；当x＜0时，－x＞0，－x＋1－x≥2，x＋1x≤－2，∴y≤－1，综上函数y＝x2＋12x的值域为{y|y≤－1或y≥1}．

(2)当x＞0时，y＝2xx2＋1＝2x＋1x.

因为x＋1x≥2，所以0＜1x＋1x≤12，

所以0＜y≤1，当且仅当x＝1时，等号成立；

当x＜0时，x＋1x≤－2，

所以0＞1x＋1x≥－12，

所以－1≤y＜0，当且仅当x＝－1时，等号成立；

当x＝0时，y＝0.

综上，函数y＝2xx2＋1的值域为{y|－1≤y≤1}．

形如y＝cx2＋ex＋fax＋b型的函数，一般可先通过配凑或变量替换等变形为y＝t＋Pt＋C(P，C为常数)型函数，再利用基本不等式求最值，但要注意变量t的取值范围．

4．求函数y＝x2＋8x－1(x＞1)的最小值．

[解] 因为x＞1，所以x－1＞0.

所以y＝x2＋8x－1＝x－12＋2x＋7x－1＝x－12＋2x－1＋9x－1

＝(x－1)＋9x－1＋2≥2x－1·9x－1＋2＝8，

当且仅当x－1＝9x－1，

即x＝4时，等号成立．

所以当x＝4时，ymin＝8.