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时间序列模型时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，是研究经济变量的动态特征和周期特征及其相关关系的重要工具，被广泛应用经济分析和预测中。
时间序列按其平稳性与否又分为平稳时间序列和非平稳时间序列。
1．ARMA与ARCH模型2．协整与误差修正模型3．向量自回归模型1第五讲ARMA与ARCH模型本讲中将讨论时间序列的平稳性（stationary）概念及自回归模型(Autoregressive models)、移动平均模型(Moving average models)、自回归移动平均模型(Autoregressive moving average models)、自回归条件异方差模型(Autoregressivec conditional Heteroscedasticity models)的识别、估计、检验、应用。
23一、时间序列的平稳性（一）平稳时间序列所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。
严格地讲，如果一个随机时间序列，对于任何时间，都满足下列条件：t y t Ⅰ）均值；()t E y μ=∞ Ⅱ）方差，是与时间无关的常数；22()()t t Var y E y μσ=-=t Ⅲ）自协方差,是只与时期间隔有关，{}(,)t t k t t k k Cov y y E y y μμγ--=--=（）(）k 与时间无关的常数。
t4则称该随机时间序列是平稳的。
生成该序列的随机过程是平稳过程。
例5.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：= ~该序列常被称为是一个白噪声（white noise ）。
t y t εt ε2(0,)iid σ 由于具有相同的均值与方差，且协方差为零,满足平稳性条件,是平稳的。
t y 例5.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（random walk ）：~，是一个白噪声。
1t t t y y ε-=+t ε2(0,)iid σ 容易判断该序列有相同的均值：，但是方差,即1()()t t E y E y -=2()t Var y t σ=的方差与时间t 有关而非常数，它是一非平稳序列。
国际金价变动的分析黄金是人类最早发现的金属之一，早在旧石器时期晚期，人们就注意到这种“闪闪发光”的东西，并被它吸引。
放眼人类历史长河，黄金在人类社会扮演着各种角色，例如，祭祀的祭品、精美的工艺品、财富的象征、终极货币、战争的帮凶、稳定经济的功臣等等。
在金融海啸席卷全球之后，黄金的光泽似乎更加的耀眼，每盎司黄金从2007年2月的650每元左右上涨到2009年十一月的1100美元以上，涨幅接近百分之百！回溯200多年的历史，在这期间黄金价格有过三次大涨行情与两次大跌行情，下面对这几次行情进行回顾，一一分析金价变动原因。
金价上涨行情第一次金价上涨发生在美国内战期间（1861-1865年），时间是1862年到1864年。
1862年，美国国会通过了一个《法定货币法案》，规定名为“绿背美钞”的纸币可以作为货币流通。
绿背美钞与黄金之间并没有法定比价关系，实际上就是放弃金本位制。
随着纸币的大量印制，通货膨胀不可避免。
在1862年到1864年两年的时间里，金价上涨幅度250％—300％。
第二次金价上涨在1970—1980年。
1944年的布雷顿森林体系确定了美元本位的世界货币体系：会员国货币与美元挂钩，美元与黄金挂钩，35美元兑1盎司黄金，各国可以用35美元/盎司的价格向美国购买黄金。
在二次世界大战以后，为了援助欧洲各国灾后重建，美国不断地向世界输入美元，欧洲也由战后的“美元荒”过度到了1960年代末的“美元灾”。
当1971年8月15日，尼克松政府宣布美国放弃美元与黄金之间的固定比价关系后，世界进入法币时代，也就是进入全面通货膨胀时代，黄金出现暴涨：从35美元/盎司涨到1980年的850美元/盎司。
第三次金价上涨则是2003年至今。
在网络泡沫与“9.11”之后，自2001年初至2003年6月，美联储共采取13次降息行动，将联邦基金利率从6.5％降到1％（这是1958年以来的最低点），并将这一利率水平维持了一年时间。
时间序列计量经济学模型概述时间序列计量经济学模型是在经济学研究中广泛使用的一种方法，用于分析经济变量随时间的变化。
该模型基于时间序列数据，即经济变量在一段时间内的观测值。
时间序列计量经济学模型的核心是建立经济变量之间的关系，以解释和预测经济现象的变化。
其中最常用的模型是自回归移动平均模型（ARMA）、自回归条件异方差模型（ARCH）和季节性时间序列模型。
自回归移动平均模型（ARMA）是一个包含自回归项和移动平均项的线性模型。
该模型以过去的观测值和随机项为输入，预测当前观测值。
ARMA模型基于假设，即经济变量的行为受到历史观测值的影响。
自回归条件异方差模型（ARCH）是一种考虑了随时间变化方差的模型。
该模型通过引入一个条件异方差项，模拟经济变量中的波动性。
ARCH模型的应用范围广泛，特别是在金融市场波动性分析中。
季节性时间序列模型用于分析具有明显季节性特征的经济变量，如销售额、就业人数等。
这些模型通常基于季节、趋势和随机成分的组合，以预测未来观测值。
在建立时间序列计量经济学模型时，常常需要进行模型识别、参数估计和模型诊断等步骤。
识别模型的目标是确定适当的模型结构，参数估计则是利用历史数据估计模型的参数值。
模型诊断用于检验模型的拟合程度和误差分布是否符合模型假设。
时间序列计量经济学模型在经济研究中有广泛的应用，例如预测未来经济指标、分析经济周期和波动性、评估政策效果等。
它提供了一种量化的方法，使经济学家可以更好地理解和解释经济变量的演变。
时间序列计量经济学模型是经济学研究中一种重要的统计工具，广泛应用于宏观经济、金融市场和企业经营等领域。
它可以帮助我们理解和解释经济变量随时间的变化规律，进行预测和政策分析。
本文将进一步探讨时间序列计量经济学模型的相关概念和应用。
在构建时间序列计量经济学模型之前，首先需要了解时间序列数据的特点。
时间序列数据是按照时间顺序排列的一系列观测值，通常具有趋势性、季节性、周期性和随机性等特征。
时间序列大数据分析方法时间序列分析是一种用于处理时间序列数据的统计方法，它在多个领域都有广泛的应用，如金融、经济学、气象学等。
随着大数据技术的发展，时间序列大数据的分析方法也在不断地被探索和改进。
本文将介绍一些常用的时间序列大数据分析方法，并说明它们的应用场景和优劣势。
一、ARIMA模型ARIMA模型（自回归综合移动平均模型）是一种常用的时间序列预测方法。
它包括自回归（AR）部分、差分（I）部分和移动平均（MA）部分。
ARIMA模型适用于具有稳定平均值和方差的时间序列数据。
通过拟合ARIMA模型，可以对未来的数值进行预测。
二、SARIMA模型SARIMA模型（季节性自回归综合移动平均模型）是对ARIMA模型的扩展，适用于具有季节性变化的时间序列数据。
SARIMA模型可以捕捉到季节性的趋势，提高预测的准确性。
三、ARMA模型ARMA模型（自回归移动平均模型）是ARIMA模型的特殊情况，它不包括差分（I）部分。
ARMA模型适用于具有稳定平均值和方差的非季节性时间序列数据。
ARMA模型对于预测长期趋势比较有效。
四、VAR模型VAR模型（向量自回归模型）是一种多变量时间序列分析方法，适用于多个相关联的时间序列数据。
VAR模型可以描述变量之间的相互作用，并进行联合预测。
VAR模型在经济学和金融领域得到了广泛的应用。
五、ARCH/GARCH模型ARCH模型（自回归条件异方差模型）和GARCH模型（广义自回归条件异方差模型）主要用于描述时间序列数据的波动性。
ARCH模型主要适用于有明显波动性的数据，而GARCH模型在ARCH模型的基础上考虑了更长期的波动性。
六、机器学习方法除了传统的时间序列模型外，机器学习方法在时间序列大数据分析中也有着广泛的应用。
例如，支持向量机（SVM）、神经网络和随机森林等算法可以通过学习历史数据的模式来预测未来的数值。
机器学习方法可以有效地处理大数据，但在数据较少或模型解释性要求较高的情况下可能会存在一定的局限性。
时间序列分析中常用的模型时间序列分析是一种重要的数据分析方法，用于研究随时间变化的数据。
在实际应用中，常常需要使用合适的模型来描述和预测时间序列数据。
本文将介绍时间序列分析中常用的几种模型，并对其原理和应用进行详细的讨论。
一、移动平均模型（MA模型）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于时间序列在不同时刻的观测值之间存在一定的相关性，并假设当前的观测值是过去一段时间内的观测值的线性组合。
移动平均模型一般用“MA(q)”表示，其中q表示移动平均阶数，即过去q个观测值的影响。
二、自回归模型（AR模型）自回归模型是另一种常用的时间序列模型。
它假设当前的观测值与过去一段时间内的观测值之间存在线性关系，并通过自相关函数来描述观测值之间的相关性。
自回归模型一般用“AR(p)”表示，其中p表示自回归阶数，即过去p个观测值的影响。
三、自回归移动平均模型（ARMA模型）自回归移动平均模型是将移动平均模型和自回归模型相结合得到的一种模型。
它通过同时考虑观测值的移动平均部分和自回归部分来描述时间序列的相关性。
四、季节性模型在一些具有周期性波动的时间序列数据中，常常需要使用季节性模型进行分析。
季节性模型一般是在上述模型的基础上加入季节因素，以更准确地描述和预测数据的季节性变化。
五、自回归积分移动平均模型（ARIMA模型）自回归积分移动平均模型是时间序列分析中最常用的模型之一。
它通过引入差分运算来处理非平稳时间序列，并结合自回归模型和移动平均模型来描述残差项之间的相关性。
六、指数平滑模型指数平滑模型是一种常用的时间序列预测方法。
它假设未来的观测值与过去的观测值之间存在指数级的衰减关系，并通过平滑系数来反映不同观测值之间的权重。
七、ARCH模型和GARCH模型ARCH模型和GARCH模型是用于处理时间序列波动性的模型。
它们基于过去的方差序列来描述未来的波动性，并用于金融市场等领域的风险管理和波动率预测。
总结来说，时间序列分析中常用的模型包括移动平均模型、自回归模型、自回归移动平均模型、季节性模型、自回归积分移动平均模型、指数平滑模型、ARCH模型和GARCH模型等。
时间序列模型概述时间序列模型是一种用于对时间序列数据进行建模和预测的统计模型。
时间序列数据是指按照时间顺序记录的一系列观测值，比如股票价格、气温、销售量等。
时间序列模型的目标是通过分析过去的观测值来预测未来的观测值。
这种模型通常基于以下两个假设：1. 时间序列的未来值是过去值的函数；2. 时间序列的未来值受到随机误差的影响。
常见的时间序列模型包括自回归移动平均模型（ARMA）、自回归整合移动平均模型（ARIMA）、季节性自回归移动平均模型（SARIMA）和指数平滑模型等。
ARMA模型是将时间序列的过去值和滞后误差作为解释变量，使用线性回归方法来预测未来值。
它是基于两个基本组件：自回归（AR）和移动平均（MA）。
AR部分建模了时间序列的过去值与当前值之间的关系，MA部分建模了观测误差的相关性。
ARIMA模型是在ARMA模型的基础上引入了差分操作，用于处理非平稳时间序列。
差分操作可以将非平稳时间序列转化为平稳时间序列，从而使得模型更可靠。
SARIMA模型是ARIMA模型的扩展，用于处理季节性时间序列。
它在ARIMA模型的基础上引入了季节差分，以及季节AR和MA项，以更好地拟合和预测季节性变化。
指数平滑模型是一类基于加权平均的模型，根据时间序列数据的特点赋予不同权重，进行预测。
常见的指数平滑模型包括简单指数平滑（SES）、双指数平滑和三指数平滑。
时间序列模型需要通过对历史数据的拟合来估计模型参数，并通过模型参数进行未来观测值的预测。
评估时间序列模型通常使用误差度量指标，比如均方误差（MSE）和平均绝对误差（MAE）。
时间序列模型在很多领域都有广泛的应用，比如经济学、金融学、气象学、销售预测等。
它可以帮助我们理解时间序列数据的动态特征，提供未来预测和决策支持。
然而，在实际应用中，时间序列模型也面临一些挑战，比如数据缺失、异常值和非线性关系等。
因此，选择适合的时间序列模型需要综合考虑数据的特性和模型的假设。
ARMA模型介绍ARMA模型（Autoregressive Moving Average model）是时间序列分析中常用的一种模型，用于描述和预测随时间变化的数据。
ARMA模型结合了自回归（AR）和移动平均（MA）两种模型的特点，可以较好地描述时间序列数据的变化趋势。
ARMA模型的核心思想是：当前时刻的观测值可以通过历史观测值和随机误差的线性组合来表示。
具体地说，AR部分考虑了当前时刻和过去几个时刻的观测值之间的关系，而MA部分则考虑了当前时刻和过去几个时刻的随机误差之间的关系。
在AR模型中，当前时刻的观测值与过去几个时刻的观测值之间存在线性关系。
AR模型的阶数(p)表示过去几个时刻的观测值被考虑进来。
对于AR(p)模型，数学表达式如下：yt = c + φ1 * yt-1 + φ2 * yt-2 + ... + φp * yt-p + et其中，yt表示当前时刻的观测值，c表示常数项，φ1, φ2, ... ,φp表示对应的回归系数，et表示当前时刻的随机误差。
在MA模型中，当前时刻的观测值与过去几个时刻的随机误差之间存在线性关系。
MA模型的阶数(q)表示过去几个时刻的随机误差被考虑进来。
对于MA(q)模型，数学表达式如下：yt = c + et + θ1 * et-1 + θ2 * et-2 + ... + θq * et-q其中，yt表示当前时刻的观测值，c表示常数项，θ1, θ2, ... ,θq表示对应的回归系数，et表示当前时刻的随机误差。
yt = c + φ1 * yt-1 + φ2 * yt-2 + ... + φp * yt-p + et + θ1 * et-1 + θ2 * et-2 + ... + θq * et-qARMA模型可以用于时间序列的拟合和预测。
通过将模型与已有数据进行拟合，可以得到模型的参数估计值。
然后，利用这些参数估计值，可以预测未来的观测值。
ARMA模型适用于没有明显趋势和季节性的时间序列数据。
时间序列分析模型时间序列分析模型是一种通过对时间序列数据进行建模和分析的方法，旨在揭示数据中的趋势、季节性、周期和不规则波动等特征，并进行预测和决策。
时间序列分析模型在经济、金融、市场、气象、医学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍几种常见的时间序列分析模型。
1. 移动平均模型（MA）移动平均模型是时间序列分析中最简单的模型之一。
它基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是对随机误差的线性组合。
该模型表示为：y_t = c + e_t + θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，q 是移动平均项的阶数。
2. 自回归模型（AR）自回归模型是基于一个基本假设，即观察到的时间序列数据是过去若干时间点的线性组合。
自回归模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，p 是自回归项的阶数。
3. 自回归移动平均模型（ARMA）自回归移动平均模型将自回归模型和移动平均模型结合在一起，用于处理同时具有自相关和移动平均性质的时间序列数据。
自回归移动平均模型表示为：y_t = c + ϕ₁y_(t-1) + ϕ₂y_(t-2) + … + ϕ_p y_(t-p) + e_t +θ₁e_(t-1) + θ₂e_(t-2) + … + θ_qe_(t-q)其中，y_t 是观察到的数据，c 是常数，e_t 是随机误差，ϕ₁，ϕ₂，…，ϕ_p 是自回归项的参数，θ₁，θ₂，…，θ_q 是移动平均项的参数，p 是自回归项的阶数，q 是移动平均项的阶数。
4. 季节性自回归移动平均模型（SARIMA）季节性自回归移动平均模型是自回归移动平均模型的扩展，用于处理具有季节性和趋势变化的时间序列数据。
时间序列模型时间序列分析是现代计量经济学的重要内容，是研究经济变量的动态特征和周期特征及其相关关系的重要工具，被广泛应用经济分析和预测中。
时间序列按其平稳性与否又分为平稳时间序列和非平稳时间序列。
1．ARMA与ARCH模型2．协整与误差修正模型3．向量自回归模型1第五讲ARMA与ARCH模型本讲中将讨论时间序列的平稳性（stationary）概念及自回归模型(Autoregressive models)、移动平均模型(Moving average models)、自回归移动平均模型(Autoregressive moving average models)、自回归条件异方差模型(Autoregressivec conditional Heteroscedasticity models)的识别、估计、检验、应用。
23一、时间序列的平稳性（一）平稳时间序列所谓时间序列的平稳性，是指时间序列的统计规律不会随着时间的推移而发生变化。
严格地讲，如果一个随机时间序列t y ，对于任何时间t ，都满足下列条件： Ⅰ）均值()t E y μ=∞；Ⅱ）方差22()()t t Var y E y μσ=-=，是与时间t 无关的常数；Ⅲ）自协方差{}(,)t t k t t k k Cov y y E y y μμγ--=--=（）(）,是只与时期间隔k 有关，与时间t 无关的常数。
则称该随机时间序列是平稳的。
生成该序列的随机过程是平稳过程。
4例5.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：t y =t ε tε~2(0,)iid σ该序列常被称为是一个白噪声（white noise ）。
由于t y 具有相同的均值与方差，且协方差为零,满足平稳性条件,是平稳的。
例5.2．另一个简单的随机时间列序被称为随机游走（random walk ）：1t t t y y ε-=+ t ε~2(0,)iid σ，是一个白噪声。
容易判断该序列有相同的均值：1()()t t E y E y -=，但是方差2()t Var y t σ=,即ty 的方差与时间t 有关而非常数，它是一非平稳序列。
然而，对t y 取一阶差分：1t t t t y y yε-∆=-= 则序列t y ∆是平稳的。
后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
5（二）平稳时间序列的自相关函数与偏自相关函数时间序列t y 的自相关函数（autocorrelation function, ACF ）定义如下：kk γργ=平稳时间序列的一个重要特征是它的自相关函数随着k 的增加而成指数型衰减。
一个时间序列的样本自相关函数定义为：61201()()ˆˆ()n ktt k kt k nt t yy y y r y y γγ--==--==-∑∑偏自相关函数（partial autocorrelation function ，PACF ）则是消除了中间变量1,21,,t t t k y y y ---+带来的间接相关后t y 与t k y -间的直接相关性，它是在给定1,21,,t t t K y y y ---+的条件下，t y 与t k y -间条件相关关系的度量。
1(1)(1),1k k j k jkk k j k j r r r r ρρρ----⎛-= -⎝∑∑11k k =二、单变量平稳时间序列模型：ARMA模型单变量时间序列模型是通过直接或间接地运用变量自身过去的信息和以往的扰动项，寻找其自身的变化规律。
ARMA模型是一类常用的单变量平稳时间序列模型，它是由博克斯（Box）和詹金斯(Jenkins)创立的，亦称B-J方法。
ARMA模型有三种基本类型：自回归(AR)模型,移动平均(MA)模型,自回归移动平均(ARMA)模型。
78（一）AR 模型 1． AR 模型的定义如果时间序列t y 可以表示为它的前期值和随机扰动项t u 的线性函数：t y =1122t t p t p t c y y y φφφε---+++++ 2(0,)tu iid εσ （5.1）则称该序列t y 是自回归序列，（5.1）式为p 阶自回归模型，简记为AR （p ）。
引入滞后算子，记kL 为k 步滞后算子，即k t t k L y y -=模型（5.1）可表示为：212Pt t t p t t y c Ly L y L y φφφε=+++++即 212(1)P p t t L L L y c φφφε----=+ 令212()1P p L L L L φφφΦ=----，模型可简写为： ()t t L y c εΦ=+92．AR （p ）模型的平稳性条件212()1P p L L L L φφφΦ=----=0为滞后算子多项式方程。
AR （p ）模型平稳的条件是：该方程的根在单位圆外，即()0L Φ=的根大于1。
对自回模型AR(p)来说，多数情况下没有必要直接计算其特征方程的特征根，但有一些有用的规则可用来检验自回归模型的平稳性：1）AR(p)模型稳定的必要条件是 121p φφφ+++2）由于(1,2,,)i i p φ=可正可负，AR(p)模型平稳的充分条件是：121pφφφ+++103．AR 模型的识别判断一个随机时间序列是否为AR （p ）序列，所使用的工具主要是时间序列的自相关函数（ACF ）及偏自相关函数（PACF ）。
若序列t y 的偏自相关函数kk ρ在p 以后截尾，即kp 时，0kk ρ=，而且它的自相关函数k ρ是拖尾的，可以认定此序列是自回归AR(p)序列。
以一阶自相关模型AR （1）的自相关函数为例： 由于AR （1）的k 阶滞后自协方差[]110()()k k t t k t t t k k E y y E c y y γφεφγφγ----==++==11因此，AR （1）模型的自相关函数为 0k k k γρφγ== k =1,2, 由AR （1）的稳定性知1φ，k 趋于无穷大时，k ρ呈指数型衰减至0，这种现象称为拖尾。
可以证明，当k p 时，样本偏自相关函数kk r 服从如下渐近正态分布: kk r ~N(0,1/n)因此，如果计算的kk r 满足2kk r n我们就有95.45%的概率保证程度断定kk r 在kp 之后截尾。
12（二）MA 模型1．MA 模型的定义如果时间序列t y 是它的当期和前期随机误差项的线性函数，即可表示为： t y =1122t t t q t q c εθεθεθε---+++++ 2(0,)t u iid εσ （5.2） 则称该序列t y 是移动平均序列，（5.2）式为q 阶移动平均模型，简记为MA （q ）。
若使用滞后算子，则（5.2）式可以简写为212(1)q t q t y c L L L θθθε=+++++()t c L θε=+易见，有限阶移动平均过程无条件平稳。
13 2．MA 模型的可逆性观察MA 模型：212(1)qt q t y c L L L θθθε-=++++()t L θε=若多项式方程()0L θ=的根全部落在单位圆外，则称序列t y 可逆。
()L θ的逆记作1()L θ-，则1()L θ-()t y c -=t ε。
比较()t t L y c εΦ=+，可以证明，若MA （q ）算子可逆，MA （q ）模型可写成AR(∞)的形式；同理，若AR(P)模型满足平稳性条件，AR(P)模型可表示为MA (∞)。
143．MA 模型的识别若序列t y 的自相关函数k ρ在q 以后截尾，即k q 时，0k ρ=，而它的偏自相关函数kk ρ是拖尾的，可以认定此序列是移动平均MA （q ）序列。
对MA(1)过程 1t t t y c εθε-=++很容易计算出它的自协方差函数：2220()(1)t u E y γσθ==+ 211()t t u E y y γσθ-== 230γγ=== 于是得到自相关函数： 11201γθργθ==+ 230ρρ===可见，当1k >时，k ρ=0，即t y 与t k y -不相关，MA(1)自相关函数是截尾的。
同理，可以验证MA （q ）过程的偏自相关函数是拖尾但趋于0的。
15 （三）ARMA 模型1．ARMA 模型的定义若时间序列t y 是它的当期和前期随机误差项以及前期值的线性函数，即为t y =11221122t t p t p t t t q t q c y y y φφφεθεθεθε------+++++++++ （5.3） 则称该序列t y 是自回归移动平均序列，（5.3）式为(,)p q 阶的自回归移动平均模型，简记为ARMA (,)p q 。
显然，AR ()p 模型与MA ()q 模型都是ARMA (,)p q 模型的特殊情况。
若使用滞后算子，则（5.3）式可以简记为()()t t L y c L u θΦ=+ARMA (,)p q 模型的平稳性取决于AR ()p 部分的平稳性。
2．ARMA模型的识别ARMA(,)p q的自相关函数，可以看作MA()q的自相关函数和AR()p的自相关函数的混合物。
当p=0时，它具有截尾性质；当q=0时，它具有拖尾性质；当p、q都不为0时，它具有拖尾性质。
p q 一般地，如果序列的ACF和PACF均是拖尾，则可断定该序列是ARMA(,)过程。
p q过程的偏自相关函数可能在p阶滞后前有几项明显的通常，ARMA(,)p阶滞后项开始逐渐趋向于零；而它的自相关函数则是在q阶滞尖柱，但从q阶滞后项开始逐渐趋向于零。
后前有几项明显的尖柱，从识别是通常以较低的阶数进行分析，然后逐个增加阶数进行尝试。
163．ARMA模型阶数(,)p q的选择标准常用的模型选择的判别标准有：赤池信息准则（AIC）与施瓦兹贝叶斯信息准则（SBC）。
在选择可能的模型时，AIC与SBC越小越好。
上面的讨论均是在假定序列满足平稳性的情形下进行的。
一个非平稳的随机时间序列通常可以通过差分的方法将它变换为平稳的，进而寻找对应的平稳模型。
若将一个非平稳序列通过d次差分，变为平稳序列，然后用一个平稳的ARMA模型去拟合，称该模型是一个自回归单整移动平均模型（Autoregressivep d q。
integrated moving average models），记为ARIMA(,,)17（四）模型的应用下面我们通过例子探讨如何利用样本数据建立时间序列模型，并对现象进行分析和预测。
Y建立ARMA模型并预测2008的支例5．1．对我国支出法国内生产总值t出法国内生产总值。
支出法国内生产总值Y认为是非平稳的，但其对数一阶差分序列是平稳的。
t因此，可以对对数一阶差分序列建立ARMA(,)p q模型。
