【新课标】2019届高考数学(理)二轮复习试题：专题五第2讲椭圆、双曲线、抛物线_含解析

第二讲椭圆、双曲线、抛物线的定义、方程与性质圆锥曲线的定义与标准方程授课提示：对应学生用书第49页[悟通——方法结论]1．圆锥曲线的定义(1)椭圆：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)双曲线：|||PF 1|－|PF 2|＝2a (2a <|F 1F 2|)；(3)抛物线：|PF |＝|PM |，点F 不在直线l 上，PM ⊥l 于M . 2．求解圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”．所谓“定型”，就是曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值．[全练——快速解答]1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线方程为y＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( ) A.x 28－y 210＝1B.x 24－y 25＝1C.x 25－y 24＝1 D.x 24－y 23＝1 解析：根据双曲线C 的渐近线方程为y ＝52x ， 可知b a ＝52.① 又椭圆x 212＋y 23＝1的焦点坐标为(3,0)和(－3,0)，所以a 2＋b 2＝9.②根据①②可知a 2＝4，b 2＝5， 所以C 的方程为x 24－y 25＝1.答案：B2．(2018·山西四校联考)设抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16x D ．y 2＝2x 或y 2＝16x解析：∵抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F (3p 4，0)，∴|OF |＝3p 4，∵以MF 为直径的圆过点(0,2)，设A (0,2)，连接AF ，AM ，可得AF ⊥AM ，在Rt △AOF 中，|AF |＝4＋9p216，∴sin ∠OAF ＝|OF ||AF |＝3p 44＋9p 216，根据抛物线的定义，得直线AO 切以MF 为直径的圆于点A ，∴∠OAF ＝∠AMF ，可得在Rt △AMF 中，sin ∠AMF ＝|AF ||MF |＝3p 44＋9p 216，∵|MF |＝5，|AF |＝4＋9p216，∴4＋9p 2165＝3p 44＋9p216，整理得4＋9p 216＝15p 4，解得p ＝43或p ＝163，∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .答案：C3．如果点P 1，P 2，P 3，…，P 10是抛物线y 2＝2x 上的点，它们的横坐标依次为x 1，x 2，x 3，…，x 10，F 是抛物线的焦点，若x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 10＝5，则|P 1F |＋|P 2F |＋|P 3F |＋…＋|P 10F |＝________.解析：由抛物线的定义可知，抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离|PF |＝x 0＋p2，在y 2＝2x 中，p ＝1，所以|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 10F |＝x 1＋x 2＋…＋x 10＋5p ＝10. 答案：104．(2018·重庆模拟)从双曲线x 24－y 29＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝4的切线FP 交双曲线右支于点P ，T 为切点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|M T|＝________.解析：不妨设点P 在第一象限，双曲线x 24－y 29＝1的右焦点为F ′，连接PF ′，O T.(图略)因为M 为线段FP 的中点，所以|OM |＝12|PF ′|，|FM |＝12|PF |，且|O T|＝2，|OF |＝13，所以|F T|＝|OF |2－|OT |2＝3，由双曲线的定义得|PF |－|PF ′|＝4，易知|MF |＞|F T|，所以|MO |－|M T|＝12|PF ′|－(|MF |－|F T|)＝12|PF ′|－12|PF |＋|F T|＝12(|PF ′|－|PF |)＋3＝12×(－4)＋3＝1. 答案：11．圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理解定义是掌握其性质的基础． 2．在使用椭圆与双曲线的标准方程时，要注意区分焦点位置．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质授课提示：对应学生用书第49页[悟通——方法结论]1．椭圆、双曲线中，a ，b ，c 之间的关系 (1)在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2，离心率为e ＝c a＝ 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2；(2)在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2，离心率为e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2.2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±bax .注意离心率e 与渐近线的斜率的关系．3．抛物线方程中p 的几何意义为焦点到准线的距离．[全练——快速解答]1．(2018·南宁、柳州联考)已知双曲线x 23－y 2b＝1(b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±13xB ．y ＝±33x C ．y ＝±3xD ．y ＝±3x解析：由题意知，抛物线的焦点是(2,0)，即双曲线x 23－y 2b＝1的一个焦点坐标是(2,0)，则c ＝2，且双曲线的焦点在x 轴上，所以3＋b ＝22，即b ＝1，于是双曲线的渐近线方程为y ＝±33x ，故选B. 答案：B2．(2018·贵阳模拟)椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F且垂直于x 轴的直线交C 于P ，Q 两点，若cos ∠PAQ ＝35，则椭圆C 的离心率e 为( )A.12B.22C.33D.23解析：根据题意可取P (c ，b 2a )，Q (c ，－b 2a )，所以tan ∠PAF ＝b 2aa ＋c ＝b 2a 2＋ac ＝a 2－c 2a 2＋ac ＝a －c a＝1－e ，cos ∠PAQ ＝cos 2∠PAF ＝cos 2∠PAF －sin 2∠PAF ＝cos 2∠PAF －sin 2∠PAFcos 2∠PAF ＋sin 2∠PAF＝1－tan 2∠PAF 1＋tan 2∠PAF ＝1－(1－e )21＋(1－e )2＝35，故5－5(1－e )2＝3＋3(1－e )2⇒8(1－e )2＝2⇒(1－e )2＝14.又椭圆的离心率e 的取值范围为(0,1)，所以1－e ＝12，e ＝12.故选A.答案：A3．(2018·惠州模拟)已知F 1，F 2是双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，过其中一个焦点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2，＋∞)C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解析：如图，不妨设F 1(0，c )，F 2(0，－c ) ，则过点F 1与渐近线y ＝a b x 平行的直线为y ＝ab x ＋c ，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝ab x ＋c ，y ＝－a b x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－bc2a ，y ＝c2，即M (－bc2a，c2)．因点M 在以线段F 1F 2为直径的圆x 2＋y 2＝c 2内，故(－bc2a )2＋(c2)2＜c 2，化简得b 2＜3a 2，即c 2－a 2＜3a 2，解得ca ＜2，又双曲线的离心率e ＝c a＞1，所以双曲线离心率的取值范围是(1,2)．故选A.答案：A4．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________.解析：法一：设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x2，∴y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2. 设AB 中点M ′(x 0，y 0)，抛物线的焦点为F ，分别过点A ，B 作准线x ＝－1的垂线，垂足为A ′，B ′，则|MM ′|＝12|AB |＝12(|AF |＋|BF |)＝12(|AA ′|＋|BB ′|)． ∵M ′(x 0，y 0)为AB 中点，∴M 为A ′B ′的中点，∴MM ′平行于x 轴， ∴y 1＋y 2＝2，∴k ＝2.法二：由题意知，抛物线的焦点坐标为F (1,0)，设直线方程为y ＝k (x －1)，直线方程与y 2＝4x 联立，消去y ，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝1，x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.由M (－1,1)，得A M →＝(－1－x 1,1－y 1)，B M →＝(－1－x 2,1－y 2)． 由∠AMB ＝90°，得A M →·B M →＝0， ∴(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， ∴x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋1＝0.又y 1y 2＝k (x 1－1)·k (x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)，∴1＋2k 2＋4k2＋1＋k 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2k 2＋4k2＋1－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＋4k 2－2＋1＝0，整理得4k 2－4k＋1＝0，解得k ＝2.答案：21．椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系或不等关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a的值．2．双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得． (2)用法：①可得b a 或a b的值．②利用渐近线方程设所求双曲线的方程．直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系授课提示：对应学生用书第50页[悟通——方法结论]弦长问题设直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若直线AB 的斜率存在(设为k )，则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|或|AB |＝1＋1k2|y 1－y 2|(k ≠0)，其中|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，|y 1－y 2|＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2；若直线AB 的斜率不存在，则直接求出直线与圆锥曲线的交点坐标，利用两点间的距离公式求弦长．(1)(2018·山西八校联考)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点N 在x 轴上且在点F 的右侧，线段FN 的垂直平分线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，直线MN 的倾斜角为135˚，O 为坐标原点，则直线OM 的斜率为( )A ．22－2B ．22－1 C.2－1D ．32－4解析：如图，设直线L 为抛物线的准线，过点M 向准线引垂线，垂足为A ，交y 轴于点B ，设|MF |＝t ，因为点M 在FN 的垂直平分线上，且直线MN 的倾斜角为135˚，所以直线MF 的倾斜角为45˚，由抛物线的定义得t ＝|MA |＝p ＋22t ，即t ＝2p 2－1＝(2＋2)p ，所以|OB |＝22t ＝(2＋1)p ，|BM |＝t －p 2＝(3＋22)p2，设直线OM 的倾斜角为θ，则∠OMB ＝θ，所以直线OM 的斜率为tan θ＝|OB ||MB |＝2(2＋1)3＋22＝22－2，故选A.答案：A(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)(12分)设A ，B 为曲线C ：①求直线AB 的斜率；②设M 为曲线C 上一点，C 在M 处的切线与直线且求直线AB的方程．[学审题][规范解答] ①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1≠x 2，y 1＝14，y 2＝24，x 1＋x 2＝4，(2分)于是直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 1＋x 24＝1. (4分)②由y ＝x 24，得y ′＝x2.设M (x 3，y 3)，由题设知x 32＝1，解得x 3＝2， (6分)于是M (2,1)．设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，(8分)故线段AB 的中点为N (2,2＋m )，|MN |＝|m ＋1|. 将y ＝x ＋m 代入y ＝x 24，得x 2－4x －4m ＝0.当Δ＝16(m ＋1)>0，即m >－1时，x 1,2＝2±2m ＋1. 从而|AB |＝2|x 1－x 2|＝42(m ＋1) .(10分)由题设知|AB |＝2|MN |，即42(m ＋1)＝2(m ＋1)，解得m ＝7(m ＝－1舍去)．所以直线AB 的方程为x －y ＋7＝0.(12分)直线与圆锥曲线的位置关系问题充分体现了方程思想，化归思想及数形结合思想，着重考查运算及推理能力，其解决的方法一般是：(1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在进行讨论，或将直线方程设成x ＝my ＋b 的形式；(2)联立直线方程与曲线方程并将其转化为一元二次方程，利用判别式或根与系数的关系得到交点横坐标或纵坐标的关系．[练通——即学即用]1．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 23－y 2＝1，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M ，N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |＝( )A.32 B ．3 C ．2 3D ．4解析：由已知得双曲线的两条渐近线方程为y ＝±13x .设两渐近线夹角为2α，则有tan α＝13＝33，所以α＝30°.所以∠MON ＝2α＝60°.又△OMN 为直角三角形，由于双曲线具有对称性，不妨设MN ⊥ON ，如图所示． 在Rt △ONF 中，|OF |＝2，则|ON |＝ 3.则在Rt △OMN 中，|MN |＝|ON |·tan 2α＝3·tan 60°＝3. 故选B. 答案：B2．(2018·洛阳模拟)已知短轴的长为2的椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线n 的横、纵截距分别为a ，－1，且原点O 到直线n 的距离为32. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线l 经过椭圆E 的右焦点F 且与椭圆E 交于A ，B 两点，若椭圆E 上存在一点C 满足OA →＋3OB →－2OC →＝0，求直线l 的方程．解析：(1)∵椭圆E 的短轴的长为2，故b ＝1. 依题意设直线n 的方程为x a－y ＝1，由11a 2＋1＝32，解得a ＝3，故椭圆E 的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，当直线l 的斜率为0时，显然不符合题意．当直线l 的斜率不为0或直线l 的斜率不存在时，F (2，0)，设直线l 的方程为x ＝t y ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2＝1，x ＝ty ＋2，得(t 2＋3)y 2＋22t y －1＝0，∴y 1＋y 2＝－22t t 2＋3，y 1y 2＝－1t 2＋3， ①∵OA →＋3OB →－2OC →＝0，∴x 3＝12x 1＋32x 2，y 3＝12y 1＋32y 2，又点C 在椭圆E 上，∴x 233＋y 23＝13(12x 1＋32x 2)2＋(12y 1＋32y 2)2＝14(x 213＋y 21)＋34(x 223＋y 22)＋32(13x 1x 2＋y 1y 2)＝1， 又x 213＋y 21＝1，x 223＋y 22＝1， ∴13x 1x 2＋y 1y 2＝0， ② 将x 1＝t y 1＋2，x 2＝t y 2＋2及①代入②得t 2＝1，即t ＝1或t ＝－1. 故直线l 的方程为x ＋y －2＝0或x －y －2＝0.授课提示：对应学生用书第143页一、选择题1．(2018·广西南宁模拟)双曲线x 225－y 220＝1的渐近线方程为( )A ．y ＝±45xB ．y ＝±54xC ．y ＝±15xD ．y ＝±255x解析：在双曲线 x 225－y 220＝1中，a ＝5，b ＝25，而其渐近线方程为y ＝±ba x ，∴其渐近线方程为y ＝±255x ，故选D.答案：D2．已知椭圆C 的方程为x 216＋y 2m 2＝1(m ＞0)，如果直线y ＝22x 与椭圆的一个交点M 在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F ，则m 的值为( )A ．2B ．2 2C ．8D ．2 3解析：根据已知条件得c ＝16－m 2，则点⎝ ⎛⎭⎪⎫16－m 2，2216－m 2在椭圆x 216＋y 2m 2＝1(m＞0)上，∴16－m 216＋16－m22m2＝1，可得m ＝2 2.答案：B3．(2018·张掖模拟)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2 D ．3解析：双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线与圆x 2＋(y －2)2＝1相切，则圆心(0,2)到直线bx －ay＝0的距离为1，所以2aa 2＋b2＝1，即2a c ＝1，所以双曲线的离心率e ＝ca＝2，故选C. 答案：C4．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右顶点分别为A 1、A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线bx －ay ＋2ab ＝0相切，则C 的离心率为( )A.63 B.33 C.23 D.13解析：以线段A 1A 2为直径的圆的圆心为坐标原点O (0,0)，半径为a .由题意，圆心到直线bx －ay ＋2ab ＝0的距离为2aba 2＋b2＝a ，即a 2＝3b 2.又e 2＝1－b 2a 2＝23，所以e ＝63.答案：A5．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为45，渐近线方程为2x ±y ＝0，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 216＝1 B.x 216－y 24＝1 C.x 216－y 264＝1 D.x 264－y 216＝1 解析：易知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦点在x 轴上，所以由渐近线方程为2x ±y＝0，得b a＝2，因为双曲线的焦距为45，所以c ＝25，结合c 2＝a 2＋b 2，可得a ＝2，b ＝4，所以双曲线的方程为x 24－y 216＝1，故选A.答案：A6．(2018·长春模拟)已知O 为坐标原点，设F 1，F 2分别是双曲线x 2－y 2＝1的左、右焦点，P 为双曲线上任意一点，过点F 1作∠F 1PF 2的平分线的垂线，垂足为H ，则|OH |＝( )A ．1B ．2C ．4D.12解析：不妨设P 在双曲线的左支，如图，延长F 1H 交PF 2于点M ，由于PH 既是∠F 1PF 2的平分线又垂直于F 1M ，故△PF 1M 为等腰三角形，|PF 1|＝|PM |且H 为F 1M 的中点，所以OH 为△MF 1F 2的中位线，所以|OH |＝12|MF 2|＝12(|PF 2|－|PM |)＝12(|PF 2|－|PF 1|)＝1.故选A.答案：A7．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，则点(4,0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2 B ．2 C.322D ．2 2解析：由题意，得e ＝c a＝2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，点(4,0)到渐近线的距离为42＝22，故选D. 答案：D8．(2018·石家庄一模)已知直线l ：y ＝2x ＋3被椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)截得的弦长为7，有下列直线：①y ＝2x －3；②y ＝2x ＋1；③y ＝－2x －3；④y ＝－2x ＋3.其中被椭圆C 截得的弦长一定为7的有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条解析：易知直线y ＝2x －3与直线l 关于原点对称，直线y ＝－2x －3与直线l 关于x 轴对称，直线y ＝－2x ＋3与直线l 关于y 轴对称，故由椭圆的对称性可知，有3条直线被椭圆C 截得的弦长一定为7.选C.答案：C9．(2018·洛阳模拟)设双曲线C ：x 216－y 29＝1的右焦点为F ，过F 作双曲线C 的渐近线的垂线，垂足分别为M ，N ，若d 是双曲线上任意一点P 到直线MN 的距离，则d|PF |的值为( )A.34B.45 C ．54D ．无法确定解析：双曲线C ：x 216－y 29＝1中，a ＝4，b ＝3，c ＝5，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y＝±34x .不妨设M 在直线 y ＝34x 上，N 在直线y ＝－34x 上，则直线MF 的斜率为－43，其方程为y ＝－43(x －5)，设M (t ，34t)，代入直线MF 的方程，得34t ＝－43(t －5)，解得t ＝165，即M (165，125)．由对称性可得N (165，－125)，所以直线MN 的方程为x ＝165.设P (m ，n )，则d ＝|m －165|，m 216－n 29＝1，即n 2＝916(m 2－16)，则|PF |＝(m －5)2＋n 2＝14|5m －16|.故d |PF |＝|m －165|14|5m －16|＝45，故选B.答案：B10．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：由题意知直线MN 的方程为y ＝23(x ＋2)，联立直线与抛物线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23(x ＋2)，y 2＝4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4.不妨设M 为(1,2)，N 为(4,4)．又∵抛物线焦点为F (1,0)，∴FM →＝(0,2)，FN →＝(3,4)， ∴FM →·FN →＝0×3＋2×4＝8. 故选D. 答案：D11．(2018·广西五校联考)已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与双曲线交于M ，N 两点，若MF 1→·NF →1＞0，则该双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(2，2＋1)B ．(1，2＋1)C ．(1，3)D ．(3，＋∞)解析：设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，依题意可得c 2a 2－y 2b 2＝1，得到y ＝b 2a ，不妨设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫c ，b 2a ，N ⎝⎛⎭⎪⎫c ，－b 2a ，则MF →1·NF →1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，－b 2a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－2c ，b 2a ＝4c 2－b 4a2＞0，得到4a 2c 2－(c 2－a 2)2＞0， 即a 4＋c 4－6a 2c 2＜0， 故e 4－6e 2＋1＜0，解得3－22＜e 2＜3＋22， 又e ＞1，所以1＜e 2＜3＋22， 解得1＜e ＜1＋ 2 答案：B12．(2018·南昌模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是抛物线上的两个动点，若x 1＋x 2＋4＝233|AB |，则∠AFB 的最大值为( ) A.π3 B.3π4 C.5π6D.2π3解析：由抛物线的定义可得|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2，又x 1＋x 2＋4＝233|AB |，得|AF |＋|BF |＝233|AB |，所以|AB |＝32(|AF |＋|BF |)． 所以cos ∠AFB ＝|AF |2＋|BF |2－|AB |22|AF |·|BF |＝|AF |2＋|BF |2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤32()|AF |＋|BF |22|AF |·|BF |＝14|AF |2＋14|BF |2－32|AF |·|BF |2|AF |·|BF |＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫|AF ||BF |＋|BF ||AF |－34≥18×2|AF ||BF |·|BF ||AF |－34＝－12，而0＜∠AFB ＜π， 所以∠AFB 的最大值为2π3.答案：D 二、填空题13．(2018·成都模拟)已知双曲线x 2a 2－y 22＝1(a ＞0)和抛物线y 2＝8x 有相同的焦点，则双曲线的离心率为________．解析：易知抛物线y 2＝8x 的焦点为(2,0)，所以双曲线x 2a 2－y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则a 2＋2＝22，即a ＝2，所以双曲线的离心率e ＝c a＝22＝ 2.答案： 214．(2018·武汉调研)双曲线Γ：y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为10，焦点到渐近线的距离为3，则Γ的实轴长等于________．解析：双曲线的焦点(0,5)到渐近线y ＝abx ，即ax －by ＝0的距离为|5b |a 2＋b2＝5b c＝b ＝3，所以a ＝4,2a ＝8.答案：815．(2018·唐山模拟)过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |＝6，则p ＝________.解析：设AB 的方程为x ＝my ＋p2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1＞x 2，将直线AB 的方程代入抛物线方程得y 2－2pmy －p 2＝0，所以y 1y 2＝－p 2,4x 1x 2＝p 2.设抛物线的准线为l ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，过B 作BD ⊥l ，垂足为D ，因为|AF |＝2|BF |＝6，根据抛物线的定义知，|AF |＝|AC |＝x 1＋p 2＝6，|BF |＝|BD |＝x 2＋p2＝3，所以x 1－x 2＝3，x 1＋x 2＝9－p ，所以(x 1＋x 2)2－(x 1－x 2)2＝4x 1x 2＝p 2，即18p －72＝0，解得p ＝4.答案：416．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2m＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是________．解析：当0＜m ＜3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即3m≥ 3，解得0＜m ≤1.当m ＞3时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b≥tan 60°＝3，即m3≥3，解得m ≥9.故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 答案：(0,1]∪[9，＋∞) 三、解答题17．(2018·辽宁五校联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为B ，若△BF 1F 2的周长为6，且点F 1到直线BF 2的距离为b .(1)求椭圆C 的方程；(2)设A 1，A 2是椭圆C 长轴的两个端点，P 是椭圆C 上不同于A 1，A 2的任意一点，直线A 1P 交直线x ＝m 于点M ，若以MP 为直径的圆过点A 2，求实数m 的值．解析：(1)由题意得F 1(－c,0)，F 2(c,0)，B (0，b )，则2a ＋2c ＝6，①直线BF 2的方程为bx ＋cy －bc ＝0， 所以|－bc －bc |c 2＋b 2＝b ，即2c ＝a ，② 又a 2＝b 2＋c 2，③所以由①②③可得a ＝2，b ＝3， 所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)不妨设A 1(－2,0)，A 2(2,0)，P (x 0，y 0)， 则直线A 1P 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，所以M (m ，y 0x 0＋2(m ＋2))，又点P 在椭圆C 上，所以y 20＝3(1－x 204)，若以MP 为直径的圆过点A 2，则A 2M ⊥A 2P ，A 2M →·A 2P →＝0， 所以(m －2，y 0x 0＋2(m ＋2))·(x 0－2，y 0)＝(m －2)(x 0－2)＋y 20x 0＋2(m ＋2)＝(m －2)(x 0－2)＋3(1－x 204)x 0＋2(m ＋2)＝(x 0－2)(14m －72)＝0.又点P 不同于点A 1，A 2，所以x 0≠±2， 所以m ＝14.18．(2018·福州模拟)抛物线C ：y ＝2x 2－4x ＋a 与两坐标轴有三个交点，其中与y 轴的交点为P .(1)若点Q (x ，y )(1＜x ＜4)在C 上，求直线PQ 斜率的取值范围； (2)证明：经过这三个交点的圆E 过定点．解析：(1)由题意得P (0，a )(a ≠0)，Q (x,2x 2－4x ＋a )(1＜x ＜4)， 故k PQ ＝2x 2－4x ＋a －a x＝2x －4，因为1＜x ＜4，所以－2＜k PQ ＜4，所以直线PQ 的斜率的取值范围为(－2,4)． (2)证明：法一：P (0，a )(a ≠0)．令2x 2－4x ＋a ＝0，则Δ＝16－8a ＞0，a ＜2，且a ≠0， 解得x ＝1±4－2a2，故抛物线C 与x 轴交于A (1－4－2a 2，0)，B (1＋4－2a2，0)两点． 故可设圆E 的圆心为M (1，t)， 由|MP |2＝|MA |2，得12＋(t －a )2＝(4－2a 2)2＋t 2，解得t ＝a 2＋14， 则圆E 的半径r ＝|MP |＝1＋(14－a 2)2.所以圆E 的方程为(x －1)2＋(y －a 2－14)2＝1＋(14－a 2)2，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－2x －(a ＋12)y ＋a 2＝0，即x 2＋y 2－2x －12y ＋a (12－y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －12y ＝0，12－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12，故圆E 过定点(0，12)，(2，12)．法二：P (0，a )(a ≠0)，设抛物线C 与x 轴的两个交点分别为A (x 1,0)，B (x 2,0)，圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Fy ＋G ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋Dx 1＋G ＝0，x 22＋Dx 2＋G ＝0，a 2＋Fa ＋G ＝0.因为x 1，x 2是方程2x 2－4x ＋a ＝0，即x 2－2x ＋a2＝0的两根，所以x 21－2x 1＋a2＝0，x 22－2x 2＋a2＝0，所以D ＝－2，G ＝a2， 所以F ＝－G －a 2a ＝－(a ＋12)，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－2x －(a ＋12)y ＋a 2＝0，即x 2＋y 2－2x －12y ＋a (12－y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －12y ＝0，12－y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12，故圆E 过定点(0，12)，(2，12)．19．(2018·广州模拟)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：y 2a 2＋x 2b2＝1(a ＞b ＞0)的上焦点为F 1，椭圆C 的离心率为12，且过点(1，263)．(1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若F 1B →·F 1H →＝0，且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程．解析：(1)因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3c 2，即b 2＝34a 2，所以椭圆C 的方程为y 2a 2＋x234a 2＝1.把点(1，263)代入椭圆C 的方程中，解得a 2＝4.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)由(1)知，A (0,2)，设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y24＝1，得(3k 2＋4)x 2＋12kx ＝0.设B (x B ，y B )，得x B ＝－12k3k 2＋4， 所以y B ＝－6k 2＋83k 2＋4，所以B (－12k 3k 2＋4，－6k 2＋83k 2＋4)． 设M (x M ，y M )，因为|MO |＝|MA |，所以点M 在线段OA 的垂直平分线上， 所以y M ＝1，因为y M ＝kx M ＋2，所以x M ＝－1k ，即M (－1k，1)．设H (x H,0)，又直线HM 垂直于直线l ，所以k MH ＝－1k ，即1－1k－x H＝－1k.所以x H ＝k －1k ，即H (k －1k，0)．又F 1(0,1)，所以F 1B →＝(－12k 3k 2＋4，4－9k 23k 2＋4)，F 1H →＝(k －1k，－1)．因为F 1B →·F 1H →＝0，所以－12k 3k 2＋4·(k －1k )－4－9k23k 2＋4＝0，解得k ＝±263.所以直线l 的方程为y ＝±263x ＋2.。

第2讲 椭圆、双曲线、抛物线高考定位 1.圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点，多以选择题、填空题或解答题的一问的形式命题；2直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题，运算量大，能力要求高，突出方程思想、转化化归与分类讨论思想方法的考查.真 题 感 悟1.(2018·全国Ⅱ卷)双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为3，则其渐近线方程为( )A.y ＝±2xB.y ＝±3xC.y ＝±22xD.y ＝±32x 解析 法一 由题意知，e ＝c a ＝3，所以c ＝3a ，所以b ＝c 2－a 2＝2a ，即b a＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ＝±2x .法二 由e ＝ca ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝3，得b a ＝2，所以该双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±2x .答案 A2.(2018·全国Ⅰ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2，0)且斜率为23的直线与C交于M ，N 两点，则FM →·FN →＝( ) A.5B.6C.7D.8解析 过点(－2，0)且斜率为23的直线的方程为y ＝23(x ＋2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝23（x ＋2），y 2＝4x ，得x 2－5x＋4＝0.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1>0，y 2>0，根据根与系数的关系，得x 1＋x 2＝5，x 1x 2＝4.易知F (1，0)，所以FM →＝(x 1－1，y 1)，FN →＝(x 2－1，y 2)，所以FM →·FN →＝(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋4x 1x 2＝4－5＋1＋8＝8. 答案 D3.(2018·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为36的直线上，△PF 1F 2为等腰三角形，∠F 1F 2P ＝120°，则C 的离心率为( ) A.23B.12C.13D.14解析 由题意可知椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，设|F 1F 2|＝2c ，∵△PF 1F 2为等腰三角形，且∠F 1F 2P ＝120°， ∴|PF 2|＝|F 1F 2|＝2c .∵|OF 2|＝c ，过P 作PE 垂直x 轴，则∠PF 2E ＝60°，所以F 2E ＝c ，PE ＝3c ，即点P (2c ，3c ).∵点P 在过点A ，且斜率为36的直线上，∴3c 2c ＋a ＝36，解得c a ＝14，∴e ＝14. 答案 D4.(2018·全国Ⅰ卷)设椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A ，B 两点，点M 的坐标为(2，0).(1)当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； (2)设O 为坐标原点，证明：∠OMA ＝∠OMB . (1)解 由已知得F (1，0)，l 的方程为x ＝1.把x ＝1代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，可得点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，22或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－22.又M (2，0)，所以AM 的方程为y ＝－22x ＋2或y ＝22x － 2. (2)证明 当l 与x 轴重合时，∠OMA ＝∠OMB ＝0°. 当l 与x 轴垂直时，OM 为AB 的垂直平分线， 所以∠OMA ＝∠OMB .当l 与x 轴不重合也不垂直时，设l 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1<2，x 2<2，直线MA ，MB 的斜率之和为k MA ＋k MB ＝y 1x 1－2＋y 2x 2－2.由y 1＝k (x 1－1)，y 2＝k (x 2－1)得k MA ＋k MB ＝2kx 1x 2－3k （x 1＋x 2）＋4k（x 1－2）（x 2－2）.将y ＝k (x －1)代入x 22＋y 2＝1得(2k 2＋1)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0. 所以，x 1＋x 2＝4k 22k 2＋1，x 1x 2＝2k 2－22k 2＋1.则2kx 1x 2－3k (x 1＋x 2)＋4k ＝4k 3－4k －12k 3＋8k 3＋4k2k 2＋1＝0. 从而k MA ＋k MB ＝0，故MA ，MB 的倾斜角互补. 所以∠OMA ＝∠OMB .综上，∠OMA ＝∠OMB .考 点 整 合1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a ＞|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a ＜|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d (d 为M 点到准线的距离).温馨提醒 应用圆锥曲线定义解题时，易忽视定义中隐含条件导致错误. 2.圆锥曲线的标准方程(1)椭圆：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)(焦点在y 轴上)；(2)双曲线：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在x 轴上)或y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)(焦点在y 轴上)；(3)抛物线：y 2＝2px ，y 2＝－2px ，x 2＝2py ，x 2＝－2py (p ＞0). 3.圆锥曲线的重要性质(1)椭圆、双曲线中a ，b ，c 之间的关系①在椭圆中：a 2＝b 2＋c 2；离心率为e ＝ca＝1－b 2a 2. ②在双曲线中：c 2＝a 2＋b 2；离心率为e ＝ca＝1＋b 2a2.(2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标①双曲线x 2a －y 2b ＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±ba x ；焦点坐标F 1(－c ，0)，F 2(c ，0).②双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±abx ，焦点坐标F 1(0，－c )，F 2(0，c ).(3)抛物线的焦点坐标与准线方程①抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2.②抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线方程y ＝－p2. 4.弦长问题(1)直线与圆锥曲线相交的弦长设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入.即当斜率为k ，直线与圆锥曲线交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.(2)过抛物线焦点的弦长抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的弦AB ，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2，弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p .热点一 圆锥曲线的定义及标准方程【例1】 (1)(2018·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点.设A ，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d 1和d 2，且d 1＋d 2＝6，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 23－y 29＝1D.x 29－y 23＝1 (2)(2018·烟台二模)已知抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，M 是抛物线C 上一点，若FM 的延长线交x 轴的正半轴于点N ，交抛物线C 的准线l 于点T ，且FM →＝MN →，则|NT |＝________.解析 (1)由d 1＋d 2＝6，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以b ＝3.因为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，所以c a ＝2，所以a 2＋b 2a 2＝4，所以a 2＋9a2＝4，解得a 2＝3，所以双曲线的方程为x 23－y 29＝1.(2)由x 2＝4y ，知F (0，1)，准线l ：y ＝－1. 设点M (x 0，y 0)，且x 0>0，y 0>0.由FM →＝MN →，知点M 是线段FN 的中点，N 是FT 中点，利用抛物线定义，|MF |＝|MM ′|＝y 0＋1，且|FF ′|＝2|NN ′|＝2.又2(y 0＋1)＝|FF ′|＋|NN ′|＝3，知y 0＝12.∴|MF |＝12＋1＝32，从而|NT |＝|FN |＝2|MF |＝3.答案 (1)C (2)3探究提高 1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离，一般运用定义转化为到准线的距离处理.如本例(2)中充分运用抛物线定义实施转化，使解答简捷、明快.2.求解圆锥曲线的标准方程的方法是“先定型，后计算”.所谓“定型”，就是指确定类型，所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a 2，b 2，p 的值，最后代入写出椭圆、双曲线、抛物线的标准方程.【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为y ＝52x ，且与椭圆x 212＋y23＝1有公共焦点，则C 的方程为( )A.x 28－y 210＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 25－y 24＝1D.x 24－y 23＝1 (2)(2018·衡水中学调研)P 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1上一动点，F 1，F 2分别为左、右焦点，延长F 1P 至点Q ，使得|PQ |＝|PF 2|，记动点Q 的轨迹为Ω，设点B 为椭圆C 短轴上一顶点，直线BF 2与Ω交于M ，N 两点，则|MN |＝________.解析 (1)由题设知b a ＝52，① 又由椭圆x 212＋y 23＝1与双曲线有公共焦点，易知a 2＋b 2＝c 2＝9，②由①②解得a ＝2，b ＝5，则双曲线C 的方程为x 24－y 25＝1.(2)∵|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝22，且|PQ |＝|PF 2|， ∴|F 1Q |＝|F 1P |＋|PF 2|＝2 2.∴Ω为以F 1(－1，0)为圆心，22为半径的圆. ∵|BF 1|＝|BF 2|＝2，|F 1F 2|＝2，∴BF 1⊥BF 2，故|MN |＝2|F 1M |2－|BF 1|2＝2（22）2－（2）2＝2 6. 答案 (1)B (2)2 6 热点二 圆锥曲线的几何性质【例2】 (1)(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( ) A. 2B.2C.322D.2 2(2)(2018·北京卷改编)已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，双曲线N ：x 2m 2－y 2n2＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________.解析 (1)法一 由离心率e ＝c a＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.(2)设椭圆的右焦点为F (c ，0)，双曲线N 的渐近线与椭圆M 在第一象限内的交点为A ， 由题意可知A ⎝ ⎛⎭⎪⎫c2，3c 2，由点A 在椭圆M 上得，c 24a 2＋3c 24b 2＝1，∴b 2c 2＋3a 2c 2＝4a 2b 2，∵b 2＝a 2－c 2，∴(a 2－c 2)c 2＋3a 2c 2＝4a 2(a 2－c 2)，则4a 4－8a 2c 2＋c 4＝0，e 4－8e 2＋4＝0，∴e 2＝4＋23(舍)，e 2＝4－2 3.由0<e <1，得e ＝3－1. 答案 (1)D (2)3－1探究提高 1.分析圆锥曲线中a ，b ，c ，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键. 2.确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式.建立关于a ，b ，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3.求双曲线渐近线方程关键在于求b a 或ab的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到.【训练2】 (1)(2018·成都质检)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点E (0，t )(0<t <b ).已知动点P 在椭圆上，且点P ，E ，F 2不共线，若△PEF 2的周长的最小值为4b ，则椭圆C 的离心率为( ) A.32B.22C.12D.33(2)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右支与焦点为F 的抛物线x2＝2py (p ＞0)交于A ，B 两点，若|AF |＋|BF |＝4|OF |，则该双曲线的渐近线方程为________. 解析 (1)由椭圆的定义及对称性，△PEF 2的周长的最小值为2a .∴2a ＝4b ，a ＝2b ，则c ＝a 2－b 2＝3b ，则椭圆C 的离心率e ＝c a ＝32.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立方程：⎩⎪⎨⎪⎧x 2a －y 2b ＝1，x 2＝2py ，消去x 得a 2y 2－2pb 2y ＋a 2b 2＝0，由根与系数的关系得y 1＋y 2＝2b2a2p ，又∵|AF |＋|BF |＝4|OF |，∴y 1＋p 2＋y 2＋p 2＝4×p2，即y 1＋y 2＝p ，∴2b 2a 2p ＝p ，即b 2a 2＝12b a ＝22. ∴双曲线渐近线方程为y ＝±22x . 答案 (1)A (2)y ＝±22x 热点三 直线与圆锥曲线考法1 直线与圆锥曲线的位置关系【例3－1】 (2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其它公共点？说明理由.解 (1)如图，由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ， 又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2p ，t ， 故直线ON 的方程为y ＝ptx ，将其代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝2t 2p，因此H ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 2p ，2t .所以N 为OH 的中点，即|OH ||ON |＝2.(2)直线MH 与C 除H 以外没有其它公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p 2t x ，即x ＝2tp(y －t ).代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其它公共点.探究提高 1.本题第(1)问求解的关键是求点N ，H 的坐标.而第(2)问的关键是将直线MH 的方程与曲线C 联立，根据方程组的解的个数进行判断.2.判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0.并且解题时注意应用根与系数的关系及设而不求、整体代换的技巧. 【训练3】 (2018·潍坊三模)已知M 为圆O ：x 2＋y 2＝1上一动点，过点M 作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 延长至点P ，使得|PA |＝2，记点P 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋m 与圆O 相切，且与曲线C 交于D ，E 两点，直线l 1平行于l 且与曲线C 相切于点Q (O ，Q 位于l 两侧)，S △ODE S △QDE ＝23，求k 的值. 解 (1)设P (x ，y )，A (x 0，0)，B (0，y 0)，则M (x 0，y 0)且x 20＋y 20＝1， 由题意知OAMB 为矩形，∴|AB |＝|OM |＝1， ∴AP →＝2BA →，即(x －x 0，y )＝2(x 0，－y 0)， ∴x 0＝x3，y 0＝－y 2，则x 29＋y24＝1，故曲线C 的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设l 1：y ＝kx ＋n ，∵l 与圆O 相切， ∴圆心O 到l 的距离d 1＝|m |k 2＋1＝1，得m 2＝k 2＋1，① ∵l 1与l 距离d 2＝|m －n |k 2＋1，② ∵S △ODE S △QDE ＝12|DE |·d 112|DE |·d 2＝d 1d 2＝|m ||m －n |＝23， ∴m ＝－2n 或m ＝25n ，又O，Q 位于l 两侧，∴m ＝25n ，③联立⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ＋n ，消去y 整理得(9k 2＋4)x 2＋18knx ＋9n 2－36＝0， 由Δ＝0，得n 2＝9k 2＋4，④ 由①③④得k ＝±31111.考法2 有关弦的中点、弦长问题【例3－2】 (2018·全国Ⅲ卷)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C ：x 24＋y 23＝1交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M (1，m )(m >0). (1)证明：k <－12；(2)设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP →＋FA →＋FB →＝0.证明：|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列，并求该数列的公差.(1)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214＋y 213＝1，x 224＋y 223＝1. 两式相减，并由y 1－y 2x 1－x 2＝k 得x 1＋x 24＋y 1＋y 23·k ＝0. 由题设知x 1＋x 22＝1，y 1＋y 22＝m ，于是k ＝－34m.①由于点M (1，m )(m >0)在椭圆x 24＋y 23＝1内，∴14＋m 23<1，解得0<m <32，故k <－12. (2)解 由题意得F (1，0).设P (x 3，y 3)，则(x 3－1，y 3)＋(x 1－1，y 1)＋(x 2－1，y 2)＝(0，0). 由(1)及题设得x 3＝3－(x 1＋x 2)＝1，y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m <0.又点P 在C 上，所以m ＝34，从而P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，|FP →|＝32. 于是|FA →|＝（x 1－1）2＋y 21＝（x 1－1）2＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝2－x 12. 同理|FB →|＝2－x 22.所以|FA →|＋|FB →|＝4－12(x 1＋x 2)＝3.故2|FP →|＝|FA →|＋|FB →|， 即|FA →|，|FP →|，|FB →|成等差数列. 设该数列的公差为d ，则 2|d |＝||FB →|－|FA →||＝12|x 1－x 2|＝12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2.② 将m ＝34代入①得k ＝－1.所以l 的方程为y ＝－x ＋74，代入C 的方程，并整理得7x 2－14x ＋14＝0.故x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝128，代入②解得|d |＝32128.所以该数列的公差为32128或－32128.探究提高 1.在涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系与弦长公式|AB |＝1＋k2|x 2－x 1|，设而不求计算弦长；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解，以简化运算.2.对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件Δ>0，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交.【训练4】 (2018·天津卷)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，点A 的坐标为(b ，0)，且|FB |·|AB |＝6 2. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k >0)与椭圆在第一象限的交点为P ，且l 与直线AB 交于点Q .若|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ (O 为原点)，求k 的值. 解 (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知有c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b . 由已知可得，|FB |＝a ，|AB |＝2b ， 由|FB |·|AB |＝62， 可得ab ＝6，从而a ＝3，b ＝2.所以，椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点Q 的坐标为(x 2，y 2). 由已知有y 1>y 2>0， 故|PQ |sin ∠AOQ ＝y 1－y 2.又因为|AQ |＝y 2sin ∠OAB ，而∠OAB ＝π4，故|AQ |＝2y 2.由|AQ ||PQ |＝524sin ∠AOQ ，可得5y 1＝9y 2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 29＋y 24＝1，消去x ，可得y 1＝6k9k 2＋4. 易知直线AB 的方程为x ＋y －2＝0， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x ＋y －2＝0，消去x ，可得y 2＝2kk ＋1.代入5y 1＝9y 2，可得5(k ＋1)＝39k 2＋4， 将等式两边平方，整理得56k 2－50k ＋11＝0， 解得k ＝12或k ＝1128.所以，k 的值为12或1128.1.椭圆、双曲线的方程形式上可统一为Ax 2＋By 2＝1，其中A ，B 是不等的常数，A ＞B ＞0时，表示焦点在y 轴上的椭圆；B ＞A ＞0时，表示焦点在x 轴上的椭圆；AB ＜0时表示双曲线. 2.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.3.求双曲线、椭圆的离心率的方法：法一：直接求出a ，c ，计算e ＝ca；法二：根据已知条件确定a ，b ，c 的等量关系，然后把b 用a ，c 代换，求c a.4.弦长公式对于直线与椭圆的相交、直线与双曲线的相交、直线与抛物线的相交都是通用的，此公式可以记忆，也可以在解题的过程中，利用两点间的距离公式推导.5.求中点弦的直线方程的常用方法(1)点差法，设弦的两端点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，分别代入圆锥曲线方程，两式作差，式中含有x 1＋x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2x 1－x 2三个量，则建立了圆锥曲线的弦的中点坐标与弦所在直线的斜率之间的关系，借助弦的中点坐标即可求得斜率；(2)根与系数的关系，联立直线与圆锥曲线的方程，化为一元二次方程，用根与系数的关系求解.一、选择题1.(2018·合肥调研)已知双曲线C ：y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线与直线2x －y ＋1＝0垂直，则双曲线C 的离心率为( ) A.2B.2C. 3D. 5解析 依题意，2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a b ＝－1，∴b ＝2a .则e 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝5，∴e ＝ 5. 答案 D2.(2018·南昌质检)已知抛物线C ：x 2＝4y ，过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线的两条切线PA ，PB ，P 为两切线的交点，O 为坐标原点，若PA →·PB →＝0，则直线OA 与OB 的斜率之积为( ) A.－14B.－3C.－18D.－4解析 设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ，x 2A 4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ，x 2B 4，由x 2＝4y ，得y ′＝x 2.所以k AP ＝x A 2，k BP ＝x B 2，由PA →·PB →＝0，得PA ⊥PB .∴x A 2·x B2＝－1，则x A ·x B ＝－4，又k OA ·k OB ＝x 2A 4x A ·x 2B4x B ＝x A x B 16＝－14.答案 A3.(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( ) A.13B.12C.23D.32解析 由c 2＝a 2＋b 2＝4得c ＝2，所以F (2，0)， 将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，所以|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32.答案 D4.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，O 为坐标原点，A 为椭圆上一点，∠F 1AF 2＝π2，连接AF 2交y 轴于M 点，若3|OM |＝|OF 2|，则该椭圆的离心率为( )A.13B.33C.58D.104解析 设|AF 1|＝m ，|AF 2|＝n . 如图所示，由题意可得 ∵Rt △F 1AF 2∽Rt △MOF 2.∴|AF 1||AF 2|＝|OM ||OF 2|＝13，则n ＝3m .又|AF 1|＋|AF 2|＝m ＋n ＝2a ， ∴m ＝a 2，n ＝32a .在Rt △F 1AF 2中，m 2＋n 2＝4c 2，即104a 2＝4c 2，∴e 2＝c 2a 2＝1016，故e ＝104.答案 D5.(2018·石家庄调研)已知F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，P 为双曲线上一点，PF 2与x 轴垂直，∠PF 1F 2＝30°，且虚轴长为22，则双曲线的标准方程为( ) A.x 24－y 22＝1 B.x 23－y 22＝1 C.x 24－y 28＝1D.x 2－y 22＝1解析 如图，不妨设点P (x 0，y 0)在第一象限，则PF 2⊥x 轴， 在Rt △PF 1F 2中，∠PF 1F 2＝30°，|F 1F 2|＝2c ， 则|PF 2|＝23c 3，|PF 1|＝43c3，又因为|PF 1|－|PF 2|＝23c3＝2a ，即c ＝3a .又2b ＝22，知b ＝2，且c 2－a 2＝2，从而得a 2＝1，c 2＝3. 故双曲线的标准方程为x 2－y 22＝1.答案 D 二、填空题6.(2018·北京卷)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴.若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________.解析 由题意知，a >0，对于y 2＝4ax ，当x ＝1时，y ＝±2a ，由于l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，所以4a ＝4，所以a ＝1，所以抛物线的焦点坐标为(1，0). 答案 (1，0)7.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________. 解析 不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ，所以|bc |a 2＋b 2＝b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ， 所以双曲线的离心率e ＝c a＝2. 答案 28.设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，A 为抛物线上第一象限内一点，满足|AF |＝2；已知P 为抛物线准线上任一点，当|PA |＋|PF |取得最小值时，△PAF 的外接圆半径为________. 解析 由x 2＝4y ，知p ＝2，∴焦点F (0，1)，准线y ＝－1. 依题意，设A (x 0，y 0)(x 0>0)，由定义，得|AF |＝y 0＋p2，则y 0＝2－1＝1，∴AF ⊥y 轴.易知当P (1，－1)时，|PA |＋|PF |最小，∴|PF |＝12＋（－1－1）2＝ 5. 由正弦定理，2R ＝|PF |sin A ＝525＝52，因此△PAF 的外接圆半径R ＝54.答案 54三、解答题9.(2018·全国Ⅱ卷)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k >0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8. (1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程.解 (1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k >0).设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16>0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6.因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10.(2017·北京卷)已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2，0)，B (2，0)，焦点在x 轴上，离心率为32. (1)求椭圆C 的方程；(2)点D 为x 轴上一点，过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.(1)解 设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0).由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c a ＝32，解得c ＝ 3.所以b 2＝a 2－c 2＝1.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)证明 设M (m ，n )，则D (m ，0)，N (m ，－n ). 由题设知m ≠±2，且n ≠0.直线AM 的斜率k AM ＝nm ＋2，故直线DE 的斜率k DE ＝－m ＋2n. 所以直线DE 的方程为y ＝－m ＋2n(x －m ). 直线BN 的方程为y ＝n2－m(x －2).联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－m ＋2n （x －m ），y ＝n 2－m （x －2），解得点E 的纵坐标y E ＝－n （4－m 2）4－m 2＋n2.由点M 在椭圆C 上，得4－m 2＝4n 2， 所以y E ＝－45n .又S △BDE ＝12|BD |·|y E |＝25|BD |·|n |，S △BDN ＝12|BD |·|n |.所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.11.设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a ＋y 2b＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 是椭圆C 上一点，且MF 2与x轴垂直，直线MF 1在y 轴上的截距为34，且|MF 2|＝35|MF 1|.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋t 与椭圆C 交于E 、F 两点，且直线l 与圆7x 2＋7y 2＝12相切，求OE →·OF →的值(O 为坐标原点).解 (1)设直线MF 1与y 轴的交点为N ，则|ON |＝34.∵MF 2⊥x 轴，∴在△F 1F 2M 中，ON 綉12MF 2，则|MF 2|＝32.又|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，|MF 2|＝35|MF 1|，∴|MF 2|＝34a ＝32，∴a ＝2.又|MF 2|＝b 2a，∴b 2＝3.∴椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 23＝1，消y 得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0.∴x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－123＋4k2，Δ＝(8kt )2－4(3＋4k 2)(4t 2－12)>0，得t 2<3＋4k 2，(*) 则OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝（1＋k 2）（4t 2－12）3＋4k 2－8k 2t 23＋4k 2＋t 2（3＋4k 2）3＋4k 2＝7t 2－12（1＋k 2）3＋4k2. 又直线l 与圆7x 2＋7y 2＝12相切， ∴|t |1＋k2＝127，则1＋k 2＝712t 2满足(*)式， 故OE →·OF →＝7t 2－12×712t 23＋4k 2＝0.。

第二讲 椭圆、双曲线、抛物线配套作业一、选择题 1．若椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为12，则实数m 等于(A )A .32或83B .32C .83D .38或23解析：若m ＞2，则m －2m ＝14，解得m ＝83.若0＜m ＜2，则2－m 2＝14，解得m ＝32.2. (2015·新课标Ⅱ卷)过三点A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN|＝(C )A ．2 6B ．8C ．4 6D ．10解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则⎩⎪⎨⎪⎧D ＋3E ＋F ＋10＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，D －7E ＋F ＋50＝0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2，E ＝4，F ＝－20.∴圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0. 令x ＝0，得y ＝－2＋26或y ＝－2－26，∴ M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)， ∴ |MN|＝46，故选C .3．(2015·福建卷)若双曲线E ：x 29－y216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于(B )A ．11B ．9C ．5D ．3解析：由双曲线定义得|||PF 1|－|PF 2|＝2a ＝6，即||3－|PF 2|＝6，解得|PF 2|＝9，故选B .4．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，那么点P 到点Q(2，－1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为(A )A .⎝⎛⎭⎪⎫14，－1 B .⎝⎛⎭⎪⎫14，1 C ．(1，2) D ．(1，－2)解析：如图，抛物线的焦点F(1，0)，准线方程l ：x ＝－1，点P 到准线的距离为|PD|.由抛物线的定义知|PF|＝|PD|，显然D ，P ，Q 共线时，|PD|＋|PQ|最小，即|PF|＋|PQ|最小．此时y P ＝－1，代入抛物线方程知x p ＝14，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，－1.5. (2014·江西卷)过双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1的右顶点作x 轴的垂线与C 的一条渐近线相交于A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为(A )A .x 24－y 212＝1 B .x 27－y29＝1 C .x 28－y 28＝1 D .x 212－y24＝1 解析：因为C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ba x ，所以A(a ，b)或A(a ，－b)．因此OA ＝c＝4，从而三角形OAC 为正三角形，即tan 60°＝b a ，a ＝2，b ＝23，双曲线C 的方程为x24－y212＝1.6．(2014·大纲卷)双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C 的焦距等于(C )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 2解析：由已知可知渐近线的斜率k ＝b a ＝3c 2－3且c a ＝2，即b 2a 2＝3c 2－3且1＋b 2a 2＝4解得c2－3＝1，所以c ＝2，2c ＝4.故选C .二、填空题7．(2015·北京卷)已知(2，0)是双曲线x 2－y2b2＝1(b ＞0)的一个焦点，则b ＝________．解析：由题意得，双曲线焦点在x 轴上，且c ＝2.根据双曲线的标准方程，可知a 2＝1.又c 2＝a 2＋b 2，所以b 2＝3.又b>0，所以b ＝ 3.答案：38．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为________．解析：由y 2＝4x ，可求得焦点坐标为F(1，0)，因为倾斜角为60°，所以直线的斜率为k ＝tan 60°＝3，利用点斜式，直线的方程为y ＝3x －3，将直线和曲线方程联立，⎩⎨⎧y ＝3x －3，y 2＝4x⇒A(3，23)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－233，因此S △OAF ＝12×OF ×y A ＝12×1×23＝ 3.答案：3三、解答题9．已知圆O′过定点A(0，p)(p ＞0)，圆心O′在抛物线C ：x 2＝2py 上运动，MN 为圆O′在x 轴上所截得的弦．(1)当点O′运动时，|MN|是否有变化？并证明你的结论．(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项且M ，N 在原点O 的右侧时，试判断抛物线C 的准线与圆O′是相交、相切还是相离，并说明理由．解析：(1)设O′(x 0，y 0)，则x 20＝2py 0(y 0＞0)，则⊙O′的半径|O ′A|＝x 20＋（y 0－p ）2，⊙O ′的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝x 20＋(y 0－p)2.令y ＝0，并把x 20＝2py 0代入得x 2－2x 0x ＋x 20－p 2＝0.解得x 1＝x 0－p ，x 2＝x 0＋p ，∴|MN|＝|x 1－x 2|＝2p ，∴|MN|不变化，为定值2p.(2)设MN 的中点为B ，则|OM|＋|ON|＝2|OB|且O ′B ⊥MN. 又∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项， ∴|OM|＋|ON|＝2|OA|，可得B(p ，0)，O ′⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2.∴|O ′A|＝p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2－p 2＝52p. 即圆O′的半径为52p. 又∵点O′到抛物线C 的准线的距离为p 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝p ＜52p.∴圆O′与抛物线C 的准线相交．10．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1，0)，且点P(0，1)在C 1上．(1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．解析：(1)因为椭圆C 1的左焦点为F 1(－1，0)，所以c ＝1.将点P(0，1)代入椭圆方程x2a 2＋y 2b 2＝1，得1b2＝1，即b ＝1，所以a 2＝b 2＋c 2＝2.所以椭圆C 1的方程为x 22＋y 2＝1.(2)直线l 的斜率显然存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得： (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－2＝0，因为直线l 与椭圆C 1相切，所以Δ1＝16k 2m 2－4(1＋2k 2)(2m 2－2)＝0， 整理得2k 2－m 2＋1＝0.①由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理得： k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0. 因为直线l 与抛物线C 2相切， 所以Δ2＝(2km －4)2－4k 2m 2＝0， 整理得km ＝1.②综合①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝22，m ＝ 2.或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－22，m ＝－ 2. 所以直线l 的方程为： y ＝22x ＋2或y ＝－22x － 2.11．如图，等边三角形OAB 的边长为83，且其三个顶点均在抛物线E ：x 2＝2py(p ＞0)上．(1)求抛物线E 的方程；(2)设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线y ＝－1相交于点Q.证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点．解析：(1)依题意，|OB|＝83，∠BOy ＝30°. 设B(x ，y)，则x ＝|OB|sin 30°＝43，y ＝|OB|cos 30°＝12.因为点B(43，12)在x 2＝2py 上， 所以(43)2＝2p×12，解得p ＝2. 故抛物线E 的方程为x 2＝4y.(2)证法一 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x.设P(x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1. 设M(0，y 1)，令MP →·MQ →＝0对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的x 0，y 0恒成立．由于MP →＝(x 0，y 0－y 1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1－y 1， 由MP →·MQ →＝0，得x 20－42－y 0－y 0y 1＋y 1＋y 21＝0，即(y 21＋y 1－2)＋(1－y 1)y 0＝0.①由于①式对满足y 0＝14x 20(x 0≠0)的y 0恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－y 1＝0，y 21＋y 1－2＝0，解得y 1＝1.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0，1)．证法二 由(1)知y ＝14x 2，y ′＝12x ，设P(x 0，y 0)，则x 0≠0，y 0＝14x 20，且l 的方程为y－y 0＝12x 0(x －x 0)，即y ＝12x 0x －14x 20.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 0x －14x 20，y ＝－1， 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 20－42x 0，y ＝－1.所以Q 为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－1.取x 0＝2，此时P(2，1)，Q(0，－1)，以PQ 为直径的圆为(x －1)2＋y 2＝2，交y 轴于点M 1(0，1)，M 2(0，－1)；取x 0＝1，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－1，以PQ 为直径的圆为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋382＝12564，交y 轴于点M 3(0，1)，M 4⎝⎛⎭⎪⎫0，－74.故若满足条件的点M 存在，只能是M(0，1)． 以下证明点M(0，1)就是所要求的点．因为MP →＝(x 0，y 0－1)，MQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－42x 0，－2，所以MP →·MQ →＝x 20－42－2y 0＋2＝2y 0－2－2y 0＋2＝0.故以PQ 为直径的圆恒过y 轴上的定点M(0，1)．。

（新课标）高考数学二轮复习专题五解析几何第2讲椭圆、双曲线、抛物线练习文新人教A 版第2讲 椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1．(2019·高考北京卷)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，则( )A ．a 2＝2b 2B ．3a 2＝4b 2C ．a ＝2bD ．3a ＝4b解析：选B.由题意得，c a ＝12，所以c 2a 2＝14，又a 2＝b 2＋c 2，所以a 2－b 2a 2＝14，b 2a 2＝34，所以4b2＝3a 2.故选B.2．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )A ．1 B. 2 C ．2D ．2 2解析：选D.设a ，b ，c 分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，12×2cb＝1⇒bc ＝1，2a ＝2b 2＋c 2≥22bc ＝22，当且仅当b ＝c ＝1时，等号成立．故选D.3．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则|PF |的最小值为( ) A ．2 B.12C.14D.18解析：选D.由题意知x 2＝12y ，则F (0，18)，设P (x 0，2x 20)，则|PF |＝x 20＋（2x 20－18）2＝4x 40＋12x 20＋164＝2x 20＋18，所以当x 20＝0时，|PF |min ＝18.4．(2019·高考天津卷)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|AB |＝4|OF |(O 为原点)，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C. 2D. 5解析：选D.由题意知F (1，0)，l ：x ＝－1，双曲线的渐近线方程为y ＝±b ax ，则|AB |＝4|OF |＝4，而|AB |＝2×b a ，所以b a ＝2，所以e ＝c a ＝a 2＋b 2a ＝a 2＋4a 2a＝5，故选D.5．(一题多解)(2019·高考全国卷Ⅱ)设F 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2＋y 2＝a 2交于P ，Q 两点．若|PQ |＝|OF |，则C 的离心率为( )A. 2B. 3 C ．2D. 5解析：选A.通解：依题意，记F (c ，0)，则以OF 为直径的圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24，将圆⎝ ⎛⎭⎪⎫x －c 22＋y 2＝c 24与圆x 2＋y 2＝a 2的方程相减得cx ＝a 2，即x ＝a 2c ，所以点P ，Q 的横坐标均为a 2c .由于PQ 是圆x 2＋y 2＝a 2的一条弦，因此⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|PQ |22＝a 2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c 22＝a 2，即c 24＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－a 2c 2＝a 2b2c2，所以c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A. 优解一：记F (c ，0)．连接OP ，PF ，则OP ⊥PF ，所以S △OPF ＝12|OP |·|PF |＝12|OF |·12|PQ |，即12a ·c 2－a 2＝12c ·12c ，即c 2＝2ab ，即a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2＝0，所以a ＝b ，因此C 的离心率e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝2，故选A.优解二：记F (c ，0)．依题意，PQ 是以OF 为直径的圆的一条弦，因此OF 垂直平分PQ .又|PQ |＝|OF |，因此PQ 是该圆与OF 垂直的直径，所以∠FOP ＝45°，点P 的横坐标为c2，纵坐标的绝对值为c 2，于是有2×c 2＝a ，即e ＝ca＝2，即C 的离心率为2，故选A.6．已知直线l ：y ＝kx ＋2过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0，b )，且与圆x 2＋y 2＝8交于点M ，N ，若|MN |≥25，则双曲线的离心率e 的取值范围是( )A ．(1，6]B ．(1，62] C ．[62，＋∞) D ．[6，＋∞)解析：选C.设圆心到直线l 的距离为d (d >0)，因为|MN |≥25，所以28－d 2≥25，即0<d ≤ 3.又d ＝21＋k2，所以21＋k2≤3，解得|k |≥33.由直线l ：y ＝kx ＋2过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点F 和虚轴的上端点B (0，b )，得|k |＝b c .所以b c ≥33，即b 2c 2≥13，所以c 2－a 2c 2≥13，即1－1e 2≥13，所以e ≥62，即双曲线的离心率e 的取值范围是[62，＋∞)．故选C.二、填空题7．已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形的ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为______．解析：根据对称性，不妨设A 在第一象限，A (x ，y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝b 2x ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4b 2＋4，y ＝4b 2＋4·b 2，所以xy ＝16b 2＋4·b 2＝b 2⇒b 2＝12，故双曲线的方程为x 24－y212＝1.答案：x 24－y 212＝1 8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的准线l ，过M (1，0)且斜率为3的直线与l 相交于点A ，与C 的一个交点为点B ，若AM →＝MB →，则p ＝________．解析：设直线AB ：y ＝3x －3，代入y 2＝2px 得：3x 2＋(－6－2p )x ＋3＝0， 又因为AM →＝MB →，即M 为A ，B 的中点，所以x B ＋(－p 2)＝2，即x B ＝2＋p2，得p 2＋4p －12＝0，解得p ＝2，p ＝－6(舍去)． 答案：29．(2019·昆明市质量检测)已知抛物线y 2＝4x 上一点P 到准线的距离为d 1，到直线l ：4x －3y ＋11＝0的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________．解析：如图，设抛物线的准线为m ，焦点为F ，分别过点P ，F 作PA ⊥m ，PM ⊥l ，FN ⊥l ，垂足分别为A ，M ，N .连接PF ，因为点P 在抛物线上，所以|PA |＝|PF |，所以(d 1＋d 2)min ＝(|PF |＋|PM |)min ＝|FN |.点F (1，0)到直线l 的距离|FN |＝|4＋11|42＋（－3）2＝3，所以(d 1＋d 2)min ＝3.答案：3 三、解答题10．(2019·长春市质量监测(二))已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的中心是坐标原点O ，左、右焦点分别为F 1，F 2，设P 是椭圆C 上一点，满足PF 2⊥x 轴，|PF 2|＝12，椭圆C 的离心率为32. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的左焦点且倾斜角为45°的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)由题意知，离心率e ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝32，|PF 2|＝b 2a ＝12，得a ＝2，b ＝1，所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(2)由条件可知F 1(－3，0)，直线l ：y ＝x ＋3，联立直线l 和椭圆C 的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3x 24＋y 2＝1，消去y 得5x 2＋83x ＋8＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－835，x 1·x 2＝85，所以|y 1－y 2|＝|x 1－x 2|＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝425，所以S △AOB ＝12·|y 1－y 2|·|OF 1|＝265. 11．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解：设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．(1)由题设得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0，故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得x 1＋x 2＝52. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12（t －1）9.从而－12（t －1）9＝52，得t ＝－78.所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得y 2－2y ＋2t ＝0. 所以y 1＋y 2＝2.从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3. 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13.故|AB |＝4133.12．已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆C 的离心率为12，其中一个顶点是抛物线x 2＝－43y 的焦点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切于点M ，求直线l 的方程和点M 的坐标．解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意得b ＝3，c a ＝12，解得a ＝2，c ＝1.故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)因为过点P (2，1)的直线l 与椭圆C 在第一象限相切，所以直线l 的斜率存在， 故可设直线l 的方程为y ＝k (x －2)＋1(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k （x －2）＋1，得(3＋4k 2)x 2－8k (2k －1)x ＋16k 2－16k －8＝0.① 因为直线l 与椭圆C 相切，所以Δ＝[－8k (2k －1)]2－4(3＋4k 2)(16k 2－16k －8)＝0. 整理，得2k ＋1＝0， 解得k ＝－12.所以直线l 的方程为y ＝－12(x －2)＋1＝－12x ＋2.将k ＝－12代入①式，可以解得M 点的横坐标为1，故切点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32.。

专题强化练十三 椭圆、双曲线、抛物线一、选择题1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 24＝1的一个焦点为(2，0)，则C 的离心率为( )A.13B.12C.22D.223 解析：不妨设a ＞0，由焦点F (2，0)，知c ＝2. 所以a 2＝4＋c 2＝8，a ＝2 2.故离心率e ＝c a ＝222＝22.答案：C2．(2018·济南质检)已知抛物线C ：x 2＝4y ，过抛物线C 上两点A ，B 分别作抛物线的两条切线PA ，PB ，P 为两切线的交点，O 为坐标原点，若PA →·PB →＝0，则直线OA 与OB 的斜率之积为( )A ．－14B ．－3C ．－18 D ．－4解析：由x 2＝4y ，得y ′＝x2.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫x A ，x 2A 4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x B ，x 2B 4. 由PA →·PB →＝0，得PA ⊥PB .所以x A 2·x B2＝－1，则x A ·x B ＝－4，又k OA ·k OB ＝x 2A 4x A ·x 2B4x B ＝x A x B 16＝－14.答案：A3．(2018·河南郑州二模)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为23，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为12，则C 的方程为( )A.x 23＋y 2＝1 B.x 23＋y 22＝1 C.x 29＋y 24＝1 D.x 29＋y 25＝1解析：由题意可得c a ＝23，4a ＝12，解得a ＝3，c ＝2，则b ＝32－22＝5，所以所求椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1.答案：D4．(2017·全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32解析：由c 2＝a 2＋b 2＝4，得c ＝2，所以F (2，0)． 将x ＝2代入x 2－y 23＝1，得y ＝±3，则|PF |＝3.又A 的坐标是(1，3)，故△APF 的面积为12×3×(2－1)＝32.答案：D5．设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 点且倾斜角为π4的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，2，则该抛物线的方程为( )A ．y 2＝2x B ．y 2＝4x C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：易求直线l 的方程y ＝x －p2，① 又y 2＝2px ，②联立①②，得x 2－3px ＋p 24＝0不妨设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 所以x 1＋x 2＝3p ，x 1x 2＝p 24，又点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，2在以AB 为直径的圆上．所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p2，y 1－2·(x 2＋p2，y 2－2)＝0.则2x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＋2p ＋p 22＝0，从而p 2－4p ＋4＝0，p ＝2，故所求抛物线方程为y 2＝4x . 答案：B 二、填空题6．(2018·北京卷)已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．解析：对于y 2＝4ax ，令x ＝1，得y ＝±2a ， 由于l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4， 所以4a ＝4，则a ＝1. 故抛物线的焦点F (1，0)． 答案：(1，0)7．(2018·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点F (c ，0)到一条渐近线的距离为32c ，则其离心率的值是________． 解析：不妨设双曲线的一条渐近线方程为y ＝bax ， 所以|bc |a 2＋b2＝b ＝32c ，所以b 2＝c 2－a 2＝34c 2，得c ＝2a ， 所以双曲线的离心率e ＝c a＝2. 答案：28．抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，P (x 1，y 1)(x 1＞1)、Q (x 2，y 2)是C 上不同的两点，若△PFQ 是以F 为顶点的等腰直角三角形，则|PF |＝________．解析：Rt △PFQ 是以F 为顶点的等腰直角三角形，由抛物线的定义及对称性，|FH |＝|PH |， 又x 1＝y 214＞1，知，y 1＞2.所以y 214－1＝y 1，解得y 1＝2＋22，故|PF |＝2·|PH |＝4＋2 2. 答案：4＋2 2三、解答题9．(2018·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB |＝8.(1)求l 的方程；(2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．解：(1)由题意得F (1，0)，l 的方程为y ＝k (x －1)(k ＞0)． 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），y 2＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0. Δ＝16k 2＋16＞0，故x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝(x 1＋1)＋(x 2＋1)＝4k 2＋4k2.由题设知4k 2＋4k2＝8，解得k ＝－1(舍去)，k ＝1.因此l 的方程为y ＝x －1.(2)由(1)得AB 的中点坐标为(3，2)，所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，即y ＝－x ＋5.设所求圆的圆心坐标为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－x 0＋5，（x 0＋1）2＝（y 0－x 0＋1）22＋16. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝11，y 0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144.10．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，右焦点为F (1，0)．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l 的方程．解：(1) 依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，a 2＝b 2＋1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1.所以椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 22＋y 2＝1，y ＝k （x －1），消去y 得(1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2(k 2－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2，x 1·x 2＝2（k 2－1）1＋2k 2. 所以y 1·y 2＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k21＋2k2.因为OM ⊥ON ，所以OM →·ON →＝0.所以x 1·x 2＋y 1·y 2＝k 2－21＋2k2＝0，所以k ＝±2. 故直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．11．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，M 是椭圆C 上一点，且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1在y 轴上的截距为34，且|MF 2|＝35|MF 1|.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线l ：y ＝kx ＋t 与椭圆C 交于E 、F 两点，且直线l 与圆7x 2＋7y 2＝12相切，求OE →·OF →的值(O 为坐标原点)．解：(1)设直线MF 1与y 轴的交点为N ，则|ON |＝34.因为MF 2⊥x 轴，所以在△F 1F 2M 中，ON 綊12MF 2，则|MF 2|＝32.又|MF 2|＋|MF 1|＝2a ，|MF 2|＝35|MF 1|，所以|MF 2|＝34a ＝32，所以a ＝2.又|MF 2|＝b 2a，所以b 2＝3.所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)设E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 24＋y 23＝1，消y 得(3＋4k 2)x 2＋8ktx ＋4t 2－12＝0.所以x 1＋x 2＝－8kt 3＋4k 2，x 1x 2＝4t 2－123＋4k2，Δ＝(8kt )2－4(3＋4k 2)(4t 2－12)＞0，得t 2＜3＋4k 2，(*) 则OE →·OF →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋t )(kx 2＋t )＝(1＋k 2)x 1x 2＋kt (x 1＋x 2)＋t 2＝（1＋k 2）（4t 2－12）3＋4k 2－8k 2t 23＋4k 2＋t 2（3＋4k 2）3＋4k 2＝7t 2－12（1＋k 2）3＋4k2. 又直线l 与圆7x 2＋7y 2＝12相切， 所以|t |1＋k2＝127，则1＋k 2＝712t 2满足(*)式， 故OE →·OF →＝7t 2－12×712t23＋4k 2＝0.。

2019高考数学理二轮冲关演练-椭圆、双曲线、抛物线(本栏目内容，在学生用书以独立形式分册装订！)【一】选择题1、抛物线的顶点在坐标原点，焦点与双曲线y 25－x 24＝1的一个焦点重合，那么该抛物线的标准方程可能是()A 、x 2＝4yB 、x 2＝－4yC 、y 2＝－12xD 、x 2＝－12y 解析：由题意得c ＝5＋4＝3，∴抛物线的焦点坐标为(0,3)或(0，－3)，∴该抛物线的标准方程为x 2＝12y 或x 2＝－12y ，应选D. 答案：D2、假设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1过抛物线y 2＝8x 的焦点，且与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，那么该椭圆的方程是()A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1 C.x 22＋y 24＝1D 、x 2＋y 23＝1解析：抛物线y 2＝8x 的焦点坐标为(2,0)，那么依题意知椭圆右顶点的坐标为(2,0)，又椭圆与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，∴a ＝2，c ＝2，∵c 2＝a 2－b 2，∴b 2＝2，∴椭圆的方程为x 24＋y 22＝1.答案：A3、(2017·辽宁卷)F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，那么线段AB 的中点到y 轴的距离为()A.34 B 、1 C.54 D.74 解析：∵|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋12＝3，∴x A ＋x B ＝52.∴线段AB 的中点到y 轴的距离为x A ＋x B 2＝54. 答案：C4、双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线l ：2x ＋y ＋1＝0垂直，那么此双曲线的离心率是()A.52B.32 C 、4 3 D. 5解析：由题知意，双曲线的渐近线方程为kx 2－y 2＝0，即y ＝±kx .由题知直线l 的斜率为－2，那么可知k ＝14，代入双曲线方程kx 2－y 2＝1，得x 24－y 2＝1，于是，a 2＝4，b 2＝1，从而c ＝a 2＋b 2＝5，所以e ＝52.答案：A5、(2017·全国新课标卷)设圆锥曲线Γ的两个焦点分别为F 1，F 2，假设曲线Γ上存在点P 满足|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，那么曲线Γ的离心率等于()A.12或32B.23或2C.12或2D.23或32解析：由|PF 1|∶|F 1F 2|∶|PF 2|＝4∶3∶2，可设|PF 1|＝4k ，|F 1F 2|＝3k ，|PF 2|＝2k ，假设圆锥曲线为椭圆，那么2a ＝6k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝12.假设圆锥曲线为双曲线，那么2a ＝4k －2k ＝2k,2c ＝3k ，e ＝c a ＝32. 答案：A6、从抛物线y 2＝8x 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且|PM |＝5，设抛物线的焦点为F ，那么△PFM 的面积为()A 、5 6B 、6 5C 、10 2D 、5 2解析：抛物线的焦点F (2,0)，准线方程为x ＝－2.设P (m ，n )，那么|PM |＝m ＋2＝5，解得m ＝3.代入抛物线方程得n 2＝24，故|n |＝26，那么S △PFM ＝12|PM |·|n |＝12×5×26＝5 6.答案：A【二】填空题7、双曲线x 2a －y 22＝1的一个焦点坐标为(－3，0)，那么其渐近线方程为________、解析：由a ＋2＝3，可得a ＝1，∴双曲线方程为x 2－y 22＝1，∴其渐近线方程为x ±y2＝0，即y ＝±2x .故填y ＝±2x .答案：y ＝±2x8、经过点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫10，83，渐近线方程为y ＝±13x 的双曲线的方程为________、解析：设双曲线方程为x 2－9y 2＝λ，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫10，83 ∴λ＝36∴双曲线方程为x 236－y 24＝1. 答案：x 236－y 24＝19、双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点F 1，F 2，M 为双曲线上一点，且满足∠F 1MF 2＝90°，点M 到x 轴的距离为72，假设△F 1MF 2的面积为14，那么双曲线的渐近线方程为________、解析：由题意，得12·2c ·72＝14，所以c ＝4.又⎩⎪⎨⎪⎧||MF 1|－|MF 2||＝2a ，|MF 1|2＋|MF 2|2＝82，12·|MF 1|·|MF 2|＝14.所以a ＝2，b ＝14.所以渐近线方程为y ＝±7x . 答案：y ＝±7x . 【三】解答题10、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x 轴上、(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程、解析：(1)设抛物线C 的方程为y 2＝2px ，因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1，因此，抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)得焦点F 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，又直线OA 的斜率为22＝1，故与直线OA 垂直的直线的斜率为－1，因此，所求直线的方程是x＋y －12＝0.11、设F 1、F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左右焦点、(1)设椭圆C 上点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32到两点F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设点K 是椭圆C 上的动点，求线段KF 1的中点B 的轨迹方程、解析：(1)由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32在椭圆上，得32a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，又2a ＝4，所以椭圆C的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标分别为(－1,0)，(1,0)、(2)设KF 1的中点为B (x ，y )，那么点K 的坐标为(2x ＋1,2y )，把点K 的坐标代入椭圆方程x 24＋y 23＝1中， 得2x ＋124＋2y23＝1，所以线段KF 1的中点B 的轨迹方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y234＝1.12、设椭圆M ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率与双曲线x 2－y 2＝1的离心率互为倒数，且内切于圆x 2＋y 2＝4.(1)求椭圆M 的方程；(2)假设直线y ＝2x ＋m 交椭圆于A 、B 两点，椭圆上一点P (1，2)，求△PAB 面积的最大值、解析：(1)双曲线的离心率为2，那么椭圆M 的离心率为e ＝c a ＝22， 圆x 2＋y 2＝4的直径为4，那么2a ＝4，由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4c a ＝22b 2＝a 2－c2⇒⎩⎨⎧a ＝2c ＝2b ＝2，所求椭圆M 的方程为y 24＋x 22＝1. (2)直线AB 的方程：y ＝2x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋m x 22＋y 24＝1，得4x 2＋22mx ＋m 2－4＝0，由Δ＝(22m )2－16(m 2－4)＞0，得－22＜m ＜2 2.∵x 1＋x 2＝－22m ，x 1x 2＝m 2－44. ∴|AB |＝1＋2|x 1－x 2|＝3·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3·12m 2－m 2＋4＝3·4－m 22. 又点P 到AB 的距离d ＝|m |3. 那么S △ABP ＝12|AB |d ＝12·3·4－m 22·|m |3＝12m 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4－m 22＝122m 28－m 2≤122·m 2＋8－m 22＝2，当且仅当m ＝±2∈(－22，22)时取等号、。

2019-2020年高三数学二轮复习 专题五 第2讲 椭圆 双曲线 抛物线教案自主学习导引真题感悟1．(2012·江西)椭圆x 2a2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右顶点分别是A 、B ，左、右焦点分别是F 1、F 2，若|AF 1|，|F 1F 2|，|F 1B |成等比数列，则此椭圆的离心率为A.14B.55C.12D.5－2解析 利用等比中项性质确定a ，c 的关系．由题意知|AF 1|＝a －c ，|F 1F 2|＝2c ，|F 1B |＝a ＋c ，且三者成等比数列，则|F 1F 2|2＝|AF 1|·|F 1B |，即4c 2＝a 2－c 2，a 2＝5c 2，所以e 2＝15，所以e ＝55.答案 B2．(2012·山东)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8yD ．x 2＝16y解析 根据离心率的大小和距离列出方程或方程组求解．∵双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝a 2＋b 2a＝2，∴b ＝3a ， ∴双曲线的渐近线方程为3x ±y ＝0，∴抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2到双曲线的渐近线的距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×0±p 22＝2，∴p ＝8.∴所求的抛物线方程为x 2＝16y . 答案 D考题分析椭圆、双曲线、抛物线的定义、性质、方程一直是每年高考必要内容．近几年命题更加注意知识的融合创新，涉及导数、函数、不等式、数列、向量等知识，同时注意思想方法的运用．网络构建高频考点突破考点一：圆锥曲线的定义及应用【例1】(2012·潍坊二模)已知双曲线C ：x 24－y 25＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 为C的右支上一点，且|PF 2|＝|F 1F 2|，则PF 1→·PF 2→等于A ．24B ．48C ．50D ．56[审题导引] 据已知条件和双曲线的定义可以求出|PF 1|与|PF 2|的长，在△PF 1F 2中利用余弦定理可求两向量夹角的余弦值，即得PF 1→·PF 2→.[规范解答] 如图所示，|PF 2|＝|F 1F 2|＝6，由双曲线定义可得，|PF 1|＝10. 在△PF 1F 2中，由余弦定理可得，cos ∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋62－622×10×6＝56.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|cos ∠F 1PF 2＝10×6×56＝50.[答案] C 【规律总结】焦点三角形问题的求解技巧(1)所谓焦点三角形，就是以椭圆或双曲线的焦点为顶点，另一个顶点在椭圆或双曲线上的三角形．(2)解决此类问题要注意应用三个方面的知识： ①椭圆或双曲线的定义； ②勾股定理或余弦定理；③基本不等式与三角形的面积公式． 【变式训练】1．已知双曲线x 2m －y 27＝1，直线l 过其左焦点F 1，交双曲线左支于A 、B 两点，且|AB |＝4，F 2为双曲线的右焦点，△ABF 2的周长为20，则m 的值为A ．8B ．9C ．16D ．20解析 由双曲线的定义可知，|AF 2|－|AF 1|＝2m ， |BF 2|－|BF 1|＝2m ，所以(|AF 2|＋|BF 2|)－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4m ， |AF 2|＋|BF 2|－|AB |＝4m ， |AF 2|＋|BF 2|＝4＋4m . 又|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝20， 即4＋4m ＋4＝20. 所以m ＝9. 答案 B2．(2012·四川)椭圆x 24＋y 23＝1的左焦点为F ，直线x ＝m 与椭圆相交于点A 、B ，当△FAB的周长最大时，△FAB 的面积是________．解析 根据椭圆的定义结合其几何性质求解．直线x ＝m 过右焦点(1,0)时，△FAB 的周长最大，由椭圆定义知，其周长为4a ＝8，此时，|AB |＝2×b 2a ＝2×32＝3，∴S △FAB ＝12×2×3＝3.答案 3考点二：圆锥曲线的性质【例2】(2012·咸阳二模)已知椭圆C 1：x 2m ＋2＋y 2n ＝1与双曲线C 2：x 2m －y 2n＝1共焦点，则椭圆C 1的离心率e 的取值范围为A.⎝⎛⎭⎪⎫22，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22 C ．(0,1)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [审题导引] 根据椭圆与双曲线的方程确定其焦点位置，进而求出m 、n 的范围，可求离心率e 的取值范围．[规范解答] 由双曲线的方程知，椭圆与双曲线的焦点在x 轴，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2－n ＝m ＋nm ＋2＞0m ＞0n ＞0m ＋2＞n，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1m ＞0.设椭圆C 1的离心率为e ，∴e 2＝1－nm ＋2＝1－1m ＋2. ∵m ＞0，∴e 2＞12，e ＞22，即离心率的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1. [答案] A【规律总结】离心率的求法双曲线与椭圆的离心率就是ca的值，有些试题中可以直接求出a 、c 的值再求离心率，在有些试题中不能直接求出a 、c 的值，由于离心率是个比值，因此只要能够找到一个关于a 、c或a 、b 的方程，通过这个方程解出c a 或b a ，利用公式e ＝ca求出，对双曲线来说，e ＝1＋b 2a2，对椭圆来说，e ＝1－b 2a2.【变式训练】3．(2012·日照模拟)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，一个焦点与抛物线y 2＝16x 的焦点相同，则双曲线的渐近线方程为A ．y ＝±32xB ．y ＝±32x C ．y ＝±33xD ．y ＝±3x解析 抛物线y 2＝16x 的焦点为(4,0)，∴c ＝4，e ＝c a ＝4a ＝2，∴a ＝2，b ＝c 2－a 2＝16－4＝23，故渐近线方程为y ＝±3x . 答案 D4．(2012·济南三模)已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为53c (c 为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为 A.52B.32C.352D.23解析 易知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±bax ，即±bx －ay ＝0.不妨设双曲线的焦点为F (c,0)， 据题意，得53c ＝|±bc |a 2＋b2，∴b ＝53c ， ∴a 2＋b 2＝a 2＋59c 2＝c 2，即a 2＝49c 2，∴e 2＝c 2a 2＝94，∴e ＝32.答案 B考点三：求圆锥曲线的方程【例3】(1)(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 (2)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x[审题导引] (1)利用焦距为10与P (2,1)在双曲线的渐近线上可列出关于a ，b 的方程组，解出a 与b ，得双曲线的方程．(2)求出各点的坐标，就可以根据三角形的面积列出关于a 的方程，解方程即得．[规范解答] (1)∵x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，∴c ＝5＝a 2＋b 2.①又双曲线渐近线方程为y ＝±b ax ，且P (2,1)在渐近线上， ∴2ba＝1，即a ＝2b .②由①②解得a ＝25，b ＝5，故应选A.(2)抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F 坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，则直线l 的方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 4，它与y 轴的交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2，所以△OAF 的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 4·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－a 2＝4，解得a ＝±8.所以抛物线方程为y 2＝±8x .故选B. [答案] (1)A (2)B 【规律总结】求圆锥曲线方程的方法(1)定义法：在所给的条件满足圆锥曲线的定义时或已知圆锥曲线的焦点及其上一点的坐标时常用此方法．(2)待定系数法：①顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线，可设为y 2＝2ax 或x 2＝2ay (a ≠0)，避开对焦点在哪个半轴上的分类讨论，此时a 不具有p 的几何意义．②中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，椭圆方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(m ＞0，n ＞0)，双曲线方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn ＞0)．这样可以避免繁琐的计算．利用以上设法，根据所给圆锥曲线的性质求出参数，即得方程．【变式训练】5．若点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，则点P (x ，y )的轨迹方程为 A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8yD ．x 2＝－8y解析 点P (x ，y )到点F (0,2)的距离比它到直线y ＋4＝0的距离小2，说明点P (x ，y )到点F (0,2)和到直线y ＋2＝0的距离相等，所以P 点的轨迹为抛物线，设抛物线方程为x 2＝2py ，其中p ＝4，故所求的轨迹方程为x 2＝8y . 答案 C6．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞0，n ＞0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为12，则此椭圆的方程为A.x 212＋y 216＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 248＋y 264＝1D.x 264＋y 248＝1 解析 依题意得抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是(2,0)，则椭圆的右焦点坐标是(2,0)，由题意得m 2－n 2＝22且e ＝2m ＝12，m ＝4，n 2＝12，椭圆的方程是x 216＋y 212＝1，选B.答案 B名师押题高考【押题1】设F 1、F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为A ．3x ±4y ＝0B ．3x ±5y ＝0C ．4x ±3y ＝0D ．5x ±4y ＝0解析 在△PF 1F 2中，由余弦定理得 cos ∠PF 1F 2＝|PF 1|2＋|F 1F 2|2－|PF 2|22|PF 1|·|F 1F 2|＝|PF 1|24c ·|PF 1|＝|PF 1|4c ＝45. 所以|PF 1|＝165c .又|PF 1|－|PF 2|＝2a ，即165c －2c ＝2a ，a ＝35c .代入c 2＝a 2＋b 2得b a ＝±43.因此，双曲线的渐近线方程为4x ±3y ＝0.答案 C[押题依据] 对于圆锥曲线，定义是非常重要的，高考中常以选择题或填空题的形式灵活考查圆锥曲线的定义以及由定义所涉及的几何性质．本题是典型的焦点三角形问题，突出了定义，同时考查了余弦定理，方法较灵活，故押此题．【押题2】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22.过F 1的直线l 交C 于A 、B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∵e ＝22，∴c a ＝22.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，∴椭圆方程为x 216＋y 28＝1.答案x216＋y28＝1 [押题依据] 椭圆的方程、几何性质与定义是解析几何的重要内容，是高考的热点问题，通常的考查方式是把椭圆的几何性质、椭圆的定义相互综合．本题难度较小，属基础题目，故押此题．。