等腰三角形与勾股定理的专题练习

60 120140 60BACC A BDE 1015《勾股定理》专项训练练习基础篇1、下列各组线段中，能构成直角三角形的是（ ）A ．2，3，4B ．3，4，6C ．5，12，13D ．4，6，7 2、在△ABC 中，∠C=90°，周长为60，斜边与一直角边比是13：5，•则这个三角形三边长分别是（ ）A ．5，4，3 B ．13，12，5 C ．10，8，6 D ．26，24，10 3、若等边△ABC 的边长为2cm ，那么△ABC 的面积为（ ）． A. 3cm2B. 32cm2C. 33cm 2D. 4cm 24. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a :b :c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a :b :c =13∶5∶12 5. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A . 等边三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角三角形.6．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ） A ．121 B ．120 C ．90 D ．不能确定7、放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为（ ） A ．600米 B . 800米 C . 1000米 D. 不能确定8、ΔABC 中∠B=90°，两直角边AB=7，BC=24，在三角形内有一点P 到各边的距离相等，则这个距离是（ ）A.1B.3C.6D.非以上答案9、在△ABC 中，AB=12cm ， BC=16cm ， AC=20cm ， 则△ABC 的面积是( )A. 96cm 2B. 120cm 2C. 160cm 2D. 200cm 210、已知如图，水厂A 和工厂B 、C 正好构成等边△ABC ，现由水厂A 和B 、C 两厂供水，要在A 、B 、C 间铺设输水管道，有如下四种设计方案，（图中实线为铺设管道路线），•其中最合理的方案是（ ）11、在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______．12、如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.13、如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm ）计算两圆孔中心A 和B 的距离为 ．14、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14，c=10，则Rt △ABC 的面积是_____15、如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米．现将梯子的底端A 向外移动到A ’，使梯子的底端A ’到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端 B 下降至 B ’，那么 BB ’的值： ①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是 ．16、如图，将一根25㎝长的细木棒放入长、宽、高分别为8㎝、6㎝和103㎝的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？17、小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿不进去，又竖起来拿，结果竿比城门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竿长多少米？18、如图，铁路上A 、B 两点相距25km , C 、D 为两村庄，若DA =10km ,CB =15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.（1）求E 应建在距A 多远处？ （2）DE 和EC 垂直吗？试说明理由19、如图,在△ABC 中，∠BAC =120°,∠B =30°,AD ⊥AB ，垂足为A,CD=2cm,求AB 的长.第12题图 第13题图 第15题图A B D专题篇一、勾股定理与梯子问题1、如图1，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0.5米，求梯子顶端A下落了多少米．2、比较梯子沿墙壁滑行时其在墙壁和地面上滑行距离的大小关系例2如图3，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端B下降至B′，那么BB①等于1米；②大于1米；③小于1米．其中正确结论的序号是________．（要求写出过程）二、勾股定理中的数学思想1、面积法．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5㎝．BC＝3㎝，CD⊥AB于点D，求CD的长．2、构造法．如图，已知△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AB＝4，AC＝22．求△ABC的面积．3、转化思想．如图3，已知四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13．求四边形ABCD的面积．4、分类讨论思想．已知Rt△ABC中，其中两边的长分别是3，5，求第三边的长．5、方程思想．如图4，AB为一棵大树，在树上距地面10米的D处有两只猴子，它们同时发现C处有一筐苹果，一只猴子从D往上爬到树顶A又沿滑绳AC滑到C处，另一只猴子从D滑到B，再由B跑到C．已知两只猴子所经路程都是15米．试求大树AB的高度．如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．6、逆向思维的方法如图1，在△ABC中，D为BC边上一点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，那么DC＝_____．图3DABC图4DCBAABC三、勾股定理在影响范围问题中的运用1、如图1，公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且30QPN ∠=︒，点A 处有一所中学，AP =160m 。

勾股定理与等腰三角形夹半角模型（适合八下+九年级）【模型入门】（1）在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，E ，F 分别是BC 上两点，若∠EAF ＝45°，试推断BE ，CF ，EF 之间的关系，并证明．（2）将问中△AEF 旋转至如图所示，上述结论是否仍然成立？试证明．【简单应用】1、如图，△ABC 是等腰三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，D 、E 是BC 上的两点，且∠DAE ＝45°，若BD ＝6，EC ＝8，则DE ＝___________．2、（2017武汉中考）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝BAC ＝120°，点D 、E 都在边BC 上，∠DAE ＝60°．若BD ＝2CE ，则DE 的长为__________．3、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝150°，点D 、E 在BC 边上，且∠DAE ＝75°，BD ＝DE ，若△ADE 的面积为274，则线段DE 的长为__________．FE CBAABCE FC BAEDE D CB AED C B A【变式训练】1、如图，B ，C 为△ADE 的边DE 上两点，∠DAE ＝135°，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，若BD ＝2，CE ＝3，则AB 的长 为 ．2、若∠BAC ＝150°，D 、E 为线段BC 上的两点，∠DAE ＝60°，且AD ＝AE ．若DE ＝3，CE ＝5，则BD 的长为___________.【模型隐藏】 1、如图，在长方形ABCD 中，E 、F 分别在BC 、CD 上，∠EAF ＝∠CEF ＝45°，若BE ＝3，DF ＝1，则EF 的长为__________．2、在□ABCD 中，∠A ＝60°，点E 、F 分别在边AD 、DC 上，DE ＝DF ，且∠EBF ＝60°，若AE ＝2，FC ＝3， 则EF 的长度为（ ）AB ．C ．D ．5【模型隐藏】1、如图，△AEF 中∠EAF ＝45°，AG ⊥EF 于G ，且GF ＝2，GE ＝3，求S △AEF .ABCDEABCDEAB CD E FFE D CB AG FE A2、如图，∠AOB ＝45°，P A ⊥OA ，PB ⊥OB ，连OP ，C 是CP 上一点，OC ＝PC ，连BC 交OA 于D 点，若OD ＝4， AD ＝6，则PB 的值为__________．3、如图，点D 在△ABC 的BC 边上，∠ABC ＝15°，∠ACB ＝37.5°，∠DAC ＝75°，CD ＝2，则线段BD 的长为__________．【备选】CP BODADCBA。

勾股定理专题训练试题精选（八）一．选择题（共29小题）1．如图，△ABC的三边长为5，12，13．设其三条高的交点为H，外心为O，求OH．2．在△ABC中，∠ACB﹣∠B=90°，∠BAC的角平分线交BC于E，△BAC的外角平分线交BC于F，证明：AE=AF．3．如图，以等腰直角△ABC的直角边AC作等边△ACD，CE⊥AD于E，BD、CE交于点F．（1）求∠DFE的度数；（2）求证：AB=2DF．4．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．5．请在所给网格中按下列要求画出图形．（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为；（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；（在图甲中画出）（3）以（1）中的AB为边的两个四边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数．（在图乙中画出）7．△ABC中，AB=，BC=，AC=，求这个三角形的面积．（1）小明同学是用构图法解答本题的，建立一个正方形网格（小正方形的边长为1），在网格中画出符合条件的格点三角形ABC，这样不必求△ABC的高而借助网格可得△ABC面积为_________．（2）若△ABC三边长为、、（a＞0），请利用图2的正方形网格（小正方形边长为a），画出相应的△ABC，并求出它的面积．8．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q间的距离等于2厘米？（把实际问题转化为几何问题）9．（1）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，过P作PE⊥AC于点E．设P点运动时间为t．①当点P在线段AB上运动时，线段DE的长度是否改变？若不改变，求出DE的值；若改变，请说明理由．下面给出一种解题的思路，你可以按这一思路解题，也可以选择另外的方法解题．解：过Q作QF⊥直线AC于点M∵PE⊥AC于点E，QF⊥直线AC于点M∴∠AEP=∠F=90°（下面请你完成余下的解题过程）②当点P在线段AB的延长线上运动时，（1）中的结论是否还成立？请在图2画出图形并说明理由．（2）若将（1）中的“腰长为10cm的等腰直角△ABC”改为“边长为a的等边△ABC”时（其余条件不变），则线段DE的长度又如何？（直接写出答案，不需要解题过程）（3）若将（2）中的“等边△ABC”改为“△ABC”（其余条件不变），请你做出猜想：当△ABC满足_________条件时，（2）中的结论仍然成立．（直接写出答案，不需要解题过程）10．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）设AC和DE交于点M，若AD=6，BD=8，求ED与AM的长．11．已知：如图1，当△ABO和△CDO是两个等腰直角三角形，OA与OC，OB与OD，都在同一条直线上，∠ABO 和∠CDO的角平分线分别交AC于点E和F．（1）求证：AC=2（BE+DF）（2）如图2，当△ABO和△CDO变为两个全等的直角三角形且OA与OC不在同一条直线上时，连接AC与BD 交于点G，其余条件都不变，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立请证明，不成立说明你的理由．12．已知：在四边形ABCD中，∠D=90°，DC=3cm，AD=4cm，AB=12cm，BC=13cm．求四边形ABCD的面积．13．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，所得的差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）如果的整数部分为a，那么a=_________．如果，其中b是整数，且0＜c＜1，那么b= _________，c=_________．（2）将（1）中的a、b作为直角三角形的两条直角边，请你计算第三边的长度．14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，CD是射线，∠BCF=60°，点D在AB上，AF、BE分别垂直于CD（或延长线）于F、E，求EF的长．（1）图1中阴影正方形的面积是多少？并由已求面积求边长AB的长；（2）在图2：3×3正方形方格中，由题（1）的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段，并说明理由．16．正方形网格中，小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．下图1中的正方形网格中△ABC 是格点三角形，小正方形网格的边长为1（单位长度）．（1）△ABC的面积是_________（平方单位）；（2）在图2所示的正方形网格中作出格点△A′B′C′和△A″B″C″，使△A′B′C′∽△ABC，△A″B″C″∽△ABC，且AB、A′B′、A″B″中任意两条线段的长度都不相等；（3）在所有与△ABC相似的格点三角形中，是否存在面积为3（平方单位）的格点三角形？如果存在，请在图3中作出，如果不存在，请说明理由．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC边所在直线向右平移x个单位，记平移后的对应三角形为△DEF，连接BE．（1）当x=4时，求四边形ABED的周长；（2）当x为何值时，△BED是等腰三角形？18．已知一个三角形的三边长分别是7厘米，3厘米，第三边长为x厘米．（1）求第三边x的取值范围；（2）在（1）的条件下，取x的偶数值为直角△ABC的两直角边长（AC＞BC），此时AB=10厘米，若P为斜边AB上的一个动点，求PC的最小值．19．阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中△ABC的面积为_________；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；②计算△DEF的面积为_________．（3）如图3，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG．若AB=，BC=，AC=，则六边形BCFGED的面积为_________．20．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论．21．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由．22．如图：在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，点E是BC上一个动点（点E与B、C不重合），连接A、E．若a、b满足，且c是不等式组的最大整数解．（1）求a、b、c的长．（2）若AE平分△ABC的周长，求∠BEA的大小．23．如图1，在△ABC，∠A=45°，延长CB至D，使得BD=BC．（1）若∠ACB=90°，求证：BD=AC；（2）如图2，分别过点D和点C作AB所在直线的垂线，垂足分别为E、F，求证：DE=CF；（3）如图3，若将（1）中“∠ACB=90°”改为“∠ACB=m°，并在AB延长线上取点G，使得∠1=∠A”．试探究线段AC、DG的数量与位置关系．24．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CE∥AB且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明．25．已知：两个等腰直角三角形（△ACB和△BED）边长分别为a和b（a＜b）如图放置在一起，连接AD．（1）求△ABD的面积；（2）如果有一个P点正好位于线段CE的中点，连接AP、DP得到△APD，求△APD的面积；（3）（2）中的△APD的面积记为S1，（1）中的△ABD的面积记为S2，则S1与S2的大小关系是_________．A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定．26．如图，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连接PB和PD得到△PBD．求：（1）当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长；（2）△PBD的周长的最小值．27．如图，直角坐标系中，已知A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发，沿BO向终点O移动；动点Q从点A 点出发，沿AB向终点B移动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位．设从出发起运动了x秒．（1）点P的坐标是（_________，_________）；（2）点Q的坐标是（_________，_________）；（3）x为何值时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形？28．如图，在直角三角形ABC中∠C=90°．AC=4，BC=3，在直角三角形ABC外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，见图示．请在四个备用图中分别画出与示例图不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．29．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD=2，BE=5，求AB的长．二．解答题（共1小题）30．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：（1）BC=_________cm；（2）当t为多少时，四边形PQCD成为平行四边形？勾股定理专题训练试题精选（八）参考答案与试题解析一．选择题（共29小题）1．如图，△ABC的三边长为5，12，13．设其三条高的交点为H，外心为O，求OH．就是斜边上的中线，等于斜边的一半是．×．2．在△ABC中，∠ACB﹣∠B=90°，∠BAC的角平分线交BC于E，△BAC的外角平分线交BC于F，证明：AE=AF．（∠（∠BAE=3．如图，以等腰直角△ABC的直角边AC作等边△ACD，CE⊥AD于E，BD、CE交于点F．（1）求∠DFE的度数；（2）求证：AB=2DF．BDC=（=，4．如图，△OBD和△OCA是等腰直角三角形，∠ODB=∠OCA=90°．M是线段AB中点，连接DM、CM、CD．若C在直线OB上，试判断△CDM的形状．5．请在所给网格中按下列要求画出图形．（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为；（2）以（1）中的AB为边的一个等腰三角形ABC，使点C在格点上，且另两边的长都是无理数；（在图甲中画出）（3）以（1）中的AB为边的两个四边形，使它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都在格点上，各边长都是无理数．（在图乙中画出）26．已知：如图所示，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，DC=11，D点到AB的距离为2，求BD的长．DE=2BD=即可求AE=，7．△ABC中，AB=，BC=，AC=，求这个三角形的面积．（1）小明同学是用构图法解答本题的，建立一个正方形网格（小正方形的边长为1），在网格中画出符合条件的格点三角形ABC，这样不必求△ABC的高而借助网格可得△ABC面积为 3.5．（2）若△ABC三边长为、、（a＞0），请利用图2的正方形网格（小正方形边长为a），画出相应的△ABC，并求出它的面积．×﹣×××﹣8．如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=3厘米，点P从点A开始沿AB边向B以2厘米/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以1厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒钟后P、Q间的距离等于2厘米？（把实际问题转化为几何问题）PQ=PQ=，．9．（1）等腰△ABC的直角边AB=BC=10cm，点P、Q分别从A、C两点同时出发，均以1cm/秒的相同速度作直线运动，已知P沿射线AB运动，Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，过P作PE⊥AC于点E．设P点运动时间为t．①当点P在线段AB上运动时，线段DE的长度是否改变？若不改变，求出DE的值；若改变，请说明理由．下面给出一种解题的思路，你可以按这一思路解题，也可以选择另外的方法解题．解：过Q作QF⊥直线AC于点M（下面请你完成余下的解题过程）②当点P在线段AB的延长线上运动时，（1）中的结论是否还成立？请在图2画出图形并说明理由．（2）若将（1）中的“腰长为10cm的等腰直角△ABC”改为“边长为a的等边△ABC”时（其余条件不变），则线段DE的长度又如何？（直接写出答案，不需要解题过程）（3）若将（2）中的“等边△ABC”改为“△ABC”（其余条件不变），请你做出猜想：当△ABC满足∠A=∠ACB条件时，（2）中的结论仍然成立．（直接写出答案，不需要解题过程）AE=CF=EFAC==10=EF=（（=AC=5DE=DF=a AC10．如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，D为AB边上一点．（1）求证：△ACE≌△BCD；（2）设AC和DE交于点M，若AD=6，BD=8，求ED与AM的长．=10=，DE=5DG==﹣，==，，MG=AM===，即AM=11．已知：如图1，当△ABO和△CDO是两个等腰直角三角形，OA与OC，OB与OD，都在同一条直线上，∠ABO 和∠CDO的角平分线分别交AC于点E和F．（1）求证：AC=2（BE+DF）（2）如图2，当△ABO和△CDO变为两个全等的直角三角形且OA与OC不在同一条直线上时，连接AC与BD 交于点G，其余条件都不变，那么（1）中的结论还成立吗？如果成立请证明，不成立说明你的理由．BE=AO DF=OC12．已知：在四边形ABCD中，∠D=90°，DC=3cm，AD=4cm，AB=12cm，BC=13cm．求四边形ABCD的面积．AD==5cm=×13．阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，所得的差就是小数部分．又例如：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答：（1）如果的整数部分为a，那么a=3．如果，其中b是整数，且0＜c＜1，那么b=4，c=﹣1．（2）将（1）中的a、b作为直角三角形的两条直角边，请你计算第三边的长度．＜）∵＜＜的整数部分为=b+c=5﹣14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=10，CD是射线，∠BCF=60°，点D在AB上，AF、BE分别垂直于CD（或延长线）于F、E，求EF的长．即EG==5CE=515．观察图1：每个小正方形的边长均是1，我们可以得到小正方形的面积1．（1）图1中阴影正方形的面积是多少？并由已求面积求边长AB的长；（2）在图2：3×3正方形方格中，由题（1）的解题思路和方法，设计一个方案画出长为的线段，并说明理由．×，==16．正方形网格中，小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．下图1中的正方形网格中△ABC 是格点三角形，小正方形网格的边长为1（单位长度）．（1）△ABC的面积是5（平方单位）；（2）在图2所示的正方形网格中作出格点△A′B′C′和△A″B″C″，使△A′B′C′∽△ABC，△A″B″C″∽△ABC，且AB、A′B′、A″B″中任意两条线段的长度都不相等；（3）在所有与△ABC相似的格点三角形中，是否存在面积为3（平方单位）的格点三角形？如果存在，请在图3中作出，如果不存在，请说明理由．﹣=16，是不可能由格点三角形构成，所以不存在．17．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=4，BC=3，将△ABC沿AC边所在直线向右平移x个单位，记平移后的对应三角形为△DEF，连接BE．（1）当x=4时，求四边形ABED的周长；（2）当x为何值时，△BED是等腰三角形？=或18．已知一个三角形的三边长分别是7厘米，3厘米，第三边长为x厘米．（1）求第三边x的取值范围；（2）在（1）的条件下，取x的偶数值为直角△ABC的两直角边长（AC＞BC），此时AB=10厘米，若P为斜边AB上的一个动点，求PC的最小值．厘米，由勾股定理可知，=10由勾股定理可知，=÷19．阅读下列材料：小明遇到这样一个问题：已知：在△ABC中，AB，BC，AC三边的长分别为、、，求△ABC的面积．小明是这样解决问题的：如图1所示，先画一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点△ABC（即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处），从而借助网格就能计算出△ABC的面积．他把这种解决问题的方法称为构图法．请回答：（1）图1中△ABC的面积为5；参考小明解决问题的方法，完成下列问题：（2）图2是一个正方形网格（每个小正方形的边长为1）．①利用构图法在答题卡的图2中画出三边长分别为、、的格点△DEF；②计算△DEF的面积为7．（3）如图3，已知△ABC，以AB，AC为边向外作正方形ABDE，ACFG，连接EG．若AB=，BC=，AC=，则六边形BCFGED的面积为22．×﹣×﹣×﹣﹣﹣﹣×﹣﹣3=×﹣×﹣．（+20．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，O为BC的中点．（1）写出点O到△ABC的三个顶点A、B、C的距离的关系（不要求证明）（2）如果点M、N分别在线段AB、AC上移动，在移动过程中保持AN=BM，请判断△OMN的形状，请证明你的结论．21．如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，O是BC的中点，如果在AB和AC上分别有一个动点M、N在移动，且在移动时保持AN=BM，请你判断△OMN的形状，并说明理由．22．如图：在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，点E是BC上一个动点（点E与B、C不重合），连接A、E．若a、b满足，且c是不等式组的最大整数解．（1）求a、b、c的长．（2）若AE平分△ABC的周长，求∠BEA的大小．）方程组的解为不等式组23．如图1，在△ABC，∠A=45°，延长CB至D，使得BD=BC．（1）若∠ACB=90°，求证：BD=AC；（2）如图2，分别过点D和点C作AB所在直线的垂线，垂足分别为E、F，求证：DE=CF；（3）如图3，若将（1）中“∠ACB=90°”改为“∠ACB=m°，并在AB延长线上取点G，使得∠1=∠A”．试探究线段AC、DG的数量与位置关系．24．如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC．D为线段AC上任一点，连接BD，过C点作CE∥AB且AD=CE，试说明BD和AE之间的关系，并证明．25．已知：两个等腰直角三角形（△ACB和△BED）边长分别为a和b（a＜b）如图放置在一起，连接AD．（1）求△ABD的面积；（2）如果有一个P点正好位于线段CE的中点，连接AP、DP得到△APD，求△APD的面积；（3）（2）中的△APD的面积记为S1，（1）中的△ABD的面积记为S2，则S1与S2的大小关系是C．A．S1=S2B．S1＜S2C．S1＞S2D．无法确定．ABBD==××﹣，﹣﹣﹣abab+b（ab=26．如图，正三角形ABC的边长为a，D是BC的中点，P是AC边上的点，连接PB和PD得到△PBD．求：（1）当点P运动到AC的中点时，△PBD的周长；（2）△PBD的周长的最小值．BP=DP=BD=），所以BE=2a，，，．的周长的最小值是27．如图，直角坐标系中，已知A（2，4），B（5，0），动点P从B点出发，沿BO向终点O移动；动点Q从点A 点出发，沿AB向终点B移动．两点同时出发，速度均为每秒1个单位．设从出发起运动了x秒．（1）点P的坐标是（5﹣x，0）；（2）点Q的坐标是（2+，4﹣）；（3）x为何值时，△APQ是以AP为腰的等腰三角形？=，，x﹣x=2+，﹣=x=；=或秒时，，）x=或28．如图，在直角三角形ABC中∠C=90°．AC=4，BC=3，在直角三角形ABC外部拼接一个合适的直角三角形，使得拼成的图形是一个等腰三角形，见图示．请在四个备用图中分别画出与示例图不同的拼接方法，并在图中标明拼接的直角三角形的三边长．的等腰三角形．29．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD、BE分别是BC、AC边上的中线，AD=2，BE=5，求AB的长．，．二．解答题（共1小题）30．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm，若动点P从A点出发，以每秒1cm的速度沿线段AD向点D运动；动点Q从C点出发以每秒3cm的速度沿CB向B点运动，当P点到达D点时，动点P、Q同时停止运动，设点P、Q同时出发，并运动了t秒，回答下列问题：（1）BC=12cm；（2）当t为多少时，四边形PQCD成为平行四边形？EC==8cm。

7．勤学早第17章《勾股定理》核心专题一点通B ——核心思想方法核心思想方法1：转化的思想（1）斜三角形→转化直角三角形→勾股定理1．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝4，∠ABC ＝75°，求△ABC 的面积．AB C解：过B 作BD ⊥AC 于D 点，∠A ＝30°，∴BD ＝2，∴△ABC 的面积是4．2．如图，某船向正东方向航行，在A 处望见某岛C 在北我偏东60°方向，前进6海里到B 点，测得该岛在北偏东30°方向，已知该岛周围4海里内有暗礁，若该船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理1.732≈）解：过C 作CD ⊥AB 于D ，可求BC ＝AB ＝6，CD ＝4，∴该船继续向东航行，无触礁危险．（2）割补图形→转化直角三角形→勾股定理3．如图，在四边形ABCD 中，∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，BC ＝6，CD ＝3，求AB 的长．ABD解：延长AB ，DC 交于E 点，∠E ＝30°，CE ＝2BC ＝12，BE＝DE ＝CE ＋CD ＝15，在Rt △ADE 中，∠E ＝30°，ADAE ＝2AD ＝，AB ＝AE －BE ＝．4．在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝120°，AB =BC＝4，CD =ABCD 的面积．ADB C解：分别过A，D作BC的垂线，垂足为M，N，则围成直角梯形AMND，可求四边形ABCD的面积是6643+．（3）将立体图形→转化平面图形→勾股定理5．如图，长方体的底面边长为4cm和宽为2cm，高为5cm，若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，求蚂蚁爬行的最短路径长．QP A解：如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．∴P A＝4＋2＋4＋2＝12（cm），QA ＝5cm ．∴PQ＝13cm．∴蚂蚁爬行的最短路径长为13cm．6．如图是一个三级台阶，它的每一级的长，宽，高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，求蚂蚁沿着台阶爬行到点B的最短路程．解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2＋3）×3dm，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．可设妈蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm，由勾股定理得()222220[233]25x=++⨯=，解得x＝25．7．有一个如图所示的长立体的透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深为AE＝40cm，在水面上紧贴内壁G处有一鱼饵，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一小虫想从鱼缸外的A点沿壁爬进鱼缸内G生吃鱼饵．（1）小动物应该走怎样的路线才能使爬行的路线最短呢？请你在图中画出它爬行的路线，并用箭头标注．（2）求小动物爬行的最短路线长？A'QGFEDCBA解：（1）如图，AQ＋QG为最短路程；（2）∵AE＝40cm，A'A＝120，A'E＝80cm，又EG＝60cm，∴AQ ＋QG ＝'A Q ＋QG ＝A 'G ＝100cm ．∴最短路线长为100cm核心思想方法2：方程的思想（1）一般问题8．如图，等腰△ABC 的周长是16，底边上的高AD ＝4，求这个三角形各边的长．DBC解：设BD ＝x ，则AB ＝8－x ，由勾股定理，可以得到222AB BD AD =+，也就是()22284x x -=+，∴x ＝3，AB ＝AC ＝5，BC ＝6．9．一个正方体物体沿斜坡向下滑动，其截面如图所示，正方形DEFH 的边长为2米，∠A ＝30°，∠B ＝90°，BC ＝6米，已知222CD AE BC =+，求AE 的长．A解：AE ＝143（2）直角三角形＋斜边上的高（知二求四） 10．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，AC ＝6，BC ＝8，求CD 和AD 的长．DBA解：CD ＝4.8，AD ＝3.611．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 于D ，DB －AD ＝4，AC ＝4，求BC 和AB 的长．DBA解：BC ＝AB ＝8．（3）直角三角形＋角平分线12．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，AB ＝10，BC ＝8，求CD 的长．（提示：面积法求垂线段）CBAD解：过D 分别作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，利用面积法，可求DM ＝DN ＝247，CD =13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠CAB 交CB 于D ，CD ＝3，BD ＝5，求AC 和AD 的长．CBA解：过D 作DM ⊥AB 于M ，AC ＝AM ＝a ，CD ＝MD ＝3，则BM ＝4，在Rt △ABC 中，()22284a a +=+，a ＝6，AC ＝6，AD ＝（4）直角三角形＋中线14．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 的中点，AD ＝13，AB =AC 和BC 的长．CBA解：AC ＝12，CD ＝5，BC ＝2CD ＝1015．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AD ，BE是中线，BE =AD ＝5，求AB 的长．C BA解：AB ＝核心思想方法3：分类讨论的思想（1）三角形的形状不明时需分类讨论16．（2017东营）在△ABC 中，AB ＝10，AC =BC 边上的高AD ＝6，则另一边BC 的长是（ C ） A ．10 B ．8 C ．6或10 D ．8或1017．在△ABC中，AB =AC ＝4，BC ＝2，以AB 为边向△ABC 处作△ABD ，使△ABD 为等腰直角三角形，求线段CD 的长．解：AC ＝4，BC ＝2，AB＝222AC BC AB +=，∴△ACB 为直角三角形，即∠ACB ＝90°，分三种情况：（1）如图1，过点D 作DE ⊥CB ，垂足为点E ，易证△ACB ≌△BED ，易求CD ＝（2）如2，过点D 作DE ⊥CA ，垂足为点E ，易证△ACB ≌△DEA ，易求CD＝（3）如图3，过点D 作DE ⊥CB ，垂足为点E ，过点A 作AF ⊥DE 垂足为点F ，易证△AFD ≌△DEB ，易求CD ＝图1DEB CA图2AEDB C 图3DF BECA（3）等腰三角形的顶点和腰不明时需要分类讨论 18．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，1） （1）求OA 的长；（2）点P 为x 轴正半轴上一点，且△AOP 是等腰三角形，求P 点坐标．xx解：（1）0A ； （2）1P （54，0）或2P （4，0）或3P ，0）. 核心思想方法4：建模的思想（1）数学模型1：半倍角→全等→勾股定理19．如图，四边形ADCF 中，∠D ＝∠C ＝90°，AD ＝DC ＝6，AE =EAF ＝45° （1）求EF 的长；（2）直接写出点F 到直线AE 的距离是 ．AE解：将四边形ADCF 补成正方形ABCD ，由半角与倍角模型结论可知EF ＝DE ＋BF ，设EF ＝x ，则BF ＝x －3，FC ＝9－x ，在Rt △ECF 中，()22293x x =-=，解得x ＝5，EF ＝5；（2）可知△AEF 的面积是15，∴点F 到直线AE 的距离＝215⨯÷20．（2017武汉改）（1）如图1，在等腰Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点M ，N 是BC 上任意两点，且∠MAN ＝45，求证：BM 2＋CN 2＝MN 2．（2）如图2，已知△AMC 中，N 为MC 上一点，∠MAN ＝∠C ＝45°，AC =，MC ＝9，求AN 的长．CNCN图1 图2解：（1）略；（1）过A 作AB ⊥AC 交CM 的延长线于B 点，则BC，AC ＝12，BM ＝3，∴设NC ＝x ，则MN ＝9－x ，由（1）可知222BM CN MN +=，∴()22239x x +=-，解得x ＝4，过A 作AT ⊥MC 于T ，则AT ＝TC ＝6，在Rt △ANT 中，运用勾股定理得：AN＝（2）模型2：共顶点的等边三角形→全等→勾股定理21．如图，△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，BD ＝5，CE ＝8，求DE 的长．CE DF BAE'CED F BA解：∵AB ＝AC ，可把△AEC 绕点A 顺时针旋转120°得到△A 'E B ，BE '＝EC ＝8，'AE AE =，∠E 'AB ＝∠EAC ，∠BAC ＝120°，∠DAE ＝60°，∴∠BAD ＋∠EAC ＝60°，∠E 'AD ＝∠E 'AB ＋∠BAD ＝60°， ∴△E 'AD ≌△EAD （SAS ），∴E 'D ＝ED ，过E '作EF ⊥BD 于点F ，∵A B ＝AC ，∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠C ＝∠E 'BA ＝30°，∴∠E 'BF ＝60°，∴∠BE 'F ＝30°，∴1'42BF BE ==，'E F =BD ＝5，∴FD ＝BD －BF ＝1，在Rt △E 'FD 中，由勾股定理可得E 'D7，∴DE ＝7．22．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，AB ＝3，BC ＝5，以AC 为边向外作等边△ACD ，求BD 的长．F解：以AB 为边向外作等边三角形△ABE ，连接EC ，易证△ABD ≌△AEC ，得BD ＝EC ，过E 作EF ⊥BC 交CB 延长线于F ，易得32BF =，EF =，132CF =，在Rt △EFC 中，由勾股定理得EC ＝7，∴BD ＝7．（3）模型3：共顶点的等腰（直角）三角形→全等→勾股定理23．（1）如图1，锐角△ABC 中，分别以AB ，AC 为边向外作等腰△ABE 和等腰△ACD ，使AE ＝AB ，AD ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，连接BD ，CE ，试猜想BD 和CE 的大小关系，并说明理由；（2）如图2，四边形ABCD 中，AB ＝7，BC ＝3，∠ABC ＝∠ACD ＝∠ADC ＝45°，求BD 的长； （3）如图3，在（2）的条件下，当△ACD 在线段AC 的左侧时，求BD 的长．DABDAB图1 图2 图3解：（1）BD ＝CE ，理由：证△EAC ≌△BAD ，BD ＝CE ；（2）过A 向外作AE ⊥AB 、连接EB，则△ABE 为等腰直角三角形，BE＝AB ＝ABE ＝45°，∵∠ABC ＝45°，∴∠EBC ＝90°，∴BD ＝EC ＝（3）过A 向外作AE ⊥AB 交BC的延长线于E ，BE＝ BD ＝EC＝BE－BC ＝3．E。

练习：勾股定理与等腰三角形综合学生姓名：年级：科目：得分：练习内容1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s 的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．（1）AB＝50 cm，AB边上的高为24 cm；（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）在Rt△ABC中，由勾股定理即可求出AB；由直角三角形的面积即可求出斜边上的高；（2）分三种情况：①当BD＝BC＝30cm时，得出2t＝30，即可得出结果；②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，则BE＝DE＝BD＝t，由（1）得出CE＝24，由勾股定理求出BE，即可得出结果；③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，证明DA＝DC，得出AD＝DB＝AB，即可得出结果．【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，∴AB＝＝＝50（cm）；作AB边上的高CE，如图1所示：∵Rt△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，∴CE＝＝＝24（cm）；故答案为：50，24；（2）分三种情况：①当BD＝BC＝30cm时，2t＝30，∴t＝15（s）；②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示：则BE＝DE＝BD＝t，由（1）得：CE＝24，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝18（cm），∴t＝18s；③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，∵∠A＝90°﹣∠B，∠ACD＝90°﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠A，∴DA＝DC，∴AD＝DB＝AB＝25（cm），∴2t＝25，∴t＝12.5（s）；综上所述：t的值为15s或18s或12.5s．【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、三角形面积的计算；本题综合性强，有一定难度，特别是（2）中，需要进行分类讨论，运用勾股定理和等腰三角形的性质才能得出结果．2．如图，已知△ABC中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒．（1）当t＝2秒时，求PQ的长；（2）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形？（3）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【分析】（1）根据点P、Q的运动速度求出AP，再求出BP和BQ，用勾股定理求得PQ即可；（2）由题意得出BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解方程即可；（3）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ＝BQ时（图1），则∠C＝∠CBQ，可证明∠A＝∠ABQ，则BQ＝AQ，则CQ＝AQ，从而求得t；②当CQ＝BC时（图2），则BC+CQ＝12，易求得t；③当BC＝BQ时（图3），过B点作BE⊥AC于点E，则求出BE，CE，即可得出t．【解答】（1）解：（1）BQ＝2×2＝4cm，BP＝AB﹣AP＝8﹣2×1＝6cm，∵∠B＝90°，PQ＝＝＝2（cm）；（2）解：根据题意得：BQ＝BP，即2t＝8﹣t，解得：t＝；即出发时间为秒时，△PQB是等腰三角形；（3）解：分三种情况：①当CQ＝BQ时，如图1所示：则∠C＝∠CBQ，∵∠ABC＝90°，∴∠CBQ+∠ABQ＝90°，∠A+∠C＝90°，∴∠A＝∠ABQ∴BQ＝AQ，∴CQ＝AQ＝5，∴BC+CQ＝11，∴t＝11÷2＝5.5秒．②当CQ＝BC时，如图2所示：则BC+CQ＝12∴t＝12÷2＝6秒．③当BC＝BQ时，如图3所示：过B点作BE⊥AC于点E，则BE＝＝＝4.8（cm）∴CE＝＝3.6cm，∴CQ＝2CE＝7.2cm，∴BC+CQ＝13.2cm，∴t＝13.2÷2＝6.6秒．由上可知，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时，△BCQ为等腰三角形．【点评】本题考查了勾股定理、三角形的面积以及等腰三角形的判定和性质；本题有一定难度，注意分类讨论思想的应用．3．如图1，在6×8的网格纸中，每个小正方形的边长都为1，动点P、Q分别从点D、A同时出发向右移动，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，当点P运动到点C时，两个点都停止运动．（1）请在6×8的网格纸图2中画出运动时间t为2秒时的线段PQ并求其长度；（2）在动点P、Q运动的过程中，△PQB能否成为PQ＝BQ的等腰三角形？若能，请求出相应的运动时间t；若不能，请说明理由．【分析】（1）根据点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位，和运动时间t为2秒，分别求出PE、QE，再利用勾股定理即可求出PQ其长度．（2）设时间为t，则在t秒钟，P运动了2t格，Q运动了t格，由题意得PQ＝BQ，然后根据勾股定理列出关于t的方程，解得t即可．【解答】解：（1）∵点Q的运动速度为每秒1个单位，和运动时间t为2秒，运动时间t为2秒，∴由图中可知PQ的位置如下图2，则由已知条件可得PD＝4，AQ＝2，QE＝2，PE＝6，∴PQ＝＝＝2，（2）能．设时间为t，则在t秒钟，P运动了2t格，Q运动了t格，由题意得PQ＝BQ（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2解得t＝．答：（1）PQ的长为2；（2）能，运动时间t为．【点评】此题主要考查勾股定理和等腰三角形的性质等知识点，此题涉及到动点问题，有一定的拔高难度，属于难题．4．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连结AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D做DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？【分析】（1）根据动点的运动速度和时间先求出PC，再根据勾股定理即可求解；（2）根动点运动过程中形成三种等腰三角形，分情况即可求解；（3）根据动点运动的不同位置利用勾股定理即可求解．【解答】解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若PA＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．【分析】（1）①先根据∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC，判定△ABD≌DCE，得出AB＝DC，进而得到△ADE 为等腰三角形；②根据△ABD≌△DCE，得出∠BAD＝∠CDE，再根据∠ADC＝∠B+∠BAD，∠ADC＝∠ADE+∠EDC，得到∠ADE＝∠B＝60°，最后判定等腰△ADE为等边三角形；（2）分三种情况讨论：∠CPD为直角顶点；∠PCD是直角顶点；∠PDC是直角顶点，分别进行画图即可．第一种情况：使得AP＝BD，BP＝AC；第二种情况：使得AC＝AB，CE＝AP，BD＝AE；第三种情况：使得BD＝AB，DF＝BP，AC＝BF．【解答】解：（1）①证明：∵∠B＝∠C，BD＝CE，AB＝DC，∴△ABD≌DCE，∴AB＝DC，∴△ADE为等腰三角形；②∵△ABD≌△DCE，∴∠BAD＝∠CDE，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠BAD，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC，又∵∠BAD＝∠CDE．∴∠ADE＝∠B＝60°，∴等腰△ADE为等边三角形．（2）有三种结果，如图所示：2.如图,△ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发,分别在AB、BC边上匀速移动,它们的速度分别为2cm/s和lcm/s,当点P到达点B时,P、Q两点停止运动,设点P的运动时间为ts,则当运动时间t为多少秒时,△PBQ为直角三角形。

专题07：勾股定理（简答题专练）一、解答题1．某学校要对如图所示的一块地进行绿化，已知4m AD =，3m CD =，AD DC ⊥，13m AB =，12m BC =，求这块地的面积．2．如图，在四边形ABCD 中，已知AB=5，BC=3，CD=6，AD=25，若A C⊥BC，求证：AD∥BC．3．一块木板如图所示,已知AB=4,BC=3,DC=12,AD=13,∠B=90°,木板的面积是多少？4．图1是围墙的一部分，上部分是由不锈钢管焊成的等腰三角形栅栏如图2，请你根据图2所标注的尺寸，求焊成一个等腰三角形栅栏外框BCD 至少需要不锈钢管多少米（焊接部分忽略不计）．5．中国机器人创意大赛于2014年7月15日在哈尔滨开幕．如图是一参赛队员设计的机器人比赛时行走的路径，机器人从A 处先往东走4m ，又往北走1.5m ，遇到障碍后又往西走2m ，再转向北走4.5m 处往东一拐，仅走0.5m 就到达了B ．问机器人从点A 到点B 之间的距离是多少？6．如图所示，在四边形ABCD中，AB=25，BC=2，CD=1，AD=5，且∠C=90°，求四边形ABCD的面积.7．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于种种原因，由C到A的路现在已经不通了，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）问CH是不是从村庄C到河边的最近路，请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．8．观察下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;…,a,b,c.根据你发现的规律,请写出:(1)当a=19时,求b,c的值;(2)当a=2n+1时,求b,c的值;(3)用(2)的结论判断15,111,112,是否为一组勾股数,并说明理由.9．已知：如图，一块R t△ABC的绿地，量得两直角边AC=8cm，BC=6cm.现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD，且扩充部分（△ADC）是以8cm为直角边长的直角三角形，求扩充等腰△ABD的周长.（1）在图1中，当AB=AD=10cm时，△ABD的周长为．（2）在图2中，当BA=BD=10cm时，△ABD的周长为．（3）在图3中，当DA=DB时，求△ABD的周长.10．阅读：已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，且满足a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，试判断△ABC 的形状．解：因为a 2c 2﹣b 2c 2＝a 4﹣b 4，①所以c 2（a 2﹣b 2）＝（a 2﹣b 2）（a 2+b 2）．②所以c 2＝a 2+b 2．③所以△ABC 是直角三角形．④请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第 步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为 ；（2）请你将正确的解答过程写下来．11．如图所示，在△ABC 中，AC ＝8cm ，BC ＝6cm ；在△ABE 中，DE 为AB 边上的高，DE ＝12cm ，△ABE 的面积S ＝60cm 2．(1)求出AB 边的长；(2)你能求出∠C 的度数吗？请试一试．12．已知：如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 为AB 的中点，E 、F 分别在AC 、BC 上，且ED FD ⊥于D .求证：222AE BF EF +=.13．由于大风，山坡上的一棵树甲被从点A 处拦腰折断，如图所示，其树恰好落在另一棵树乙的根部C 处，已知AB ＝4米，BC ＝13米，两棵树的株距（两棵树的水平距离）为12米，请你运用所学的知识求这棵树原来的高度．14．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD ＝4，BD＝3．（1）求BC的长；（2）求证：△BCD是直角三角形．15．如图，公路PQ和公路MN交于点P，且∠NPQ＝45°，公路PQ上有一所学校A，AP＝802米，现有一拖拉机在公路MN上以10米∕秒的速度行驶，拖拉机行驶时周围100米以内会受到噪声的影响，请判断拖拉机在行驶过程中是否对学校会造成影响，并说明理由，如果造成影响，求出造成影响的时间．16．到三角形三条边距离相等的点，叫做此三角形的内心，由此我们引入如下定义：到三角形的两条边距离相等的点，叫做此三角形的准内心．举例：如图，若AD平分∠CAB，则AD上的点E为△ABC的准内心．应用：（1）如图AD为等边三角形ABC的高，准内心P在高AD上，且 PD＝12AB，则∠BPC的度数为度．（2）如图已知直角△ABC中斜边AB＝5，BC＝3，准内心P在BC边上，求CP的长．17．铁路上A,B两站（视为直线上的两点）相距50km，C,D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB 于点B（如图）.已知DA=20km,CB=10km,现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E,使得C,D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.18．如图（1），是两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）．用这样的两个三角形构造成如图（2）的图形，利用这个图形，证明：a2+b2=c2．19．如图，在△ABC中，∠C=90°，M是BC的中点，MD⊥AB于D，求证：222=+.AD AC BD20．如图所示，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3 cm，AB＝4 cm，AF＝12 cm，求图中半圆的面积．21．线段a、b、c且满足|a18（b﹣2）250c-．求：（1）a、b、c的值；（2）以线段a、b 、c 能否围成直角三角形．22．如图，在△ABC 中，AB ＝30 cm ，BC ＝35 cm ，∠B ＝60°，有一动点M 自A 向B 以1 cm/s 的速度运动，动点N 自B 向C 以2 cm/s 的速度运动，若M ，N 同时分别从A ，B 出发．(1)经过多少秒，△BMN 为等边三角形；(2)经过多少秒，△BMN 为直角三角形．23．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，6AC =，点D 是斜边AB 的中点，作DE AB ⊥，交直线AC 于点E .（1）若30A ∠=︒，求线段CE 的长；（2）当点E 在线段AC 上时，设BC x =，CE y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出定义域；（3）若1CE =，求BC 的长.24．如图所示，在直线l 上依次摆放着七个正方形，斜放置的三个正方形的面积分别为1，2，3，正放置的四个正方形的面积分别为1S ，2S ，3S ，4S ，求1234S S S S +++的值.25．（1）如图1，在Rt△ABC 和Rt△ADE 中，AB ＝AC ，AD ＝AE ，且点D 在BC 边上滑动（点D 不与点B ，C 重合），连接EC ，①则线段BC ，DC ，EC 之间满足的等量关系式为 ；②求证：BD 2+CD 2＝2AD 2；（2）如图2，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ACB ＝∠ADC ＝45°．若BD ＝9，CD ＝3，求AD 的长．。

专题01 用勾股定理解三角形一、单选题1．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，13AB =，5AC =，D 、E 分别是AC 、AB 的中点，则DE 的长是（ ）A ．6.5B ．6C ．5.5D ．2【答案】B 【分析】根据勾股定理可先求出BC ，然后结合中位线定理得出结论． 【解析】由勾股定理得：12BC =，∵D 、E 分别是AC 、AB 的中点， ∵DE 是ABC 的中位线， 则162DE BC ==， 故选：B ． 【小结】本题考主要考查三角形的中位线定理，熟记并灵活运用基本定理是解题关键． 2．直角三角形的直角边长分别为3，4，则直角三角形的周长为（ ）A ．5B ．12C ．12或7D ．7【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，继而即可求出三角形的周长． 【解析】根据勾股定理可知：斜边=5，∵三角形周长=3+4+5=12，故选：B．【小结】本题考查的是勾股定理的应用，难度适中，解题关键是根据勾股定理求出斜边的长．3．如图，在∵ABC中，∵ACB=90°，CD是高，∵A=30°，AB=4，则下列结论中不正确的是（）A．BC=2B．BD=1C．AD=3D．CD=2【答案】D【分析】根据含30°角的直角三角形的性质及勾股定理求出各线段的长度，即可判断．【解析】∵∵ACB=90°，∵A=30°，∵BC=12AB=2，∵B=60°，∵CD∵AB，∵∵CDB=∵CDA=90°，∵BCD=30°，∵BD=12BC=1，∵AD=AB-BD=4-1=3，CD==∵不正确的是D．故选：D．【小结】本题考查的是直角三角形的性质，勾股定理，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．4．如图是2002年8月在北京召开的国际数学大会的会标，它是由四个相同的直角三角形与中间一个小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，则小正方形的边长为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】D【分析】先设直角三角形的两直角边分别是a cm、b cm（a＞b），斜边是c cm，于是有a2+b2=c2，即a2+52=132，易得a=12 cm，a-b即可得小正方形的边长．【解析】设大直角三角形的两直角边分别是a cm、b cm（a＞b），斜边是c cm，那么有a2+b2=c2，∵大正方形的边长是13cm，每个直角三角形较短的一条直角边的长是5cm，∵a2+52=132，解得a= 12（舍去负值），即a=12 cm，∵小正方形的边长为：a-b=12-5=7 cm．故选：D．【小结】本题考查了勾股定理，解题的关键是知道小正方形的边长等于直角三角形较长直角边减去较小直角边．5．已知一个直角三角形三边的平方和为800，则这个直角三角形的斜边长为（）A．20B．40C．80D．100【答案】A【分析】直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，已知三边的平方和可以求出斜边的平方，根据斜边的平方可以求出斜边长．【解析】∵在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和，又∵已知三边的平方和为800，则斜边的平方为三边平方和的一半，即斜边的平方为，800÷2=400，∵斜边长， 故选：A ． 【小结】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活应用，考查了勾股定理的定义，本题中正确计算斜边长的平方是解题的关键．6．如图，O 的直径AB 垂直于弦,CD 垂足为,22.5,2E A OC ∠=︒=，则CD 的长为（ ）A B ．2C ．D ．4【答案】C 【分析】由垂径定理可得出CD=2CE ，∵CEO=90°，由∵A=22.5°，利用圆周角定理可求出∵COE=45°，进而可得出∵CEO 为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质及OC=2可求出CE 的长（或通过解直角三角形求出CE 的长），结合CD=2CE 可求出CD 的长． 【解析】∵∵O 的直径AB 垂直于弦CD ， ∵CD=2CE ，∵CEO=90°， 又∵∵COE=2∵A=45°， ∵∵CEO 为等腰直角三角形，∵CD=2CE= 故选：C ． 【小结】本题考查了圆周角定理、垂径定理以及等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质求出CE的长是解题的关键．7．菱形的边长是5cm，一条对角线的长为6cm，则另一条对角线的长为（）A．6cm B．C．8cm D．10cm【答案】C【分析】根据菱形性质得出OB＝OD＝3cm，OA＝OC，AC∵BD，由勾股定理求出OA，即可得出答案．【解析】如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∵AB＝5cm，OB＝OD＝12BD＝3cm，AC∵BD，∵∵AOB＝90°，由勾股定理得：OA=4cm，∵AC＝2OA＝8cm，故选：C．【小结】本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．8．若直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15，则另一条直角边长为（）A．7B．8C．20D．65【答案】B【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】∵直角三角形中，斜边的长为17，一条直角边长为15， ∵另一条直角边222171456=-=， ∵另外一边为8． 故选：B ． 【小结】此题主要考查了勾股定理，正确把握勾股定理是解题关键． 9．边长为2的正方形的对角线长是（ ）A B ．2C ．D ．4【答案】C 【分析】根据勾股定理，可得对角线的长，根据开方运算，可得答案． 【解析】对角线平方的长是8，边长为2的正方形的对角线长是 故选：C ． 【小结】本题考查了算术平方根，利用了开方运算．10．如图，菱形ABCD 的周长为32，60ABC ∠=，点E 、F 分别为AO 、AB 的中点，则EF 的长度为（ ）A ．B ．3C D ．4【答案】A 【分析】首先根据菱形的性质得出8,,AB AC BD =⊥1302ABO ABC =∠=∠︒，然后利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理求出BO 的长度，最后利用三角形中位线的性质求解即可．【解析】∵菱形ABCD 的周长为32，60ABC ∠=︒8,,AB AC BD ∴=⊥1302ABO ABC =∠=∠︒． 142AO AB ∴==，BO ∴==．∵点E 、F 分别为AO 、AB 的中点，12EF BO ∴== 故选：A ． 【小结】本题主要考查菱形的性质，含30°的直角三角形的性质和三角形中位线的性质，熟练掌握这些性质是关键． 11．若直角三角形两边长分别是6，8，则它的斜边为（ ） A ．8 B ．10C ．8或10D ．以上都不正确【答案】C 【分析】分两种情况：∵6和8都是直角边，利用勾股定理求解即可；∵6是直角边，8是斜边，从而可确定答案． 【解析】∵6和810=； ∵8是斜边，综上所述，斜边为8或10， 故选：C ． 【小结】本题主要考查勾股定理，分情况讨论是关键．12．如图，长为12cm 的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A 和B ，然后把中点C 垂直向上拉升4.5cm 至点D ，则拉升后橡皮筋伸长了（ ）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】B【分析】根据勾股定理，可求出AD、BD的长，则AD BD+即为拉长后橡皮筋的长，从而减去原来的长度即可得到答案．【解析】Rt△ACD中，16cm2AC AB==， 4.5cmCD=；根据勾股定理，得：7.5cmAD=；215cmAD BD AD∴+==；15123cm∴-=；故选：B．【小结】此题主要考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用．关键是根据勾股定理，可求出AD、BD的长．13．如图，AB为∵O的直径，点C为∵O上一点，连接CO，作AD//OC，若CO＝52，AC＝2，则AD＝（）A．3B．C．72D．175【答案】D【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后可以求得OG的长，再利用勾股定理即可得到AG的长，从而可以得到AD的长．【解析】作AE∵OC于点E，作OF∵CA于点F，作OG∵AD于点G，则EA∵OG，∵AD∵OC，∵四边形OEAG是矩形，∵OG ＝EA ，∵OF ∵AC ，OA ＝OC ＝52，AC ＝2， ∵CF ＝1，∵OF2=， ∵22AC OF OC AE⋅⋅=，∵522222AE ⋅=，解得5AE =， ∵OG， ∵OG ∵AD ，∵AG1710==， ∵AD ＝2AG ＝175，故选：D ．【小结】本题考查圆的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，面积等积式，掌握圆的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，面积等积式是解题关键．14．如图，在正方形网格中，以格点为顶点的ABC 的面积等于3，则点A 到边BC 的距离为（ ）A B ．C ．4 D ．3【答案】D 【分析】根据勾股定理表示出BC 的长，再根据三角形的面积为3，求出BC ，即可求出点A 到边BC 的距离． 【解析】设单位方格的边长为a ，BC a ==，ABC 的面积等于3，()211222322a a a a a ∴-⨯⨯⨯-⨯⨯=，解得a =，2BC ===， ∴点A 到边BC 的距离为2632ABC S BC ==． 故答案为：D ． 【小结】此题考查了三角形的面积勾股定理的运用，关键是根据图形列出求三角形面积的算式． 15．等腰三角形底边上的高为4cm ，周长为16cm ，三角形的面积为（ ） A ．214cm B ．212cm C ．210cm D ．28cm【答案】B 【分析】设等腰三角形的底边长为2x ，则有腰长为8-x ，然后根据勾股定理可得()22248x x +=-，进而问题可求解．【解析】 如图，由题意得：AD =4cm ，设等腰三角形的底边长为2x cm ，由周长为16cm 可得()8cm AB x =-， ∵在Rt ∵ADB 中，由勾股定理得()22248x x +=-，解得：3x =， ∵6BC cm =， ∵21122ABCSBC AD cm =⋅=； 故选B ． 【小结】本题主要考查等腰三角形的性质及勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质及勾股定理是解题的关键． 16．在ABC 中，AB =AC =5，BC =6，M 是BC 的中点，MN ∵AC 于点N ．则MN =（ ） A ．125B ．61C ．6D ．11【答案】A 【分析】连接AM ，根据等腰三角形三线合一的性质得到AM ∵BC ，根据勾股定理求得AM 的长，再根据在直角三角形的面积公式即可求得MN 的长． 【解析】 如图，连接AM ，∵AB =AC ，点M 为BC 中点， ∵AM ∵CM ，BM =CM =12BC =3， 在Rt ∵ABM 中，AB =5，BM =3，∵AM4==，又∵S∵AMC=12MN•AC=12AM•MC，∵MN=AM CMAC=125故选：A．【小结】本题考查三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．17．两个直角三角形拼成如图所示的图形，则2x的值为（）A B．3C D．5【答案】B【分析】可设直角边都是1的直角三角形的斜边为y，根据勾股定理可求出y2＝2，则再利用勾股定理可求出2x的值．【解析】在直角边都是1的直角三角形中，设斜边为y，则由勾股定理得：y2＝12+12＝2，同理可得：x2＝y2+12＝2+1＝3．故选：B．【小结】此题考查了勾股定理，掌握勾股定理的应用条件及方法是解题的关键．18．一直角三角形的斜边长比其中一直角边长大3，另一直角边长为9，则斜边长为（）A．15B．12C．10D．9【答案】A【分析】设斜边长为x，则一直角边长为x-3，再根据勾股定理求出x的值即可．【解析】设斜边长为x ，则一直角边长为x -3， 根据勾股定理得92+(x -3)2=x 2， 解得x=15． 故选：A ． 【小结】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．19．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，D 为AC 上一点．若12DA DB ==，ABD △的面积为60，则CD 的长是（ ）A ．5B ．C ．8D ．10【答案】B 【分析】根据Rt ∵ABC 中，∵C =90°，可证BC 是∵DAB 的高，然后利用三角形面积公式求出BC 的长，再利用勾股定理即可求出DC 的长． 【解析】∵∵C =90°，DA =12， ∵S ∵DAB =12DA BC ⋅=60， ∵BC =10，在Rt ∵BCD 中，CD ²+BC ²=BD ²，即CD ²+10²=12²，解得：CD =， 故选：B ． 【小结】本题主要考查勾股定理，解题的关键是掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．20．一等腰三角形底边长为10cm，腰长为13cm，则腰上的高为（）A．12cm B．60cm13C．12013cm D．13cm5【答案】C【分析】过点A作AD∵BC于D，过点B作BE∵AC于E，根据勾股定理求出AD，根据三角形的面积公式计算即可．【解析】如下图，在等腰三角形ABC中，底边长为BC=10cm，腰长为AB=13cm，过点A作AD∵BC于D，过点B作BE∵AC于E，∵AD∵BC于D，∵BD=DC，∵BC=10cm，∵BD=DC=5cm，在Rt∵ABD中，12AD==cm，由于1122BC AD AC BE⋅=⋅，∵10121201313BE⨯==cm，故选：C．【小结】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．21．如图，在长方形ABCD中，AB=3，BC=6，对角线AC的垂直平分线分别交AD、AC于点M，N，连接CM，则CM的长为（）A．154B．153C．-154D．-153【答案】A【分析】由线段垂直平分线的性质求出AM=CM，在Rt∵DMC中，由勾股定理得出DM2+DC2=CM2，得出方程（6-CM）2+32=CM2，求出CM即可．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∵∵D=∵B=90°，AD=BC=6，AB=DC=3，∵MN是AC的垂直平分线，∵AM=CM，∵DM=AD-AM=AD-CM=6-CM，在Rt∵DMC中，由勾股定理得：DM2+DC2=CM2，（6-CM）2+32=CM2，解得：CM=154，故选：A．【小结】本题考查了矩形性质，勾股定理，线段垂直平分线性质的应用，关键是能得出关于CM的方程．22．如图，已知∵ABC中，∵ABC=90°，AB=BC，过∵ABC的顶点B作直线l，且点A到l的距离为2，点C到l的距离为3，则AC的长是()A B．C D．5【答案】C【分析】分别过A 、C 作AD ∵l 于D ，CE ∵l 于E ，根据锐角互余可得∵ABD =∵BCE ，∵DAB =∵CBE ，利用ASA 可证明∵ABD ∵∵CBE ，即可得BD =CE ，根据勾股定理可求出AB 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可． 【解析】作AD ∵l 于点D ，作CE ∵l 于点E ， ∵∵ABC =90°， ∵∵ABD +∵CBE =90°， 又∵DAB +∵ABD =90°， ∵∵BAD =∵CBE ， 在∵ABD 和∵BCE 中，ADB BEC BAD CBE AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，，， ∵∵ABD ∵∵BCE (AAS )， ∵BE =AD =2，DB =CE =3，在Rt ∵BCE 中，根据勾股定理，得BC在Rt ∵ABC 中，根据勾股定理，得AC=．故选：C ． 【小结】本题考查全等三角形的判定与性质及勾股定理，根据三角形全等得出BD =CE 是解题关键．23．如图1，点P 从ABC 的顶点A 出发，沿A B C →→匀速运动到点,C 图2是点P 运动时线段CP 的长度y 随时间x 变化的关系图象，其中点Q 为曲线部分的最低点，则ABC 的边AB 的长度为（ ）A ．12B ．8C ．10D ．13【答案】C 【分析】根据图2中的曲线可得，当点P 在∵ABC 的顶点A 处，运动到点B 处时，图1中的AC ＝BC ＝13，当点P 运动到AB 中点时，此时CP ∵AB ，根据图2点Q 为曲线部分的最低点，可得CP ＝12，根据勾股定理可得AP ＝5，再根据等腰三角形三线合一可得AB 的长． 【解析】根据图2中的曲线可知：当点P 在∵ABC 的顶点A 处，运动到点B 处时， 图1中的AC ＝BC ＝13， 当点P 运动到AB 中点时， 此时CP ∵AB ，根据图2点Q 为曲线部分的最低点， 得CP ＝12，所以根据勾股定理，得此时AP 5． 所以AB ＝2AP ＝10． 故选：C ． 【小结】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是综合利用两个图形给出的条件．24．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，D 是边BC 上一点，ADC 2B ∠=∠，5AD =，4AC =，则AB 的长为（ ）A ．B ．C ．6D ．8【答案】A 【分析】根据勾股定理求出CD ，根据三角形的外角的性质得到∵B ＝∵BAD ，求出BD ，计算即可． 【解析】∵∵C ＝90°，AC ＝4，AD ＝5， ∵CD ＝3，∵∵ADC ＝2∵B ，∵ADC ＝∵B +∵BAD ， ∵∵B ＝∵BAD ， ∵DB ＝AD ＝5， ∵BC ＝BD +CD ＝8，在Rt∵ABC 中，∵C ＝90°，AC ＝4，BC ＝8，∵AB ===故选：A ． 【小结】本题考查的是勾股定理、等腰三角形判定的应用，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2＝c 2是解题的关键．25．菱形CD AB 的边20AB =，面积为320，D 90∠BA <，∵O 与边AB 、D A 都相切，10AO =，则∵O 的半径长等于（ ）A ．5B ．6C ．D ．【答案】C 【分析】如图作DH∵AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．利用菱形的面积公式求出DH ，再利用勾股定理求出AH ，BD ，由∵AOF∵∵DBH ，可得=OA OFBD BH，即可解决问题． 【解析】如图作DH∵AB 于H ，连接BD ，延长AO 交BD 于E ．∵菱形ABCD 的边AB=20，面积为320， ∵AB•DH=320， ∵DH=16，在Rt∵ADH 中，12=，∵HB=AB -AH=8，在Rt∵BDH 中，=设∵O 与AB 相切于F ，与AD 相切于J ，连接OF ，OJ ，则OF∵AB ，OJ∵AD ，OF=OJ ， ∵OA 平分∵DAB ， ∵AD=AB ， ∵AE∵BD ，∵∵OAF+∵ABE=90°，∵ABE+∵BDH=90°， ∵∵OAF=∵BDH ，∵∵AFO=∵DHB=90°， ∵∵AOF∵∵DBH ， ∵=OA OFBD BH，8OF=，∵OF= 故选：C ． 【小结】本题考查切线的性质、菱形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．26．如图，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，BD 平分,5cm,3cm ABC AB BC ∠==，则AD 的长等于（ ）A ．2.5cmB ．2cmC ．1.5cmD ．3cm【答案】A 【分析】如图（见解析），先根据角平分线的性质可得CD DE =，再根据直角三角形全等的判定定理与性质可得3cm BE BC ==，从而可得2cm AE =，然后利用勾股定理可得4cm AC =，最后在Rt ADE △中，利用勾股定理即可得． 【解析】如图，过点D 作DE AB ⊥于点E ，BD 平分ABC ∠，90C ∠=︒，DE AB ⊥， CD DE ∴=，在Rt BCD 和Rt BED 中，CD DEBD BD =⎧⎨=⎩，()Rt BCD Rt BED HL ∴≅，3cm BE BC ∴==， 5cm AB =，2cm AE AB BE ∴=-=，在Rt ABC 中，90,5cm,3cm C AB BC ∠=︒==，4cm AC ∴==，设cm AD x =，则(4)cm DE CD AC AD x ==-=-， 则在Rt ADE △中，222AE DE AD +=，即2222(4)x x +-=， 解得 2.5(cm)x =， 即 2.5cm AD =， 故选：A ． 【小结】本题考查了角平分线的性质、直角三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，通过作辅助线，利用到角平分线的性质是解题关键．27．如图，∵ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，AB ∵AC ，若AB ＝4，AC ＝6，则BO 的长为（ ）A ．5B ．8C ．10D ．11【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质可得AO ＝CO ＝12AC ＝3，再利用勾股定理可得BO 的长． 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形， ∵AO ＝CO ＝12AC ＝3， ∵AB ∵AC ，AB ＝4，∵BO 5， 故选：A ． 【小结】此题主要考查了平行四边形的性质和勾股定理，解题关键是掌握平行四边形的对角线互相平分．28．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，对角线BD 的垂直平分线分别与AD ，BC 边交于点E 、F ，则四边形BFDE 的面积为（ ）A．84524B．84512C．16912D．82513【答案】A【分析】根据矩形的性质和菱形的判定得出四边形BEDF是菱形，进而利用勾股定理和菱形的面积公式解答即可．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∵AD∵BC，∵∵DEO＝∵BFO，∵EDO＝∵FBO，∵对角线BD的垂直平分线分别与AD，BC边交于点E、F，∵BO＝DO，EF∵BD，∵∵DEO∵∵BFO（AAS），∵EO＝FO，∵BO＝DO，∵四边形BEDF是平行四边形，∵EF∵BD，∵平行四边形BEDF是菱形，∵BE＝DE，∵AB＝5，AD＝12，∵A＝90°，∵BD＝13，设DE＝x，则AE＝12﹣x，在Rt∵AEB中，AB2+AE2＝BE2，即52+（12﹣x）2＝x2，∵x 16924=， ∵BE ＝DE 16924=，在Rt∵BEO 中，OE 6524===， ∵EF ＝2EO 6512=， ∵菱形BEDF 的面积116584513221224BD EF =⋅⋅=⨯⨯=， 故选：A ． 【小结】此题考查矩形的性质、菱形的性质和判定以及勾股定理，关键是根据矩形的性质和菱形的判定和性质解答． 29．如图，D 是ABC 内一点，BD CD ⊥，6AD =，4BD =，3CD =，E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点，则四边形EFGH 的周长是（ ）A ．7B ．9C ．10D ．11【答案】D 【分析】先根据勾股定理求出线段BC 的长度，再根据三角形中位线的性质定理求出 2.5EF HG ==，3EH GF ==，即可求出四边形的周长． 【解析】∵BD CD ⊥，4BD =，3CD =，由勾股定理得：5BC ==，∵E 、F 、G 、H 分别是AB 、AC 、CD 、BD 的中点， ∵12HG BC EF ==，12EH FG AD ==，∵6AD =，∵ 2.5EF HG ==，3EH GF ==，∵四边形EFGH 的周长是()2 2.5311EF FG HG EH +++=⨯+=． 故选：D ． 【小结】此题考查勾股定理的应用，三角形中位线的性质定理，熟记定理并正确应用是解题的关键．30．如图，在∵ABC 中，∵ACB =90°，AC =3、BC =4、P 、Q 两点分别在AC 和AB 上．且CP =BQ =1，在平面上找一点M ．以A 、P 、Q 、M 为顶点画平行四边形，这个平行四边形的周长的最大值为（ ）A ．12B ．4C ．6+D ．8+【答案】D 【分析】先依据勾股定理以及相似三角形的性质，即可得到PQ 的长，再分三种情况，即可得到以A 、P 、Q 、M 为顶点的平行四边形的周长，进而得出周长的最大值． 【解析】由勾股定定理得：5AB =，则4AQ =； 过点Q 作QN AC ⊥，垂足为N ，则//QN BC ， 则::4AN NC AQ QB ==， 则125AN =， 122255PN ∴=-=， 由::NQ BC AQ AB =，得165NQ =，再由勾股定理得：PQ =如图1：周长2()4PA PQ =+= 如图2：周长2()12PA PM =+=；如图3：周长2()8AQ PQ =+=∵84>88>即814.412>>，故周长的最大值是8故选：D ． 【小结】本题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理的运用，关键是作辅助线构造直角三角形，利用勾股定理计算得到PQ 的长．31．如图，在Rt ABC ∆中，90,BAC BA CA ∠=︒==D 为BC 边的中点，点E 是CA 延长线上一点，把CDE ∆沿DE 翻折，点C 落在C '处，EC '与AB 交于点F ，连接BC '．当43FA EA =时，BC '的长为（ ）AB ．CD ．【答案】D 【分析】如图，连接CC ′，过点C ′作C ′H ∵EC 于H ．设AB 交DE 于N ，过点N 作NT ∵EF 于N ，过点D 作DM ∵EC 于M ．证明∵CC ′B =90°，求出CC ′，BC 即可解决问题． 【解析】如图，连接CC′，过点C′作C′H∵EC于H．设AB交DE于N，过点N作NT∵EF于N，过点D作DM∵EC 于M．∵∵F AE=∵CAB=90°，43 FAAE，∵EF：AF：AE=5：4：3，∵C′H∵AF，∵∵EAF∵∵EHC′，∵EC′：C′H：EH=EF：AF：AE=5：4：3，设EH=3k，C′H=4k，EC′=EC=5k，则CH=EC=EH=2k，由翻折可知，∵AEN=∵TEN，∵NA∵EA，NT∵ET，∵∵NAE=∵NTE，∵NE=NE，∵∵NEA∵∵NET（AAS），∵AN=NT，EA=ET，设AE=3m，AF=4m，EF=5m，AN=NT=x，则AE=ET=3m，TF=2m，在Rt∵FNT中，∵FN2=NT2+FT2，∵（4m-x）2=x2+（2m）2，解得x=32 m，∵AC=AB，∵CAB=90°，∵BC∵CD=BD∵DM∵CM，∵DCM=45°，∵CM=DM∵AN∵DM，∵AN EA DM EM=，∵31232mAN DMEA EM m===，∵EM，∵ECk，∵k=，∵CH C H'==，∵CC'===∵DC=DC′=DB，∵∵CC′B=90°，∵BC'===故选：D．【小结】本题考查翻折变换，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，全等三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．32．如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∵DAM＝45°，点F在射线AM上，且AFBE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：∵∵ECF＝45°；∵∵AEG的周长为a；∵BE2+DG2＝EG2；∵∵EAF的面积的最大值是a2；∵当BE=a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A．∵∵∵B．∵∵∵C．∵∵∵D．∵∵∵【答案】D【分析】∵正确：如图1中，在BC上截取BH=BE，连接EH．证明∵FAE∵∵EHC（SAS），即可解决问题；∵∵错误：如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则∵CBE∵∵CDH（SAS），再证明∵GCE∵∵GCH（SAS），即可解决问题；∵正确：设BE=x，则AE=a-x，，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题；∵正确：当BE=13a时，设DG＝x，则EG＝x13+a，利用勾股定理构建方程可得x2a=，即可解决问题．【解析】如图1中，在BC上截取BH＝BE，连接EH，∵BE＝BH，∵EBH＝90°，∵EH，∵AF=，∵AF＝EH，∵∵DAM＝∵EHB＝45°，∵BAD＝90°，∵∵FAE＝∵EHC＝135°，∵BA＝BC，BE＝BH，∵AE＝HC，∵∵FAE∵∵EHC（SAS），∵EF＝EC，∵AEF＝∵ECH，∵∵ECH+∵CEB＝90°，∵∵AEF+∵CEB＝90°，∵∵FEC＝90°，∵∵ECF＝∵EFC＝45°，故∵正确，如图2中，延长AD到H，使得DH＝BE，则∵CBE∵∵CDH（SAS），∵∵ECB＝∵DCH，∵∵ECH＝∵BCD＝90°，∵∵ECG＝∵GCH＝45°，∵CG＝CG，CE＝CH，∵∵GCE∵∵GCH（SAS），∵EG＝GH，∵GH＝DG+DH，DH＝BE，∵EG＝BE+DG，故∵错误，∵∵AEG的周长＝AE+EG+AG＝AE+AH＝AD+DH+AE＝AE+EB+AD＝AB+AD＝2a，故∵错误，设BE＝x，则AE＝a﹣x，AF=，∵S∵AEF=12•（a﹣x）×x=1-2x2+12ax=1-2（x2﹣ax14+a214-a2）=1-2（x1-2a）218+a2，∵12-<0，∵x=12a 时，∵AEF 的面积的最大值为218a ，故∵正确， 当BE=13a 时，设DG ＝x ，则EG ＝x 13+a ，在Rt∵AEG 中，则有（x 13+a ）2＝（a ﹣x ）2+（23a ）2，解得x 2a=， ∵AG ＝GD ，故∵正确， 综上，∵∵∵正确， 故选：D ． 【小结】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，二次函数的应用等知识，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．33．如图，在ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，BD AE ⊥于D ，DM AC ⊥交AC 的延长线于M ，连接CD ，给出四个结论：∵45ADC ∠=︒；∵12BD AE =；∵AC BE AB +=；∵2AB BC MC -=；其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【分析】过E 作EQ ∵AB 于Q ，作∵ACN ＝∵BCD ，交AD 于N ，过D 作DH ∵AB 于H ，根据角平分线性质求出CE ＝EQ ，DM ＝DH ，根据勾股定理求出AC ＝AQ ，AM ＝AH ，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ ＝QE ，进而可判断∵；根据三角形外角性质求出∵CND ＝45°，证∵ACN ∵∵BCD ，推出CD ＝CN ，进而可判断∵∵；证∵DCM ∵∵DBH ，得到CM ＝BH ，进一步变形即可判断∵，于是可得答案． 【解析】如图，过E 作EQ ∵AB 于Q ， ∵∵ACB ＝90°，AE 平分∵CAB ，∵CE＝EQ，∵∵ACB＝90°，AC＝BC，∵∵CBA＝∵CAB＝45°，∵EQ∵AB，∵∵EQA＝∵EQB＝90°，由勾股定理得：AC＝AQ，∵∵QEB＝45°＝∵CBA，∵EQ＝BQ，∵AB＝AQ+BQ＝AC+CE，∵BE＞EQ=CE，∵∵错误；作∵ACN＝∵BCD，交AD于N，∵∵CAD＝12∵CAB＝22.5°＝∵BAD，∵∵ABD＝90°﹣22.5°＝67.5°，∵∵DBC＝67.5°﹣45°＝22.5°＝∵CAD，∵∵DBC＝∵CAD，∵AC=BC，∵ACN＝∵BCD，∵∵ACN∵∵BCD（ASA），∵CN＝CD，AN＝BD，∵∵ACN+∵NCE＝90°，∵∵NCB+∵BCD＝90°，∵∵CND＝∵CDA＝45°，∵∵ACN＝45°﹣22.5°＝22.5°＝∵CAN，∵AN＝CN，∵∵NCE＝∵AEC＝67.5°，∵CN＝NE，∵DCB=90°－67.5°=22.5°，∵BD＝AN＝EN＝12AE，∵ADC=180°－∵DAC－∵ACD=180°－22.5°－112.5°=45°，∵∵正确，∵正确；过D作DH∵AB于H，∵∵MCD＝∵CAD+∵CDA＝67.5°，∵DBA＝67.5°，∵∵MCD＝∵DBA，∵AE平分∵CAB，DM∵AC，DH∵AB，∵DM＝DH，在∵DCM和∵DBH中90 M DHB MCD DBA DM DH ︒⎧∠=∠=⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∵∵DCM∵∵DBH，∵BH＝CM，由勾股定理得：AM＝AH，∵AC AB AC AH BH AC AM CMAM AM AM+++++==＝2AMAM＝2，∵AC+AB＝2AM，即AC+AB＝2AC+2CM，∵AB﹣AC＝2CM，∵AC＝CB，∵AB﹣CB＝2CM，∵∵正确．综上，正确的有3个．故选：C．【小结】本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质、三角形的外角性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定以及勾股定理等知识，正确添加辅助线、能综合运用所学知识进行推理是解此题的关键．34．如图，在Rt ABC △中，90,30,ACB ABC CD ︒∠︒=∠=平分ACB ∠．边AB 的垂直平分线DE 分别交,CD AB 于点,D E ．以下说法错误的是（ ）A ．60BAC ∠=︒B ．2CD BE =C ．DE AC =D 12BC AB =+【答案】B 【分析】利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论． 【解析】如图，连接BD 、AD ，过点D 作DM∵BC 于M ，DN∵CA 的延长线于N ，A 、在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∵60BAC ∠=︒．故此选项说法正确； B 、∵DM∵BC ，DN∵CA ∵∵DNC ＝∵DMC ＝90°， ∵CD 平分∵ACB ， ∵∵DCN ＝∵DCM ＝45°． ∵∵DCN ＝∵CDN ＝45°．∵CN=DN ．则∵CDN 是等腰直角三角形．同理可证：∵CDM 也是等腰直角三角形，．， ∵DM=DN= CM=CN ，∵MDN ＝90°． ∵DE 垂直平分AB ， ∵BD=AD ，AB=2BE ． ∵Rt∵BDM∵∵ADN ， ∵∵BDM=∵AND ．∵∵BDM+∵ADM =∵AND+∵ADM ＝∵MDN ． ∵∵ADB=90°．=．即．∵在Rt∵AND 中，AD 是斜边，DN 是直角边，∵AD ＞DN ． ∵2BE ＞CD ．故此选项说法错误． C 、∵BD=AD ，∵ADB=90°， ∵∵ABD 是等腰直角三角形． ∵DE=12AB ． 在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，30ABC ∠=︒， ∵AC=12AB ． ∵DE=AC ．故此选项说法正确． D 、∵Rt∵BDM∵∵ADN ， ∵BM=AN ．∵CN=AC+AN=AC+BM=CM ． ∵BC=BM+CM=AC+2BM ．，．∵AC=12 AB，12AB+BC．故此选项说法正确．故选：B．【小结】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键．35．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y x=-+x轴交于B点，与y轴交于A点，点C D，在线段AB上，且22CD AC BD==，若点P在坐标轴上，则满足7PC PD+=的点P的个数是（）A．4B．3C．2D．1【答案】A【分析】作点C关于y轴的对称点'C，根据直线y x=-+x轴交于B点，与y轴交于A点，求出A，B两点的坐标，然后利用勾股定理求得'C D=，即'PD PC C D<+，可判断点P在x轴上，使得7PC PD+=的点P的个数是两个；作点D关于x轴的对称点'D，同理可判断点P在y轴上，使得7PC PD+=的点P 的个数是两个，据此求解即可．【解析】如图示，作点C关于y轴的对称点'C，直线y x =-+x 轴交于B 点，与y 轴交于A 点，则当0x =时，y =A 点坐标是：（0，，当0y =时，x =B 点坐标是：（0），∵OA OB ==∵8AB ，∵22CD AC BD ==，AB CD AC BD =++ ∵4CD =，2==AC BD ，由勾股定理可得：CE AE ==DF AF ==∵OE =OF =∵C 点坐标是：，D 点坐标是：（ ，则'C 点坐标是：（，∵'CD <∵'7CD<， 即：'P D P C C D <+， ∵如下图示，点P 在y 轴上，使得7PC PD +=的点P 的个数是两个， 如图示，作点D 关于x 轴的对称点'D ，同理可以求得'CD = 即：'P D P C C D <+，∵点P 在y 轴上，使得7PC PD +=的点P 的个数是两个，综上所述，点P 在坐标轴上，满足7PC PD +=的点P 的个数是4个， 故选：A ．【小结】本题考查了一次函数的应用、轴对称的性质、勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键． 36．在∵ABC 中，∵BAC =90°，点D 在边BC 上，AD =AB ( )A ．若AC =2AB ，则∵C =30° B ．若AC =2AB ，则3BD =2CD C ．若∵B =2∵C ，则AC =2AB D ．若∵B =2∵C ，则S ∵ABD =2∵ACD 【答案】B 【分析】根据直角三角形30°角所对边是斜边的一半，可得BC =2AB ＞AC ，从而可判断选项A 、C ；作AE∵BC ，根据勾股定理和等面积法克求得BC 、BD 和DC ，从而得出BD 和CD 的关系，可判断选项B ； 可先得出AD 为中线，根据三角形中线平分三角形的面积可判断选项D ． 【解析】由题，∵BAC=90°，点D 在BC 边上，AD=AB ，A.若AC =2AB ，则BC ==，若∵C=30°，BC=2AB ，故A 错误；B. 若AC =2AB ，则BC ，作AE∵BC ，则1122ABCSAB AC BC AE =⋅=⋅，可得AB AC AE AB BC ⋅===， ∵AD=AB ，∵5BE DE AB ===，∵,55BD AB DC BC AB AB ==-=， ∵3BD =2CD ，故B 正确；C. 若∵B =2∵C ， ∵∵BAC=90°， ∵∵B+∵C=90°， ∵∵C=30°，∵B=60°，∵BC=2AB ，AC ＜2AB ，故C 错误；D. 若∵B =2∵C ，由选项C 可得∵C=30°，∵B=60°， ∵AD=AB ，∵∵ABD 为等边三角形， ∵∵ADB=60°，∵∵DAC=∵ADB -∵C=30°=∵C ，∵AD=DC=BD ，即AD 为∵ABC 的中线， ∵S ∵ABD =S ∵ACD ，故D 错误． 故选：B ． 【小结】本题考查等边三角形的性质和判定，勾股定理，含30°角的直角三角形．熟练掌握这些定理，能借助已知条件，选择合适的定理分析是解题关键．37．在Rt ∵ABC 中，∵C =90°，点P 在边AB 上．BC =6， AC =8， ( ) A ．若∵ACP=45°， 则CP=5 B ．若∵ACP=∵B ，则CP=5 C ．若∵ACP=45°，则CP=245 D ．若∵ACP=∵B ，则CP=245【答案】D【分析】四个选项，A、C选项CP为顶角的平分线，B、D选项CP为底边上的高线，根据直角三角形斜边上的中线可得斜边上的中线等于5，利用等面积法可得底边上的高线等于245，易得三角形不是等腰三角形，所以它斜边上的高线、中线和直角的角平分线不是同一条，可得正确的为D选项．【解析】∵∵C=90°，点P在边AB上．BC=6，AC=8，∵10AB==，当CP为AB的中线时，152CP AB==，若∵ACP=45°，如图1，则CP为直角∵ACB的平分线，∵BC≠AC，∵CP与中线、高线不重合，不等于5，故A选项错误；若∵ACP=∵B，如图2∵∵ACB=90°,∵∵A+∵B=90°，∵∵A+∵ACP =90°，∵∵APC=90°，即CP为AB的高线，∵BC≠AC，∵CP与中线不重合，不等于5，故B选项错误；当CP为AB的高线时，1122ABCS AC BC AB PC =⋅=⋅△,即11861022PC⨯⨯=⨯⋅，解得245PC=,故D选项正确，C选项错误．故选：D ． 【小结】本题考查直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理等．能根据等面积法算出斜边上的高线的长度是解题关键．38．如图，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，点P 是ABC 内一点，且1CP =，BP =2AP =，以CP 为直角边，点C 为直角顶点，作等腰Rt DCP ，下列结论：∵点A 与点D ∵AP PC ⊥；∵AB =∵2APBS=，其中正确结论有是（ ）A ．∵∵∵B ．∵∵C ．∵∵D ．∵∵∵【答案】C 【分析】连结AD ，由等腰Rt ABC ，可得AC=BC ，等腰Rt DCP ，可得CD=CP ，由余角性质可∵DCA=∵PCB ，可证∵ADC∵∵BPC （SAS ）AD BP ==∵，由勾股定理22222AD +DP =+=4=AP ，可证∵ADP 为等腰直角三角形，可判断∵，由PB 与PD 可求由勾股定理，可判断∵，由面积112122APBS PB AD ===可判断∵即可 【解析】 连结AD ，在等腰Rt ABC 中，90ACB ∠=︒， ∵AC=BC ，∵Rt DCP 是等腰三角形， ∵CD=CP ，∵∵ACD+ACP=90°，∵ACP+∵PCB=90°，。

选择：1．如图，D为等腰Rt△ABC的斜边AB的中点，E为BC边上一点，连接ED并延长交CA的延长线于点F，过D作DH⊥EF交AC于G，交BC的延长线于H，则以下结论：①DE=DG；②BE=CG；③DF=DH；④BH=CF．其中正确的是（）A．②③B．③④C．①④D．①②③④2．等边三角形的一边长为6cm，则以这边上高线为边长的正方形的面积为（）A．36cm2B．27cm2C．18cm2D．12cm23．如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，已知点P是三角形内任意一点，则点P到三角形的三边距离之和PD+PE+PF等于（）A．B．C．D．无法确定4．已知点A和点B（如图），以点A和点B为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作出（）A．2个B．4个C．6个D．8个5．小明将一张正方形包装纸，剪成图1所示形状，用它包在一个棱长为10的正方体的表面（不考虑接缝），如图2所示．小明所用正方形包装纸的边长至少为（）A．40B．30+2C．20D．10+106．平面上有A、B两点，在平面内找点C，使得△ABC为等腰直角三角形的点C 有（）A．2个B．4个C．6个D．8个7．以线段AB为一边的等腰直角三角形有（）A．1个B．2个C．4个D．6个8．已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，第n个等腰直角三角形的面积是（）A．2n﹣2B．2n﹣1C．2n D．2n+19．下列命题中不正确的是（）A．有两个角相等的三角形是等腰三角形B．等腰三角形一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半C．等腰三角形两底角相等D．有一个角的平分线平分对边的三角形一定是等腰直角三角形10．如图，以直角三角形三边为边长作正方形，其中两个以直角边为边长的正方形面积分别为225和400，则正方形A的面积是（）A．175B．575C．625D．70011．如图是我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形、如果大正方形的面积13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长的直角边为b，那么（a+b）2的值为（）A．169B．25C．19D．1312．直角三角形有一条直角边长为13，另外两条边长为连续自然数，则周长为（）A．182B．183C．184D．18513．男孩戴维是城里的飞盘冠军，戈里是城里最可恶的踩高跷的人，两人约定一比高低．戴维直立肩高1m，他投飞盘很有力，但需在13m内才有威力；戈里踩高跷时鼻子离地13m，他的鼻子是他唯一的弱点．戴维需离戈里多远时才能击中对方的鼻子而获胜？（）A．7m B．8m C．6m D．5m14．如图，在4×4方格中作以AB为一边的Rt△ABC，要求点C也在格点上，这样的Rt△ABC能作出（）A．2个B．3个C．4个D．6个15．如图，直角三角形三边上的半圆面积从小到大依次记为S1、S2、S3，则S1、S2、S3之间的关系是（）A．S l+S2＞S3B．S l+S2＜S3C．S1+S2=S3D．S12+S22=S3216．直角三角形有一条直角边的长是11，另外两边的长都是自然数，那么它的周长是（）A．132B．121C．120D．以上答案都不对17．已知△ABC中，AB=AC=10，BD是AC边上的高线，DC=2，那么BD等于（）A．4B．6C．8D．18．一个直角三角形有两边长分别是6和8，下列说法正确的是（）A．第三边长是10B．三角形的周长是24C．三角形的面积是24D．第三边是10或219．一架2.5米长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端距墙脚2.4米．那么梯足离墙脚的距离是（）米．A．0.7B．0.9C．1.5D．2.420．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=2，则AB为（）A．整数B．分数C．有理数D．以上都不对21．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则BC：AC：AB=（）A．1：2：3B．1：4：9C．1：：D．1：：222．已知∠AOB=90°，点P在∠AOB的平分线上，OP=6，则点P到OA，OB 的距离为（）A．6，6B．3，3C．3，3D．3，323．已知直角三角形的斜边为2，周长为．则其面积是（）A．B．1C．D．224．设直角三角形的三边长分别为a、b、c，若c﹣b=b﹣a＞0，则=（）A．2B．3C．4D．525．如图Rt△ABC中，AB=BC=4，D为BC的中点，在AC边上存在一点E，连接ED，EB，则△BDE周长的最小值为（）A．2B．2C．2+2D．2+226．如图是某几何体的三视图及相关数据，则判断正确的是（）A．a＞c B．b＞c C．4a2+b2=c2D．a2+b2=c227．如图，一圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6，D为PB的中点．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为（）A．B．2C．3D．328．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5B．25C．10+5D．3529．如图，一只蚂蚁从长宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B 点，那么它所行的最短路线的长是（）A．（3+8）cm B．10cm C．14cm D．无法确定30．如图，是一块长、宽、高分别是4cm，2cm和1cm的长方体木块、一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．5cm B．5.4cm C．6.1cm D．7cm31．如图，边长为1的立方体中，一只蚂蚁从A顶点出发沿着立方体的外表面爬到B顶点的最短路程是（）A．3B．C．D．132．如图是一块长，宽，高分别是6cm，4cm和3cm的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面到长方体上和A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A．（3+2）cm B．cm C．cm D．cm33．如图，点A的正方体左侧面的中心，点B是正方体的一个顶点，正方体的棱长为2，一蚂蚁从点A沿其表面爬到点B的最短路程是（）A．3B．C．D．434．如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（）A．3米B．4米C．5米D．6米35．如图，一圆柱体的底面圆周长为24cm，高AB为4cm，BC是直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的表面爬行到点C的最短路程是（）A．4B．4C．D．π+36．如图，是一个棱长为2的正方体，一只蜘蛛在顶点A处，一只小昆虫在顶点B处，则蜘蛛接近小昆虫时所爬行的最短路线的长是（）A．6B．2+C．D．37．如图，在棱长为20cm的正方体盒子上有一只蚂蚁欲从A点出发向B爬去吃食，则蚂蚁所走最短路程是（）A．40cm B．20cm C．20cm D．20cm38．正方体盒子的棱长为2，BC的中点为M，一只蚂蚁从A点爬行到M点的最短距离为（）A．B．C．5D．2+39．有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为（）A．5cm B．cm C．4cm D．3cm40．如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）A．7B．C．D．541．如图，边长为2的正方体中，一只蚂蚁从正方体下方一边AB的中点P出发，沿着正方体的外表面爬到其一顶点C′处的最短路径是（）A．B．C．D．42．如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（）m．A．4.8B．C．5D．43．在下列条件中：①∠A+∠B=∠C，②∠A：∠B：∠C=1：2：3，③∠A=90°﹣∠B，④∠A=∠B=∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个44．一个三角形如果有两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形45．已知二条线段的长分别为cm，cm，那么能与它们组成直角三角形的第三条线段的长是（）A．1cm B．cm C．5cm D．1cm与cm46．在三边分别为下列长度的三角形中，哪些不是直角三角形（）A．5，13，12B．2，3，C．4，7，5D．1，，47．在下列以线段a、b、c的长为边，能构成直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=6B．a=5，b=6，c=7C．a=6，b=8，c=9D．a=7，b=24，c=2548．以下列各组线段作为三角形的三边，其中能够组成直角三角形的是（）A．6，7，8B．5，6，7C．4，5，6D．5，12，1349．三角形的三边长分别为a2+b2、2ab、a2﹣b2（a、b都是正整数），则这个三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．不能确定50．如果△ABC的三边分别为m2﹣1，2m，m2+1（m＞1）那么（）A．△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B．△ABC是直角三角形，且斜边长为2mC．△ABC是直角三角形，但斜边长需由m的大小确定D．△ABC不是直角三角形51．下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．1.5，2，3B．7，24，25C．6，8，10D．9，12，1552．△ABC中∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（）A．如果∠C﹣∠B=∠A，则△ABC是直角三角形B．如果c2=b2﹣a2，则△ABC是直角三角形，且∠C=90°C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，则△ABC是直角三角形D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形53．判断下列几组数据中，可以作为直角三角形的三条边的是（）A．6，15，17B．7，12，15C．13，15，20D．7，24，2554．在△ABC中，AB=12cm，BC=16cm，AC=20cm，则△ABC的面积是（）A．96cm2B．120cm2C．160cm2D．200cm255．以下列各组数据为边长作三角形，其中能组成直角三角形的是（）A．3，5，3B．4，6，8C．7，24，25D．6，12，1356．下列各组数中，可以构成直角三角形的三边长的是（）A．3，4，5B．4，5，6C．5，6，7D．6，7，857．下列各组中不能作为直角三角形的三边长的是（）A．6，8，10B．7，24，25C．9，12，15D．15，20，3058．若线段a，b，c能构成直角三角形，则它们的比为（）A．2：3：4B．3：4：6C．5：12：13D．4：6：759．下列由线段a、b、c组成的三角形，不是直角三角形的是（）A．a=3，b=4，c=5B．a=1，b=，c=C．a=9，b=12，c=15D．a=，b=2，c=60．下列各组数中能够作为直角三角形的三边长的是（）A．2，3，4B．12，22，32C．4，5，9D．，2，61．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（）A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，662．已知三角形的三边长之比为1：1：，则此三角形一定是（）A．锐角三角形B．钝角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形63．适合下列条件的△ABC中，直角三角形的个数为（）①a=，b=，c=②a=6，∠A=45°；③∠A=32°，∠B=58°；④a=7，b=24，c=25⑤a=2，b=2，c=4A．2个B．3个C．4个D．5个64．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（）A．a=9，b=41，c=40B．a=b=5，c=5C．a：b：c=3：4：5D．a=11，b=12，c=1565．如图所示，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且AB=4，BD=5，则点D到BC的距离是（）A．3B．4C．5D．666．如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（）A．+1B．﹣+1C．﹣1D．67．下面四组数中是勾股数的有（）（1）1.5，2.5，2；（2），，2；（3）12，16，20；（4）0.5，1.2，1.3．A．1组B．2组C．3组D．4组68．如图，正方形ABCD的边长为3，E在BC上，且BE=2，P在BD上，则PE+PC的最小值为（）A．B．C．D．填空：1．正方形的面积为18cm2，则正方形对角线长为cm．2．求图中直角三角形中未知的长度：b=，c=．3．Rt△ABC，∠C=90°，a=8，b=15，则c=．4．若直角三角形两直角边之比为3：4，斜边长为20，则它的面积为．5．已知，如图所示，Rt△ABC的周长为4+2，斜边AB的长为2，则Rt△ABC的面积为．6．直角三角形的两条边长分别为3、4，则它的另一边长为．7．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=6，则图中阴影部分的面积为．8．在直角三角形中，斜边与较小直角边的和，差分别为8，2，则较长直角边长为．9．△ABC中，∠C=90°，若a：b=3：4，c=10，则a=，b=．10．如图，三个正方形中的两个的面积S1=25，S2=144，则另一个的面积S3为．11．若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积为．12．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC=45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C′处，则BC′与BC之间的数量关系是BC′=BC．13．如图，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需米．14．如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有m．15．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有米．16．小明要把一根长为70cm的长的木棒放到一个长、宽、高分别为50cm，40cm，30cm的木箱中，他能放进去吗？（填“能”或“不能”）．17．小明想知道学校旗杆有多高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还余1m，当他把绳子下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，则旗杆高度为米．18．如图，在校园内有两棵树，相距12m，一棵树高13m，另一棵树高8m，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞m．19．你听说过亡羊补牢的故事吗如图，为了防止羊的再次丢次，小明爸爸要在高0.9m，宽1.2m的栅栏门的相对角顶点间加一个加固木板，这条木板需m长．20．如图，将一根长24cm的筷子，底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h cm，则h的最小值是cm．21．如图，一架10米长的梯子斜靠在墙上，刚好梯顶抵达8米高的路灯．当电工师傅沿梯上去修路灯时，梯子下滑到了B′处，下滑后，两次梯脚间的距离为2米，则梯顶离路灯米．22．如图所示的圆柱体中底面圆的半径是，高为2，若一只小虫从A点出发沿着圆柱体的侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是．（结果保留根号）23．如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m．（结果不取近似值）24．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是半径为4m的半圆，其边缘AB=CD=20m，点E在CD上，CE=2m，一滑板爱好者从A点滑到E 点，则他滑行的最短距离约为m．（边缘部分的厚度忽略不计，结果保留整数）25．如图是一个三级台阶，它的每一级长、宽、高分别是2米、0.3米、0.2米，A，B是这个台阶上两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．26．一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．27．如图，有一圆柱，其高为12cm，底面半径为3cm，在圆柱下底面A点处有一只蚂蚁，它想得到上底面B处的食物，则蚂蚁经过的最短距离为cm．（π取3）28．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为7寸、5寸和3寸，A和B是这个台阶的两个相对端点，A点上有一只蚂蚁想到B点去吃可口的食物，则它所走的最短路线长度是寸．29．在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的棱长和场地宽AD平行且大于AD，木块的正视图是边长为0.2米的正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到0.01米）30．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，然后依此类推，若正方形①的边长为64cm，则第④个正方形的边长为cm．31．如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接触，则此时水杯中的水深为cm．32．底角等于顶角一半的等腰三角形是三角形；如果一个等腰三角形的一个顶角为80°，那么它的一个底角为°．33．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连接DC，以DC为边作等边△DCE．B、E在C、D的同侧，若AB=，则BE=．34．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为．35．如图所示，在△ABC中，∠C=2∠B，点D是BC上一点，AD=5，且AD⊥AB，点E是BD的中点，AC=6.5，则AB的长度为．36．如图，一束光线从y轴上点A（0，1）发出，经过x轴上点C反射后，经过点B（6，2），则光线从A点到B点经过的路线的长度为．（精确到0.01）37．把两块含有30°的相同的直角三角尺按如图所示摆放，使点C、B、E在同一直线上，连接CD，若AC=6cm，则△BCD的面积是cm2．38．如图，以直角△ABC的三边向外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3且S1=4，S2=8，则S3=．39．已知，如图，O是△ABC的∠ABC、∠ACB的角平分线的交点，OD∥AB交BC于D，OE∥AC交BC于E，若BC=10cm，则△ODE的周长cm．40．如图，图1供你参考，四边形BDEF是长方形，AD=5，BF=7，EF=4，CF=10，图2是以三角形a的三边为边长向外作正方形，正方形的面积表示在图中，则三角形a的面积是．41．如图，已知△ADC中，∠ADC=90°，AD=DC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，则AC 的长是．42．如图，△ABC中，∠C=90°，∠1=∠B，CD=5，BD=13，则AC=．43．如图，分别以直角三角形三边向外作三个半圆，若S1=30，S2=40，则S3=．44．P在∠MON的角平分线上，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，若OA=6cm，OP=10cm，那么则PB=cm．45．若等腰三角形ABC的周长为16cm，底边BC上高线AD长为4cm，则三角形ABC的面积是cm2．46．如图，△ABD和△ACE都是等腰直角三角形，∠BAD和∠CAE是直角，若AB=6，BC=5，AC=4，则DE的长为．47．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是a，则图中四个小正方形A、B、C、D的面积之和是．48．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，分别以AC、BC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．49．在直线l上依次摆放着七个正方形（如图所示）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1，2，3，正放置的四个正方形的面积依次是S1，S2，S3，S4，则S1+S2+S3+S4=．解答：1．如图1所示为一上面无盖的正方体纸盒，现将其剪开展成平面图，如图2所示．已知展开图中每个正方形的边长为1．（1）求在该展开图中可画出最长线段的长度这样的线段可画几条？（2）试比较立体图中∠BAC与平面展开图中∠B′A′C′的大小关系？2．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=∠ECD=90°，D为AB 边上一点，求证：（1）△ACE≌△BCD；（2）AD2+DB2=DE2．3．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A 落在点A′处；（1）求证：B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．4．△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c．若∠C=90°，如图1，根据勾股定理，则a2+b2=c2．若△ABC不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论．5．（1）四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开，大会会标如图（1）．它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积．（2）现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图（2），请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．（要求：先在图（2）中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）6．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边长分别为a、b、c，设△ABC 的面积为S，周长为l．（1）填表：三边a、b、c a+b﹣c3、4、525、12、1348、15、176（2）如果a+b﹣c=m，观察上表猜想：=，（用含有m的代数式表示）；（3）说出（2）中结论成立的理由．7．如图所示，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，则EC的长为cm．8．如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE=3cm，AB=8cm，求图中阴影部分的面积．9．在学习勾股定理时，我们学会运用图（I）验证它的正确性；图中大正方形的面积可表示为：（a+b）2，也可表示为：c2+4•（ab），即（a+b）2=c2+4•（ab）由此推出勾股定理a2+b2=c2，这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．（1）请你用图（II）（2002年国际数字家大会会标）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形全等）；（2）请你用（III）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证（x+y）2=x2+2xy+y2；（3）请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+p）（x+q）=x2+px+qx+pq=x2+（p+q）x+pq．10．据我国古代《周髀算经》记载，公元前1120年商高对周公说，将一根直尺折成一个直角，两端连接得一个直角三角形，如果勾是三、股是四，那么弦就等于五．后人概括为“勾三，股四，弦五”．（1）观察：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．计算（9﹣1）、（9+1）与（25﹣1）、（25+1），并根据你发现的规律，分别写出能表示7，24，25的股和弦的算式；（2）根据（1）的规律，用n（n为奇数且n≥3）的代数式来表示所有这些勾股数的勾、股、弦，合情猜想他们之间二种相等关系并对其中一种猜想加以证明；（3）继续观察4，3，5；6，8，10；8，15，17；…，可以发现各组的第一个数都是偶数，且从4起也没有间断过．运用类似上述探索的方法，直接用m（m 为偶数且m＞4）的代数式来表示他们的股和弦．11．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB=AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC的距离分别为h1、h2．（1）请你结合图形来证明：h1+h2=h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y=x+3，l2：y=﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．12．如图，正方形MNPQ网格中，每个小方格的边长都相等，正方形ABCD 的顶点在正方形MNPQ的4条边的小方格顶点上．（1）设正方形MNPQ网格内的每个小方格的边长为1，求：①△ABQ，△BCM，△CDN，△ADP的面积；②正方形ABCD的面积；（2）设MB=a，BQ=b，利用这个图形中的直角三角形和正方形的面积关系，你能验证已学过的哪一个数学公式或定理吗？相信你能给出简明的推理过程．13．如图（1）所示，一个梯子AB长2.5米，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1.5米，梯子滑动后停在DE位置上，如图（2）所示，测得BD=0.5米，求梯子顶端A下落了多少米？14．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？15．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？16．为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图所示AB所在的直线建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于A，DB⊥AB 于B，已知AB=25km，CA=15km，DB=10km，试问：图书室E应该建在距点A多少km处，才能使它到两所学校的距离相等？17．如图所示的一块地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积．18．如图，公路AB和公路CD在点P处交会，且∠APC=45°，点Q处有一所小学，PQ=，假设拖拉机行驶时，周围130m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为36km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？19．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险，没有了水，需要寻找水源．为了不致于走散，他们用两部对话机联系，已知对话机的有效距离为15千米．早晨8：00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走，1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北行进，上午10：00，甲、乙二人相距多远？还能保持联系吗？20．如图，∠AOB=90°，OA=45cm，OB=15cm，一机器人在点B处看见一个小球从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O，机器人立即从点B出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点C处截住了小球．如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少？21．印度数学家什迦逻（1141年﹣1225年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴，面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立，忽被强风吹一边，渔人观看忙向前，花离原位二尺远；能算诸君请解题，湖水如何知深浅”请用学过的数学知识回答这个问题．22．如图，两个小滑块A、B由一根连杆连接，A、B分别可以在互相垂直的两个滑道上滑动．开始时滑块A距O点16cm，滑块B距O点12cm．那么滑块A向下滑动6cm时，求滑块B向外滑动了多少cm？（结果精确到0.1cm，其中，）23．请阅读下列材料：问题：如图（1），一圆柱的底面半径、高均为5cm，BC是底面直径，求一只蚂蚁从A点出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线．小明设计了两条路线：路线1：侧面展开图中的线段AC．如下图（2）所示：设路线1的长度为l1，则l12=AC2=AB2+2=52+（5π）2=25+25π2路线2：高线AB+底面直径BC．如上图（1）所示：设路线2的长度为l2，则l22=（AB+BC）2=（5+10）2=225l12﹣l22=25+25π2﹣225=25π2﹣200=25（π2﹣8）＞0∴l12＞l22，∴l1＞l2所以要选择路线2较短．（1）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1cm，高AB为5cm”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算：路线1：l12=AC2=；路线2：l22=（AB+BC）2=∵l12l22，∴l1l2（填＞或＜）∴选择路线（填1或2）较短．（2）请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r，高为h时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短．24．从下面两个题目中任选一题作答：（A题）折竹抵地今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问折者高几何（如图）友情提醒：请写出解答这首诗的方法和步骤．（B题）海岛算经三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题，是数学史上有名的测量问题．今译如下：如图，要测量海岛上一座山峰A的高度AH，立两根高三丈的标杆BC和DE，两竿相距BD=1000步，D、B、H成一线，从BC退行123步到F，人目着地观察A，A、C、F三点共线；从DE退行127步到G，从G看A，A、E、G三点也共线．试算出山峰的高度AH及HB的距离．（古制1步=6尺，1里=180丈=1800尺=300步．结果用里和步来表示）友情提醒：请写出必要的算法和过程．25．梅华中学九年级数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB的高度．如图，当阳光从正西方向照射过来时，旗杆AB的顶端A 的影子落在教学楼前的坪地C处，测得影长CE=2m，DE=4m，BD=20m，DE 与地面的夹角α=30度．在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m．根据这些数据求旗杆AB的高度．（可能用到的数据：≈1.414，≈1.732，结果保留两个有效数字）26．参照如图，写出勾股定理的逻辑证明．27．利用下面的图形分别给出勾股定理的两种证明．28．如图，在平面内，把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A′BC′D′．设AB=a，BC=b，BD=c．请利用该图验证勾股定理．。

轴对称与等腰三角形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线，直线两旁的部分能够，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做 .折叠后重合的点是对应点，叫做 .轴对称变换：由一个平面图形得到它的图形叫做轴对称变换.线段的垂直平分线的画法：线段的垂直平分线性质及判定：定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。

性质：判定：等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）.（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.（3）等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴. （4）等腰三角形两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线也相等.（5）等腰三角形一腰上的高与底边的夹角是顶角的一半。

（6）等腰三角形顶角的外角平分线平行于这个三角形的底边.等边三角形的性质（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.（2）等边三角形是轴对称图形，共有三条对称轴.（3）等边三角形每边上的中线、高和该边所对内角的平分线互相重合.1.在下列说法中，正确的是（）A.如果两个三角形全等，则它们必是关于直线成轴对称的图形;B.如果两个三角形关于某直线成轴对称，那么它们是全等三角形;C.等腰三角形是关于底边中线成轴对称的图形;D.一条线段是关于经过该线段中点的直线成轴对称的图形2.下列说法错误的是（）A.D、E 是线段AB 的垂直平分线上的两点，则AD=BD，AE=BEB.若AD=BD，AE=BE，则直线DE 是线段AB 的垂直平分线C.若PA=PB，则点P 在线段AB 的垂直平分线上D.若PA=PB，则过点P 的直线是线段AB 的垂直平分线3.若A、B 是同一平面内的两点，则以AB 为一边可以作出（）个等腰直角三角形A.3B.4C.5D.64.如图，已知AB=AC=BD，那么（）A.∠1=∠2B.2∠1+∠2=180°C.∠1+3∠2=180°D.3∠1-∠2=180°5.在4 4的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影（如图），若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形.那么符合条件的小正方形共有（）A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个6.已知,如图,下列三角形中,AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）A.①③④B.①②③④C.①②④D.①③7.如图，三角形纸片ABC，AB=10,BC=7,AC=6，沿过点B 的直线折叠这个三角形，使顶点C 落在AB 边上的点E 处，折痕为BD，则△AED 的周长为 cm。

2 1C D BA 等腰三角形与勾股定理一、 选择题1.如图，已知直线110AB CD DCF =︒∥，∠，且AE AF =，则A ∠等于（ ）A ．30︒B ．40︒C ．50︒D ．70︒2.如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝6，BC ＝8，AE 平分么BAC 交BC 于点E ，点D 为AB 的中点，连结DE ，则△BDE 的周长是( )A ．7+5B ．10C ．4+25D ．123.如图，等边△ABC 的边长为3，P 为BC 上一点，且BP ＝1，D 为AC 上一点，若∠APD ＝ 60°，则CD 的长为（ ）A ．32B ．23C ．12D ．344.如图， ABC △中，CD AB ⊥于D ，一定能确定ABC △为直角三角形的条件的个数 是（ ）①1A ∠=∠，②CD DB AD CD= ③290B ∠+∠=°，④345BC AC AB =∶∶∶∶，⑤AC BD AC CD =··A ．1B ．2C ．3D ．45.图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若A D CP B60°A F BDE正方形A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面积是( )A ．13B ．26C ．47D ．946.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是（ ）A．．25 C．5 D ．35二、 填空题1.已知等腰ABC △的周长为10，若设腰长为x ，则x 的取值范围是 ．2.在△A BC 中，AB ＝AC ，AB 的垂直平分线与AC 所在的直线相交所得到锐角为50°，则∠B 等于_____________度．3.如图，等腰ABC △中，AB AC =，AD 是底边上的高，若5cm 6cm AB BC ==，，则AD = cm ．4.在ABC △中，12cm 6cm AB AC BC D ===，，为BC 的中点，动点P 从B 点出发，以每秒1cm 的速度沿B A C →→的方向运动．设运动时间为t ，那么当t = 秒时，过D 、P 两点的直线将ABC △的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍．AC D B5.如图，在边长为1的等边△ABC 中，中线AD 与中线BE 相交于点O ，则OA 长度为 ．6.如图，已知在Rt ABC △中，Rt ACB ∠=∠，4AB =，分别以AC ，BC 为直径作半圆，面积分别记为1S ，2S ，则1S +2S 的值等于 ．7.已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为 ．第12题图8.某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．9.如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ．如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ；如果从点A 开始经过4个侧面缠绕n 圈到达点B ，那么所用细线最短需要 cm ．BC A 30°CABS 1S 2【参考答案】一、选择题1. B 解析：本题考查平行线的性质、等腰三角形的性质等知识，∵110AB CD DCF =︒∥，∠，所以110EFB DCF ∠=∠=︒，∴70AFE ∠=︒，∵AE AF =，∴70E AFE ∠=∠=︒，∴40A ∠=︒，故选B.2.B3.B4.C5.C6.B二、填空题1.2．5＜x ＜52.︒70或︒203.4 解析：本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理。