热动平衡判据

§3.1 热动平衡判据
当均匀系统与外界达到平衡时，系统的热力学参量必须满足一定的条件，称为系
统的平衡条件。

这些条件可以利用一些热力学函数作为平衡判据而求出。

下面先介绍几种常用的平衡判据。

一、平衡判据
1、熵判据
熵增加原理，表示当孤立系统达到平衡态时，它的熵增加到极大值，也就
是说，如果一个孤立系统达到了熵极大的状态，系统就达到了平衡态。

于是，我们就
能利用熵函数的这一性质来判定孤立系统是否处于平衡态，这称为熵判据。

孤立系统是完全隔绝的，与其他物体既没有热量的交换，也没有功的交换。

如果只有体积变化功，孤立系条件相当与体积不变和内能不变。

因此熵判据可以表述如下：一个系统在体积和内能不变的情形下，对于各种可能
的虚变动，平衡态的熵最大。

在数学上这相当于在保持体积和内能不变的条件下通过
对熵函数求微分而求熵的极大值。

如果将熵函数作泰勒展开，准确到二级有因此孤立系统处在稳定平衡态的必要和充分条件为
既围绕某一状态发生的各种可能的虚变动引起的熵变，该状态的熵就具有极大值，是稳定的平衡状态。

如果熵函数有几个可能的极大值，则其中最大的极大相应于稳定平衡，其它较小
的极大相应于亚稳平衡。

亚稳平衡是这样一种平衡，对于无穷小的变动是稳定是，对
于有限大的变动是不稳定的。

如果对于某些变动，熵函数的数值不变，，这相当于中性平衡了。

熵判据是基本的平衡判据，它虽然只适用于孤立系统，但是要把参与变化的全部
物体都包括在系统之内，原则上可以对各种热动平衡问题作出回答。

不过在实际应用上，对于某些经常遇到的物理条件，引入其它判据是方便的，以下将讨论其它判据。

2、自由能判据
表示在等温等容条件下，系统的自由能永不增加。

这就是说，处在等温等
容条件下的系统，如果达到了自由能为极小的状态，系统就达到了平衡态。

我们可以
利用函数的这一性质来判定等温等容系统是否处于平衡态，其判据是：系统在等温等容条件下，对于各种可能的变动，平衡态的自由能最小。

这一判据称为自由能判据。

按照数学上的极大值条件，自由能判据可以表示为：;
由此可以确定平衡条件和平衡的稳定性条件。

所以等温等容系统处于稳定平衡状态的必要和充分条件为：
3吉布斯函数判据
在等温等压过程中，系统的吉布斯函数永不增加。

可以得到吉布斯函数判据：系统在等温等压条件下，对于各种可能的变动，平衡态的吉布斯函数最小。

数学表达式为,
等温等压系统处在稳定平衡状态的必要和充分条件为
除了熵，自由能和吉布斯函数判据以外，还可以根据其它的热力学函数性质进行
判断。

例如，内能判据，焓判据等。

二、平衡条件
做为热动平衡判据的初步应用，我们考虑一个均匀的物质系统与具有恒定温度和
恒定压强的热源相互接触，在接触中二者可以通过功和热量的方式交换能量。

我们推求在达到平衡时所要满足的平衡条件和平衡稳定条件。

1．平衡条件
现在利用熵判据求系统的平衡条件。

我们将系统和热源合起来构成一个孤立系
统，设系统的熵为S，热源的熵为因为熵是一个广延量，具有可加性，则孤立系统的总熵（用）为：(1)
当达到平衡态时，根据极值条件可得：(2)
由热力学基本方程得
(3)
注意到组合系统是孤立的，必须满足
(4)
将（3）代入（2）得
将（4）代入上式得
（5）
因为式中U，V为独立参量，可任意变化，所以为使上式成立，各系数必须恒等
于零。

由此可得：(6)
此式即为系统于外界保持平衡时应满足的条件。

表明系统和外界的温度相等，是系统和外界在热接触的情况下应满足的平衡条件，称为热平衡条件。

表明系统和外界压强相等，称为力学平衡条件。

为了保证平衡状态的稳定性，系统除了满足平衡条件外，还要满足平衡稳定条件。

2、平衡稳定条件
由熵判据可知系统稳定平衡时需满足
即
因为系统与热源发生相互作用而破坏平衡时，热源的状态改变很小，也就是对平衡态的偏离很小，所以可忽略。

此时系统的平衡稳定条件简化为
（8）
（法一）由（3）式
将上式再微分一次，略去和
利用线性代数求得
（法二）根据泰勒展式。

将（8）式展为
2
通过导数变换，根据线性代数关系求得，(9)
是平衡的稳定性条件。

其中反映了系统的热动稳定性的要求，
反映了系统的力学稳定性的要求。