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1.解：由0.12200010000n a ⨯=得0.125n a = 查表得：8<n<9 ∴[n]=8,则：980.122000 1.121000179.47366a X X -⨯+⨯=≈故：4530.122000 1.124917.72B a X -=⨯+⨯≈ 2.解：设分十年均衡偿还的年金额为Y ，则100.08Y a X ⨯=100.08X Y a =由题意得：1010100.081.0810468.05101.08468.05700X X Y X X X a X ⨯-=-+⨯-=≈3.解：由题意知每个季度的实际利率为2.5%，设最初贷款额为X ，则440.0251.02515001200016514.375X s X ⨯-⨯=≈4.解：由题意得100.08(10000)10000X i s -⨯=100.081000010000X i s =+……① 100.08100.08(10000)(1.520000)X i s X i s -⨯=-⨯ 0.510000X i =……②把①代入②得：500050001000014.4865610.069014.48656i ii +=≈≈5.未来法:8320001000i i s a ⨯+⨯过去法721510552(200010001000)(1)4000(1)3000i i i i i a a a i s i s ⨯+⨯+⨯⨯+-⨯⨯+-⨯ 6.解：112213t n t t n t t n t t n t B a B a B a B a -+--+--+--====⑴对于212312()()()t t t t t t B B B B B B +++++--=-1231212221212321111(1)(1)(1)()()()()n t n t n t n t n t n t n t t t t t v v v v v v v v v v B B B B i i i i i i i ---------------+++---------=--=⨯=12112221222212211(1)(1)()()()n t n t n t n t t t v v v v v v B B i i i i ----------++-----=-==所以212312()()()t t t t t t B B B B B B +++++--=-⑵对于312t t t t B B B B ++++<+ 因为3123123121321211221()1111(1)[(1)(1)](1)(1)0,(1)0,(1)0t t t t t t t t n t n t n t n t n t n t n t n t B B B B B B B B v v v v i i i i v v v v iv v v v iv v v iv v v ++++++---------------------+-+=+------=+---+-+=-+--+=--=>->-< 所以312t t t t B B B B ++++<+7.解：设月实际利率为j ，则1114812804012080120(1)(1)1.5100000110000077103.811j j j i v B a a v ---+=+=-=⨯=⨯≈-8.解：由题意知前12次的季实际利率为0.03，调整后的季实际利率为0.035，则121212120.03120.03523115 1.03 1.0351000 1.0351********.39s s ⨯⨯-⨯⨯-⨯≈9.解：由题意，设第k 年末的偿还额X 中有 利息部分2012010.09(1)k R k I a X v -+-+==⨯- 本金部分201k R R B X I X v -+=-=⨯∴201201201(20)1(1)1.090.5ln 0.520ln1.0913k R R k k k B X I X v v X X v k k -+-+-+--+-=-=⨯-⨯=⨯=-+=≈10.解：设6(1)i X -+=,第9年的付款额为Y ，则由题意得61221000(1)1366.87(1)10001.3668710i i X X --⨯++⨯+=+-=取X ≈0.5644736即6(1)0.5644736i -+= ∴69321000(1)(1)100010000.56447360.564473610001026.95i Y i Y Y --⨯++⨯+=⨯+⨯=≈11.解：设每次的偿还额为X ，由题意知季实际利率为2.5%，则18181550.025100100 1.025155.96587155.96587724.59X v X B a ⋅==⨯≈=⨯≈12.解：设n 为变化的第7次后的剩余还款时间。
利息理论债务偿还习题答案第六章债务偿还讨论（A ）1、某人投资一笔款项，以获得n 年的年末付年金，每次付1，预定年利率为i 。
第1年，这笔投资实际投资利率为i ，年末获得额度为1的付款，而在第2年，利率增至j ，j>i ，若：（1）第3年开始直到第n 年，年利率又降至i ；（2）直至n 年末，利率保持j 。
计算变化后这两种情形下的年付款额。
解题提示：见讲义2、某人贷款1000元，每年计息4次的年名义利率为12％，贷款偿还时间及数额为第1年末400元，第5年末800元，第10年末偿还剩余的部分，计算第10年末的偿还额及其共包含的本金和利息。
解：每季度的实际利率为12%/4=3%，偿还款发生在第4季度末、第20季度末和第40季度末，设最后一次偿还款为P ，各次偿还款的现值之和等于贷款额，故而有：1000=400（1.03）-4+800（1.03）-20+P （1.03）-40 =355.39+422.94+0.30655P P=657.86首期偿还款中的利息部分为：1000【（1.03）4-1】=125.51（元）因而首期偿还款中的本金部分为：400-125.51=274.49（元）第一次还款结束后，贷款余额为1000-274.49=725.51（元）在第二次还款时所生利息为：725.51【（1.0316）-1】=438.72（元）因而第二次偿还款中的本金部分为800-438.72=361.28（元）第三次偿还款中的本金部分为725.51-361.28=364.23（元）则最后一次还款中的本金部分为364.23元，利息部分为657.86-364.23=293.61（元）3、甲购买住房，贷款2000 000元，分三次领取。
办理贷款后，首次领取1000 000元，半年后又领取500000元，1年末又领取500 000元。
贷款按每年计息2次的年名义利率12％进行分期按月偿还，为期30年。
前5年每月偿还额是其后各年每月偿还额的一半。
第四章债务偿还1.解：5510000 1.1220004917.72s ⨯-=2.解：()10100.081.081468.0510x x x a -=+⋅-3.解：设共需还款n 次415001200n a -=最初贷款额1500n a =4.解： 100.0810000100001.5100002X i P Ps X i P =+⎧⎪=⎨⎪=⨯+⎩5.解：过去法：()()()()7251051510524000300020001400013000a a a a a i s i s ⎡⎤+-+-+-+-⎣⎦ 未来法：33530002000a a v +7.解：()11481211 1.5i i +=+=月 80120100000i i a a 月月8.解:由于不知利率上调后偿还期的变化，因此用过去法比较简便()()121212120.03120.0352311510.0310.0351000 1.0351000s s ++-- 9.解：2012011k k v v -+-+=-10.解：()()()6126100011366.87110001i i i ---+++=⇒+= ()31366.871i -∴+= 11.解：2016120171201812019120201vv v v v -+-+-+-+-+++++ 5543211v v v v v v i -=++++=； 2031100Pv P -+=⇒；51v P i- 12.解：20817720(1)k s v a i a -++=+- （k 为剩余还款数）解得：k =12原利息：2020a -； 现利息：207x k a ++-∴节省利息 131********x k v v --=--=-13.解：()()358113522114144113511080.25P P v P v v -+-+=⎧⎧-=⎪⎪⇒⎨⎨-=⎪⎪=⎩⎩ 第29次 ()35291172P v-+-= 14.解：L 每次还款额为030B a ， N 每次还款本金为030B ，第t 次还款额为000030(1)3030B B B B t i a ⎡⎤--+<⎢⎥⎣⎦ 15.解：30121121121.0021 1.051250001.0510.002P ⨯⎛⎫ ⎪- ⎪⎝⎭=-- 16.解：3108112i v --+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭17.解：()31300012000n vn -+-=⇒613000n v -+ 18.解：418%(1i +=+季）()4050040i a -季19.解：每月还款额360100000i P a =月 120120325.40)(1)100000120i k i Pa P a i k -+++=⇒=月月月（∴利息支出为：120(325.40)12010000066261.2P P ⨯++⨯-=20.解：10444104410410 1.054 1.0520010 1.0520010 1.050.050.05a a B a a --⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯=+⨯-+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭第5次还款中的利息为4iB21.解：10101010a v Pa P i P i ⎡⎤-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.解：1055510510510510(1)(1)10(1)(1)a v a v a i a i i i i ⎧⎫⎡⎤⎡⎤--⎪⎪+-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭23.解：（1） 331.041 1.12000400 1.11287.760.06⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（2）第二年末贷款余额为： 221.041 1.12000400 1.115640.06⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴第三次还款中本金为 1564-1287.76=276.2424.此题较麻烦25.解：10102555ln1.05 2.8658t t B dt a dt δ-==⎰⎰ 27.解：10.1t B t =-（1）510.150.5B =-⨯=前5年还款本金为：510.5B -=（2）55000.1(10.1)0.375t B dt t dt δ=-=⎰⎰28.解：120.04250.0410000100005%0.04355.69s s ⨯-= 第9年偿债基金增长额为80.04250.04250.0410000100000.04328.61s s s +=29.解：40.03100.0310******** 1.03100005%s s -+⨯ 30.解:(1)1000010%1000Li =⨯=(2)1500-1000=500(3)5000100050000.08600Li j -=-⨯=（4）5000(1)5005000900j ++-=（5）5000(1)5005900j ++=32.解：100.0710000Xs = 33．解: 100.04100.05220.0510002L Ds L xa L D x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪++=⎪⎩34.解：10100.04100.0412000(280 1.04400)s s -+ 35.解：310.0340000040000036000i s += 36.解：2020200.03200.0320 1.0350 1.031000000.03a Xa -⎡⎤-⨯+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦。
第一章 利息的基本概念1.)()0()(t a A t A =2.11)0(=∴=b a 180)5(100=a ，508)8()5(300=a a 3~5.用公式(1-4b) 7~9.用公式（1-5）、（1-6）11.第三个月单利利息1%，复利利息23%)11(%)11(+-+ 12.1000)1)(1)(1(321=+++i i i k14.n n n n i i i i --+⋅+>+++)1()1(2)1()1(16.用p.6公式17.用P.7最后两个公式 19.用公式（1-26）20.(1)用公式（1-20）; (2)用公式（1-23） 22. 用公式（1-29）23.(1) 用公式（1-32）;(2) 用公式（1-34）及题6（2）结论 24. 用公式（1-32）25.44216%1(1)(110%)118%45%12i ⎛⎫+=++ ⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭ 26.对于c)及d)，δn e n a =)(，1111)1(-=-=+==∴v di e a δ，∴c)中，v ln -=δ， d)中，δ--=ed 128.⎰=tdxx e t a 0)()(δ29.4411⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+j i ；he j =+131.（1）902天39.t etA dr +=⎰10δ )1ln(0t dr tA +=⎰∴δ，两边同时求导，tt A +=11)(δ，)(t B δ类似 46.10009200.081000d -==，920)2108.01(288)08.01(=⨯-+-x第二章 年金4.解：12010.087110.0870.08712160001000110.087121212A --⎛⎫-+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+⋅++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭5.解：()()()()22211111111(*)nnn nn i a x i xiii xi a y ii----+==⇒+=--+--===将1di d=-代入（*）7.解：()51218100010.0839169.84s -+=8.解：100.1100.15000s Ra = 9.解：100.1100.155000s Ra = 14.解：永续年金每年支付R112n n Ra R a i ⎛⎫=- ⎪⎝⎭17.解：0.0081500100000m a = 解得95.6m ≈ 即正常还款次数为95次 95950.0081500(10.008)100000a f -++= 解得965.74f =19.解：()()()(2)(2)(2)1055222105100020001700011171150i i i s s s i i i ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭∴+++-++= 令105()1715f t t t t =+-+0(1.03)(1.035)(1.03)1.03 1.035 1.03f f f i --=-- (1.032)0.003186f =-1000 1000 1000 011718…23.解：()4660.0411 1.04i a i---++，40.04114i ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭24.解：修改于2009/11/4分解成两个数列：第一个数列：时刻0，2，4，…，20共付款11次，各期付款额成等比数列。
第3期总第37期No.3SumNo.37三峡高教研究Sanxia Higher Education Researches2015年9月Sep.2015《利息理论》课程中债务偿还表的有关问题探讨伍习丽(重庆三峡学院数学与统计学院，重庆万州404100)摘要：债务偿还是常见的金融业务，在《利息理论》课程中非常重要。
分期偿还是最常用的债务偿还方式，该 部分内容的公式繁杂，学生难于理解。
本文对该部分理论的金融涵义进行深入分析，并给出了用EXCEL软件制作分期偿还表的方式。
关键词：分期偿还表;房贷偿还;EXCEL实现—!弓I言《利息理论》课程是保险精算专业的必修基础课，在金融实务中应用性强。
该门课程主要涉及利息问题、年金问题和债务偿还等问题，这几类问题在实际生活中都应用较多，特别是债务偿还，如房贷、车贷、公司信贷和项目贷款等。
在教学过程中，最基本的教学目标就是让学生能够理解相关理论知识，并能熟练地借助软件解决实际业务中的相关问题。
《利息理论》的教材版本较多，但都具有理论性强、公式繁多的特点，而且现行教材中都没有涉及如何使用软件实现相关公式模型。
授课过程中如果仅仅是依据教材讲授相关理论公式的推导，而不注意解释其内在的经济涵义或是用深人浅出的方式解决相关实际案例问题，学生学起来会觉得非常枯燥无味，导致严重的畏难情绪和厌学情绪。
在教学过程中，应采取开放式的教学方式，让学生参与到教学过程中，才能更深刻地掌握相关知识。
如，在讲解债务偿还中分期偿还表的制作时，提前引出一个案例让学生思考。
当计息频率和偿还频率一致时，40万元的房贷，贷款年利率为6.5%，贷款期限为5年，每 月偿还一次，每月偿还的本金和利息应为多少？二、分期偿还表的理论知识对于借款方，在分期偿还业务中，我们不仅需要考虑每期还款金额，还需要考虑每次还款额中涉及的本金和利息分别为多少。
现考虑最常见的分期偿还方式，即计息频率和偿还频率一致，每期等额偿还的情形。
设 贷款周期为'期，每次还款额均为1单位金额，据此，推算出每期还款中的贷款余额、利息及本金。
1.贷款余额贷款余额Bt即在！时刻一次性偿还剩余贷款的额度。
$$期初贷款余额为B〇*"+" +:取义11* =a ，其实质相当于每期支付1单位金额的标准期末年金，年金现值为，如下图所示：金额111111时间0 1 2 3 k k+1 n作者简介：伍习丽（1988-)，女，重庆人，硕士，重庆三峡学院数学与统计学院助教，研究方向：金融数学。
46三峡高教研究总第37期以此类推，2.每期还款中的利息整个偿还期内，利率均为），则第$期的偿还利息应为第$期的贷款余额B$(%乘以利率），即I$=B$_*x)=a"_#+*x%=——：。
i3.每期还款中的本金每期偿还本金应为当期还款额减去当期应还利息，即 P#=1-I##-»-#+*。
综上，我们可以列出具有规律性的分期偿还表，如 下：表1时间每次还款额每次还款中的利息每次还款中的本金贷款余额0111--"^"-1 21-"-1'"-2k11-r a-#%1'"-kn-111--2'1n11---0更一般地，若期初贷款余额为L，则每次还款额应为P#!/!,。
此时，对应的分期偿还表即为将表1中每一 列乘以P。
三、房贷分期偿还表在 Excel中的实现对引言中提出的案例制作分期偿还表，有两种制表方式，第一种是按照第二部分的理论公式进行代值计算，但此方法较为繁琐，计算量很大；第二种是通过EXCEL软件实现，该方法通过对分期偿还表的原理进一步理解，以简便的方式计算出结果。
对表1进一步分析，可以发现：虽然每次还款额相同，但每次还款额中的利息越来越少，本金越来越多，与实际情况相符。
还款次数越多，贷款余额将越少，需 以其及计算的利息也应当随之减少。
贷款余额B#的本 质是$ 6刻一次性偿还剩余贷款的额度，那么在$+1期的利息应该是以B$为基础，即I$+1#B$xl。
相应地，P$+1#P_I$+1。
贷款余额Bt#可认为是上一期的贷款余额减去当期偿还的本金，即B$+1#B$-P$+i。
只要已知期初贷款余额，即可算出每次偿还额，重 复迭代上述公式，就可以很简便的在EXCEL中制作出 相应的分期偿还表。
我们需先将每月实际利率j'计算出，由1+6.55# (1+力12得 >#0.526%然后算出每月还款额P，即P#L # 400000#7701(1-(古））/>进行EXCEL操作，得到结果如下表：2015年第3期《利息理论》课程中债务偿还表的有关问题探讨47表2时间P I"P"时间P I"P"#"040000017791210456873943133177911134.6636656.337209059.1 277912074.0865716.914388596.132********.6516691.349202367.8 377912044.0155746.985382849.133********.4546726.546195641.2 477912013.7865777.214377071.93477911029.0736761.927188879.3 577911983.3985807.602371264.3357791993.5056797.495182081.8 677911952.855838.15365426.1367791957.75026833.25175248.5 777911922.1415868.859359557.3377791921.80736869.193168379.3 877911891.2715899.729353657.5387791885.67536905.325161474 977911860.2395930.761347726.8397791849.35336941.647154532.4 1077911829.0435961.957341764.8407791812.84036978.16147554.2 1177911797.6835993.317335771.5417791776.13517014.865140539.3 1277911766.1586024.842329746.7427791739.23697051.763133487.6 1377911734.4676056.533323690.1437791702.14477088.855126398.7 1477911702.616088.39317601.7447791664.85737126.143119272.6 1577911670.5856120.415311481.3457791627.37387163.626112109 1677911638.3926152.608305328.7467791589.69317201.307104907.6 1777911606.0296184.971299143.8477791551.81427239.18697668.46 1877911573.4966217.504292926.3487791513.73617277.26490391.2 1977911540.7926250.208286676497791475.45777315.54283075.66 2077911507.9166283.084280393507791436.9787354.02275721.64 2177911474.8676316.133274076.8517791398.29587392.70468328.93 2277911441.6446349.356267727.5527791359.41027431.5960897.34 2377911408.2466382.754261344.7537791320.327470.6853426.66 2477911374.6736416.327254928.4547791281.02427509.97645916.69 2577911340.9236450.077248478.3557791241.52187549.47838367.21 2677911306.9966484.004241994.3567791201.81157589.18830778.02 2777911272.896518.11235476.2577791161.89247629.10823148.91 2877911238.6056552.395228923.8587791121.76337669.23715479.68 2977911204.1396586.861222336.959779181.423097709.5777770.098 3077911169.4926621.508215715.460779140.870727770.0980在实务中，最后的贷款余额为0,但计算结果中的B…通常不为0,需要人为进行调整，可将最后一期的偿还本金稍作调整，达到目的。
四、总结分期偿还是较为常见的金融业务，学生在《利息理论》课程的学习中应该对该部分知识重点掌握，本文对其理论部分的金融涵义进行深人分析，并介绍EXCEL 方式来制作分期偿还表，可使学生更好地掌握分期偿还表的实质及制作。
对该门课程其他章节的教学可以类似地采取深人分析金融涵义与软件操作相结合的方式，从而达到更好的教学效果。
【参考文献][1] 张连增.利息理论（第1版）[M].天津:南开大学出 版社，2005.[2] 刘占国.利息理论（第1版）[M].北京:中国财政经 济出版社，2006.[3] 姚定俊.关于利息理论课程的教学思考[J].科教文汇，2013，12(2):37-48.。
