16数列及有关概3

数列知识点归纳总结一、基本概念1. 数列的定义数列是按照一定的顺序排列的一组数，通常用a1, a2, a3, …,an来表示，其中ai表示数列中的第i个数。

数列中的数称为项，n称为项数。

2. 数列的类型数列可以根据项的规律和性质进行分类，主要包括等差数列、等比数列、递推数列等。

3. 数列的通项公式数列的通项公式是描述数列中任意一项与其序号之间的关系的公式，通常用an或者Un 表示第n个项，用n表示项数。

数列的通项公式可以根据数列的类型和性质进行求解。

二、等差数列1. 定义如果一个数列满足任意相邻两项之差都相等的条件，那么这个数列就是等差数列，差值为d。

2. 性质（1）通项公式：对于等差数列an，其通项公式为an=a1+(n-1)d。

（2）前n项和：等差数列的前n项和Sn= (a1+an) * n /2。

（3）求和公式推导：对于等差数列Sn= (a1+an) * n /2，可用数学归纳法进行证明。

3. 等差数列的应用等差数列在数学和现实生活中有着重要的应用，如计算机算法中的序列求和、物理学中等速直线运动、金融学中的等额本息贷款等。

三、等比数列1. 定义等比数列是指数列中的任意相邻两项的比值都相等的数列，比值为q。

2. 性质（1）通项公式：对于等比数列an，其通项公式为an=a1*q^(n-1)。

（2）前n项和：等比数列的前n项和Sn= (a1*(q^n - 1)) / (q-1)。

3. 等比数列的应用等比数列在数学和现实生活中也有着重要的应用，如复利计算、生物学中种群增长问题、物理学中的指数衰减等。

四、递推数列1. 定义递推数列是指数列中的每一项都可以由前面的一项或几项通过某种规律得到的数列。

2. 性质递推数列的通常是通过递推关系式进行求解，递推数列的解可以是显式公式和递推公式。

3. 递推数列的应用递推数列是数学中的重要概念，它在代数、离散数学、概率论等领域都有着广泛的应用。

五、常见数列形式1. 斐波那契数列斐波那契数列是指数列中第n项等于其前两项之和的数列，通常用F(n)表示，前几项为0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …2. 调和数列调和数列是指数列中的每一项是调和级数的一部分的数列，通常用H(n)表示，前几项为1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, …2. 等差-等比混合数列等差-等比混合数列是指数列中的相邻两项之间既满足等差数列的条件，又满足等比数列的条件的数列。

数列的有关知识点总结一、数列的基本概念1.1 数列的定义数列是指按照一定的顺序排列的一组数，这组数称为数列的项。

数列通常用符号{an}或(an)表示，其中an表示第n个数列的项。

例如，{1, 2, 3, 4, 5, ...}就是一个常见的数列，其第n 个项表示为an=n。

1.2 数列的分类根据数列的性质和规律，可以将数列分为不同的类型。

常见的数列包括等差数列、等比数列、等差数列、递减数列、递增数列等。

不同类型的数列具有不同的性质和规律，需要根据具体情况选择适当的方法进行研究和分析。

1.3 数列的通项公式对于某些特定的数列，可以通过观察数列的规律和性质，得到其通项公式。

通项公式可以表示数列的第n个项与n之间的关系，通常用公式an=f(n)表示，其中f(n)为关于n的函数。

通过通项公式，可以方便地计算数列的任意项，从而更好地理解数列的规律和性质。

1.4 数列的性质数列具有许多重要的性质，包括有界性、单调性、敛散性等。

这些性质对于研究数列的规律和性质具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解和分析数列的特点。

二、等差数列2.1 等差数列的定义等差数列是指数列的相邻两项之差是一个常数的数列，这个常数称为公差。

例如，{1, 3, 5, 7, 9, ...}就是一个等差数列，公差为2。

2.2 等差数列的通项公式对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1为等差数列的首项，d为公差，n为项数。

通过这个通项公式，可以方便地计算等差数列的任意项。

2.3 等差数列的性质等差数列具有许多重要的性质，包括有界性、单调性、求和性质等。

这些性质对于研究等差数列的规律和性质具有重要的意义，可以帮助我们更好地理解和分析等差数列。

2.4 等差数列的求和公式对于等差数列，有求和公式Sn=n/2(a1+an)，其中Sn表示前n项和，a1表示首项，an表示第n项。

通过这个求和公式，可以方便地计算等差数列的前n项和。

三、等比数列3.1 等比数列的定义等比数列是指数列的相邻两项之比是一个常数的数列，这个常数称为公比。

高中数学基础之数列的概念及表示法数列在高考中一般以选择题、填空题形式进行考查，难度不高，以考查a n与S n的关系为主．1．数列的有关概念n n若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝⎩⎨⎧S1，n＝1，S n－S n－1，n≥2. 4．数列的分类考点一 数列的有关概念及通项公式例1 数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n －1n ＋2(n ∈N *) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *)C ．a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) 答案 C解析 数列0，23，45，67，…的各项的分子是从0开始的偶数，分母比分子大1，所以它的一个通项公式可以为a n ＝2（n －1）2n －1(n ∈N *)，故选C.例2 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝10，那么a 10＝( ) A ．1 B ．9 C ．10 D ．55 答案 C解析 数列{a n }的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，a 1＝10，令n ＝1，m ＝9，代入可得S 1＋S 9＝S 10，即S 1＝S 10－S 9，故a 1＝a 10＝10，故选C.总结：由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1)常用方法观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．(2)具体策略①分式中分子、分母的特征； ②相邻项的变化特征；③各项的符号特征和绝对值特征；④对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系； ⑤对于符号交替出现的情况，可用(－1)k 或(－1)k ＋1，k ∈N *处理．(3)由数列的特点(递增及增长速度、递减及递减速度、是否为摆动数列)联想基本数列，再考察它与基本数列的关系．需要注意的是，对于无穷数列，利用前若干项归纳出的通项公式属于“猜想”，而且表达式不一定唯一．考点二 a n 与S n 的关系及其应用例3 数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ≥1)，则a n 等于( ) A ．3×4nB ．3×4n ＋1C ．⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2 D ．⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2＋1，n ≥2 答案 C解析 由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2).两式相减，得a n ＋1－a n ＝3a n (n ≥2)，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，又由a 1＝1，得a 2＝3a 1＝3，a 2≠4a 1，所以当n ≥2时，a n ＝a 2×4n －2＝3×4n －2.所以a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.故选C. 例4 已知数列{a n }的所有项均为正数，其前n 项和为S n ，且S n ＝14a 2n ＋12a n －34，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝4n －1D ．a n ＝4n ＋1 答案 B解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝14a 21＋12a 1－34，整理，得a 21－2a 1－3＝0，解得a 1＝3或a 1＝－1，因为a n >0，所以a 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝14a 2n ＋12a n －34－⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2n －1＋12a n －1－34＝14a 2n －14a 2n －1＋12a n －12a n －1，整理，得a 2n －a 2n －1－2a n －2a n －1＝0，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－2)＝0，因为a n ＋a n －1>0，所以a n －a n －1＝2，所以数列{a n }是以a 1＝3为首项，2为公差的等差数列，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，故选B.总结：对含有a n 与S n 的递推式的两种处理思路(1)转化为项项关系：先写出一个对应的等式，如将递推式中的“n ”都换成“n －1”，再利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为“项项递推式”，以便构造等差数列或等比数列来解决问题．(2)转化为和和关系：借助a n ＋1＝S n ＋1－S n 或a n ＝S n －S n －1(n ≥2)转化为“和和递推式”，以便构造等差数列或等比数列，最后活用等差数列或等比数列的性质求解．考点三 由递推关系研究数列的周期性例5 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝－11＋a n ，则a 2021＝( )A ．1B ．－12 C ．－2 D ．－1 答案 B解析 当n ＝1时，a 2＝－11＋a 1＝－12，当n ＝2时，a 3＝－11＋a 2＝－2，当n ＝3时，a 4＝－11＋a 3＝1，当n ＝4时，a 5＝－11＋a 4＝－12，所以数列{a n }的周期为3，因为2021＝3×673＋2，所以a 2021＝a 2＝－12.故选B.例6 若P (n )表示正整数n 的个位数字，a n ＝P (n 2)－P (2n )，数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2021＝( )A ．－1B ．0C ．1009D ．1011 答案 C解析 由题意得a 1＝－1，a 2＝0，a 3＝3，a 4＝－2，a 5＝5，a 6＝4，a 7＝5，a 8＝－2，a 9＝－7，a 10＝0，a 11＝－1，a 12＝0，…，所以数列{a n }为周期数列，且周期为10，因为S 10＝5，所以S 2021＝5×202＋(－1)＝1009，故选C.总结：(1)求数列中的某一项的值，当该项的序号较大时，应考虑数列是否具有周期性，利用周期性即可求出该数列中的某一项，具体求解过程为：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(2)由递推关系可以找到相邻项之间的关系，从而确定数列是否具有周期性． 考点四 数列的单调性及数列的最大(小)项例7 若a n ＝2n 2＋tn ＋3(t 为常数)，n ∈N *，且数列{a n }为递增数列，则实数t 的取值范围为( )A ．t <－2B ．t >－2C ．t <－6D ．t >－6 答案 D解析 因为数列{a n }为递增数列，所以a n ＋1>a n ，在n ∈N *时恒成立．所以a n ＋1－a n ＝[2(n ＋1)2＋t (n ＋1)＋3]－(2n 2＋tn ＋3)＝4n ＋2＋t >0，即t >－4n －2在n ∈N *时恒成立，而n ＝1时，(－4n －2)max ＝－6，所以t >－6.故选D.总结：(1)求参数的范围问题，常常与已知数列的单调性有关，因此解决这类问题，需要先判断该数列的单调性．(2)求数列最大项的方法：设数列{a n }中的第n 项最大，建立不等式组求解即可得出结果． 提升篇例8 已知数列{a n }满足a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝1a n (n ≥2)，则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n ＋13n 的最小值为( )A ．294 B ．223 C ．213 D ．436答案 A解析 因为a n ＋1＝a n 2a n ＋1，a 1＝1，所以1a n ＋1＝1a n ＋2，即1a n ＋1－1a n＝2，1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列，所以1a n＝1＋2(n －1)＝2n －1，因为数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝1a n＝2n －1(n ≥2)，所以b n ＝(b n －b n －1)＋(b n －1－b n －2)＋…＋(b 2－b 1)＋b 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋3＋1＝n （2n －1＋1）2＝n 2，当n ＝1时也成立，所以b n ＋13n ＝n 2＋13n ＝n ＋13n .设f (x )＝x ＋13x ，x ∈[1，＋∞)，则f ′(x )＝1－13x 2＝x 2－13x 2.所以函数f (x )在(1，13)上单调递减；在(13，＋∞)上单调递增．而f (3)＝3＋133＝7＋13，f (4)＝4＋134＝7＋14，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫b n ＋13n 的最小值为294.故选A.例9 设函数f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，数列{a n }满足a n ＝f (n )，n ∈N *，且数列{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(2，3]B ．(1，3)C ．(2，3)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 答案 C解析 因为a n ＝f (n )，f (x )＝⎩⎨⎧（3－a ）x －3，x ≤7，a x －6，x >7，所以a n ＝⎩⎨⎧（3－a ）n －3，n ≤7，a n －6，n >7.因为数列{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－a >0，a >1，a 2>18－7a .解得⎩⎪⎨⎪⎧a <3，a >1，a >2或a <－9，即2<a <3.故选C. 综上，数列需要学生达到的标准为：1．能通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(列表法、图象法、通项公式法).2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数，掌握利用递推关系构造等差或等比数列求通项公式．3．重点提升逻辑推理和数学运算素养．。

小学数学知识归纳数列的概念与计算数列是数学中的重要概念之一。

在小学数学中，学生们会接触到简单的数列，并学习如何计算数列的特定项。

本文将对小学数学中与数列有关的概念与计算进行归纳总结。

一、数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数。

其中，每个数称为数列的项，用字母表示。

数列的项数是指数列中的项的个数，记作n。

二、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值保持恒定的数列。

这个常数差值称为公差，用字母d表示。

等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d。

其中，a1为等差数列的首项，表示数列中的第一个数。

举例来说，假设有一个等差数列如下：1, 4, 7, 10, 13, ...这个数列的首项a1为1，公差d为3。

根据通项公式an=a1+(n-1)d，我们可以计算出该数列的任意项。

三、等差数列的求和对于等差数列而言，我们还可以计算数列的前n项和。

等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)。

其中，Sn表示前n项的和。

继续以上述数列为例，我们可以计算前三项和：S3 = 3/2 (1 + (1 + 2 * 3))= 3/2 (1 + 7)= 12四、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值保持恒定的数列。

这个常数比值称为公比，用字母q表示。

等比数列的通项公式为an=a1*q^(n-1)。

其中，a1为等比数列的首项，表示数列中的第一个数。

举例来说，假设有一个等比数列如下：2, 6, 18, 54, 162, ...这个数列的首项a1为2，公比q为3。

根据通项公式an=a1*q^(n-1)，我们可以计算出该数列的任意项。

五、等比数列的求和对于等比数列而言，我们同样可以计算数列的前n项和。

等比数列的前n项和公式为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)。

其中，Sn表示前n项的和。

继续以上述数列为例，我们可以计算前三项和：S3 = 2 (3^3 - 1)/(3 - 1)= 2 (27 - 1)/2= 2 (26)/2= 26六、思考题1. 如果给定一个数列的前两项和公差，你能求出这个数列的通项公式吗？2. 如果给定一个数列的前两项和公比，你能求出这个数列的通项公式吗？3. 你能找出两个不同的数列，它们的首项和公差/公比都相等吗？总结：数列是数学中重要的概念之一，小学数学中会接触到等差数列和等比数列。

高中数学数列知识点归纳一、数列的概念数列是按照一定顺序排列的一列数。

例如，1，2，3，4，5……就是一个自然数列。

数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项（通常也叫做首项），排在第二位的数称为这个数列的第 2 项……以此类推。

数列的一般形式可以写成 a₁，a₂，a₃，…，aₙ，…，其中 aₙ 是数列的第 n 项。

我们用｛aₙ} 来表示一个数列。

二、数列的分类1、按项数分类（1）有穷数列：项数有限的数列。

例如，数列 1，2，3，4，5 就是一个有穷数列。

（2）无穷数列：项数无限的数列。

比如自然数列 1，2，3，4，……就是一个无穷数列。

2、按项的大小变化分类（1）递增数列：从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列。

例如，数列 1，2，4，8，16，……就是一个递增数列。

（2）递减数列：从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列。

比如数列 10，8，6，4，2 就是一个递减数列。

（3）常数列：各项都相等的数列。

例如，数列 3，3，3，3，……就是一个常数列。

（4）摆动数列：从第 2 项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列。

比如数列 1，－1，1，－1，1，……就是一个摆动数列。

三、数列的通项公式如果数列｛aₙ} 的第 n 项 aₙ 与 n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。

例如，数列 1，3，5，7，9，……的通项公式为 aₙ ＝ 2n 1 。

通项公式可以帮助我们快速求出数列中的任意一项，也能让我们更深入地了解数列的性质。

四、数列的递推公式如果已知数列｛aₙ} 的第 1 项（或前几项），且从第二项（或某一项）开始的任一项 aₙ 与它的前一项 aₙ₋₁（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

例如，已知数列｛aₙ} 的首项 a₁＝ 1 ，且 aₙ ＝ aₙ₋₁＋ 2 （n ≥2 ），则可以依次求出 a₂＝ a₁＋ 2 ＝3 ，a₃＝ a₂＋ 2 ＝ 5 ，……五、等差数列1、定义如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列。

数列的相关概念及简单表示知识讲解一、数列的概念概念：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限二、数列的通项定义：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项．数列的一般形式可以写成：123n a a a a ，，，，，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项．三、数列的通项公式定义：如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式．四、数列的递推公式定义：如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可以用一个 公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，1112(2)n n a a a n -==-，≥．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法．五、数列的前n 项和定义：123n n S a a a a =++++．数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．六、根据数列的通项公式判定数列的单调性方法1.确认单调性：已知)(n f a n =，若)(x f 的单调性可以确定，则}{n a 的单调性可以确定。

（含参慎用）2.比较法①作差比较法：*1,0{}n n n n N a a a +>∈-=⇒<递增数列为常数列递减．②作商比较法（对于各项符号相同的数列）数列递减常递增数列为}{1,0,1*n nn n a a a a N n ⇒<=>>∈+．典型例题一．选择题（共10小题）1．（2018•新昌县校级模拟）已知数列{a n}，{b n}的通项公式为：，，在数列{a n}中存在连续的k（k＞1，k∈N*）项和是数列{b n}中的某一项，则k的取值集合为（）A．{k|k=2α，α∈N*}B．{k|k=3α，α∈N*}C．{k|k=2α，α∈N*}D．{k|k=3α，α∈N*} 2．（2018•安徽模拟）删去正整数数列1，2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（）A．2062 B．2063C．2064 D．20653．（2017•玉林一模）已知数列{a n}中a n=（n∈N*），将数列{a n}中的整数项按原来的顺序组成数列{b n}，则b2018的值为（）A．5035 B．5039C．5043 D．50474．（2016秋•永州期末）已知函数，，＞＞，，数列{a n}满足，且{a n}是单调递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（2，3）C．，D．，5．（2016秋•吉安期末）已知函数f（x）=，，＞，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．[，4）B．（，4）C．（2，4）D．（1，4）6．（2017秋•浦东新区期中）使数列，，，前项积大于的自然数n的最小值为（）A．8 B．9C．10 D．117．（2017春•宿州期中）已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n=，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，b n≥T恒成立，则T的最大值为（）A．1 B．2C．4 D．38．（2017秋•福州期中）（理）在数列{a n}中，对任意n∈N*，都有=k（k 为常数），则称{a n}为“等差比数列”．下面对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④通项公式为a n=a•b n+c（a≠0，b≠0，1）的数列一定是等差比数列．其中正确的个数为（）A．1 B．2C．3 D．49．（2017秋•宜昌期中）已知函数f（x）=，，＞（a＞0，且a≠1），若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（）A．（1，3）B．（0，1）C．，D．（2，3）10．（2016•温州二模）数列{a n}是递增数列，且满足a n+1=f（a n），a1∈（0，1），则f（x）不可能是（）A．f（x）=B．f（x）=2x﹣1C．f（x）=D．f（x）=log2（x+1）二．填空题（共4小题）11．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：将三角形数1，3，6，10，…记为数列{a n}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{b n}．可以推测：b2012是数列{a n}中的第项．12．（2018•中山市一模）高斯是德国著名的数学家，享有“数学王子”之称，以他的名字“高斯”命名的成果达110个，设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，并用{x}=x﹣[x]表示x的非负纯小数，则y=[x]称为高斯函数，已知数列{a n}满足：，，，则a2017=．13．（2018•上海模拟）已知函数f（x）=，，＞，记a n=f（n）（n∈N*），若{a n}是递减数列，则实数t的取值范围是．14．（2016秋•抚顺期末）定义：称为n个正数p1，p2，…，p n的“均倒数”，若数列{a n}的前n项的“均倒数”为，则数列{a n}的通项公式为．三．解答题（共1小题）15．（2016•丰台区一模）已知数列{a n}是无穷数列，a1=a，a2=b（a，b是正整数），，．（Ⅰ）若a1=2，a2=1，写出a4，a5的值；（Ⅱ）已知数列{a n}中，求证：数列{a n}中有无穷项为1；（Ⅲ）已知数列{a n}中任何一项都不等于1，记b n=max{a2n﹣1，a2n}（n=1，2，3，…；max{m，n}为m，n较大者）．求证：数列{b n}是单调递减数列．。