第一章 考点导练 考点十

第一章宇宙中的地球知识点总结第一节地球的宇宙环境1、天体的类型有恒星、星云、行星、流星、彗星、卫星、星际物质等。

2、宇宙中最基本的天体是恒星和星云。

2、宇宙中的各种天体之间相互吸引、相互绕转，形成天体系统。

3、天体系统的层次（见右图）4、距离地球最近的自然天体是月球，距离地球最近的恒星是太阳。

5、太阳系中八大行星的名称和位置示意图（见右图）（1）距离太阳由近及远：水星、金星、地球、火星、木星、土星、天王星、海王星。

（2）小行星带位于火星与木星的轨道．．之间。

（3）彗星运动时彗尾背向太阳延伸，离太阳越远，彗尾越短。

6、八大行星的运动特征是同向性、共面性、近圆性。

7、八大行星按照结构特征可以分为类地行星（包括水星、金星、地球、火星）、巨行星（包括木星、土星）、远日行星（包括天王星、海王星）。

8、地球是太阳系中特殊行星的原因是存在生命。

9、地球上存在生命的条件外部条件：（1）太阳光照稳定；（2）比较安全的宇宙环境：八大行星各行其道，互不干扰。

内部条件：（1）适宜的温度（原因：日地距离适中）；（2）适合生物呼吸的大气（原因：地球有适中的体积和质量；大气经过漫长的演化）；（3）有液态水（原因：原始地球体积收缩和内部放射性元素衰变产生热量，地球内部温度升高，不断产生的水汽逸出地表，形成降水，最终形成原始的海洋）。

对点训练1．宇宙中的基本天体是（）A．恒星、星云 B．恒星、行星 C．星云、行星 D．行星、卫星2．地球在太阳系中是一颗既普通又特殊的行星，其特殊性主要是指（）A．地球上有高级生命的存在B．地球上有大气C．地球上有适宜的温度D．地球的运动特征与其他行星不同3．天体系统的层次，由小到大排列顺序正确的是（）A．太阳系→银河系→地月系→总星系B．银河系→河外星系→太阳系→总星系C．地月系→银河系→总星系→河外星系D．地月系→太阳系→银河系→总星系4．在质量体积、平均密度和运动方向等方面与地球极为相似的行星，称为类地行星，下列属于类地行星的是（）A．火星 B．土星 C．木星 D．天王星5．太阳系成员有（）①太阳②星云③行星及小行星④卫星⑤彗星⑥流行体⑦行星际空间的气体与尘埃A．①②③④⑥ B．①③④⑤⑥ C．①③⑤⑥⑦ D．①③④⑤⑥⑦6．人类发射的探测器可以到达火星表面，这说明了人造天体可以离开（）A．地月系 B．太阳系 C．银河系 D．河外星系7．不包含地球的天体系统是（）A．河外星系 B．银河系 C．太阳系 D．地月系8．地球本身具备“金锁链条件”的原因是（）①日地距离适中②体积质量适中③自转公转周期适中④稳定的太阳A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④9．读图，完成下列要求：（1）用箭头在地球公转轨道上表示出地球的公转方向。

第1章电与磁1-3节知识点+练习第1节指南针为什么能指方向1、磁性：磁铁能吸引等物质，磁铁的这种性质叫做磁性。

2、磁极：磁体各部分的磁性强弱不同，磁体上磁性的部分叫做磁极，它的位置在磁体的两端。

3、磁极间的相互作用是：同名磁极互相排斥，异名磁极互相吸引。

3.1、我们可以通过磁体的吸铁（钴、镍）性、南北指向性和磁极间的相互作用规律来判断一个物体是否具有磁性4、磁化：被磁化后，磁性容易消失，称为软磁体。

被磁化后，磁性能够长期保持，称为永磁体7、磁场：磁场的基本性质：它对放入其中的磁体产生磁力的作用，磁体间的相互作用是通过磁场而发生的。

磁场的方向：在磁场中某一点，所指的方向就是该点的磁场方向。

8、磁感线：法拉第引入了磁感线：依照铁屑排列情况，画出一些带箭头的曲线。

方向都跟放在该点的磁针北极所指的方向一致，这些曲线叫磁感应线、简称磁感线。

（学习磁感线和光线都运用了模型法）练习：画出下列各组磁感线方向9、磁感线的性质：a)磁感线不是真实存在的，它是为了形象地描述磁场而画出的一些假想的曲线b)磁感线分布的可以表示磁场的强弱。

磁体两极处磁感线最密，表示其两极处磁场最强c)磁感线是一些闭合的曲线。

即磁体周围的磁感线都是从磁体的北极出发，回到磁体的南极；在磁体的内部，都是从磁体的南极指向北极d)空间任何两条磁感线绝对不会，因为磁场中任何一点的磁场只有一个确定的方向10、地磁场地磁场：地球产生的磁场。

地磁北极在地理附近，地磁南极在地理附近。

指南针指南-----指南针的极指向极。

第2节电生磁1、奥斯特实验结论：通电导线周围存在；磁场方向与方向有关．2、直线电流的磁场，直线电流的磁场的分布规律：以导线上各点为圆心的一个个同心圆，离直线电流越近，磁性越。

3、右手螺旋定则4、通电螺线管的磁场通电螺线管周围能产生磁场，并与条形磁铁的磁很相似。

改变了电流方向，螺线管的磁极也发生了变化。

5、通电螺线管的极性和电流关系——安培定则（右手螺旋定则）实战应用：仔细观察下图，然后回答下列问题：①标出甲图中通电螺线管的N、S极。

T ——三角形一、知识梳理：专题一：三角形有关的线段；专题二：三角形有关的角；专题三：多边形及其内角和.二、考点分类专题一：三角形有关的线段考点一：三角形的边1．三角形的概念：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形．2.三角形分类：（1）按角的关系分类 （2）按边的关系分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 3．三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．【例1】【类型一】 判定三条线段能否组成三角形以下列各组线段为边，能组成三角形的是( )A ．2cm ，3cm ，5cm ；B ．5cm ，6cm ，10cm ；C ．1cm ，1cm ，3cm ；D ．3cm ，4cm ，9cm 解析：选项A 中2＋3＝5，不能组成三角形，故此选项错误；选项B 中5＋6＞10，能组成三角形，故此选项正确；选项C 中1＋1＜3，不能组成三角形，故此选项错误；选项D 中3＋4＜9，不能组成三角形，故此选项错误．故选B.方法总结：判定三条线段能否组成三角形，只要判定两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可．【类型二】 判断三角形边的取值范围一个三角形的三边长分别为4，7，x ，那么x 的取值范围是( )A ．3＜x ＜11 ；B ．4＜x ＜7 ；C ．－3＜x ＜11 ；D ．x ＞3解析：∵三角形的三边长分别为4，7，x ，∴7－4＜x ＜7＋4，即3＜x ＜11.故选A.方法总结：判断三角形边的取值范围要同时运用两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．有时还要结合不等式的知识进行解决．【类型三】等腰三角形的三边关系已知一个等腰三角形的两边长分别为4和9，求这个三角形的周长．解析：先根据等腰三角形两腰相等的性质可得出第三边长的两种情况，再根据两边和大于第三边来判断能否构成三角形，从而求解．解：根据题意可知等腰三角形的三边可能是4，4，9或4，9，9，∵4＋4＜9，故4，4，9不能构成三角形，应舍去；4＋9＞9，故4，9，9能构成三角形，∴它的周长是4＋9＋9＝22.方法总结：在求三角形的边长时，要注意利用三角形的三边关系验证所求出的边长能否组成三角形．【类型四】三角形三边关系与绝对值的综合若a，b，c是△ABC的三边长，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|.解析：根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，来判定绝对值里的式子的正负，然后去绝对值符号进行计算即可．解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，得a－b－c＜0，b－c－a＜0，c＋a－b＞0.∴|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c＋a－b|＝b＋c－a＋c＋a－b＋c＋a－b＝3c＋a－b.方法总结：绝对值的化简首先要判断绝对值符号里面的式子的正负，然后根据绝对值的性质将绝对值的符号去掉，最后进行化简．此类问题就是根据三角形的三边关系，判断绝对值符号里面式子的正负，然后进行化简．考点二：三角形的高、中线与角平分线1．三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高．2．三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．3．三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连接这个角的顶点与交点的线段叫做三角形的角平分线．【例2】探究点一：三角形的高【类型一】三角形高的画法画△ABC的边AB上的高，下列画法中，正确的是( )解：过点C 作边AB 的垂线段，即画AB 边上的高CD ，所以画法正确的是D.故选D. 方法总结：三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．【类型二】 根据三角形的面积求高如图所示①，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，AD ⊥BC 于点D ，且AD ＝4，若点P 在边AC 上移动，则BP 的最小值为________．解析：根据垂线段最短，可知当BP ⊥AC 时，BP 有最小值．由△ABC 的面积公式可知12AD ·BC ＝12BP ·AC ，解得BP ＝245方法总结：解答此题可利用面积相等作桥梁(但不求面积)求三角形的高，这种解题方法通常称为“面积法”．① ② ③ ④ 探究点二：三角形的中线【类型一】 应用三角形的中线求线段的长如图②在△ABC 中，AC ＝5cm ，AD 是△ABC 的中线，若△ABD 的周长比△ADC 的周长大2cm ，则BA ＝________.解析：如图，∵AD 是△ABC 的中线，∴BD ＝CD ，∴△ABD 的周长－△ADC 的周长＝(BA ＋BD ＋AD )－(AC ＋AD ＋CD )＝BA －AC ，∴BA －5＝2，∴BA ＝7cm.方法总结：通过本题要理解三角形的中线的定义，解决问题的关键是将△ABD 与△ADC 的周长之差转化为边长的差．【类型二】 利用中线解决三角形的面积问题如图③，在△ABC 中，E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ，△ADF 和△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF 和S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝________．解析：∵点D 是AC 的中点，∴AD ＝12AC .∵S △ABC ＝12，∴S △ABD ＝12S △ABC ＝12×12＝6.∵EC ＝2BE ，S △ABC ＝12，∴S △ABE ＝13S △ABC ＝13×12＝4.∵S △ABD －S △ABE ＝(S △ADF ＋S △ABF )－(S △ABF ＋S △BEF )＝S △ADF －S △BEF ，即S △ADF －S △BEF ＝S △ABD －S △ABE ＝6－4＝2.故答案为2.方法总结：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；高相等时，面积的比等于底边的比；底相等时，面积的比等于高的比．探究点三：三角形的角平分线如图④，已知：AD 是△ABC 的角平分线，CE 是△ABC 的高，∠BAC ＝60°，∠BCE ＝40°，求∠ADB 的度数．解析：根据AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，得出∠BAD ＝30°，再利用CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，得出∠B 的度数，进而得出∠ADB 的度数．解：∵AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC ＝60°，∴∠DAC ＝∠BAD ＝30°.∵CE 是△ABC 的高，∠BCE ＝40°，∴∠B ＝50°，∴∠ADB ＝180°－∠B －∠BAD ＝180°－50°－30°＝100°.方法总结：通过本题要灵活掌握三角形的角平分线的表示方法，同时此类问题往往和三角形的高综合考查．考点三：三角形的稳定性【例3】要使四边形木架(用4根木条钉成)不变形，至少需要加钉1根木条固定，要使五边形木架不变形，至少需要加2根木条固定，要使六边形木架不变形，至少需要加3根木条固定，…，那么要使一个n 边形木架不变形，至少需要几根木条固定？解析：由于多边形(三边以上的)不具有稳定性，将其转化为三角形后木架的形状就不变了．根据具体多边形转化为三角形的经验及题中所加木条可找到一般规律．解：过n 边形的一个顶点可以作(n －3)条对角线，把多边形分成(n －2)个三角形，所以，要使一个n 边形木架不变形，至少需要(n －3)根木条固定．方法总结：将多边形转化为三角形时，所需要的木条根数，可从具体到一般去发现规律，然后验证求解．专题二：三角形有关的角考点四：三角形的内角1．三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°2．直角三角形的性质：直角三角形两锐角互余【例4】探究点一：三角形的内角和【类型一】 求三角形内角的度数已知，如图①，D 是△ABC 中BC 边延长线上一点，DF ⊥AB 交AB 于F ，交AC 于E ，若∠A ＝46°，∠D ＝50°.求∠ACB 的度数．① ② 解析：在Rt △DFB 中，根据三角形内角和定理，求得∠B 的度数，再在△ABC 中求∠ACB 的度数即可．解：在△DFB 中，∵DF ⊥AB ，∴∠DFB ＝90°.∵∠D ＝50°，∠DFB ＋∠D ＋∠B ＝180°，∴∠B ＝40°.在△ABC 中，∵∠A ＝46°，∠B ＝40°，∴∠ACB ＝180°－∠A －∠B ＝94°. 方法总结：求三角形的内角，必然和三角形内角和定理有关，解决问题时要根据图形特点，在不同的三角形中，灵活运用三角形内角和定理求解．【类型二】 判断三角形的形状一个三角形的三个内角的度数之比为1∶2∶3，这个三角形一定是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定解析：设这个三角形的三个内角的度数分别是x ，2x ，3x ，根据三角形的内角和为180°，得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴这个三角形的三个内角的度数分别是30°，60°，90°，即这个三角形是直角三角形．故选A.方法总结：在解决有关比例问题时，通常先设比例系数，然后列方程求解．【类型三】 三角形的内角与角平分线、高的综合运用如图②，在△ABC 中，∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，CD 是△ABC 的高，CE 是∠ACB 的角平分线，求∠DCE 的度数．解析：根据已知条件用∠A 表示出∠B 和∠ACB ，利用三角形的内角和求出∠A ，再求出∠ACB ，∠ACD ，最后根据角平分线的定义求出∠ACE 即可求得∠DCE 的度数．解：∵∠A ＝12∠B ＝13∠ACB ，设∠A ＝x ，∴∠B ＝2x ，∠ACB ＝3x .∵∠A ＋∠B ＋∠ACB ＝180°，∴x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴∠A ＝30°，∠ACB ＝90°.∵CD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＝180°－90°－30°＝60°.∵CE 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACE ＝12×90°＝45°，∴∠DCE ＝∠ACD －∠ACE ＝60°－45°＝15°.方法总结：本题是常见的几何计算题，解题的关键是利用三角形的内角和定理和角平分线的性质，找出角与角之间的关系并结合图形解答．探究点二：直角三角形的性质【类型一】 直角三角形性质的运用如图，CE ⊥AF ，垂足为E ，CE 与BF 相交于点D ，∠F ＝40°，∠C ＝30°，求∠EDF 、∠DBC 的度数．解析：根据直角三角形两锐角互余列式计算即可求出∠EDF ，再根据三角形的内角和定理求出∠C ＋∠DBC ＝∠F ＋∠DEF ，然后求解即可．解：∵CE ⊥AF ，∴∠DEF ＝90°，∴∠EDF ＝90°－∠F ＝90°－40°＝50°.由三角形的内角和定理得∠C ＋∠DBC ＋∠CDB ＝∠F ＋∠DEF ＋∠EDF ，∴30°＋∠DBC ＝40°＋90°，∴∠DBC ＝100°.方法总结：本题主要利用了直角三角形两锐角互余的性质和三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键．考点五：三角形的外角1．三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角．2．三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．【例5】探究点：三角形的外角【类型一】 应用三角形的外角求角的度数如图所示，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝150°，∠ABP ＝20°，∠ACP ＝30°，求∠A 的度数．解析：延长BP交AC于E或连接AP并延长，构造三角形的外角，再利用外角的性质即可求出∠A的度数．解：延长BP交AC于点E，则∠BPC，∠PEC分别为△PCE，△ABE的外角，∴∠BPC＝∠PEC ＋∠PCE，∠PEC＝∠ABE＋∠A，∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE＝150°－30°＝120°.∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.方法总结：利用三角形的外角的性质将已知与未知的角联系起来是计算角的度数的方法．【类型二】用三角形外角的性质把几个角的和分别转化为一个三角形的内角和已知：如图为一五角星，求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.解析：根据三角形外角性质得出∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A＋∠C，根据三角形内角和定理得出∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，代入即可得证．证明：∵∠EFG、∠EGF分别是△BDF、△ACG的外角，∴∠EFG＝∠B＋∠D，∠EGF＝∠A ＋∠C.又∵在△EFG中，∠E＋∠EGF＋∠EFG＝180°，∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.方法总结：解决此类问题的关键是根据图形的特点，利用三角形外角的性质将分散的角集中到某个三角形中，利用三角形内角和进行解决．【类型三】三角形外角的性质和角平分线的综合应用如图①，∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E.(1)如果∠A＝60°，∠ABC＝50°，求∠E的度数；(2)猜想：∠E与∠A有什么数量关系(写出结论即可)；(3)如图②，点E是△ABC两外角平分线BE、CE的交点，探索∠E与∠A之间的数量关系，并说明理由．解析：先计算特殊角的情况，再综合运用三角形的内角和定理及其推论结合三角形的角平分线概念解决．解：(1)根据外角的性质得∠ACD ＝∠A ＋∠ABC ＝60°＋50°＝110°，∵BE 平分∠ABC ，CE 平分∠ACD ，∴∠1＝12∠ACD ＝55°，∠2＝12∠ABC ＝25°.∵∠E ＋∠2＝∠1，∴∠E ＝∠1－∠2＝30°；(2)猜想：∠E ＝12∠A ； (3)∵BE 、CE 是两外角的平分线，∴∠2＝12∠CBD ，∠4＝12∠BCF ，而∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ，∠BCF ＝∠A ＋∠ABC ，∴∠2＝12(∠A ＋∠ACB )，∠4＝12(∠A ＋∠ABC )．∵∠E ＋∠2＋∠4＝180°，∴∠E ＋12(∠A ＋∠ACB )＋12(∠A ＋∠ABC )＝180°，即∠E ＋12∠A ＋12(∠A ＋∠ACB ＋∠ABC )＝180°.∵∠A ＋∠ACB ＋∠ABC ＝180°，∴∠E ＋12∠A ＝90°. 方法总结：对于本题发现的结论要予以重视：图①中，∠E ＝12∠A ；图②中，∠E ＝90°－12∠A .考点六：多边形及其内角和多边形1．定义：在同一平面内，由不在同一条直线上的一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形．2．相关概念：顶点、边、内角、对角线．3．多边形的对角线：n 边形从一个顶点出发的对角线条数为(n －3)条；n 边形共有对角线n （n －3）2条(n ≥3)．4．正多边形：如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称为正多边形． 多边形的内角和与外角和1．性质：多边形的内角和等于(n －2)·180°；多边形的外角和等于360°.2．多边形的边数与内角和、外角和的关系：(1)n 边形的内角和等于(n －2)·180°(n ≥3，n 是正整数)，可见多边形内角和与边数n 有关，每增加1条边，内角和增加180°.(2)多边形的外角和等于360°，与边数的多少无关.(3).正n 边形：正n 边形的内角的度数为（n －2）·180°n ，外角的度数为360°n. 【例6】探究点一：多边形的概念【类型一】 多边形及其概念下列图形不是凸多边形的是( )解析：根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任意一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形，否则即是凹多边形．由此可得选项D 的图形不是凸多边形．故选D. 方法总结：多边形可分为凸多边形和凹多边形，辨别凸多边形可有两种方法：(1)画多边形任何一边所在的直线，整个多边形都在此直线的同一侧；(2)每个内角的度数均小于180°.通常所说的多边形指凸多边形．【类型二】 确定多边形的边数若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原来的多边形的边数可能为( )A ．14或15或16B ．15或16C ．14或16D ．15或16或17解析：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16.故选A. 方法总结：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，解决此类问题可以亲自动手画一下．探究点二：多边形的对角线【类型一】 确定多边形的对角线的条数从四边形的一个顶点出发可画________条对角线，从五边形的一个顶点出发可画________条对角线，从六边形的一个顶点出发可画________条对角线，请猜想从七边形的一个顶点出发有________条对角线，从n 边形的一个顶点出发有________条对角线，从而推导出n 边形共有________条对角线．解析：根据n 边形从一个顶点出发可引出(n －3)条对角线．从n 个顶点出发引出n (n －3)条对角线，而每条重复一次，可得答案．解：从四边形的一个顶点出发可画1条对角线，从五边形的一个顶点出发可画2条对角线，从六边形的一个顶点出发可画3条对角线，从七边形的一个顶点出发有4条对角线，从n 边形的一个顶点出发有(n －3)条对角线，从而推导出n 边形共有n （n －3）2条对角线． 方法总结：(1)多边形有n 条边，则经过多边形的一个顶点的对角线有(n －3)条；(2)多边形有n 条边，对角线的条数为n （n －3）2.【类型二】 根据对角线条数确定多边形的边数从一个多边形的任意一个顶点出发都只有5条对角线，则它的边数是( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：设这个多边形是n 边形．依题意，得n －3＝5，解得n ＝8.故这个多边形的边数是8.故选C.【类型三】 根据分成三角形的个数，确定多边形的边数连接多边形的一个顶点与其他顶点的线段把这个多边形分成了6个三角形，则原多边形是( )A ．五边形B ．六边形C ．七边形D ．八边形解析：设原多边形是n 边形，则n －2＝6，解得n ＝8.故选D.方法总结：从n 边形的一个顶点出发可引出(n －3)条对角线，这(n －3)条对角线把n 边形分成(n －2)个三角形．探究点三：正多边形的有关概念下列图形中，是正多边形的是( )A ．等腰三角形B ．长方形C ．正方形D ．五边都相等的五边形解析：根据正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形进行解答．正方形四个角相等，四条边都相等，故选C. 方法总结：解答此类问题的关键是要搞清楚正多边形的定义，各个角相等、各条边相等的多边形是正多边形，这两个条件缺一不可．探究点一：多边形的内角和【类型一】利用内角和求边数一个多边形的内角和为540°，则它是( )A．四边形 B．五边形C．六边形 D．七边形解析：熟记多边形的内角和公式(n－2)·180°设它是n边形，根据题意得(n－2)·180＝540，解得n＝5.故选B.【类型二】求多边形的内角和一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为( )A．1620° B．1800°C．1980° D．以上答案都有可能解析：1800÷180＝10，∴原多边形边数为10＋2＝12.∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1，∴新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°.故选D.方法总结：一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，也可能加1.根据多边形的内角和公式求出原多边形的边数是解题的关键．【类型三】复杂图形中的角度计算如图，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝( )A．450° B．540°C．630° D．720°解析：如图，∵∠3＋∠4＝∠8＋∠9，∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋∠7＝∠1＋∠2＋∠8＋∠9＋∠5＋∠6＋∠7＝五边形的内角和＝540°，故选B.方法总结：本题考查了灵活运用五边形的内角和定理和三角形内外角关系．根据图形特点，将问题转化为熟知的问题，体现了转化思想的优越性．【类型四】利用方程和不等式确定多边形的边数一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？解析：本题首先由题意找出不等关系列出不等式，进而求出这一内角的取值范围；然后可确定这一内角的度数，进一步得出这个多边形的边数．解：设此多边形的内角和为x，则有1125°＜x＜1125°＋180°，即180°×6＋45°＜x＜180°×7＋45°，因为x为多边形的内角和，所以它是180°的倍数，所以x＝180°×7＝1260°.所以7＋2＝9，1260°－1125°＝135°.因此，漏加的这个内角是135°，这个多边形是九边形．方法总结：解题的关键是由题意列出不等式求出这个多边形的边数．探究点二：多边形的外角和【类型一】已知各相等外角的度数，求多边形的边数正多边形的一个外角等于36°，则该多边形是正( )A．八边形 B．九边形C．十边形 D．十一边形解析：正多边形的边数为360°÷36°＝10，则这个多边形是正十边形．故选C.方法总结：如果已知正多边形的一个外角，求边数可直接利用外角和除以这个角即可．【类型二】多边形内角和与外角和的综合运用一个多边形的内角和与外角和的和为540°，则它是( )A．五边形 B．四边形C．三角形 D．不能确定解析：设这个多边形的边数为n，则依题意可得(n－2)×180°＋360°＝540°，解得n ＝3，∴这个多边形是三角形．故选C.方法总结：熟练掌握多边形的内角和定理及外角和定理，解题的关键是由已知等量关系列出方程从而解决问题．。

第一章集合与常用逻辑用语总结提升与检测知识归纳知识点1：集合的含义1．元素与集合的相关概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2．元素与集合的关系(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∈A.3．常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号N N*或N＋Z Q R知识点2：集合的表示1．列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．2．描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．知识点3：集合间的基本关系2．子集、真子集、集合相等的相关概念3．空集(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∈.(2)规定：空集是任何集合的子集．4．集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A∈A.(2)对于集合A，B，C，∈若A∈B，且B∈C，则A∈C；∈若A B，B C，则A C.(3)若A∈B，A≠B，则A B.知识点4：并集与交集1．并集2．交集3．并集与交集的运算性质知识点5：补集1．全集(1)定义：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．(2)记法：全集通常记作U.2．补集知识点6：充要条件1．充分条件与必要条件p qp不是q的充分条件(1)一般地，如果既有p∈q，又有q∈p，就记作p∈q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．概括地说，如果p∈q，那么p与q互为充要条件．(2)若p∈q，但q p，则称p是q的充分不必要条件．(3)若q∈p，但p q，则称p是q的必要不充分条件．(4)若p q，且q p，则称p是q的既不充分也不必要条件．知识点7：全称量词与存在量词1．全称量词与全称量词命题(1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∈”表示．(2)含有全称量词的命题叫做全称量词命题，通常将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示，那么全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为∈x∈M，p(x)．2．存在量词与存在量词命题(1)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∈”表示．(2)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题，存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”，可用符号简记为“∈x∈M，p(x)”．3．含有一个量词的命题的否定﹁一般地，对于含有一个量词的命题的否定，有下面的结论：全称量词命题p：∈x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∈x∈M，﹁p(x)；存在量词命题p：∈x∈M，p(x)，它的否定﹁p：∈x∈M，﹁p(x)．全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．题型讲解题型1：集合的并、交、补运算【例1】已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6}，集合A＝{x∈N|1＜x≤4}，B＝{x∈R|x2－3x＋2＝0}．（1）用列举法表示集合A与B；（2）求A∩B及∈U(A∈B)．【解析】(1)由题知，A＝{2,3,4}，B＝{x∈R|(x－1)(x－2)＝0}＝{1,2}．(2)由题知，A∩B＝{2}，A∈B＝{1,2,3,4}，所以∈U(A∈B)＝{0,5,6}．【方法技巧】集合的运算主要包括交集、并集和补集运算.这也是高考对集合部分的主要考查点.有些题目比较简单，直接根据集合运算的定义可得.有些题目与解不等式或方程相结合，需要先正确求解不等式，再进行集合运算.还有的集合问题比较抽象，解题时需借助Venn图进行数形分析或利用数轴等，采用数形结合思想方法，可使问题直观化、形象化，进而能使问题简捷、准确地获解.【针对训练】1．已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∈U(A∈B)＝()A．{1,3,4}B．{3,4}C．{3} D．{4}【解析】D∈A＝{1,2}，B＝{2,3}，∈A∈B＝{1,2,3}，∈∈U (A ∈B )＝{4}．考点2：集合关系和运算中的参数问题【例2】 已知集合A ＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{x |a ≤x ≤a ＋3}． （1）若(∈R A )∈B ＝R ，求a 的取值范围； （2）是否存在a 使(∈R A )∈B ＝R 且A ∩B ＝∈？ 【解析】(1)A ＝{x |0≤x ≤2}，∈∈R A ＝{x |x <0或x >2}． ∈(∈R A )∈B ＝R ，∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ＋3≥2. ∈－1≤a ≤0.(2)由(1)知(∈R A )∈B ＝R 时，－1≤a ≤0，而2≤a ＋3≤3， ∈A ∈B ，这与A ∩B ＝∈矛盾．即这样的a 不存在． 【方法技巧】根据集合间关系求参数范围时，要深刻理解子集的概念，把形如A ∈B 的问题转化为A B 或A ＝B ，进而列出不等式组，使问题得以解决.在建立不等式过程中，可借助数轴以形促数，化抽象为具体.要注意作图准确，分类全面.【针对训练】2．已知集合A ＝{x |－3≤x ＜2}，B ＝{x |2k －1≤x ≤2k ＋1}，且B ∈A ，求实数k 的取值范围. 【解析】 由于B ∈A ，在数轴上表示A ，B ，如图，可得⎩⎪⎨⎪⎧2k －1≥－3，2k ＋1＜2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，k ＜12.所以k 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫k ⎪⎪－1≤k ＜12. 题型3：充分条件与必要条件【例3】 已知a ≥12，y ＝－a 2x 2＋ax ＋c ，其中a ，c 均为实数．证明：对于任意的x ∈{x |0≤x ≤1}，均有y ≤1成立的充要条件是c ≤34.【解析】 因为a ≥12，所以函数y ＝－a 2x 2＋ax ＋c 的图象的对称轴方程为x ＝a 2a 2＝12a ，且0＜12a ≤1，当x ＝12a 时，y ＝14＋c . 先证必要性：对于任意的x ∈{x |0≤x ≤1}，均有y ≤1，即14＋c ≤1，所以c ≤34.再证充分性：因为c ≤34，当x ＝12a 时，y 的最大值为14＋c ≤14＋34＝1，所以对于任意x ∈{x |0≤x ≤1}， y ＝－a 2x 2＋ax ＋c ≤1，即y ≤1. 即充分性成立． 【方法技巧】利用充分条件和必要条件求参数的取值范围，主要是根据集合间的包含关系与充分条件和必要条件的关系，将问题转化为集合之间的关系，建立关于参数的不等式或不等式组求解.【针对训练】3．若p ：x 2＋x －6＝0是q ：ax ＋1＝0的必要不充分条件，则实数a 的值为________． 【解析】－12或13 [p ：x 2＋x －6＝0，即x ＝2或x ＝－3.q ：ax ＋1＝0，当a ＝0时，方程无解；当a ≠0时，x ＝－1a.由题意知p q ，q ∈p ，故a ＝0舍去；当a ≠0时，应有－1a ＝2或－1a ＝－3，解得a ＝－12或a ＝13. 综上可知，a ＝－12或a ＝13.题型4：全称量词与存在量词【例4】（1）下列语句不是全称量词命题的是( )A ．任何一个实数乘以零都等于零B ．自然数都是正整数C ．高一(一)班绝大多数同学是团员D ．每一个实数都有大小 （2）命题p ：“∈x ∈R ，x 2＞0”，则( )A ．p 是假命题；﹁p ：∈x ∈R ，x 2＜0B ．p 是假命题；￢p ：∈x ∈R ，x 2≤0C ．p 是真命题；￢p ：∈x ∈R ，x 2＜0D ．p 是真命题；￢p ：∈x ∈R ，x 2≤0 【答案】(1) C (2) B【解析】(1)A 中命题可改写为：任意一个实数乘以零都等于零，故A 是全称量词命题；B 中命题可改写为：任意的自然数都是正整数，故B 是全称量词命题；C 中命题可改写为：高一(一)班存在部分同学是团员，C 不是全称量词命题；D 中命题可改写为：任意的一个实数都有大小，故D 是全称量词命题．故选C.(2)由于02＞0不成立，故“∈x∈R，x2＞0”为假命题，根据全称量词命题的否定是存在量词命题可知，“∈x∈R，x2＞0”的否定是“∈x∈R，x2≤0”，故选B.【方法技巧】“一般命题的否定”与“含有一个量词的命题的否定”的区别与联系(1)一般命题的否定通常是在条件成立的前提下否定其结论，得到真假性完全相反的两个命题；含有一个量词的命题的否定，是在否定结论p(x)的同时，改变量词的属性，即将全称量词改为存在量词，存在量词改为全称量词.(2)与一般命题的否定相同，含有一个量词的命题的否定的关键也是对关键词的否定.【针对训练】4．下列命题不是存在量词命题的是()A．有些实数没有平方根B．能被5整除的数也能被2整除C．在实数范围内，有些一元二次方程无解D．有一个m使2－m与|m|－3异号【解析】B选项A、C、D中都含有存在量词，故皆为存在量词命题，选项B中不含存在量词，不是存在量词命题．5．命题“能被7整除的数是奇数”的否定是________．【解析】存在一个能被7整除的数不是奇数原命题即为“所有能被7整除的数都是奇数”，是全称量词命题，故该命题的否定是：“存在一个能被7整除的数不是奇数”．章节检测(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列表示正确的是()A．{所有实数}＝R B．整数集＝{Z}C．∈＝{∈} D．1∈{有理数}【解析】D选项A不正确，因为符号“{}”已包含“所有”“全体”的含义，因此不用再加“所有”；选项B不正确，Z表示整数集，不能加花括号；显然选项C不正确，选项D正确．2．集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}，则A∈(∈R B)＝()A．{x|x>1} B．{x|x≥－1}C．{x|1<x≤2} D．{x|1≤x≤2}【解析】B由A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|x<1}可知∈R B＝{x|x≥1}，∈A∈(∈R B)＝{x|x≥－1}．3．满足{1}∈X{1,2,3,4}的集合X有()A ．4个B ．5个C ．6个D ．7个【解析】D 集合X 可以是{1}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，共7个． 4．命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥1”的否定是( ) A ．对任意x ∈R ，都有x 2＜1B ．不存在x ∈R ，使得x 2＜1C ．存在x ∈R ，使得x 2≥1 D.存在x ∈R ，使得x 2＜1【解析】D 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥1”的否定是：存在x ∈R ，使得x 2＜1.故选D.5．命题“∈x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0”的否定是( ) A ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1<0 B ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1≥0 C ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1>0 D ．∈x ∈R ，x 3－x 2＋1≤0【解析】C 由存在量词命题的否定可得，所给命题的否定为“∈x ∈R ，x 3－x 2＋1>0”．故选C. 6. “a ＝－1”是“函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点”的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【解析】B 当a ＝－1时，函数y ＝ax 2＋2x －1＝－x 2＋2x －1与x 轴只有一个交点；但若函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点，则a ＝－1或a ＝0，所以“a ＝－1”是“函数y ＝ax 2＋2x －1与x 轴只有一个交点”的充分不必要条件．7．a 2＞b 2的一个充分条件是( ) A ．a ＞b B ．a ＜b C ．a ＝bD ．a ＝2，b ＝1 【解析】D A 中，当a ＝0，b ＝－2时，a 2＝0，b 2＝4，不能推出a 2＞b 2；B 中，当a ＝－1，b ＝1时，a 2＝b 2，不能推出a 2＞b 2；C 中，当a ＝b 时，a 2＝b 2，不能推出a 2＞b 2；D 中，a 2＝4，b 2＝1，能推出a 2＞b 2，故选D.8．下列命题中，真命题是( )A ．若x ，y ∈R 且x ＋y ＞2，则x ，y 至少有一个大于1B ．∈x ∈R,2x ＞x 2C ．a ＋b ＝0的充要条件是ab ＝－1D ．∈x ∈R ，x 2＋2≤0【解析】A 当x ＝2时，2x ＝x 2，故B 错误；当a ＝b ＝0时，满足a ＋b ＝0，但ab ＝－1不成立，故C错误；∈x ∈R ，x 2＋2＞0，故∈x ∈R ，x 2＋2≤0错误，故选A.9．一元二次方程ax 2＋4x ＋3＝0 (a ≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是( ) A ．a <0 B ．a >0 C ．a <－1D ．a >1【解析】C 方程有一个正根和一个负根时，根据韦达定理知3a ＜0，即a ＜0，a <－1可以推出a ＜0，但a ＜0不一定推出a <－1，故选C.10．已知集合A ＝{x |x ＞2}，B ＝{x |x ＜2m }，且A ∈∈R B ，那么m 的值可以是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4【解析】A 根据补集的概念，∈R B ＝{x |x ≥2m }． 又∈A ∈∈R B ，∈2m ≤2. 解得m ≤1，故m 的值可以是1.11．若集合A ＝{x |2a ＋1≤x ≤3a －5}，B ＝{x |5≤x ≤16}，则能使A ∈B 成立的所有a 组成的集合为( ) A ．{a |2≤a ≤7} B ．{a |6≤a ≤7} C ．{a |a ≤7}D ．∈【解析】C 当3a －5<2a ＋1，即a <6时，A ＝∈∈B ； 当3a －5≥2a ＋1，即a ≥6时，A ≠∈，要使A ∈B ，需有⎩⎪⎨⎪⎧3a －5≤16，2a ＋1≥5，解得2≤a ≤7.综上可知，a ≤7.12．满足“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充要条件的电路图是( )【解析】C 由题图A ，闭合开关K 1或者闭合开关K 2都可以使灯泡R 亮；反之，若要使灯泡R 亮，不一定非要闭合开关K 1，因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充分不必要条件．由题图B ，闭合开关K 1而不闭合开关K 2，灯泡R 不亮；反之，若要使灯泡R 亮，则开关K 1必须闭合．因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的必要不充分条件．由题图C ，闭合开关K 1可使灯泡R 亮；反之，若要使灯泡R 亮，开关K 1一定是闭合的．因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的充要条件．由题图D ，闭合开关K 1但不闭合开关K 2，灯泡R 不亮；反之，灯泡R 亮也可不闭合开关K 1，只要闭合开关K 2即可．因此“闭合开关K 1”是“灯泡R 亮”的既不充分也不必要条件．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设全集U＝R，集合A＝{x|x＜0}，B＝{x|x＞1}，则A∈(∈U B)＝________.【解析】{x|x≤1}∈B＝{x|x＞1}，∈∈U B＝{x|x≤1}，则A∈(∈U B)＝{x|x≤1}．14．命题“∈1≤x≤2，使x2－a≥0”是真命题，则a的取值范围是________．【解析】{a|a≤1}命题p：a≤x2在1≤x≤2上恒成立，y＝x2在1≤x≤2上的最小值为1，∈a≤1.15．设集合A＝{x|0＜x＜1}，B＝{x|0＜x＜3}，那么“m∈A”是“m∈B”的________条件(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)．【解析】充分不必要由于A＝{x|0＜x＜1}，所以A B，所以“m∈A”是“m∈B”的充分不必要条件．16．定义集合运算：A∈B＝{z|z＝xy(x＋y)，x∈A，y∈B}．设集合A＝{0,1}，B＝{2,3}，则集合A∈B的所有元素之和为________．【解析】18当x＝0时，y＝2、3，对应的z＝0；当x＝1时，y＝2、3，对应的z＝6、12.即A∈B＝{0,6,12}．故集合A∈B的所有元素之和为18.三、解答题(本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并写出它们的否定：（1）p：对任意的x∈R，x2＋x＋1＝0都成立；（2）p：∈x∈R，x2＋2x＋5＞0.【解析】(1)由于命题中含有全称量词“任意的”，因而是全称量词命题；又由于“任意”的否定为“存在一个”，因此，￢p：存在一个x∈R，使x2＋x＋1≠0成立，即“∈x∈R，使x2＋x＋1≠0成立”；(2)由于“∈x∈R”表示存在一个实数x，即命题中含有存在量词“存在一个”，因而是存在量词命题；又由于“存在一个”的否定为“任意一个”，因此，￢p：对任意一个x都有x2＋2x＋5≤0，即“∈x∈R，x2＋2x＋5≤0”．18．(本小题满分12分)已知A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|－3<x≤3}，求∈R A，∈R(A∩B)，(∈R A)∩B.【解析】结合数轴，由图可知∈R A＝{x|x≤－2或x≥3}，又∈A∩B＝{x|－2<x<3}＝A，∈∈R(A∩B)＝∈R A＝{x|x≤－2或x≥3}，∈(∈R A)∩B＝{x|－3<x≤－2或x＝3}．19．(本小题满分12分)判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．（1）条件p：a，b∈R，a＋b＞0，结论q：ab＞0；（2）条件p ：A B ，结论q ：A ∈B ＝B .【解析】 (1)因为a ，b ∈R ，a ＋b ＞0，所以a ，b 至少有一个大于0，所以pq .反之，若ab ＞0，可推出a ，b 同号．但推不出a ＋b ＞0，即q p . 综上所述，p 既不是q 的充分条件，也不是必要条件．(2)因为A B ∈A ∈B ＝B ，所以p ∈q .而当A ∈B ＝B 时，A ∈B ，即q p ，所以p 为q 的充分不必要条件．20．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．（1）当m ＝－1时，求A ∈B ；（2）若A ∈B ，求实数m 的取值范围．【解析】 (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，A ∈B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ∈B ，知⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为{m |m ≤－2}．21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠∈.（1）若x ∈A 是x ∈B 的充分条件，求a 的取值范围；（2）若A ∩B ＝∈，求a 的取值范围．【解析】 (1)∈x ∈A 是x ∈B 的充分条件，∈A ∈B .∈⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a ≥4， 解得a 的取值范围为43≤a ≤2. (2)由B ＝{x |a ＜x ＜3a }且B ≠∈，∈a ＞0.若A ∩B ＝∈，∈a ≥4或3a ≤2，所以a 的取值范围为0＜a ≤23或a ≥4. 22．(本小题满分12分)已知x ，y 都是非零实数，且x ＞y ，求证：1x ＜1y的充要条件是xy ＞0. 【解析】法一：充分性：由xy ＞0及x ＞y ，得x xy ＞y xy， 即1x ＜1y.必要性：由1x ＜1y ，得1x －1y ＜0，即y －x xy＜0. 因为x ＞y ，所以y －x ＜0，所以xy ＞0.所以1x ＜1y的充要条件是xy ＞0. 法二：1x ＜1y ∈1x －1y ＜0∈y －x xy＜0. 由条件x ＞y ∈y －x ＜0，故由y －x xy <0∈xy ＞0. 所以1x ＜1y∈xy ＞0， 即1x ＜1y的充要条件是xy ＞0.。