历年试题数学分析
河南大学2002年硕士研究生招生入学考试数学分析
一、计算下列各题（每题5分，共50分）： 1、2211
1222lim 11
133
3n x n →∞+++
+++;
2、
222arcsin
22x a x y a x a
=- ()0a >,求y ';
3、()1ln ln ln x dx x ⎡⎤+⎢⎥
⎣
⎦
⎰; 4、20
sin x e xdx
π
⎰
;
5、计算广义积分21
1
dx x -⎰;
6、求幂级数()
135
n
n
n x n ∞
=-⋅∑
的收敛区间;
7、设,y
x z x =求,z z
x y
∂∂∂
∂; 8、展开函数()()cos 2x
f x x ππ=-≤≤为傅里叶级数;
9、计算二重积分
2
2,:2,,1D
x dxdy D x y x xy y ===⎰⎰所围成;
10、应用格林公式计算2
2
C
xy dy x ydx -⎰,式中C 为按逆时针
方向绕圆周2
2
x y a +=一圈的路径.
二、(10)求函数()()
2
12x
y x x dx
=--⎰的极值，并求其图形
上的拐点.
(下缺)
河南大学2003年硕士研究生招生入学考试数学分析
一、完成以下各题(每小题8分,共48分) 1、()
(
)
23ln 1lim ln 1x x
x e e →∞
++;
2、设
()2
ln 1arctan x t y t t
⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求
22,dy d y
dx dx
;
3、计算广义积分2
2
2
,02
sin sin dx x π
α
π
αα
<<
-⎰
;
4、将()11x
f x x
-=+展成x 的幂级数,并确定收敛区间; 5、计算()()2y
y AB
e
x dx xe y dy
++-⎰,其中AB 是经过()()()
0,0,0,1,1,2A C B 的任一光滑圆弧;
6、求函数()2
43
1
x f x x +=+的极大值和极小值. 二、(12分)求由方程()22ln 0xz xyz xyz -+=所确定的函数
()
,z f x y =的全微分.
三、(12分)展开函数
()1,02
0,2
x f x x π
π
π
⎧
≤≤
⎪⎪
=⎨
⎪≤≤⎪⎩
为余弦级数.
四、(12分)求曲线2
2y
x
=与4y x =-所围区域的面积.
五、(12分)计算二重积分()D
x y dxdy +⎰⎰,其中D 是圆
22x y x y
+≤+外部.
六、(12分)证明微积分学基本定理:若函数()f x 在[],a b 上连续,则()()[]
,,x
a
x f t dt t a b Φ=∈⎰
在[],a b 上可导,且有()()x f x 'Φ=.
七、(12分)证明曲线1xy =上任一点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积为一常数.
八、(10分)若()f x '在[],a b 上连续，对任意正整数n ，令
()()()()1,0,1,,,.k n
b k a k b a
x a k k n n
b a r n f x f x dx n =-=+⋅
=-=-∑⎰
证明：（1）()()()1
1
;
k
k n
x k x k r n f x f x dx -==-⎡⎤⎣⎦∑⎰
（2）
()12
1;2k
k x k
x b a x x dx n --⎛⎫-= ⎪⎝⎭
⎰
（3）
()2
2
1
1
1122n
n
k k
k k b a b a m r n M
n n ==--⎛⎫⎛⎫
≤≤ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎝⎭∑∑，这里
(){}(){}
inf ,sup k
k
k k x x m f x M f x ∈∆∈∆''==；
（4）()()()lim 2
n b a
n r n f b f a →∞
-⋅=-⎡⎤⎣⎦. 九、(10分)设()f z 在1z ≤上解析,且()1f z ≤,试证()01f '≤. 十、(10分)试证:当a e >时,方程0
z
n e
az -=在单位圆1
z <
