创作编号：BG7531400019813488897SX 创作者： 别如克*
用分离变量法解常微分方程
.
１ 直接可分离变量的微分方程
1.1形如
dx
dy
= ()x f ()y ϕ (1.1)
的方程，称为变量分离方程，这里()x f ，()y ϕ分别是的连续函数.
如果ϕ(y)≠0，我们可将（1.1）改写成
)
(y dy
ϕ= ()x f ()x d , 这样，变量就“分离”开来了.两边积分，得到
通解：⎰
)(x dy
ϕ=⎰
dx x f )( + c. (1.2)
其中，c 表示该常数，⎰
)(x dy
ϕ，⎰dx x f )(分别理解为)
(1y ϕ，()x f 的原函数.常数c 的取值必须保证（1.2）有意义.使()0=y
ϕ的0y y =是方程(1.1)的解.
例1 求解方程01122=-+-dx y dy x 的通解.
解：(1)变形且分离变量：
），
，（11112
2
<<--
=-y x x
dx y
dy (2)两边积分：
c x
dx y
dy +-=-⎰
⎰
2
2
11 ，
得
c x y +-=arcsin arcsin .
可以验证1±=y 也是原方程的解，若视x 和y 是平等的，则1±=x 也是原方程的解.
我们可以用这个方法来解决中学常见的一些几何问题.
例2 曲线L 上的点),(y x P 处的法线与x 轴的交点为Q ，且线段PQ 被y 轴平分.求曲线L 的方程.
分析:这是一个利用几何条件来建立微分方程的例子.先建立法线PQ 的方程，用大写的),(Y X 表示法线上的动点，用小写的表示曲线L 上的点，
法κ为过点),(y x P 的法线的斜率.
解：由题意得
y
'-
=1
法κ. 从而法线PQ 的方程为
)(1
x X y y Y -'
-
=-. 又PQ 被y 轴平分，PQ 与y 轴交点M 的坐标为⎪⎭
⎫
⎝⎛2,0y ，代入上式，得
)0(1
2x y y y -'
-=-. 整理后，得
x y y 2-='，
分离变量，解得
c y x =+2
2
2
其中c 为任意正数，如图1.
２ 变量可替换的微分方程
通过上面的介绍，我们已经知道了什么方程是变量分离方程.下面，我们再介绍几种可化为变量分离方程的类型:
2.1齐次方程
形如
⎪⎭
⎫
⎝⎛=x y dx dy ϕ (1.3)
的微分方程，称为齐次微分方程.这里)(u ϕ是u 的连续函数.
对方程(1.3)做变量变换 x
y u =，
(1.4)
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即ux y =，于是
u dx
du x dx dy +=. (1.5)
将(1.4),(1.5)代入（1.3），则原方程变为
)(u u dx du
x ϕ=+，
整理后，得到
x
u
u dx du -=
)(ϕ. (1.6) 方程（1.6）是一个变量分离方程.可按前面(1.1)的方法求解，然后代回原来的变量，便得到（1.3）的解. 例3 求微分方程dx
dy
xy dx dy x y =+22的通解.
解：原方程化为
()2
2
y dx
dy x xy =- ()x y ≠，
即
1-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x
y x y dx
dy ， 于是，令x y u =
，即xu y =，将dx
du u dx dy +=代入该方程，得 1
2
-=+u u dx du x u ，
整理，即有
1
12-=--=u u u u u dx du x ， 分离变量，得
x
dx
du u u =
-1 ()0≠u ， 两边积分，得
1ln ln ln c x u u +=-，
将x
y
u =
代回来，得 ()y c c x x y x y 11ln ln =⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⋅=，
∴ x
y e y c =1，
即
x
y ce y =，其中c 为任意常数.
另, 0=u 即0=y 也是原方程的解，但此解课包含于通解0=c 之中.故,方程的通解为x
y ce y =.
2.2形如
2
221
11c y b x a c y b x a dx dy ++++=
(1.7)
的方程，这里212121,,,,,c c b b a a 均为常数. 此方程经变量变换可化为变量分离方程.
我们分三种情形来讨论： 2.2.1
()常数k c c b b b a ===2
1
2111的情形. 这时方程化为
k dx
dy
= 有通解
c kx y +=，
其中为任意的常数c . 2.2.2
2
12111c c k b b a a ≠==的情形. 令y b x a u 22+=，这时有
2
12222c u c ku b a dx dy
b a dx du +++=+= 是变量分离方程.
