高中数学课件-2017-2018学年北师大版必修1课件： 正整数指数函数-2 指数扩充及其运算性质

题型三 利用分数指数幂运算性质化简与求值
【例 3】 (1)化简式子：
2×3 a2· b－6× a·3 b＝________．
－3×6
6
a·
b5
2
(2)①化简 a3
1
·b2
1
·(2a2
1
b3
)÷15a16
5
b6
＝________；
②计算：(
2－1)0＋196－12
2
＋83
＝________．
解析
2×3 a2· b－6×
• 2．正整数指数函数的图像：正整数指数函数 的图像是第一象限内一系列__孤__立____的点， 是离散而不是连续的．
知识点二 分数指数幂
1．分数指数幂的定义：给定正实数 a，对于任意给定的整数 m，
n(m，n 互素)，存在唯一的正实数 b，使得 bn＝am，我们把
b
叫作
a
的mn 次幂，记作
m
b＝a n
【迁移 3】 (变换条件，改变问法)已知 a＋a－1＝5(a>0)，求下
列各式的值：
1
1
(1)a2＋a－2；(2)a2 －a－2 ；(3)a3＋a－3．
解 (1)法一 由 a＋a－1＝5 两边平方，得 a2＋2aa－1＋a－2＝ 25，即 a2＋a－2＝23． 法二 a2＋a－2＝a2＋2aa－1＋a－2－2aa－1＝(a＋a－1)2－2＝25 －2＝23．
答案
9 4
1
5．求值：(1)[(－5)4]4 －150．
1
(2)0.001－3
－780＋1634
＋(
3
2·
3)6．
1
解 (1)原式＝(54) 4 －150＝5－1＝4．
1
3
1
1
(2)原式＝(0.13) －3 －1＋(24)4 ＋(22 )6·(33 )6＝89．
课堂小结
• 2．公式am÷an＝am－n(a>0，m，n∈N*)成立 吗？请用有理数指数幂的运算性质加以证明， 并说明是否要限制m>n?
提示 成立，且不需要限制 m>n．
证明如下：am÷an＝aamn ＝am·a1n＝am·a－n＝am－n．
题型一 根式的运算
【例 1】 求下列各式的值．
3
(1)
－23；(2)4
A．a3 ·a2 ＝a
C．(a3)2＝a9
)
11
B．a－2 ·a2 ＝0
11
1
D．a2 ÷a3 ＝a6
13
13
11
解析 a3 ·a2 ＝a3 ＋2 ＝a 6 ≠a，
11
11
11
1
a－2 ·a2 ＝a0＝1≠0，(a3)2＝a6≠a9，a2 ÷a3 ＝a2 －3 ＝a6 ．
• 答案 D
3．若 x>3，则 x2－6x＋9－|2－x|＝________．
解析 x2－6x＋9－|2－x|＝ x－32－|2－x|＝|x－3|－|2－ x|＝x－3＋2－x＝－1．
• 答案 －1
• 4．若10x＝3,10y＝4，则102x－y＝________．
解析 因为 10x＝3，所以(10x)2＝9，即 102x＝9， 所以11002yx＝94，即 102x－y＝94．
－32；(3)8
3－π8；
(4) x2－2x＋1－ x2＋6x＋9，x∈(－3,3)．
解
3
(1)
－23＝－2．
4
(2)
－32＝4 32＝
3．
8
(3)
3－π8＝|3－π|＝π－3．
(4)原式＝ x－12－ x＋32＝|x－1|－|x＋3|， 当－3<x≤1 时，原式＝1－x－(x＋3)＝－2x－2． 当 1<x<3 时，原式＝x－1－(x＋3)＝－4． 因此，原式＝－ －24x，－12<，x<－3. 3<x≤1，
答案 (1)4a (2)①10a ②243
• 规律方法 利用分数指数幂的运算性质化 简、求值的方法技巧
• (1)有括号先算括号里的．
• (2)无括号先做指数运算．
• (3)负指数幂化为正指数幂的倒数．
• (4)底数是负数，先确定符号，底数是小 数，先要化成分数，底数是带分数，先要化 为假分数，然后要尽可能用幂的形式表示， 使于用指数运算性质．
题型二 根式与分数指数幂的互化
【例 2】 (1)设 a>0，将 a2 表示成分数指数幂，其结果是 a·3 a2
()
1
A．a2
3
B．a2
5
C．a6
7
D．a6
1
பைடு நூலகம்
11
(2)将(an ＋bn )3 表示成根式的形式是( )
3
A．
n a＋b
B．(n
a＋n
1
b)3
3
C．
n a＋n b
31
1
D． an ＋bn
解析
；
1
m
m
2．规定正数的负分数指数幂的意义是：a－n ＝__a_n___ (a>0，m，
n∈N＋，且 n>1)；
3．0 的正分数指数幂等于___0_______，0 的负分数指数幂 __没__有__意__义__．
【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)n an＝(n a)n.( )
2
1
•§1 正整数指数函数 •§2 指数扩充及其运算性质
预习教材 P61－67 完成下列问题：
• 知识点一 正整数指数函数
• 1．正整数指数函数
• 一般地，函数 _____y_＝_a_x(_a_>0_，__a≠__1，__x_∈_N_＋_)____叫作正整数指数 函数，其中x是自变量，定义域是 ____正__整_数__集_N_＋_____．
• (1)两个步骤：
• (2)一个注意点：若已知条件或所求式子 中含有平方差、立方差的形式，注意应用平 方差公式或立方差公式．
课堂达标
1．若n a＝－n a，则( )
A．a＝0
B．a≠0
C．a≤0
D．a≥0
解析 因为n a与－n a互为相反数，所以 a＝0．
答案 A
2．下列等式一定成立的是(
13
(2)(－2)4 ＝(－2)2 ＝ －2.( )
m
(3)分数指数幂 an
可以理解为mn 个 a 相乘．(
)
提示 (1)错误．当 n 为偶数时n an中 a 可以为负数而(n a)n
中的 a 不可以为负数．
2
2
1
(2)错误．(－2) 4 ＝(2) 4 ＝22 ＝ 2．
m
(3)错误，分数指数幂 an
不可能理解为mn 个 a 相乘，其实质
3
a·
b
(1)
－3×6
6
a·
b5
2111
＝－12a3
b2
1
a2
5
b3
－3a6 b6
＝4a．
2
(2)①a3
1
·b2
1
·(2a2
1
b3
)÷15a16
5
b6
211115
＝10a3 ＋2 －6 b2 ＋3 －6 ＝10a．
②(
2－1)0＋196－12
2
＋83
＝1＋432－12
2
＋(23) 3
＝1＋34＋4＝243．
• 【预习评价】
• 1．有理数指数幂的运算性质是否适用于a＝0 或a<0?
提示 (1)若 a＝0，因为 0 的负数指数幂无意义，所以 a≠0．
1
1
(2)若 a<0，(ar)s＝ars 也不一定成立，如[(－4)2]4 ≠(－4) 2 ，
所以 a<0 不成立．因此不适用于 a＝0 或 a<0 的情况．
1
1
(2)∵(a2 －a－2 )2＝a＋a－1－2＝5－2＝3，
1
∴|a2
－a－12
|＝
3，
1
∴a2
－a－12
＝± 3．
(3)a3＋a－3＝(a＋a－1)(a2－aa－1＋a－2)
＝(a＋a－1)(a2＋2aa－1＋a－2－3)
＝(a＋a－1)[(a＋a－1)2－3]
＝5×(25－3)＝110．
• 规律方法 条件求值问题的两个步骤及一 个注意点
【训练 3】
1
(1)计算：0.027－3
－－16－2＋810.75＋190－3－1．
1
(2)化简：(2a4
1
b－3
1
)·(－3a－2
2
b3
)÷－14a－14
2
b－3
．
解
(1)原式＝(0.33)
1 －3
3
－(－6)2＋(34)4
＋1－13
＝130－36＋27＋1－13＝－5．
111 122
(2)原式＝24a4 －2 ＋4 b－3 ＋3 ＋3 ＝24b．
(1)
a2 a·3
＝
1
a2
2
1
＝a2－2
a2 a2×a3×2
1 －3
7
＝a6．
1
(2)因为a n
＝
n
a
，b
1 n
＝
n
b
，所以(a
1 n
1
＋b n
1
)3
＝
3 n a＋n b．
• 答案 (1)D (2)C
规律方法 根式与分数指数幂互化的规律及技巧 (1)规律：根指数↔ 化为分数指数幂的分母． 被开方数(式)的指数↔ 化为分数指数幂的分子． (2)技巧：当表达式中的根号较多时，由里向外用分数指数幂 的形式写出来，然后再利用相关的运算性质进行化简．