相似三角形判定定理的证明(提高)
【学习目标】
1.熟记三个判定定理的内容.
2.三个判定定理的证明过程.
3.学选会用适当的方法证明结论的成立性. 【要点梳理】
要点一、两角分别相等的两个三角形相似
已知：如图,在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′，∠B =∠B ′.求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.
证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD =A ′D ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则∠ADE =∠B ，∠AED =∠C,
(.AD AE
AB AC
=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F ,则
(AD CF
AB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CF
AC CB
=
∵DE ∥BC,DF ∥AC,
∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE =CF . ∴
AD AE DE
AB AC BC
==. 而∠ADE =∠B,∠DAE =∠BAC,∠AED ==∠C, ∴△ADE ∽△AB C.
∵∠A =∠A ′,∠ADE =∠B =∠B ′,AD =A ′B ′, ∴△ADE ∽△A ′B ′C ′. ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.
要点诠释：证明这个定理的正确性，是把它转化为平行线分线段成比例来证明的，注意转化时 辅助线的做法.
要点二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 已知，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′,
''''
AB AC
A B A C =
,求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.
证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD =A ′B ′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E,则
∠B =∠ADE,∠C =∠AED,
∴△ABC ∽△ADE (两个分别相等的两个三角形相似).
∴AB AC
AD AE =
. ∵''''AB AC A B A C =
,AD =A ′B ′, ∴''AB AC
AD A C = ∴''
AC AC
AE A C = ∴AE =A ′C ′ 而∠A =∠A ′ ∴△ADE ≌△A ′B ′C ′.
∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.
要点诠释：利用了转化的数学思想，通过添设辅助线，将未知的判定方法转化为已知两组角对应相等推得相似或已知平行推得相似的. 要点三、三边成比例的两个三角形相似 已知：在在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠A =∠A ′, ''''''
AB BC AC
A B B C A C ==
. 求证：△ABC ∽△A ′B ′C ′.
证明：在△ABC 的边AB ，AC （或它们的延长线）上截取AD =A ′B ′,AD =A ′B ′,连接DE .
∵
''''AB AC
A B A C =
，AD =A ′B ′,AE =A ′C ′, ∴AB AC AD AE
= 而∠BAC =∠DAE,
∴△ABC ∽△ADE (两边成比例且夹角相等的两个三角形相似). ∴
AB BC
AD DE =
又''''AB BC A B B C =
，AD = A ′B ′, ∴ ''AB BC AD B C =
∴''
BC BC DE B C =
∴DE =B ′C ′,
∴△ADE ≌△A ′B ′C ′， ∴△ABC ∽△A ′B ′C ′.
【典型例题】
类型一、两角分别相等的两个三角形相似
1、（合肥校级四模）如图，己知：Rt △AB C 中，∠BAC =9O °，AD ⊥BC 于D ，E 是AC 的中点，ED 交AB 延长线于F ，求证：
①△ABD∽△CAD；
②AB：AC=DF：AF．
【思路点拨】（1）由Rt△AB C中，∠BAC=9O°，AD⊥BC，易得∠BAD=∠ACD，又由∠ADB=∠ADC，即可证得△ABD∽△CAD；
（2）由△ABD∽△CAD，即可得，易证得△AFD∽△DFB，可得，继而证得结论．
【答案与解析】
证明：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠BAD=∠ACD，
∵∠ADB=∠ADC，
∴△ABD∽△CAD；
（2）∵△ABD∽△CAD，
∴，
∵E是A C中点，∠ADC=90°，
∴ED=EC，
∴∠ACD=∠EDC，
∵∠EDC=∠BDF，∠ACD=∠BAD，
∴∠BAD=∠BDF，
∵∠AFD=∠DFB，
∴△AFD∽△DFB，
∴，
∴,
∴AB：AC=DF：AF．
【总结升华】此题考查了相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质，难度适中．
类型二、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
2、如图，在△AB C中，M、N分别为AB、AC边上的中点．D、E为BC边上的两点，且DE=BD+EC，ME与ND交于点O，请你写出图中一对全等的三角形，并加以证明．
【思路点拨】因为M、N分别为AB、AC边上的中点，∠A=∠A，可证明△AMN∽△ABC，则MN∥BC，又因为DE=BD+EC，所以有△MON≌△EO D．
【答案与解析】
解：△MON≌△EO D．
证明：∵M、N分别为AB、AC边上的中点，
∴AM：AB=1：2，AN：AC=1：2．
∵∠A=∠A，
∴△AMN∽△AB C．
∴∠AMN=∠ABC，MN=B C．
∴MN∥B C．
∴∠OMN=∠OED，∠ONM=∠ODE．
∵DE=BD+EC，
∴DE=B C．
∴MN=DE．
∴△MON≌△DOE．
【总结升华】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方
