2017年全国高中数学联赛A 卷
一试
一、填空题
1.设)(x f 是定义在R 上的函数，对任意实数x 有1)4()3(-=-⋅+x f x f .又当70<≤x 时，
)9(log )(2x x f -=，则)100(-f 的值为__________.
2.若实数y x ,满足1cos 22
=+y x ，则y x cos -的取值范围是__________.
3.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的方程为110
9:
2
2=+y x ，F 为C 的上焦点，A 为C 的右顶点，P 是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF 的面积的最大值为__________.
4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 。
5.正三棱锥P-ABC 中，AB=1，AP=2，过AB 的平面α将其体积平分，则棱PC 与平面α所成角的余弦值为________.
6.在平面直角坐标系xOy 中，点集}{
1,0,1,),(-==y x y x K .在K 中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为5的概率为__________.
7.在ABC ∆中，M 是边BC 的中点，N 是线段BM 的中点.若3
π
=∠A ，ABC ∆的面积为3，
则AN AM ⋅的最小值为__________.
8.设两个严格递增的正整数数列{}{}n n b a ,满足：20171010<=b a ，对任意正整数n ，有n n n a a a +=++12，
n n b b 21=+，则11b a +的所有可能值为__________.
二、解答题
9.设m k ,为实数，不等式12≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立.证明：22≤-a b .
10.设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求)5
3)(53(3
21321x x x x x x ++++的最小值和最大值.
11.设复数21,z z 满足0)Re(1>z ，0)Re(2>z ，且2)Re()Re(2
22
1==z z （其中)Re(z 表示复数z 的实部）. （1）求)Re(21z z 的最小值； （2）求212122z z z z --+++的最小值.
2017年全国高中数学联赛A 卷
二试
一.如图，在ABC ∆中，AC AB =，I 为ABC ∆的内心，以A 为圆心，AB 为半径作圆1Γ，以I 为圆心，
IB 为半径作圆2Γ，过点I B ,的圆3Γ与1Γ,2Γ分别交于点Q P ,（不同于点B ）.设IP 与BQ 交于点R .证
明：CR BR ⊥
二.设数列{}n a 定义为11=a ， ,2,1,
,,,1=⎩⎨
⎧>-≤+=+n n a n a n a n a a n n n n n .求满足20173≤数.
三.将3333⨯方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.
四.设n m ,均是大于1的整数，n m ≥，
n a a a ,,,21 是n 个不超过m 的互不相同的正整数，且n a a a ,,,21 互素.证明：对任意实数x ，均存在一个)1(n i i ≤≤，使得x m m x a i )
1(2
+≥，这里y 表示实数y 到与
它最近的整数的距离.
2017年全国高中数学联赛A卷一试答案1.
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9.
10.
11.
2017年全国高中数学联赛A卷二试答案一.
二.
三.
四.
2017年全国高中数学联合竞赛一试（B 卷）
一、填空题：本大题共8个小题,每小题8分,共64分.
1.在等比数列{}n a
中，2a =
，3a 12011
72017
a a a a ++的值为 .
2.设复数z 满足91022z z i +=+，则||z 的值为 .
3.设()f x 是定义在R 上的函数，若2
()f x x +是奇函数，()2x
f x +是偶函数，则(1)f 的值为 . 4.在ABC ∆中，若sin 2sin A C =，且三条边,,a b c 成等比数列，则cos A 的值为 .
5.在正四面体ABCD 中，,E F 分别在棱,AB AC 上，满足3BE =，4EF =，且EF 与平面BCD 平行，则DEF ∆的面积为 .
6.在平面直角坐标系xOy 中，点集{(,)|,1,0,1}K x y x y ==-，在K 中随机取出三个点，则这三个点两两之间距离均不超过2的概率为 .
7.设a 为非零实数，在平面直角坐标系xOy 中，二次曲线2
2
2
0x ay a ++=的焦距为4，则a 的值为 .
8.若正整数,,a b c 满足2017101001000a b c ≥≥≥，则数组(,,)a b c 的个数为 .
二、解答题 （本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
9.设不等式|2||52|x x
a -<-对所有[1,2]x ∈成立，求实数a 的取值范围.
10.设数列{}n a 是等差数列，数列{}n b 满足2
12n n n n b a a a ++=-，1,2,
n =.
（1）证明：数列{}n b 也是等差数列；
（2）设数列{}n a 、{}n b 的公差均是0d ≠，并且存在正整数,s t ，使得s t a b +是整数，求1||a 的最小值.
11.在平面直角坐标系xOy 中，曲线21:4C y x =，曲线22
2:(4)8C x y -+=，经过1C 上一点P 作一条倾
斜角为45的直线l ，与2C 交于两个不同的点,Q R ，求||||PQ PR ⋅的取值范围.
