大学物理_第三版__答案_赵近芳
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v船
v船 再对 t 求导，即得船的加速度
dl ds l dv v0 s lv船 a 船 dt 2 dt v 0 v0 dt s s2 l2 2 ( s )v 0 2 h 2 v0 s s2 s3 2 2 1-5 质点沿 x 轴运动，其加速度和位置的关系为 a ＝2+6 x ，a 的单位为 m s ， x 的单位 s
v 0 ,∴ c1 0 由题知， t 0 , 0
故 又因为
3 dx ( 4t t 2 ) dt 2 分离变量，
积分得
1 x 2t 2 t 3 c 2 2
x 5 ,∴ c2 5 由题知 t 0 , 0
1 x 2t 2 t 3 5 2 故 所以 t 10 s 时
2
即 ∴当
(v0 bt ) 4 ab b R2 (v bt ) 4 b2 b2 0 2 , (v0 bt ) 4 0 R
t
v0 b 时， a b
v0 沿水平线向前滚动：(1)证明轮缘上任意点 B 的运动方程为
1-9 半径为 R 的轮子，以匀速
x ＝ R (t sin t ) ， y ＝ R (1 cos t ) ，式中 v0 / R 是轮子滚动的角速度，当 B 与 水平线接触的瞬间开始计时．此时 B 所在的位置为原点，轮子前进方向为 x 轴正方向；(2) 求 B 点速度和加速度的分量表示式．
角时，其角位移是多少?
解： (1) t 2 s 时，
d d 9t 2 , 18t dt dt
a R 1 18 2 36 m s 2
a n R 2 1 (9 2 2 ) 2 1296 m s 2
(2)当加速度方向与半径成 45 角时，有 即 则解得
大学物理习题及解答
习题一
dr dr dv dv 1-1 ｜ r ｜与 r 有无不同? d t 和 d t 有无不同? d t 和 d t 有无不同?其不同在哪里?试
举例说明．
r r r r r r 2 r 1 2 1 解：（1） 是位移的模， r 是位矢的模的增量，即 ， ； dr dr ds v dt . （2） d t 是速度的模，即 d t
解：依题意作出下图，由图可知
题 1-9 图
x v 0 t 2 R sin v 0 t R sin
(1) cos 2 2
R (t R sin t )
y 2 R sin
(2)
sin 2 2 R(1 cos ) R(1 cost )
度的贡献。 1-3 一质点在 xOy 平面上运动，运动方程为
1 x =3 t +5, y = 2 t 2+3 t -4. 式中 t 以 s 计，x , y 以 m 计． (1)以时间 t 为变量， 写出质点位置矢量的表示式； (2)求出 t =1 s 时刻和 t ＝2s 时刻的位置矢量，计算这 1 秒内质点的位移；(3)计算 t ＝0 s 时刻到 t ＝4s 时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算 t ＝4 s 时质点的速度；(5)计算 t ＝ 0s 到 t ＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算 t ＝4s 时质点
v 3 i 7 j m s 1 4 则 v 3 i 3 j , v 3 i 7j 0 4 (5)∵ v v 4 v 0 4 a 1j m s 2 t 4 4 dv a 1 j m s 2 dt (6) y 这说明该点只有 方向的加速度，且为恒量。
dl ds 2s dt dt 根据速度的定义，并注意到 l , s 是随 t 减少的， dl ds v绳 v0 , v船 dt dt ∴ 2l
即 或 将
题 1-4 图
v船
v ds l dl l v0 0 dt s dt s cos
lv 0 (h 2 s 2 )1 / 2 v 0 s s
v
dr dt
a
d2r dt 2
dr d 2 r dr 与 2 dt 误作速度与加速度的模。在 1-1 题中已说明 dt 不是速度的模， 其二，可能是将 dt d 2r 2 而只是速度在径向上的分量，同样， dt 也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中
2 d 2r d a径 2 r dt dt 。 的一部分 或者概括性地说， 前一种方法只考虑了位矢 r 在径向 （即 的方向随间的变化率对速度、加速
为 m. 质点在 x ＝0 处，速度为 10 m s ,试求质点在任何坐标处的速度值． 解： ∵
1
a
dv dv dx dv v dt dx dt dx
分离变量：
d adx (2 6 x 2 )dx
1 2 v 2x 2 x3 c 2 两边积分得 v 10 ,∴ c 50 由题知， x 0 时， 0
dr dt 只是速度在径向上的分量. ˆ dr d r dr ˆ r r ˆ （式中 ˆ dt r 叫做单位矢） ∵有 r r r ，则 d t d t dr 式中 dt 就是速度径向上的分量，
dr d r 与 d t d t 不同如题 1-1 图所示. ∴
题 1-1 图
dv dv dv a dt ， dt 是加速度 a 在切向上的分量. (3) d t 表示加速度的模，即 ∵有 v v ( 表轨道节线方向单位矢） ，所以 dv dv d v dt dt dt dv 式中 dt 就是加速度的切向分量. ˆ d ˆ dr 与 dt 的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) ( dt 1-2 设质点的运动方程为 x = x ( t )， y = y ( t )，在计算质点的速度和加速度时，有人先求
2
2
你认为两种方法哪一种正确？为什么？两者差别何在？
解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有 r xi yj ，
dr dx dy v i j dt dt dt d2r d 2 x d2 y a 2 2 i 2 j dt dt dt
ο
tan 45
(9t 2 ) 2 18t
a 1 an
2 2.67 9
R 2 R
t3 2 9
亦即
于是角位移为
2 3t 3 2 3
rad
1 v0 t bt 2 2 1-8 质点沿半径为 R 的圆周按 s ＝ 的规律运动，式中 s 为质点离圆周上某点的弧 v 长, 0 ，b 都是常量， 求： (1) t 时刻质点的加速度； (2) t 为何值时， 加速度在数值上等于 b ．
求：(1)球轨道最高点的曲率半径 R1 ；(2)落地处的曲率半径 R2 ． (提示：利用曲率半径与法向加速度之间的关系)
解：设小球所作抛物线轨道如题 1-10 图所示．
题 1-10 图 (1)在最高点，
v1 v x v 0 cos 60 o a n1 g 10 m s 2
又∵
a n1
1-4 在离水面高 h 米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，船在离岸 S 处，如题 1-4 图所示．当人 以
v0 (m· s 1 )的速率收绳时，试求船运动的速度和加速度的大小．
图 1-4 解： 设人到船之间绳的长度为 l ，此时绳与水面成 角，由图可知
l 2 h2 s 2
将上式对时间 t 求导，得
d2r dr x 2 y 2 ，然后根据 v = dt ，及 a ＝ dt 2 而求得结果；又有人先计算速度和加速度 出 r＝
的分量，再合成求得结果，即
dx dy v = dt dt 及 a =
2
2
d2 x d2 y dt 2 2 dt
解： （1）
v
ds v0 bt dt
dv b dt v 2 (v 0 bt ) 2 an R R a
则 加速度与半径的夹角为
2 a a2 a n b2
(v 0 bt ) 4 R2
arctan
(2)由题意应有
a Rb a n (v0 bt ) 2
故它们的模即为
dx dy v v v dt dt
2 x 2 y 2 2 x 2 y
2
2
d2x d2 y a a a dt 2 dt 2
2
而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作
的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成 直角坐标系中的矢量式)． 解： （1）
1 r (3t 5)i ( t 2 3t 4) j 2 m
(2)将 t 1 , t 2 代入上式即有
r1 8i 0.5 j m r2 11 j 4 j m r r2 r1 3 j 4.5 j m r 5 j 4 j , r 17 i 16 j 0 4 (3)∵ r r4 r0 12i 20 j v 3i 5 j m s 1 t 40 4 ∴ dr v 3i (t 3) j m s 1 dt (4)
v12 1
v12 (20 cos 60) 2 1 a n1 10
∴ (2)在落地点，
10 m
v 2 v 0 20 m s 1 ,
而
a n2 g cos 60 o
2
