平面向量基本定理
一．教学目标：
了解平面向量基本定理，理解平面向量的坐标概念，会用坐标形式进行向量的加法、数乘的
运算，掌握向量坐标形式的平行的条件；
教学重点: 用向量的坐标表示向量加法、减法、数乘运算和平行.
二.课前预习
1.已知a =(x,2)，b =(1,x)，若a //b ，则x 的值为 ( )
A 、2
B 、 2-
C 、 2±
D 、 2
2.下列各组向量，共线的是 ( )
()A (2,3),(4,6)a b =-= ()B (2,3),(3,2)a b ==
()C (1,2),(7,14)a b =-= ()D (3,2),(6,4)a b =-=-
3.已知点)4,3(),1,3(),4,2(----C B A ,且CB CN CA CM ⋅=⋅=2,3,则=MN ____
4．已知点(1,5)A -和向量a =(2,3),若AB =3a ,则点B 的坐标为
三.知识归纳
1. 平面向量基本定理：如果12,e e 是同一平面内的两个___________向量，那么对于这一平面
内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+成立。其中12,e e 叫做这一平面的一组____________，即对基底的要求是向量___________________；
2．坐标表示法：在直角坐标系内，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作基底，
则对任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使j y i x a +=、就把_________叫做向量a 的
坐标，记作____________。
3．向量的坐标计算：O （0，0）为坐标原点，点A 的坐标为（x ，y ），则向量OA 的坐标为OA
＝___________，点1P 、2P 的坐标分别为（1x ，1y ），2P （2x ，2y ），则向量21P P 的坐标为21P P ＝___________________，即平面内任一向量的坐标等于表示它的有向线段的____点坐标减去____点坐标．
4．线段中点坐标公式：A （1x ，1y ），B （2x ，2y ）线段中点为M ，则有：
OM =________________，M 点的坐标为_____________．
5．两个向量平行的充要条件是：向量形式：_____________)0(//⇔≠ b b a ；
坐标形式： _____________)0(//⇔≠ b b a ．
6. a =（x,y ）, 则a =___________.与a 共线的单位向量是：a
a e ±=
四．例题分析：
例1.(1)、 已知M （－2，7）、N （10，－2），点P 是线段MN 上的点，且−→−PN ＝－2−→−PM ，则P
点的坐标为（ ）
A （－14，16） （
B ）（22，－11） （
C ）（6，1） （
D ） （2，4）
(2)、已知两点A(4,1), B(7,-3), 则与向量AB 同向的单位向量是 （ ）
（A ）⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (B)⎪⎭⎫ ⎝⎛-54,53 (C)⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54 (D)⎪⎭
⎫ ⎝⎛-53,54
(3)、若a =（2，3），b =（－4，7），则a 在b 方向上的投影为____________。
例2．(1)已知向量(1,2),(,1),2a b x u a b ===+，2v a b =-，且//u v ，求实数x 的值。
(2) 已知向量a =（，1），b =（0，-1），c =（k ，）。若a -2b 与c 共线，则k=______
例3．已知(1,0),(2,1)a b ==，（1）求|3|b a +；（2）当k 为何实数时，k -a b 与b a 3+平
行， 平行时它们是同向还是反向？
例4．如图，平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB a =，=AD b ，
（1）试以a ，b 为基底表示DE 、BF ；（2）求证：A 、G 、C 三点共线。
例5. 如图，平行四边形ABCD 中，BE=41BA ，BF=51BD ，求证：E ，F ，C
三点共线。（利用向量证明）
五．课后作业：
33A B C D
E F
1．31(,sin ),(cos ,)23
a b αα==且//a b ，则锐角α为 ( ) ()A 30 ()B 60 ()C 45 ()D 75
2．平面内有三点(0,3),(3,3),(,1)A B C x --，且AB ∥BC ，则x 的值是 （ ）
()A 1 ()B 5 ()C 1- ()D 5-
3．如果1e ,2e 是平面α内所有向量的一组基底，那么下列命题中正确的是（ ）
()A 若实数12,λλ使11220e e λλ+=，则 120λλ==
()B 空间任一向量a 可以表示为1122a e e λλ=+，这里12,λλ是实数
()C 对实数12,λλ，向量1122e e λλ+不一定在平面α内
()D 对平面内任一向量a ，使1122a e e λλ=+的实数12,λλ有无数对
4.下列各组向量中：①)2,1(1-=e )7,5(2=e ②)5,3(1=e )10,6(2=e ③)3,2(1-=e )4
3,21(2-=e 其中能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是（ ）
A ．①
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
5.若A(-1,-2),B(4,8),且CB AC 3-=,则C 点坐标为 ；
6.已知)2,3(=a ，)1,2(-=b ，若b a b a λλ++与平行，则λ= ；
7．已知向量(1,2)a =-，b 与a 方向相反，且||2||b a =，那么向量b 的坐标是_ _
8．已知(5,4),(3,2)a b ==，则与23a b -平行的单位向量的坐标为 。
9．已知(3,1),(1,2),(1,7)a b c =-=-=，求p a b c =++，并以,a b 为基底来表示p 。
10.向量(,12),(4,5),(10,)OA k OB OC k ===,当k 为何值时，,,A B C 三点共线？
平面向量的数量积
一、教学目标：掌握平面向量的数量积及其性质，掌握两向量夹角及两向量垂直的
充要条件和向量数量积的简单运用．
教学重点：平面向量数量积及其应用
二、课前预习：
1．已知向量(3,4),(2,1)a b ==-，如果向量a xb +与b 垂直，则x 的值为（ ）
()A 323 ()B 233 ()C 2 ()D 25
- 2.下列命题正确的是 ___________
