当前位置：文档之家 › 巧求圆中阴影部分面积

巧求圆中阴影部分面积

  • 格式：pdf
  • 大小：103.46 KB
  • 文档页数：2

面积求解。
二、数形结合法
例 2 如图 2，正方形边长为 a，分别以两个对角顶点为圆心，边长
为半径画弧，则图中阴影部分的面积为（ ）。
A. a2- 1 πa2
B. 1 πa2 -a2
y
2
2
x
C. 1 πa2 - 1 πa2
4
2
D. 2（a2 - 1 πa2 ） 4
解析 设阴影部分的面积为 x，一块空白的面积为 y，则
巧求圆中阴影部分面积
○姜 琳
与圆有关的阴影问题五花八门，其求解方法也多种多样。在求阴影
部分面积问题时，初看起来往往令人费解，但是根据图形特点，采取灵
活机动的方法，通过适当的变换，消除思路中的“阴影”，就能给解决问
题带来一片光明。 下面就让我们看看把它们怎样变换吧！
一、“割补” 法
例 1 如图 1，矩形 ABCD 的长和宽分别为 a 和 b(a＞b)，矩形 ABCD
积。
解 析 由 于 四 个 半 圆 的 直 径 和 为 ⊙O 的 直
径的 2 倍， 故此阴影部分面积和⊙O 的半径及 A
DB
Hale Waihona Puke CD 的长有关。C
∵
S
阴
影=
1 2
π（ AD2 4
- AC2 4
+ BC2 4
- BD2 4
)
图3
=1 8
π ⊙(AD+BD)(AD-BD)+(BC+AC)(BC-AC) ⊙。
⊙
三等分点，求弦 AC、AD 和CD 围成的图形的面积。
解析 因为 C、D 是半圆的三等分点，所
以连结 OC、OD、CD 可得 CD//AB，所以 S△ACD=
S△OCD，所以阴影部分的面积就是扇形 COD 的
面积。
即
S
扇形
COD=
1 6
π×202= 200 3
π
（cm2）
A
点评 运用等积代换解题的关键是将不
y
图2
x+2y=a2，
x+y= 1
πa2 。
解方程组
得
x=
1 2
πa2-a2，所以选 B。
4
39
点评 用数形结合法常常是根据图形各部分之间的关系， 设出未
知数，列方程(组)求解。
三、推理法
例 3 如图 3， 在半径为 R 的⊙O 中， 直径 AB 上有两点 C、D，且
CD=a， 求以 AC、AD、BC、BD 为直径的四个半圆围成的阴影部分的面
规则图形的面积用规则的图形的面积来代换
求解。
C
O
图4
D B
40
绕点 A 旋转 90°，求 CD 边扫过阴影部分的面积。
解 析 把 矩 形 ABCD 上 方 2 的 部 分 割 下 ，补
C
2
到 1 的位置， 这样阴影部分的面积就等于两个扇
D
形面积的差。
因为
AC2=a2+b2，故
S
阴影=a2-π（
a 2
）2=
a
1
（1- π ）a2。 4
B bA
图1
点评 割补法就是通过割补将所求部分的面积转化为规则图形的
而 AD+BD=BC+AC=2R，AC+BD=2R-CD，AD+BC=2R+CD，
∴
S
阴影=
1 8
π×2R×
⊙(2R+CD)-(2R-CD)
⊙=
1 8
π×2R×2CD=
1 2
πaR。
点评 抓住特征条件找出阴影部分与四个半圆之间的关系， 就可
顺藤摸瓜，求解问题。
四、“等积”变形法
例 4 如图 4，已知半圆的直径 AB=40 cm，点 C、D 是这个半圆的

合集下载

小学六年级上学期数学《巧求阴影部分面积》教学设计

小学六年级上学期数学《巧求阴影部分面积》教学设计

“巧求阴影部分面积”教学设计
教学内容：
小学数学几何初步知识教学中，关于等体积的物体之间相互转化的规律解决有关的实际问题。

教学目标：
1.能应用圆与扇形关系计算阴影部分面积。

2.能运用转化思维解决几种常见的求阴影部分面积问题。

教学重点：
明白等积变形的数学思想，会运用等积变形的思想正确寻找题目中的等量关系运用规律解决实际问题。

一、例1
动画制作讲解
发现规律：
1.找中间图形内角和。

2.扇形与圆面积的关系。

变式1：求阴影部分面积。

变式2：求阴影部分面积。

变式3：求阴影部分面积。

变式4：求阴影部分面积。

此处拓展正n边形的内角和度数公式：（n－2)×180°二、例2
动画制作讲解
发现规律：
转化思想
变式：求阴影部分面积。

动画制作讲解三、例3
动画制作讲解
变式1：求阴影部分面积。

变式2：求阴影部分面积。

变式3：求阴影部分面积。

四、本课总结
1.扇形与圆面积的关系。

2.转化思想。

小升初数学专题：巧求面积

小升初数学专题：巧求面积


解析
连接OC，把DCEO分成两个三角形ECO和DCO 设ECO面积为x，DCO面积为y 由条件知，EO：OB＝1：2， AO：OD＝2：3
A E
则（AEO+ECO）:DCO＝2 :3
O
ECO：（DCO+BOD）＝1:2
即： x：(y+3)=1：2
B
C
D
(x+1)：y=2：3 解得：x=9, y=15
C
答：阴影部分的面积是18.24平方厘米。
D
F
O
A
B
A
课后作业
以等腰直角三角形的两条直角边为直径画两个半圆弧（见下图）， 直角边长4厘米，求图中阴影部分的面积。
巧求面积 ——放大法
典型例题精讲
例1. 图中两块阴影部分的面积相等，三 角形ABC是直角三角形，BC是直径， 长20厘米，计算AB的长度。
9厘米 5厘米
例6.ABC是三个圆的圆心，圆的半径都是10分米，求阴 影部分的面积。
D
B
F
A
C
E
解析
我们用割补法，将阴影部分割补 成一个半圆形，求出阴影部分面 积就可以了。 S半圆=10× 10× 3.14÷ 2=157平方 分米
D
B
F
A
C
E
例7.如图所示，空白部分占正方形面积的 几分之几？
解析
解析
从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角 形。将这两个直角三角形拼成一个长方形见右图。 显然，阴影部分正好是长方形的三分之一，所以 原题阴影部分占整个图形面积的三分之一。 还可以拼成一个平行四边形或将其分成9个三 角形。
例5. 如下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后， 剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。 求这个梯形的面积。
圆中常用的作辅助线的八种方法

圆中常用的作辅助线的八种方法


证明：1 如图;过点D作⊙O的直径DE;连接AE;EC;AC ∵DE是⊙O的直径; ∴∠ECD＝∠EAD＝90° 又∵CD⊥AB;∴EC∥AB ∴∠BAC＝∠ACE ∴B︵C＝A︵E ∴BC＝AE 在Rt△AED中;AD2＋AE2＝DE2; ∴AD2＋BC2＝4R2
2若弦AD;BC的长是方程x26x＋5＝0的两个根 AD>BC;求⊙O的半径及点O到AD的距离
1求证：PB是⊙O的切线； 证明：1 如图;连接OB;∵OA＝OB;
∴∠OAB＝∠OBA ∵PA＝PB; ∴∠PAB＝∠PBA ∴∠OAB＋∠PAB＝∠OBA＋∠PBA
即∠PAO＝∠PBO 又∵PA是⊙O的切线;∴∠PAO＝90° ∴∠PBO＝90° ∴OB⊥PB 又∵OB是⊙O的半径; ∴PB是⊙O的切线
︵ 2求由弦CD;BD与BC所围成的阴影部分的面积
结果保留π
解：2∵OE⊥DB;∴EB＝
D1 B＝3 2
c3m
在Rt△EOB中;∵∠OBD＝30°;
∴OE＝
1 2
OB
∵EB＝3 3 cm;
∴由勾股定理可求得OB＝6 cm
又∵∠CDB＝∠DBO;DE＝BE;
∠CED＝∠OEB;
∴△CDE≌△OBE
方法 8 巧添辅助线计算阴影部分的面积
9 中考·自贡如图所示;点B;C;D都在⊙O上; 过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A;连接CD; 且∠CDB＝∠OBD＝30°;DB＝6 3cm
1求证：AC是⊙O的切线；
证明：1如图;连接CO;交DB于点E; ∴∠O＝2∠CDB＝60° 又∵∠OBE＝30°; ∴∠BEO＝180°60°30°＝90° ∵AC∥BD;∴∠ACO＝∠BEO＝90° 即OC⊥AC 又∵点C在⊙O上; ∴AC是⊙O的切线
专题8 巧求圆中阴影部分的面积（含答案）

专题8 巧求圆中阴影部分的面积（含答案）

专题8 巧求圆中阴影部分的面积【知识解读】求与圆有关的阴影部分的面积，能考查同学们的观察能力、随机应变能力和综合运用数学知识的能力，解答此类问题要注意观察和分析图形的形成，学会分解和组合图形，消除思路中的“阴影”，明确要计算图形的面积，可以通过哪些图形的和或差得到，就能给解决问题带来一片光明，切勿盲目计算；下面介绍几种常用的解法．培优学案【典例示范】等积变换法：是在不改变图形面积的前提下，利用“等底、等高的两个三角形的面积相等”，将不规则图形转化为规则图形的面积来求解的方法．例1 如图1－8－1，点P 是半径为1的⊙O 外一点，OP ＝2，P A 切⊙O 于点A ，弦AB ∥OP ，连接PB ，则图中阴影部分的面积是．图181AB OP图182ABCDEMNO【跟踪训练】如图1－8－2，AB 是⊙O 的直径，MN 是⊙O 的切线，C 为切点，过点A 作AD ⊥MN 于点D ，交⊙O 于点E ．已知AB ＝6，BC ＝3，求图中阴影部分的面积．【解答】和差法：是指将阴影部分看作两个规则图形的和或差．例2 如图1－8－3，扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，扇形半径为4，点C 在BC 上，CD ⊥OA ，垂足为点D ，当CD ＝OD 时，图中阴影部分的面积为．图183BCD图184CEF【跟踪训练】如图1－8－4，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，点D 为AB 的中点，已知扇形EAD 和扇形FBD 的圆心分别为点A 、点B ，且AC ＝2，则图中阴影部分的面积为（结果不取近似值）．割补法：是在不改变图形面积的前提下，通过割补，将发散的图形面积集中在一起，把不规则的图形凑合成规则图形的方法．例3 如图1－8－5，半径为2cm ，圆心角为90°的扇形OAB 中，分别以OA ，OB 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为cm 2．图185ABO图186A 'O 'O ABC【跟踪训练】如图1－8－6，将半圆O 绕直径AB 的端点B 逆时针旋转30°，得到半圆O ′，A ′B 交直径AB 于点C ，若BC ＝23，则图中阴影部分的面积为 ．【提示】连接O ′C ，A ′C ，将阴影部分的面积通过割补，转化为△BO ′C 的面积加上扇形O ′AC 的面积．特殊位置法：是在不改变题意的前提下，通过取特殊位置，将图形特殊化，以方便求解．例4 如图1－8－7，一个半径为r 的圆形纸片在边长为a （a ＞3r ）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“接触不到的部分”的面积是()A ．23r πB 233π- C ．()233r πD ．2r π【提示】解答本题的关键是搞清楚圆形纸片“不能接触到的部分”的面积，即圆形纸片与正三角形的相邻两边都相切时，两切点与正三角形的一个顶点形成的曲边三角形的面积．图187图188【跟踪训练】如图1－8－8，一张半径为1的圆形纸片在边长为a （a ≥3）的正方形内任意移动，则该正方形内，这张圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（） A ．2a π-B ．()24a π-C ．πD ．4π-整体代换法：是指在解答过程中，可将某些不易求的且不发生变化的量看作整体处理． 例5 如图1－8－9，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，CA ＝CB ＝4，分别以A ，B ，C 为圆心，以12AC 为半径画弧，三条弧与边AB 所围成的阴影部分的面积是．图189CBA【提示】直接求阴影部分的面积是不可能的，根据题意结合图形，知阴影部分的面积等于直角三角形的面积减去三个扇形的面积，其中A ，B 两个扇形的面积无法直接求出，但若把它们看作一个“整体”，则问题易求．【跟踪训练】1.如图1-8-10，正方形的边长a ，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为 . 【提示】图中阴影部分的面积可以看作四个半圆的面积之和与正方形的面积之差.CBAOFEDCBA2.如图1-8-11，⊙A ，⊙B ，⊙C 两两不相交，且半径都是2cm ，则图中三个扇形（即阴影部分）面积之和是 cm 2.【提示】图中3个扇形正好拼成一个圆心角为180°的大扇形。