因式分解的四种方法(讲义) ＞课前预习
1.平方差公式：;
完全平方公式：;
.
2.对下列各数分解因数：
210=；315=；
91 =；102=.
3.探索新知：
(1)9宁-99能被100整除吗?
小明是这样做的：
993 - 99 = 99 x 992 - 99xl
= 99x(992—1)
= 99x(99+1)(99 — 1)
= 99x9 800
= 99x98x100
所以993 - 99能被100整除.
(2 ) 893 - 89能被90整除吗？你是怎样想的?
(3)m3-m能被哪些整式整除?
1. ＞知识点睛
叫做把这个多项式因式分
解.
2. 因式分解的四种方法
(1) 提公因式法
需要注意三点：
%1 ;
%1 ;
%1 .
(2) 公式法
两项通常考虑,三项通常考虑.
运用公式法的时候需要注意两点：
%1 ; %1 .
(3) 分组分解法
多项式项数比较多常考虑分组分解法，首先找,然后再考虑 或者
. (4) 十字相乘法
十字相乘法常用于二次三项式的结构，其原理是：
x +(p + q)x+pq = (x+〃)(x+g)
3. 因式分解是有顺序的，记住口诀："” ；因式分解是
有范围的，目前我们是在 范围内因式分解.
＞精讲精练
1.下列由左到右的变形，是因式分解的是
①-3x2/=-3 A：2-/；②(o + 3)(。一3)=后_9；
(3) -4x2 -^-4xy-y2；解：原式=(4 ) 9(m + 〃)2 —(m-n)2；解：原式二
(3)+1 =(Q + —)(。—Z?) + 1 ;
(§)x2-xy-^-x = x(x-y)；
⑦ y2 —4y + 4 = (y — 2)2 ・
2.因式分解(提公因式法)：
(1) 1 lerb - 24ab2 + 6ab；
解：原式二④ 2mR + 2mr = 2m( R + r)；
(2) —Q'—
1
；
(3) (a-b)(m +1)-(/?-a)(n-1)；解：原式=
(4) x(x-y)2 -y(y-x)2；解：原式二(5) X H解：原式二
3.因式分解(公式法):
(1) 4X2-9；解：原式= (2)
解
16x2 +24尤 +
9 ；原式二
(8) x 4 — y 4 ； 解：原式二 c (2) -5m-mn + 5n ；
解：原式二 (5) (x+34-2(「+ 3y)(4x 一3y) + (4x-3y)2； 解：原式=
(6) X 2(2X -5)+4(5-2X )；
解：原式二
(7) -8or 2+16ary-8^2； 解：原式=
4. 因式分解(分组分解法)：
(1) 2ax -1 Day 4- 5by - bx ；
解：原式=
(9)。4一2白2 +
1； 解：原式二
(10)(疽+朋)2-4疽屏. 解：原式二
(3) l-4a2-4ab-b2；
解：原式=
解：原式=
(5) 9ax2 +9Z?x2-a-b；解：原式=(6)疽—2Q +4Z?—4屏.
(2) x~+ JV
— 6 ；解：
原式二
5,因式分解(十字相乘法):
(1) X2+4X+3；
解：原式=
(3)—工~ + 2x +
3；解：原式=
(4)2J 4- % —
1 ；解：原式=
(2) 4或-4/y-y3； 解：原式= (4)(工+1)(工+2) —12； 解：原式=
6. 用适当的方法因式分解:
(1) 8沥+ 16屏一决；
解：原式=
(3) 2(。-1)2-12(。-1) + 16；
(7) 2x 2+13^ + 15/；
解：原式=
(8) x — 2工~ — 8x .
解：原式=
(6)x~ — 2xy + — 2x+2y +1. 解：原式二
【参考答案】
＞课前预习
1.(a + b)(a — b) =— b~
(。+人尸=/ +2沥+ 〃
(a-b)2 = a2 -lab + b1
2.210=7x5x3x2； 315=7x5x3x3； 91=13x7； 102=17x3x2
3.(2) 893—89 = 89x892—89
= 89x(892—1)
= 89x(89 + l)x(89-l)
= 89x90x88
893-89能被90整除
(3) m3-m = m• m2一m
=m(nr一1)
=m(m + l)(m 一1)
/. m3 -m能被1, m, m+\, m~\, m(jn~ 1), (/〃+l)(mT), m 整除
＞知识点睛
1.把一个多项式化成几个整式的积的形式
2.(1)①公因式要提尽
%1首项是负时，要提出负号
%1提公因式后项数不变
(2)平方差公式，完全平方公式
%1能提公因式的先提公因式
%1找准公式里的。和人
(3)公因式，完全平方公式，平方差公式
3.一提二套三分四查，有理数
＞精讲精练
1.④⑥⑦
2.(1) 6泌(2。- 4。+ 1)
(2)—4Z(Q~+Q —1)
(3)(Q-/?)(/〃+〃)
(4)(x-y)3
(5)x w-,(x+l)
3.(1) (2x+3)(2x-3)
(2)(4x+3)2
(3)-(2x-y)2
(4)4(2m + 〃)(/n + 2n)
(5)9(x-2y)2
(6)(2x-5)(^ + 2)(x-2)
(7)-8a(x-y)2
