高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例
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高考数学-立体几何证明方法总结及经典3例
例1:平行类证明
【平行类证明方法总结】
线线平行的证明方法:
三线间平行的传递性,三角形中位线,平行四边形对边平行且相等,梯形的上下底平行,棱柱圆柱的侧棱平行且相等,两平行面被第三面所截交线平行,成比例(相似)证平行等等。
线面平行的证明方法:
面外线与面内线平行,两面平行则面内一线与另面平行等等
面面平行的证明方法:
面内相交线与另面平行则面面平行,三面间平行的传递性等等。
【例】正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ.求证:PQ∥面BCE.
证法一:
如图(1),作PM∥AB交BE于M,
作QN∥AB交BC于N,连接MN,
因为面ABCD∩面ABEF=AB,
则AE=DB. 又∵AP=DQ, ∴PE=QB.
又∵PM ∥AB ∥QN, ∴AE PE AB PM =,BD BQ
DC QN =
. ∴
DC
QN
AB PM =
. ∴PM ∥QN.
四边形PMNQ 为平行四边形. ∴PQ ∥MN.
又∵MN ⊂面BCE ,PQ ⊄面BCE , ∴PQ ∥面BCE. 证法二:
如图(2),连结AQ 并延长交BC 或BC 的延长线于点K ,连结EK. ∵AD ∥BC, ∴
QK
AQ
QB DQ =.
又∵正方形ABCD 与正方形ABEF 有公共边AB ,且AP=DQ , ∴
PE
AP
QK AQ =.则PQ ∥EK.
∴EK ⊂面BCE ,PQ ⊄面BCE. ∴PQ ∥面BCE. 例2:垂直类证明 【垂直类证明方法总结】
证垂直的几种方法:勾股定理、等腰(边)三角形三线合一、菱形对角线、矩形(含正方形)、90o 、相似三角形(与直角三角形)、圆直径对的圆周角、平行线、射影定理(三垂线定理)、线面垂直、面面垂直等
【例】如图所示,ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD ,,于E F G ,,. 求证:AE SB ⊥,AG SD ⊥.
证明:∵SA ⊥平面ABCD ,
∴SA BC ⊥. ∵AB BC ⊥, ∴BC ⊥平面SAB . 又∵AE ⊂平面SAB , ∴BC AE ⊥. ∵SC ⊥平面AEFG , ∴SC AE ⊥. ∴AE ⊥平面SBC . ∴AE SB ⊥.
同理证AG SD ⊥. 例3:向量法解立体几何类 【量法解立体几何类公式总结】 基本公式
若),,(),,,(222111z y x b z y x a ==,则
①212121z z y y x x b a ++=⋅ ;
②2
22222212121||,||z y x b z y x a ++=++=;
③212121z z y y x x b a ++=⋅
④2
2
2
22
22
12
12
12
12121,cos z y x z y x z z y y x x b a ++⋅++++>=<
夹角公式:
||||cos 212
1n n n n ⋅=θ
距离公式:
|
|||n n AB CD d =
= 【例】已知两个正四棱锥P -ABCD 与Q -ABCD 的高都为2,AB =4. (1)证明:PQ ⊥平面ABCD ; (2)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (3)求点P 到面QAD 的距离.
简解:(1)略;
(2)由题设知,ABCD 是正方形,且AC ⊥BD .由(1),PQ ⊥平面ABCD ,故可分别以直线CA DB QP ,,为x ,y ,z 轴建立空间直角坐标系(如图1),
易得(2202)(0222)AQ PB =--=-,
,,,,,1
cos 3
AQ PB AQ PB AQ PB
<>==
,. 所求异面直线所成的角是1
arccos 3
.
(3)由(2)知,点(022(22220)(004)D AD PQ -=--=-,,,,,,,,设n =(x ,y ,
z )是平面QAD 的一个法向量,则00AQ AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩,,n n 得200x z x y +=+=⎪⎩,,取x =1,得
(112)-,n =.点P 到平面QAD 的距离22PQ d =
=n n
.
立体几何证明经典习题
平行题目
1、P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点.
求证:PC∥面BDQ.
2、如图(1),在直角梯形P1DCB中,P1D//BC,CD⊥P1D,且P1D=8,BC=4,DC=46,A是P1D的中点,沿AB把平面P1AB折起到平面PAB的位置(如图(2)),使二面角P—CD—B成45°,设E、F分别是线段AB、PD的中点.
求证:AF//平面PEC;
垂直题目
3、如图2,P是△ABC所在平面外的一点,且PA⊥平面ABC,平面PAC⊥平面PBC.
求证:BC⊥平面PAC.
4、如图2,在三棱锥A-BCD中,BC=AC,AD=BD,作BE⊥CD,E为垂足,作AH⊥BE于H.
求证:AH⊥平面BCD
向量法解立体几何题目
5、在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥侧面BB1C1C,E为棱CC1上异于C、
C
1的一点,EA⊥EB1.已知2
AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=
3
π.求二
面角A-EB1-A1的平面角的正切值.