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浅谈数学归纳法及其应用

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晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文

浅谈数学归纳法及其应用

学生姓名:XXX（XXX班）

指导老师:XXX

摘 要:数学归纳法是数学中最基本也是最重要的证明方法之一,在数学各个分支里都有广泛应用,利用数学归纳法可以解决比较复杂的问题.本文从数学归纳法的整体结构出发,对数学归纳法的思想渊源、基本原理及常见形式进行了分析总结,介绍了数学归纳法在初等数学、高等数学、离散数学、概率论、图论等学科中的应用.

关键词:数学归纳法;渊源;原理;表现形式;理论基础及其证明;应用

晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文

On the Mathematical Induction and its Application

Student: X XX

Instructor: X XX

Abstract: Mathematical induction is one way of the most basic and important

mathematical proof, and has a wide application in several mathematics. Using the

mathematical induction can solve the complicated problem. This paper begins from the

overall structure of mathematical induction. Then mathematical induction on ideological

origin, basic theory and common forms are analyzed and summarized. It is introduced by

the application of mathematical induction in basic mathematics, discrete mathematics,

probability theory, graph theory and other subjects.

Key words: Mathematical induction;Origin;Theory;Manifestations;Theoretical foundation

and its proof;Application

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目 录

1 数学归纳法的思想渊源……………………………………………1

2 数学归纳法的原理…………………………………………………2

3 数学归纳法…………………………………………………………3

3.1 数学归纳法的具体表现形式………………………………………3

3.2 两种归纳法之间的关系……………………………………………4

4 数学归纳法的理论基础及其证明…………………………………4

4.1 第一数学归纳法的理论基础及其证明……………………………4

4.2 第二数学归纳法的理论基础及其证明……………………………5

5 数学归纳法在各门学科中的简单应用……………………………6

5.1 数学归纳法在初等数学中的应用…………………………………6

5.2 数学归纳法在高等代数中的应用…………………………………8

5.3 数学归纳法在离散数学方面的应用 ……………………………11

5.4 数学归纳法在高等数学中的应用 ………………………………12

5.5 数学归纳法在图论中的应用 ……………………………………14

5.6 数学归纳法在概率论方面的应用 ………………………………14

6 结束语…………………………………………………………………15

参考文献………………………………………………………………16

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1

1 数学归纳法思想的渊源

追根溯源数学归纳法可以在印度和古希腊时代的著作中找到丝缕痕迹,例如,印度婆什迦罗（Bashkiria 1114～约1185）的“循环方法”和欧几里得素数无限的证明中都可以找到这种踪迹.欧几里得《几何原本》第九卷命题20为:质数比任何指定数目都要多（注:质数也称为素数）,即:素数无穷.欧几里得对这个命题的证法是经典的.他假定素数是有限的,不妨设这有限的n个素数为nppp,,,21.然后作自然数121,,,nppp并证明还存在新的素数,从而得到矛盾.因为若所作的数是素数,则它比全部给出的n个素数都要大,因此是一个新的素数,这与假设有n个素数矛盾;又若它不是素数,它必能被一素数整除,但它被已知全部的n个素数nppp,,,21.除都有余数1,故整除121,,,nppp的素数必定是这n个素数以外的新的素数,从而又与假设有n个素数的条件矛盾.

欧几里得素数无穷命题即是说,素数的个数与自然数的个数一样多.上述证明可以这样“翻译”,首先,至少有一个素数存在,因为2就是素数,这一点在欧几里得的证明中没有指明;此外,上面欧几里得的证明表明,假如有n个素数,那么就必定有1n个素数存在.也就是按现代数学归纳法的要求,证明了从n到1n的递推关系,即完成了数学归纳法证明的关键性一步.但欧几里得没有使用任何明显的术语与现在的推理格式,因此,我们只能认为它蕴涵了现代数学归纳法的痕迹.

现代形式的数学归纳法被很多人认为是法国数学家、物理学家和哲学家帕斯卡(B•Pascal,错误!未找到引用源。1623～1662)发现的.例如,德国数学家和数学史家M•B•康托尔(M•B•Cantor,1829～1920)在他最重要的著《数学史演讲》卷2第749页中就这样误定,后来他在有关的杂志中作了纠正,他说,华卡(G•Vacca?)先生告诉我,意大利的莫洛里科斯(F错误!未找到引用源。Maurolycus,1494～1575,意大利的数学家、物理学家和工程师)在其1575年出版的著作《算术》中描述并使用了数学归纳法.美国数学史家H错误!未找到引用源。伊夫斯的《数学史概论》（第六版中译本）也认为帕斯卡1665年的论文《三角阵算术》中有数学归纳法的最早的、可被接受的陈述.其实,帕斯卡在给卡卡维(Carcavi卒于1684年)的一封信中已承认是莫洛里科斯引入了这一方法.近代最新研究表明,不仅帕斯卡不是数学归纳法的最早发明人,莫洛里科 晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文

2 斯也不是最早使用这一方法的数学家,可被接受的数学归纳法的使用年代比莫洛里科斯更早,十四世纪法国的数学家、天文学家和哲学家莱维•本•热尔松在其1321年出版的代表作《计算技术》中已经“本质上使用了数学归纳法”,更有资料表明,在中世纪伊斯兰数学中就已经较清楚、广泛(在多种著作中发现)地使用了数学归纳法的归纳推理.

中世纪前期的欧洲被称为文化史的“黑暗时代”,文化教育名存实亡,古老学问濒临绝迹,技艺艺术逐渐遗忘,社会秩序严重被毁,暴力宗教肆意顺行.中世纪后期情况有所改观,十字军东征带回了东方文化,并从阿拉伯重新捡回了古希腊文化,此时欧洲数学自身的发展仍然及其缓慢,更多的是传播印度、伊斯兰等东方的数学知识,就连意大利数学家L•错误!未找到引用源。斐波那契(Lenardo F bonacci,约1170～1250,也称比萨的莱昂那多),写于1202年的名作《算盘书》也主要介绍、引证了许多印度、伊斯兰等国的数学知识和数学问题,包括阿拉伯数字的写法、用法,四则运算、方程解法等,这本书作为教材在欧洲各国几乎使用了近200年,可见数学知识更新之缓慢.德国数学家和数学史家汉克尔(H•错误!未找到引用源。Hankel,1839～1873)风趣地形容这一现象,“人们惊奇地发现,莱昂那多给予欧洲的那一磅钱,在300年间竟丝毫没有生出什么利息”.J•错误!未找到引用源。H•错误!未找到引用源。伊夫斯则称,十四世纪欧洲相对地是数学上的不毛之地,这不仅因为十四世纪下半叶黑死病扫荡了欧洲三分之一以上的人口,也因为这是一个政治、经济动荡,战争不断的世纪,这种影响一直延续到文艺复兴.如此状况,莱维•错误!未找到引用源。本•错误!未找到引用源。热尔松的贡献也算是给中世纪欧洲数学增添了一份光彩.

中世纪的伊斯兰则与欧洲大不相同,其商业繁荣,文化活跃,占希腊、印度的数学知识几乎全部传播到那里,被吸收消化并形成自己独特的风格,他们将希腊数学中几何证明的思想,转移到代数学研究中,希望能够证明代数规则的合理性.伊斯兰的代数中充满了证明的思想,很多计算问题都被他们扩展为可以对一般情形也成立的形式,归纳推理思想(这里的归纳推理指的是数学中的递推,而非普通逻辑中的归纳法的推理)就是在这样一种氛围中被逐步凝炼.

2 数学归纳法的原理

自然科学中的“经验归纳法”,是从某一现象的一系列特定的观察出发,归纳出支配该现象所有情况的一般规律,而数学归纳法则是迥然不同的另种手段,它用来证实 晋中学院XX学院20XX届本科生毕业论文

3 有关无限序列（第一个,第二个,第三个,等等,没有一个情况例外）的数学定理的正确性.

数学归纳法原理:假设我们希望证明一系列无限个数学命题1A,2A,3A,它们合在一起便构成一般的命题A.如果

a）通过某种数学论证可以证明,对于任一整数r,如果命题rA错误!未找到引用源。已知为真,则命题1rA随之亦真;

b）第一个命题1A错误!未找到引用源。已知为真,那么序列中所有命题必都为真,从而A得证.

数学归纳法的原理是奠基在下属事实的基础上:在任一整数r之后接着便有下一个1r,从而从整数1 出发,通过有限多次这种步骤,便能达到任意选定的整数n.

推广后的数学归纳法原理:假设给定一系列命题sA,1sA,2sA错误!未找到引用源。,…,其中s是某正整数,如果

a）对于每个sr,1rA错误!未找到引用源。的正确性可以从rA的正确性导出,

b）sA已知为真

则所有命题sA,1sA,2sA错误!未找到引用源。,…均为真;换句话说,对于所有的sn,nA为真.

我们再次强调指出,在自然科学中,数学归纳法原理与经验归纳法是完全不同的,一般的定律如果被证实了任意有限次,那么不论次数多么多,甚至至今尚未发现例外,都不能说该定律在严格的数学意义下被证明了,这种定律只能算作十分合理的假设,它容易为未来的经验结果所修正.在数学中,一条定律或一个定理所谓被证明了,指它是从若干作为真理接受的假设出发而得到的逻辑推论.人们考察一个定理,如果它在许多实例中是正确的,那么就可猜想定理在普遍意义下将是真的;然后人们尝试用数学归纳法以证明之.如果尝试成功,定理被证明为真;如果尝试失败,则定理的真伪未定,有待以后用其他方法予以证明或者推翻.

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数学归纳法以及其在初等数论中的应用

数学归纳法以及其在初等数论中的应用

LUOYANG NORMAL UNIVERSITY

2013届

本科毕业论文

数学归纳法及其在初等数论中的应用

院（系）名称 数学科学学院

专 业 名 称 数学与应用数学

学生姓名 孙xx

学号 110412016

指导教师 xx 讲师

完 成 时 间 2013.5

洛阳师范学院本科毕业论文

1 数学归纳法及其在初等数论的应用

孙xx

数学科学学院 数学与应用数学 学号：110412016

指导教师：xx

摘 要：数学归纳法是一种非常重要的数学证明方法,典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他形式在一个无穷数列是成立的.本文通过直接证法引入数学归纳法,并介绍了数学归纳法的两个基本步骤及原理.初等数论研究的是关于整数的问题,故应用数学归纳法证明初等数论中的有关的命题是重要的途径.

关键词：数学归纳法;初等数论;不定方程;整除;同余

1 引论

1.1 直接证法

众所周知,数学上的许多命题都与自然数有关.这里所指的n,往往是指任意的一个自然数.因此,这样的一个命题实际上也就是一个整列命题.要证明这样一整列命题成立,当然可以有多种不同的方法.

其中常用的方法是置n的任何具体值而不顾,而把它看成是一个任意的自然数,也就是说,假定它只是任何自然数都具备的共同性质,并且在这样的基础上进行推导、运算.如果我们在推导运算中没有遇到什么难以克服的困难,那么我们就有可能用这种方法来完成命题的证明了.这种方法就是习惯上所说的直接证法.如下例： 洛阳师范学院本科毕业论文

2 例1 已知）（2;,,2,1nniRxi,满足

121nxxx,021nxxx.

证明

nnxxxn2121221.

证 由条件121nxxx知1x,2x,,nx不全为零;

由条件021nxxx知这n个实数中既有正数也有负数.记

0:1ixiA,0:2ixiA.

数学归纳法生活中的例子,放鞭炮

数学归纳法生活中的例子,放鞭炮

数学归纳法是一种数学证明方法，通常被用于证明某个给定命题在整个（或者局部）自然数范围内成立。除了自然数以外，广义上的数学归纳法也可以用于证明一般良基结构，例如：集合论中的树。这种广义的数学归纳法应用于数学逻辑和计算机科学领域，称作结构归纳法。

在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的（第一个,第二个，第三个，一直下去概不例外）的数学定理。

虽然数学归纳法名字中有“归纳”，但是数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。

最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

证明当n= 1时命题成立。

假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）

这种方法的原理在于：首先证明在某个起点值时命题成立，然后证明从一个值到下一个值的过程有效。当这两点都已经证明，那么任意值都可以通过反复使用这个方法推导出来。把这个方法想成多米诺效应也许更容易理解一些。例如：你有一列很长的直立着的多米诺骨牌，如果你可以：

证明第一张骨牌会倒。

证明只要任意一张骨牌倒了，那么与其相邻的下一张骨牌也会倒。

那么便可以下结论：所有的骨牌都会倒下。

数学归纳法的七种变式及其应用

数学归纳法的七种变式及其应用

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数学归纳法的七种变式及其应用

1 引言

数学归纳法是数学中关于自然数命题的主要证明方法．学会并熟练运用这种方法，不仅可以帮助我们学习有关自然数的命题，而且还可以使我们更有力地解决相关问题．一般地说，与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、数列的通项及前n项和等问题，都可以用数学归纳法解决．这种方法的难点在于由nk时成立，去证1nk时成立．很多情形下用常规的方法由nk成立时，去推1nk成立会走进死胡同，这时须另辟他径，完成证明．本文旨在通过对数学归纳法的主要七种变式加以剖析，以及一些证法技巧的介绍，使初学者提高对数学归纳法的认识和应用能力．

2 数学归纳法的原理和定义

2.1 数学归纳法的原理[1](36)P

假定对一切自然数n，我们有一个命题，设为()Mn．如果下面两条成立：

（1） (1)M是真命题；

（2） 对于任意的k，()Mk是真命题蕴含着(1)Mk是真命题，则对一切自然数n命题()Mn为真命题．

2.2 数学归纳法的定义

当0nn时某命题正确，若在nk正确的情况下，能推出1nk也正确，便可递推下去．虽然我们没有对所有的自然数逐一的加以验证，但事实上这种递推就已经把所有自然数都验证了．这种方法就是数学归纳法．

其步骤是： （1） 验证当0nn时某命题正确

（2） 假设nk时，命题正确，从而推出当1nk时命题也正确．因此原命题正确．

其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过度，这两步缺一不可，若只有第一步，则属于不完全归纳法；若只有第二步，则失去了假设的基础．对于1nk时的证明是整个数学归纳法的重点和难点．

3 数学归纳法的七种变式和应用

3.1 第一数学归纳法

浅谈数学归纳法

浅谈数学归纳法

浅谈数学归纳法

沈梦婷 教师教育学院10021149

【摘要】数学归纳法是一种常用的数学方法，在许多与自然数有关的数学问题的证明中有着不可替代的作用。本文就数学归纳法的形式内容及对其的教与学做了一定的分析。

【关键字】数学归纳法，数学教学方法

数学中的许多问题与自然数有关, 这类问题的求解及证明贯用的方法就是数学归纳法, 即首先考察特例, 发现某种相似性, 然后把这种相似性推广为一个可以明确表述的一般性命题, 从而得到一个猜想, 最后证明这个猜想。数学归纳法的依据是自然数的皮亚诺公理中的归纳公理，他是演绎法的一种，与归纳法有本质区别。

绪论——数学归纳法的研究现状

对“数学归纳法”的研究国内己有不少论文，这些论文在某些具体方面作出了详尽的论述。例如，赵龙山在《有关数学归纳法教学中的逻辑问题》一文中，对数学归纳法的逻辑基础问题进行了论述和研究，形象地引入“递推机”，从而加深了学生对数学归纳法本质的理解：罗增儒在《关于数学归纳法的逻辑基础》一文中指出:历史上数学归纳法曾被称为“逐次归纳法”、“完全归纳法”，后来被称为“数学归纳法”，既区别于逻辑上的“完全归纳法”，又比“逐次归纳法”更能表明它论证的可靠性； 刘世泽在《数学归纳法的另外两种形式》一文中，介绍了除数学归纳法第I型和第II型以外的另两种形式:跳跃归纳法和二元有限归纳法;朱孝建在《数学归纳法的构造》一文中，给出了数学归纳法的一个一般性定理，由此可推导出数学归纳法的各种常见形式，还可根据具体问题的需要构造出其它数学归纳法的形式，进一步开拓了数学归纳法的应用范围，从而对数学归纳法的本质有了一个较为全面深入地了解;邵光华所作的论文《对中学“数学归纳法”教材教法的几点思考》，主要针对教材教法中对数学归纳法内容的安排和教学，提出了值得思考的五个具体问题，并简单地说明了数学归纳法和归纳法的区别.