第三章第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数

三角函数

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任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 1.了解任意角的概念．

2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．

3．理解任意角的正弦、余弦、正切的定义．

同角三角函数的基本关系式与诱导公式 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sin xcos x＝tan x.

2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．

三角函数的图象与性质 1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象．

2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间)2,2(内的单调性．

函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．

2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单的实际问题.

两角和与差的正弦、余弦及正切公式 1.会用向量知识或三角函数线推导出两角差的余弦公式．

2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．

3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.

简单的三角恒等变换 1.能利用两角和的正弦、余弦和正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．

2．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆)．

正弦定理和余弦定理 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．

解三角形应用举例 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

1．角的有关概念

(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．

(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角．

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k＋α，k∈Z．

2．弧度制

(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．

(2)角度制和弧度制的互化：180°＝

rad，1°＝180 rad，1 rad＝0)180(．

(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝12lr＝2||21r

3．任意角的三角函数

三角函数 正弦 余弦

正切

定义 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么

y叫做α的正弦，记作sin

α x叫做α的余弦，记作cos

α yx叫做α的正切，记作tan

α

三角函数线

有向线段MP为正弦线 有向线段OM为余弦线 有向线段AT为正切线

[做一做]

1．设角终边上一点P(－4，3)，则sin的值为________．

答案：35

2．若4＜＜6且α与－23终边相同，则α＝________．

答案：163

1．辨明四个易误点

(1)易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．

(2)利用180°＝rad进行互化时，易出现度量单位的混用．

(3)三角函数的定义中，当P(x，y)是单位圆上的点时有sin＝y，cos＝x，tan＝yx，但若不是单位圆时，如圆的半径为r，则sin＝yr，cos＝xr，tan＝yx.

(4)已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．

2．会用两个方法

(1)三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．

(2)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．

[做一做]

3．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( )

A．x轴上 B．y轴上 C．直线y＝x上 D．直线y＝－x上

解析：选A. |cosα|＝1，则角α的终边在x轴上．

4．已知cosθ·tanθ＜0，那么角θ是( )

A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角

C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角

答案：C

考点一__象限角及终边相同的角___

(1)写出终边在直线y＝3x上的角的集合；

(2)若角θ的终边与76角的终边相同，求在[0，2)内终边与θ3角的终边相同的角；

(3)已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限．

[解] (1)∵在(0，)内终边在直线y＝3x上的角是3，

∴终边在直线y＝3x上的角的集合为},3|{Zkk

(2)∵θ＝6π7＋2k(k∈Z)，∴θ3＝2π7＋2kπ3(k∈Z)．

依题意0≤2π7＋2kπ3<2π⇒－37≤k<187，k∈Z.

∴k＝0，1，2，即在[0，2)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.

(3)由α是第三象限角，得＋2k

∴2π＋4k<2α<3＋4k(k∈Z)．

∴角2α的终边在第一、二象限及y轴的非负半轴．

[规律方法] 1.表示区间角的三个步骤：

(1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．

(2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．

(3)起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．

2．确定kα，αk(k∈N*)的终边位置的方法

先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk的范围，然后根据k的可能取值讨论确定kα或αk的终边所在位置．

1.(1)在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．

(2)在本例(3)的条件下，判断α2为第几象限角？

(1)解析：所有与45°有相同终边的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，

则令－720°<45°＋k×360°<0°，

得－765°

从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°

(2)解：∵＋2k

∴π2＋k

当k＝2n(n∈Z)时，π2＋2n

当k＝2n＋1(n∈Z)时，3π2＋2n

考点二 扇形的弧长、面积公式

已知扇形的圆心角是α ，半径为R，弧长为l.

(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l；

(2)若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

[解] (1)α＝60°＝π3，l＝10×π3＝10π3(cm)． (2)由已知得，l＋2R＝20，所以S＝12lR＝12(20－2R)R＝10R－R2＝－(R－5)2＋25，

所以当R＝5时，S取得最大值25，此时l＝10(cm)，α＝2 rad.

[规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：

(1)明确弧度制下弧长公式l＝|α|r，扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．

(2)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．

[提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．

2.已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．

解：设圆心角是θ，半径是r .则2r＋rθ＝1012θ·r2＝4⇒r＝1θ＝8(舍去)或r＝4，θ＝12.故扇形圆心角为12 rad.

考点三 三角函数的定义(高频考点)

任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中以选择题、填空题的形式出现，高考对三角函数定义的考查主要有以下三种命题角度：

(1)已知角α终边上一点P的坐标求三角函数值；

(2)已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值；

(3)判断三角函数值的符号．

(1)(2014·高考课标全国卷Ⅰ)若tan>0，则( )

A．sin>0 B．cos>0 C．sin 2>0 D．cos 2>0

(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos 2θ＝( )

A．－45 B．－35 C.35 D.45

(3)如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A，点A的纵坐标为45，

则cos＝________．

[解析] (1)∵tan α＞0，∴∈)2,(kk(k∈Z)是第一、三象限角．

∴sin，cos都可正、可负，排除A，B.而2∈(2k，2kπ＋)(k∈Z)，

结合正、余弦函数图象可知，C正确．

取＝π4，则tan＝1>0，而cos 2＝0，故D不正确．

(2)取终边上一点(a，2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，由tan θ＝2，

可得cos θ＝±55，故cos 2θ＝2cos2θ－1＝－35.

(3)因为A点纵坐标yA＝45，且A点在第二象限，又因为圆O为单位圆，所以A点横坐标xA＝－35，由三角函数的定义可得cos＝－35.

[答案] (1)C (2)B (3)－35

[规律方法] 用定义法求三角函数值的两种情况

(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解；

(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．

3.(1)设角终边上一点P(－4a，3a)(a<0)，则sin的值为________．