不等式与不等式组--知识点

不等式与不等式组

【知识梳理】

1、 用不等号“<”、“>”、“≤”、“≥”、“≠”表示不等关系的式子叫做不等式。

2、 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、 一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集，求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

4、 不等式的性质：

（1）如果a>b，那么a+c>b+c;

(2)如果a>b，并且c>0，那么ac>bc(或ca>cb);

（3）如果a>b，并且c<0，那么ac

5、 类似于一元一次方程，含有一个未知数，且未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式。

6、 列不等式的关键是领会语句中的数量关系，常用的不等关系有：

a是正数 a>0：

a是非负数 a≤b （a不大于b，即a=b或a

7、 一元一次不等式解题步骤：

1去分母→2去括号→3移项→4合并同类项→5系数化为1。

注意：进行“去分母”和“系数化为1”时，要根据不等号两边同乘以（或除以）的数的正负，决定是否改变不等号的方向，若不能确定该数的正负，则要分正、负两种情况讨论。

8、一元一次不等式是表达现实世界中量与量之间不等关系的重要数学模型，应用不等式解决问题的一般步骤为：

①审题，弄清题目中的数量关系，用字母表示未知数；

②找出题中隐含的一个不等关系，注意表达不等关系的术语，如：至多、至少、不大于、不小于等；

③列出不等式；

④解不等式；

⑤根据实际问题写出符合题意的解。

9、类似于方程组，把几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次方程组。

10、几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集。

11、解一元一次不等式组的步骤：

①分别求出不等式组中各个不等式的解集；

②借助数轴求出这些不等式解集的公共部分。

一、选择题（共8小题，每小题4分，满分32分）

1．（2002•昆明）将不等式组的解集在数轴上表示，正确的是（ ）

1 第九章 不等式与不等式（组）

9.5 《不等式与不等式组》章末复习（能力提升）

【要点梳理】

知识点一、不等式

1.不等式：用符号“＜”(或“≤”)，“＞”（或“≥”），≠连接的式子叫做不等式.

要点诠释：

（1）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.

（2）不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．

解集的表示方法一般有两种：一种是用最简的不等式表示，例如xa，xa等；另一种是用数轴表示，如下图所示：

（3）解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式．

2. 不等式的性质：

不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c

不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．

用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或abcc)．

不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．

用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或abcc)．

要点二、一元一次不等式

1. 定义：不等式的左右两边都是整式，经过化简后只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式，

要点诠释：ax+b＞0或ax+b＜0(a≠0)叫做一元一次不等式的标准形式．

2.解法：

解一元一次不等式步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1.

要点诠释：不等式解集的表示：在数轴上表示不等式的解集，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实.

2 3.应用：列不等式解应用题的基本步骤与列方程解应用题的步骤相类似，即：

（1）审：认真审题，分清已知量、未知量；

（2）设：设出适当的未知数；

（3）找：找出题中的不等关系，要抓住题中的关键字，如“大于”“小于”“不大于”“至少”“不超过”“超过”等关键词的含义；

不等式与不等式组

本章知识点：

1、不等式：用或号表示大小关系的式子叫做不等式。Shu 53

2、不等式的解：把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

3、解集：使不等式成立的x的取值范围叫做不等式解的集合，简称解集。

4、不等式的性质：

1、不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。a+c>b+c,a-c>b-c

2、不等式两边同乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

如果a>b,并且c>0,ac>bc,a/c

3、不等式两边同乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改,

a>b,c<0,ac

5、一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

6、一元一次不等式组：把几个不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。

7、不等式组的解集：不等式组中每一个解集的公共部分叫做不等式组的解集。

记：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解。

练习：

1.用不等号填空：

（1）若ba，则a b （2）若ba，当bcac时，c 0

（3）若ba，则ca cb （4）若ba2，则a2 b

（5）若0,0aab，则b 0 （6）aba，则b 0

（7）若aba,0，则ab 2a （8）若ba，则3a ba2

一、画出数轴，在数轴上表示出下列不等式的解集：

(1)213x (2)x≥－4．

(3)51x (4) -2x<5

解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

1、3(x+2)>4(x-1)+7

2、 312x643x

二、选择

1、下列数中是不等式x32>50的解的有（ ） 76, 73, 79, 80, 74.9, 75.1, 90, 60

第1页 第7章：一元一次不等式与不等式组知识点及典型例题

(一)不等式的有关概念

1、不等式：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。

不等式常分两类：①表示大小关系的不等式；②表示不等关系的不等式；

常见不等式的基本语言有：

①x是正数，则x＞0； ②x是负数，则x＜0； ③x是非负数，则x≥0；

④x是非正数，则x≤0； ⑤x大于y ，则x－y＞0； ⑥x小于y，则x－y＜0；

⑦x不小于y，则x ≥ y； ⑧x不大于y，则x ≤ y 。

2、.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3、不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

4、一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

例1、下列式子：①5>0,②3a+4b>0,③x=2,④x-1,⑤x+3≠5,⑥2a+3≤7,⑦x2+2≥8,其中不等式有（ 5）个

解：其中①②⑤⑥⑦都是不等式，共有5个。

（二）不等式的基本性质：

不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。

即:如果a＞b,那么a±c＞b±c

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

即:如果a＞b, c＞0，那么ac＞bc；ac＞bc

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

即:如果a＞b, c＜0，那么ac＜bc；ac＜bc

不等式的基本性质4：对称性。即:如果ab ,那么ba

不等式的基本性质5：同向传递性。即:如果ab，bc,那么ac。

注意： ① 一定要注意应用不等式的基本性质3时，要改变不等号的方向；

② 当不等式两边都乘（或除以）的式子中含有字母时，一定要对字母分类讨论。