2018届辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校高三上学期期末考试数学(理)试题
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第页1 辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才
学校2018届高三上学期期末考试数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知i是虚数单位，则复数2
1
1i
z
i的虚部是（）
A．1 B．1 C．i D．i
2.设集合2
01,=1MxxNxx，则
RMCN（）
A．0,1 B．1,1 C．1,1 D．0,1
3.若4
cos
5，且为第二象限角，tan（）
A．4
3 B．3
4 C．4
3 D．3
4
4.已知向量a与b的夹角为120，
1,0,2ab，则
2ab（）
A．3 B．2 C．23 D．4
5.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球半径为（）
A．1 B．3
2 C．2
2 D．1
2
6.已知数列
na的前n项和2
nnnSab，若0a
，则（）
A．
1nnnanaS
B．
1nnSnana
C．
1nnnaSna
D．
1nnnaSna
第页2 7.若
,xy满足约束条件20
220
220xy
xy
xy，则
zxy的最大值是（）
A．2 B．0 C．2 D．4
8.把四个不同的小球放入三个分别标有1?3号的盒子中，不允许有空盒子的放法有（）
A.12种B. 24种C.36种D.48种
9.已知函数2sin2
6fxx，现将yfx的图象向左平移
12个单位，再将所得图象上各点的横坐
标缩短为原来的1
2倍，纵坐标不变，得到函数ygx的图象，则gx在5
0,
24的值域为（）
A．1,2 B．0,1 C．0,2 D．1,0
10.已知椭圆22
1
32xy
的左右焦点分别为
12FF、
，过
1F
的直线
1l
与过
2F
的直线
2l
交于点P，设P点的坐
标
00,xy，若
12ll
，则下列结论中不正确的是（）
A．22
00
1
32xy
B．22
00
1
32xy
C．22
00321xy D．00
1
32xy
11.某班有三个小组，甲、乙、丙三人分属不同的小组.某次数学考试成绩公布情况如下:甲和三人中的第3
小组那位不一样，丙比三人中第1小组的那位的成绩低，三人中第3小组的那位比乙分数高。若甲、乙、
丙三人按数学成绩由高到低排列，正确的是（）
A.甲、乙、丙B.甲、丙、乙C.乙、甲、丙D.丙、甲、乙
12.已知函数21
ln1
2fxxxaxaxaR在1x
处取得极大值，则实数a的取值范围是（）
A．1
,
2 B．,1 C．1
,
2 D．1,
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知实数x满足13
5108xxx
，则x．
14.如图是一个算法的流程图，则输出的a的值是．
第页3 15.已知双曲线的两个焦点为
1210,010,0FF、
，渐近线为1
2yx，则双曲线的标准方程
为．
16.等比数列
na的前n项和记为
nS
，若2
3n
nS
S，则3
2n
nS
S．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.ABC中，角ABC、、的对边分别为abc、、，sin2cos
6AA.
（1）求A的值；
（2）若3a，BC边上的高为2
3，求bc的值.
18.甲、乙两名同学准备参加考试，在正式考试之前进行了十次模拟测试，测试成绩如下：
甲：137，121，131，120，129，119，132，123，125，133
乙：110，130，147，127，146，114，126，110，144，146
（1）画出甲、乙两人成绩的茎叶图，求出甲同学成绩的平均数和方差，并根据茎叶图，写出甲、乙两位同
学平均成绩以及两位同学成绩的中位数的大小关系的结论；
（2）规定成绩超过127为“良好”，现在老师分别从甲、乙两人成绩中各随机选出一个，求选出成绩“良
好”的个数X的分布列和数学期望.
(注：方差222
2
121
nsxxxxxx
n，其中x
为
12,,,
nxxx
的平均数）
19.如图，在底面是菱形的四棱锥PABCD中,PA平面ABCD，60,2ABCPAAB，点EF、分
别为BCPD、的中点，设直线PC与平面AEF交于点Q.
第页4 （1）已知平面PAB平面PCDl，求证：//ABl.
（2）求直线AQ与平面PCD所成角的正弦值.
20.已知直线20yxmm与抛物线2
4yx交于AB、两点，
（1）若OAOB，求m的值；
（2）以AB为边作矩形ABCD，若矩形ABCD的外接圆圆心为1
,2
2，求矩形ABCD的面积.
21.已知函数2
212ln21fxxaxaxxaaR.
（1）2a时，求fx在0,2上的单调区间；
（2）0x且1x，2ln
21
1axx
ax
x均恒成立，求实数a的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3cos
3sinxt
yt（t为参数，0且
2），以
原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为
23.已知直线l与曲线C交
于
AB、两点，且
23AB.
（1）求a的大小；
（2）过AB、分别作l的垂线与x轴交于,MN两点，求MN.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数3fxxaaR.
（1）当1a时，解不等式51fxx；
（2）若存在
0xR，使
0051fxx成立，求a的取值范围.
第页5 试卷答案
一、选择题
1-5: BCBBB 6-10: DCCAA 11、12：BD
二、填空题
13. 1
4 14. 7 15. 22
1
82xy
16.7
3
三、解答题
第页6 17.（1）∵sin2cos
6AA，∴sin3cosAA，∴tan3A，
∵
0A，∴
3A.
（2）由已知，121
3sin
232bcA，∵
3A，∴4
3bc
又∴2
2222
332cosbcbcAbcbc22
34bcbcbc
∴2
7bc∴7bc
18.（1）茎叶图略，2
127,35xs，甲的中位数大于乙的中位数，甲的平均成绩小于乙的平均成绩
（2）由已知，X的可能取值为0，1，2，
1
0
4PX，1
1
2PX，1
2
4PX
X的分布列为（略）1EX
19.（1）∵//ABCD,AB平面PCD,CD平面PCD.
∴//AB平面PCD,
∵AB平面PAB,平面PAB平面PCDl
∴//ABl.
（2）∵底面是菱形，E为BC的中点2AB∴13,BEAEAEBC,
∴AEAD∵PA平面ABCD，则以点A为原点，直线AEADAP、、分别为轴建立如图所示空间直角
坐标系则
0,2,0,0,0,2,3,1,0,3,0,0DPCE
∴0,1,1F，3,0,0,0,1,1,3,1,0,0,2,2AEAFDCDP，
设平面PCD的法向量为,,nxyz，有0,0AEnAFn得
1,3,3n
设1AQACAP，则
3,,21AQ，AQmAEnAF
则33
21m
n
n解之得2
3mn，∴222
3,,
333AQ，
设直线AQ与平面PCD所成角为
则3105
sincos,
35nAQ
∴直线AQ与平面PCD所成角的正弦值为33
5.
20.解：（1）2yxm与4yx联立得2
220yym
第页7 由0得1
2m，设
1122,,,AxyBxy
，则
12122,2yyyym
∵
OAOB,∴
0OAOB
∴2
12
1212120
16yy
xxyyyy
，∴
1216yy
∴216m
8m
，满足题意.
（2）设弦AB的中点为M,则12
1
2Myy
y，1
22M
Mymm
x
∵
TMAB∴21
21
11
22m∴
4m，
则5
,1
2M，∴5MT，∴25CD
∴2
1212124486yyyyyym
∴35AB
∴面积为30ABCD
21.（1）
2a时，212lnfxxx，设hxfx，
当0,2x时，2
20x
hx
x，则hx
在0,2
上是单调递减函数，即则fx
在0,2
上是单调递减
函数，
∵10f∴12x时，0fx；01x时，0fx
∴在0,2上fx的单调增区间是0,1，单调减区间是1,2；
（2）1x时，2ln21()(1)axxaxx,即21
22+2a
alnxxa
x；
01x
时，2ln21()(1)axxaxx
,即21
22+2a
alnxxa
x；
设21
2220a
gxalnxxax
x
则
22121
221
1xxa
aa
gx
xxx
1a
时，211a，∵2
21
0x
gx
x，∴gx
在0,
上单调递增
∴1x时，10gxg；01x时，10gxg，∴1a符合题意;
1a
时，211a，(12)1xa
时，0()gx
，∴gx在1,21a上单调递减，
∴当(12)1xa时，10gxg，与1x时，()0gx矛盾；舍
