一阶线性微分方程

创莉图趣　

ＣＩ！Ｉｌ＾ＮＧＸＩＮＩ＇￣均ＩＩ一●■　

一阶线性微分方程的求解技巧　

魏建刚　

（平顶山工业职业技术学院文化教育部，河南平顶山４６７００１）　

［摘要】本文主要介绍了一阶线性微分方程的三种解法：常数变易法，积分因子法，变量替换法。通过这些方法的介绍，学生可根据自己的喜好　

选择不同的解题方法，这样既丰富了学生的解题思路，又培养了学生的钻研能力。　【关键词】常数变易法；积分因子法；变量替换法　

［中图分类号】Ｏ１７５　［文献标识码】Ａ　文章编号：１６７１—００３７（２０１４）０５—１　１０—１　

一阶线性微分方程在实际中有着广泛的应用，在很多领域　内都起着十分重要的作用。下面介绍一阶线性微分方程的一些　

求解技巧。　

，，＾　形如　＝Ｐ（ｘ）ｙ＋Ｑ（ｘ）　（１）　ｄｘ　的微分方程称之为一阶线性微分方程，其中Ｐ（ｘ），Ｑ（　）在　

考虑的区间上是　的连续函数。　

ｄ，ｖ　若ｐ（　）：０，方程（１）变为　＝Ｐ（ｘ）ｙ　（２）　ｄｘ　称之为一阶齐次线性方程　

若Ｑ（ｘ）≠０，方程（１）称为一阶非齐次线性方程　方程（２）是一个变量分离方程，它的通解为ｙ＝Ｃｅ　，这里Ｃ　

为任意常数。一阶齐次线性方程的解法已经成熟，这里就不再　

详细赘述。接下来重点介绍一阶非齐次线性方程的解法。　

１常数变易法　

观察方程（１）和（２），不难发现二者既有相似之处，又有不　

同。显然方程（２）的通解不是方程（１）的解，不妨将方程（２）的解　

ｙ＝Ｃｅ　“　中的常数ｃ变易为待定函数Ｃ（ｘ），并使它满足方程　

（１），从而求出Ｃ（ｘ）。为此，　

令ｙ＝Ｃ（ｘ）ｅＩｅ“　（３）　因为方程（３）满足方程（１），那么有　

掣　‘　矗＋Ｃ（ｘ）Ｐ（ｘ）ｅｐ＂∞出：尸　）ｃ　）　‘　＋Ｑ（　ａｇｅ　

得　＝Ｑ（　一ｆ　求得ｃ（ｘ）：ｆ　Ｑ（　）ｅ－』Ｐ（　ｄｘ＋　（４）　

将（４）代入（３）即得方程（１）的通解为　

Ｙ＝ＰＰｎ　（ｆ　ｊ　（ｘ）ａｋｄｒ＋ｃ１）　

常数变易法是解一阶非齐次线性微分方程的重要方法，在　学多教材都有提到，但是该方法中把一阶齐次线性方程的解中　

第四节 一阶线性微分方程

教学目的：使学生掌握一阶线性微分方程的解法，了解伯努利方程的解法

教学重点：一阶线性微分方程

教学过程：

一、 一阶线性微分方程

方程)()(xQyxPdxdy叫做一阶线性微分方程 如果Q(x)0  则方程称为齐次线性方程 否则方程称为非齐次线性方程

方程0)(yxPdxdy叫做对应于非齐次线性方程)()(xQyxPdxdy的齐次线性方程

下列方程各是什么类型方程？

(1)ydxdyx)2(021yxdxdy是齐次线性方程

(2) 3x25x5y0y3x25x  是非齐次线性方程

(3) yy cos xesin x  是非齐次线性方程

(4)yxdxdy10 不是线性方程

(5)0)1(32xdxdyy0)1(23yxdxdy或32)1(xydydx 不是线性方程

齐次线性方程的解法

齐次线性方程0)(yxPdxdy是变量可分离方程 分离变量后得

dxxPydy)(

两边积分 得

1)(||lnCdxxPy

或 )( 1)(CdxxPeCCey

这就是齐次线性方程的通解（积分中不再加任意常数）

例1 求方程ydxdyx)2(的通解

解 这是齐次线性方程 分离变量得

2xdxydy

两边积分得

两边积分得 ln|y|ln|x2|lnC

方程的通解为

yC(x2)

非齐次线性方程的解法

将齐次线性方程通解中的常数换成x的未知函数u(x) 把

dxxPexuy)()(

一阶常微分方程公式大全

一、一阶线性常微分方程。

1. 标准形式。

- 一阶线性常微分方程的标准形式为y'+p(x)y = q(x)。

2. 通解公式。

- 其通解公式为y = e^-∫ p(x)dx(∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。

- 推导过程：

- 先求对应的齐次方程y'+p(x)y = 0的通解。

- 分离变量得(dy)/(y)=-p(x)dx。

- 两边积分∫(dy)/(y)=-∫ p(x)dx，得到ln y =-∫ p(x)dx + C_1，即y = Ce^-∫

p(x)dx（C = e^C_1）。

- 然后用常数变易法，设原非齐次方程的解为y = C(x)e^-∫ p(x)dx。

- 对y求导得y'=C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫ p(x)dx。

- 将y和y'代入原方程y'+p(x)y = q(x)，可得C'(x)e^-∫ p(x)dx-C(x)p(x)e^-∫

p(x)dx+p(x)C(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)。

- 化简得C'(x)e^-∫ p(x)dx=q(x)，即C'(x)=q(x)e^∫ p(x)dx。

- 再积分C(x)=∫ q(x)e^∫ p(x)dxdx + C，所以原方程的通解为y = e^-∫ p(x)dx(∫

q(x)e^∫ p(x)dxdx + C)。

二、可分离变量的一阶常微分方程。

1. 标准形式。 - 可分离变量的一阶常微分方程的标准形式为g(y)dy = f(x)dx。

2. 通解求法。

- 对g(y)dy = f(x)dx两边分别积分，得到∫ g(y)dy=∫ f(x)dx + C，其中C为任意常数。

- 例如，对于方程(dy)/(dx)=(x)/(y)，可化为ydy = xdx。

一阶线性微分方程

分布图示

★ 一阶线性微分方程及其解法

★ 例1 ★ 例2 ★ 例3

★ 例4 ★ 例5 ★ 例6

★ 伯努利方程 ★ 例7 ★ 例8

★ 例9 ★ 例10

★ 内容小结 ★ 课堂练习

★ 习题8-3

内容要点

一、一阶线性微分方程

形如

)()(xQyxPdxdy (3.1)

的方程称为一阶线性微分方程. 其中函数)(xP、)(xQ是某一区间I上的连续函数. 当,0)(xQ方程(3.1)成为

0)(yxPdxdy (3.2)

这个方程称为一阶齐次线性方程. 相应地，方程(3.1)称为一阶非齐次线性方程.

方程(3.2)的通解

.)(dxxPCey (3.3)

其中C为任意常数.

求解一阶非齐次线性微分方程的常数变易法：即在求出对应齐次方程的通解(3.3)后，将通解中的常数C变易为待定函数)(xu，并设一阶非齐次方程通解为

,)()(dxxPexuy

一阶非齐次线性方程(3.1)的通解为

dxxPdxxPeCdxexQy)()()( (3.5)

二、伯努利方程：形如

nyxQyxPdxdy)()( (3.7)

的方程称为伯努利方程，其中n为常数，且1,0n.

伯努利方程是一类非线性方程，但是通过适当的变换，就可以把它化为线性的. 事实上，在方程(3.7)两端除以ny，得 ),()(1xQyxPdxdyynn

或 ),()()(1111xQyxPynnn

于是，令nyz1，就得到关于变量z的一阶线性方程

)()1()()1(xQnzxPndxdz.