拉普拉斯变换

1 第2章 拉普拉斯变换

本章节的学习目标

1.了解拉普拉斯变换的概念，掌握拉普拉斯变换定义；

2.掌握拉普拉斯变换的基本性质；

3.掌握拉普拉斯变换的求法：直接法，查表法。

2.1拉普拉斯变换的概念

我们拉普拉斯变换的定义

定义：设函数()fx的定义域为0t，如果积分

0[()]()stLfteftdt

在变量s的某个区域内收敛，从而确定了一个关于变量s的函数，记为()Fs．则称()Fs为()fx的拉普拉斯变换，即

0()[()]()stFsLftefxdx．─────────────（2.1）

例1 求函数()(0)fttt的拉普拉斯变换．

解 根据公式（2．1）有

0002[]11lim()11lim((1))111lim().ststbbsstbbsbsbbsbsbLtetdttdesbeedtsbeessbeesss

当0s时，2221111[]limlim.bsbsbbLtbeessss

例2 求函数()(0)atftet的拉普拉斯变换．

解 根据公式（2．1）有

2 0()0()0()()[]1()1lim(1)11lim.statasastasbbasbbLteedtedtedastaseasesaas

要使上式中的极限存在，变量s必须满足0as，即sa．所以当sa时，有

1[]Ltsa．

我们将常见函数的拉普拉斯变换列表如下：

()ft ()Fs ()ft ()Fs

1.1 1s 9.natte 1!()nnsa

2.t 21s 10.1cosat 222()assa

3.nt 1!nns 11.sinatat 3222()assa

4,ate 1sa 12.sincosatatat 32222()asa

159 第12章 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是研究线性时不变电路的基本工具，在实际工程领域中得到了广泛的应用。拉普拉斯变换的核心问题是把以t为变量的时间函数f（t）与以复频率s为变量的复变函数

F（s）联系起来，即把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数常微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作逆变换，从而得到待求的时域函数。

本章的学习重点：

 拉普拉斯变换的定义及其基本性质；

 拉普拉斯反变换的分解定理；

 电路定律的复频域形式，运算电路及其分析方法等；

 利用拉普拉斯反变换求解电路的时域响应。

12．1 拉普拉斯的定义

1、学习指导

（1）时域分析和复频域分析

前面第8章中，我们对一阶和二阶动态电路在时域中进行了分析，时域分析的主要优点是物理概念比较清晰，而且对常见的一阶电路运算也相当简捷。但是对含有多个动态元件且电路结构比较复杂时，应用时域分析法的电路求解过程就变得相当繁杂，为此引入建立在拉普拉斯变换这一数学基础上的运算法。运算法也称为电路的复频域分析法，它能将时域中的微分和积分运算变换为复频域中的代数运算，从而把时域中的微分或积分方程变换为复频域中的代数方程，并且在变换的开始阶段就把初始条件考虑在内，所得结果就是电路的全响应，使二阶电路的分析计算变得简单而且有效。

（2）拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的核心问题，就是把以时间t作为变量的时间函数f（t）通过数学变换后用一个以复频率s为变量的复变函数F（s）来代替，从而将时域问题转化为频域问题，把时间函数的线性常系数常微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作拉氏反变换，最后得到待求的时间函数。

用拉普拉斯变换的方法分析电路，与前面的章节有着相当大的差异。但是，拉普拉斯变换所揭示的电路规律和概念与前面所讲得基本相同，只是更深入些。学习本章内容时，要了解 160 拉普拉斯变换的基本原理及其性质，理解和掌握用拉普拉斯变换分析和计算线性电路的方法及其步骤，熟悉复频域形式的电路定律，理解电路的复频域分析变换到时域分析的原理。

159 第12章 拉普拉斯变换

拉普拉斯变换是研究线性时不变电路的基本工具，在实际工程领域中得到了广泛的应用。拉普拉斯变换的核心问题是把以t为变量的时间函数f（t）与以复频率s为变量的复变函数

F（s）联系起来，即把时域问题通过数学变换后成为频域问题，把时间函数的线性常系数常微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作逆变换，从而得到待求的时域函数。

本章的学习重点：

 拉普拉斯变换的定义及其基本性质；

 拉普拉斯反变换的分解定理；

 电路定律的复频域形式，运算电路及其分析方法等；

 利用拉普拉斯反变换求解电路的时域响应。

12．1 拉普拉斯的定义

1、学习指导

（1）时域分析和复频域分析

前面第8章中，我们对一阶和二阶动态电路在时域中进行了分析，时域分析的主要优点是物理概念比较清晰，而且对常见的一阶电路运算也相当简捷。但是对含有多个动态元件且电路结构比较复杂时，应用时域分析法的电路求解过程就变得相当繁杂，为此引入建立在拉普拉斯变换这一数学基础上的运算法。运算法也称为电路的复频域分析法，它能将时域中的微分和积分运算变换为复频域中的代数运算，从而把时域中的微分或积分方程变换为复频域中的代数方程，并且在变换的开始阶段就把初始条件考虑在内，所得结果就是电路的全响应，使二阶电路的分析计算变得简单而且有效。

（2）拉普拉斯变换

拉普拉斯变换的核心问题，就是把以时间t作为变量的时间函数f（t）通过数学变换后用一个以复频率s为变量的复变函数F（s）来代替，从而将时域问题转化为频域问题，把时间函数的线性常系数常微分方程化为复变函数的代数方程，在求出待求的复变函数后，再作拉氏反变换，最后得到待求的时间函数。

用拉普拉斯变换的方法分析电路，与前面的章节有着相当大的差异。但是，拉普拉斯变换所揭示的电路规律和概念与前面所讲得基本相同，只是更深入些。学习本章内容时，要了解 160 拉普拉斯变换的基本原理及其性质，理解和掌握用拉普拉斯变换分析和计算线性电路的方法及其步骤，熟悉复频域形式的电路定律，理解电路的复频域分析变换到时域分析的原理。

第八章 拉普拉斯变换

基本要求：

1. 掌握拉普拉斯变换的基本概念以及常见函数的拉普拉斯正变换；

2. 利用拉普拉斯变换的基本定理，拉普拉斯变换表以及部分分式展开法对常见函数进行拉普拉斯反变换；

3. 利用拉普拉斯正反变换求解线性动态电路的常微分方程。

引言：所谓复频域分析，是指线性动态电路的一种分析方法，这种方法不是在时间域里直接进行分析和求解，而是变换到复频域的范围内求解。所使用的教学工具就是拉普拉斯变换.拉普拉斯变换是一种积分变换，是解线性常微分方程，研究线性系统的一个重要工具。下面回顾“变换”的概念。

1、对数与指数的变换

为求乘积ab

可先取对数 ln(ab)= lna+lnb

再取指数运算

2、相量与正弦量的变换

为了计算正弦稳态响应，可将激励源变为相量，然后在频率域里求相量（即相量法），然后再变回时域得到正弦时间函数响应。

其中 此复数的模 就是正弦量u(t)的振幅值，幅角就是u(t)的初相角。这种对应关系就是一种变换。

§8-1 拉普拉斯变换

讲述要点：1. 拉普拉斯变换的定义

2.常见函数的拉普拉斯变换

一．拉普拉斯变换

定义式：设有一时间函数f(t) [0,∞] 或 0≤t≤∞单边函数

其中，S=ζ+jω 是复参变量，称为复频率。

左端的定积分称为拉普拉斯积分，又称为f(t)的拉普拉斯变换；

右端的F(S)是拉普拉斯积分的结果，此积分把时域中的单边函数f(t)变换为以复频率S为自变量的复频域函数F(S)，称为f(t)的拉普拉斯象函数。

以上的拉普拉斯变换是对单边函数的拉普拉斯变换，称为单边拉普拉斯变换。

如f(t)是定义在整个时间轴上的函数，可将其乘以单位阶跃函数，即变为f(t)ε（t），则拉普拉斯变换为

其中积分下标取0-而不是0或0+ ，是为了将冲激函数δ(t)及其导函数纳入拉普拉斯变换的范围。

二．拉普拉斯反变换

这是复变函数的积分