二维抛物线方程数值解法(ADI隐式交替法)方法

注气驱油数值模拟方法研究现状与发展趋势姬泽敏，秦积舜，李实，廉黎明（提高石油采收率国家重点实验室—中国石油勘探开发研究院，北京市 100083）摘要：注气驱油技术是提高石油采收率的重要方法之一，应用和发展前景广阔。

气驱油过程伴随着油气体系间的组分传质和系统压力变化，进而引起油气体系的相态转化，使得注气驱油过程的物理化学现象的表征和数学描述变得十分复杂，至今尚未形成统一和精确的油气体系相态表征和描述方法。

通过考察国内外已有的相关数学模型和计算模拟方法，本文较为系统的梳理了注气驱油数值模拟方法的发展历程，评价了现有方法的优缺点，并结合我国油藏储层及流体特征，提出了适合中国油藏特点的注气驱油数值模拟方法的发展方向。

关键词：注气驱油技术；油气体系；数值模拟；组分传质；相态Research Status of Gas Flooding NumericalSimulation and Its Development TrendJi Zemin1，Qin Jishun，Li Shi，Lian Liming(The State Key Laboratory of Enhanced Oil Recovery—RIPED, Beijing 100083,China)Abstract: Gas flooding technology is one of the pivotal EOR methods, which has a broad prospect of application and development. However, mass transfer and change of system pressure during the process of gas flooding lead to the change of phase behavior, which draws great difficulties to the mathematical description and characterization of physical and chemical phenomenon during the process, so far there has not been a set of uniform and accurate methods to describe and characterize the phase behavior of oil and gas system. According to the mentioned above, based on the investigation of several gas flooding numerical simulation methods at home and abroad, this paper hackled the development process of the gas flooding numerical simulation methods, evaluated the advantages and disadvantages of these methods. Finally, combined with the characters of reservoirs and fluid, development direction of gas flooding numerical simulation with Chinese characteristics was proposed.Key words：gas flooding，oil-gas system，numerical simulation，compositional transfer，phase 1收稿日期：第一作者简介：姬泽敏（1985—），男，博士研究生，主要从事注气提高采收率技术及数值模拟研究。

高中数学学习中的抛物线与双曲线方程求解方法在高中数学学习中，抛物线与双曲线是重要的二次函数的图像形式。

学生们需要掌握求解抛物线和双曲线方程的方法，以便能够准确地描述并解决与这些图形相关的问题。

本文将介绍高中数学学习中抛物线与双曲线方程求解的方法。

首先，我们来讨论抛物线的方程求解。

一般来说，抛物线的方程通常是二次函数的形式：y = ax² + bx + c。

在求解抛物线方程时，我们通常要考虑以下几种情况：一种情况是已知抛物线上的三个点，我们需要确定抛物线的方程。

对于已知三个点（x₁，y₁）、（x₂，y₂）、（x₃，y₃），我们可以建立三个方程：(1) y₁ = ax₁² + bx₁ + c(2) y₂ = ax₂² + bx₂ + c(3) y₃ = ax₃² + bx₃ + c通过解这个方程组，我们可以找到抛物线的方程。

另一种常见情况是已知抛物线的顶点和一点，需要确定抛物线的方程。

对于已知顶点（h，k）和一点（x₁，y₁），我们可以通过将这两个点代入抛物线的一般方程，得到下面的方程：(1) y₁ = a(x₁ - h)² + k通过解这个方程，我们可以得到抛物线的方程。

在实际问题中，我们常常需要求解与抛物线相关的问题。

例如，给定一个抛物线，我们需要找到它的焦点和准线。

对于抛物线方程 y = ax² + bx + c，我们可以通过求解以下方程得到焦点（p，q）和准线的方程：(1) p = -b / (2a)(2) q = c - (b² - 1) / (4a)通过求解这两个方程，我们可以找到焦点和准线的方程。

接下来，我们转到双曲线的方程求解。

与抛物线类似，双曲线的方程也是二次函数的形式：y = a/x。

在求解双曲线方程时，我们同样需要考虑不同的情况。

一种情况是已知双曲线上的两个点，我们需要确定双曲线的方程。

对于已知两个点（x₁，y₁）和（x₂，y₂），我们可以建立以下方程：(1) y₁ = a/x₁(2) y₂ = a/x₂通过解这个方程组，我们可以找到双曲线的方程。

高中数学解二次曲线方程的常用技巧和注意事项在高中数学学习中，解二次曲线方程是一个重要的内容。

掌握解二次曲线方程的常用技巧和注意事项，不仅可以帮助我们更好地理解和应用数学知识，还可以提高解题的效率和准确度。

本文将介绍一些常用的解二次曲线方程的技巧和需要注意的事项，并通过具体的题目进行举例，帮助读者更好地理解和掌握。

一、一元二次方程的解法在解二次曲线方程时，首先要确定方程中未知数的个数。

如果方程中只有一个未知数，我们称之为一元二次方程。

解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法和求根公式法。

以因式分解法为例，我们来看一个具体的例子：求解方程$x^2-5x+6=0$。

首先，我们观察方程中的系数，发现$a=1$，$b=-5$，$c=6$。

然后，我们寻找两个数，使得它们的和等于$b$，乘积等于$c$。

在这个例子中，我们可以找到两个数2和3，满足条件。

因此，我们可以将方程进行因式分解：$(x-2)(x-3)=0$。

根据乘法零原理，我们知道当两个数的乘积等于0时，至少有一个数等于0。

因此，我们可以得到两个解：$x=2$和$x=3$。

二、二元二次方程的解法除了一元二次方程，高中数学中还会遇到二元二次方程。

解二元二次方程的常用方法有代数法和图形法。

以代数法为例，我们来看一个具体的例子：求解方程组$\begin{cases}x^2+y^2=25\\x-y=3\end{cases}$。

首先，我们可以将第二个方程变形为$x=y+3$，然后将其代入第一个方程中，得到$(y+3)^2+y^2=25$。

展开并整理后，我们可以得到$2y^2+6y-16=0$。

接下来，我们可以使用一元二次方程的解法，求解这个二次方程。

解得$y=-4$或$y=2$。

将这两个解分别代入$x=y+3$，得到$x=-1$和$x=5$。

因此，方程组的解为$(-1,-4)$和$(5,2)$。

三、注意事项在解二次曲线方程时，还需要注意一些细节和特殊情况。

1. 方程的判别式：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，判别式$D=b^2-4ac$可以告诉我们方程的解的性质。

二维抛物型方程的交替方向隐格式二维抛物型方程的交替方向隐格式是一种数值解法，用于求解二维抛物型方程的数值解。

这种解法将二维问题分解为两个一维问题，并采用隐式差分方法来求解。

具体来说，二维抛物型方程可以表示为：u_t = a^2 u_{xx} + b^2 u_{yy} + f(x,y,u)其中，u是待求解的函数，t是时间，a和b是两个不同的参数，f是右侧的非线性函数。

为了求解这个问题，我们可以采用交替方向隐式差分方法，将问题分解为两个一维问题：1、在x方向上，从左到右扫描每一行数据，更新每个点的u值。

这个过程可以使用隐式差分方法来实现：u^[i,j]^(n+1) = u^[i,j]^(n) + dt a^2 (u^[i+1,j]^(n) - 2u^[i,j]^(n) + u^[i-1,j]^(n)) / h^2 + dt f^[i,j]^(n) 其中，u^[i,j]^(n)表示第n个时间步中，位置为(x[i],y[j])的点的u值，h是x方向上的步长，dt是时间步长，f^[i,j]^(n)表示第n个时间步中，位置为(x[i],y[j])的点上的非线性函数f的值。

2. 在y方向上，从上到下扫描每一列数据，更新每个点的u值。

这个过程也可以使用隐式差分方法来实现：u^[i,j]^(n+1) = u^[i,j]^(n) + dt b^2 (u^[i,j+1]^(n) - 2u^[i,j]^(n) + u^[i,j-1]^(n)) / h^2 + dt f^[i,j]^(n) 其中，u^[i,j]^(n)表示第n个时间步中，位置为(x[i],y[j])的点的u值，h是y方向上的步长，dt是时间步长，f^[i,j]^(n)表示第n个时间步中，位置为(x[i],y[j])的点上的非线性函数f的值。

通过交替更新每个点的u值，我们可以逐步逼近方程的数值解。

这种解法具有二阶精度和稳定性，可以应用于多种二维抛物型方程的问题。

探讨高中数学抛物线的解题方法与技巧高中数学中，抛物线是一种非常重要的曲线，对于学习与应用数学都具有重要意义。

本文将对高中数学抛物线的解题方法与技巧进行详细探讨，帮助同学们更好地理解与掌握这一知识点。

一、了解抛物线的基本特征抛物线是一种平面曲线，具有对称轴、顶点、焦点等基本特征。

在解析几何中，常用的抛物线方程有三种形式。

顶点形式、一般形式与焦点形式。

不同形式的方程适用于不同的题型，因此学生需要熟练掌握它们的转换与运用。

二、求抛物线的焦点与顶点1.平移法求焦点。

通过将抛物线平移至标准位置（顶点为原点），可以简化求解焦点的过程。

平移法还可以被运用在其他抛物线的应用题中，如求凸面镜或抛物面的顶点与焦点位置等。

2.定义法求焦点。

对于给定的抛物线方程，可以利用定义法求解焦点。

定义法是以准线和焦点的定义出发，利用准线与焦点到平面上任意一点的距离和定义（如焦点到准线距离等于焦点到该点的距离）得到焦点的坐标。

3.判断抛物线的开口方向。

可以通过方程的二次项系数的符号来判断抛物线的开口方向。

当二次项系数大于零时，抛物线开口向上；当二次项系数小于零时，抛物线开口向下。

三、求抛物线与坐标轴交点通过解方程来求解抛物线与坐标轴的交点，这是很常见的题型。

有两种常用的方法。

1.因式分解法。

将抛物线的方程进行因式分解后，可以得到解析解或根的个数。

进一步，通过观察与分析，可以得出与坐标轴交点的具体坐标。

2.二次函数求根公式。

通过应用二次函数求根公式，可以得到抛物线与坐标轴交点的解析解。

需要注意的是，二次函数求根公式只适用于已经化为标准形式的抛物线。

四、求抛物线的切线与法线求抛物线的切线与法线是一类较难的题型，需要熟练掌握相关的知识与求解方法。

下面将介绍两种常见的方法。

1.切线与法线的斜率法。

通过斜率法可以求得切线与法线的斜率表达式。

具体而言，对于给定的抛物线方程，我们可以通过计算其导数来求得切线或法线的斜率表达式，然后利用该斜率表达式求解切线或法线的方程。

ADI 法求解二维抛物方程学校：中国石油大学（华东） 学院：理学院 姓名：张道德 时间：2013.4.271、ADI 法介绍作为模型，考虑二维热传导方程的边值问题：（3.6.1）,0,,0(,,0)(,)(0,,)(,,)(,0,)(,,)0t xx yy u u u x y l t u x y x y u y t u l y t u x t u x l t ϕ=+<<>⎧⎪=⎨⎪====⎩取空间步长1hM，时间步长0，作两族平行于坐标轴的网线：,,,0,1,,,j k x x jh y y kh j k M =====将区域0,x y l ≤≤分割成2M 个小矩形。

第一个ADI 算法（交替方向隐格式）是Peaceman 和Rachford （1955）提出的。

方法：由第n 层到第n+1层计算分为两步：（1） 第一步： 12,12n j k xx yy u +从n->n+，求u 对向后差分,u 向前差分，构造出差分格式为：1(3.6.1)11112222,,1,,1,,1,,1221222,,2-22=21()n n n n n n n n j kj kj kj k j kj k j k j k n n x j k y j k hhhτδδ+++++-+-+-+-+=+uu uuuu u u （+）u u（2） 第二步：12,12n j k xx yy u +从n+->n+1，求u 对向前差分,u 向后差分，构造出差分格式为：2(3.6.1)1111111222,,1,,1,,1,,12212212,,2-22=21()n n n n n n n n j kj kj kj k j kj k j k j k n n x j k y j k hh hτδδ++++++++-+-++-+-+=+uu uuuu u u （+）u u其中1211,1,,1,0,1,2,,()22n j k M n n n τ+=-=+=+上表表示在t=t 取值。

二维抛物型方程的交替方向隐格式在数学领域中，二维抛物型方程是一类重要的偏微分方程，它们在众多实际问题的数学建模中起着关键作用。

对于这类方程，交替方向隐格式是一种常用且有效的数值求解方法。

本文将详细介绍二维抛物型方程及其交替方向隐格式的原理和应用，希望能为读者提供一份生动、全面且有指导意义的参考材料。

首先，我们来了解什么是二维抛物型方程。

通常，二维抛物型方程可以表示为以下形式：∂u/∂t = α(∂²u/∂x² + ∂²u/∂y²) + βu + f(x, y, t)其中，u是未知函数，t是时间变量，x和y是空间变量，α和β是常数，f(x, y, t)是已知函数。

二维抛物型方程广泛应用于物理、工程、生物等领域的问题求解，比如热传导、扩散、扩散反应等。

为了求解这类方程，数学家们开发了各种求解方法，交替方向隐格式是其中一种。

交替方向隐格式是一种时间和空间交替迭代的求解方法，它通过将二维抛物型方程离散化为一组代数方程，然后通过迭代求解这些代数方程得到数值解。

具体来说，交替方向隐格式先将时间方向离散化，将时间变量t划分为一系列离散时间步长。

然后，对于每个时间步长，交替方向隐格式将二维抛物型方程中的时间导数∂u/∂t进行近似。

最常用的近似方法是向后差分格式，即用u(n+1) - u(n)来近似∂u/∂t，其中u(n)表示第n个时间步长的数值解，u(n+1)表示第n+1个时间步长的数值解。

这样，二维抛物型方程可以离散为一组代数方程。

接下来，交替方向隐格式将空间方向离散化，将空间变量x和y划分为一系列离散网格点。

然后，在空间离散化的基础上，通过引入交替方向（例如，先按x方向更新，再按y方向更新，或者反之）和隐格式（例如，使用向后差分格式近似二阶导数项），将二维抛物型方程中的空间导数进行近似。

通过交替迭代求解这组离散代数方程，我们可以得到二维抛物型方程的数值解。

当离散网格点的数量足够多时，数值解将趋近于方程的解。

ADI隐式交替法三种解法及误差分析（一般的教材上只说第一种）理论部分参看孙志忠：偏微分方程数值解法注意：1.最好不要直接看程序，中间很多公式很烦人的（一定要小心），我写了两天，终于写对了。

2.中间：例如r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))形式写成分形式：r*u(i-1,m1,k)+r*u(i+1,m1,k)后面会出错，我也不是很清楚为什么，可能由于舍入误差，或者大数吃掉小数的影响。

3.下面有三个程序4.具体理论看书，先仔细看书（孙志忠：偏微分方程数值解法）或者网上搜一些理论。

Matlab程序：1.function [u u0 p e x y t]=ADI1(h1,h2,m1,m2,n)%ADI解二维抛物线型偏微分方程(P-R交替隐式，截断)%此程序用的是追赶法解线性方程组%h1为空间步长，h2为时间步长%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数%p为精确解，u为数值解,e为误差%定义u0(i,j,k)=u(i,j,k+1/2),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数x=(0:m1)*h1+0;%定义x0,y0,t0是为了f(x,t)~=0的情况%y=(0:m2)*h1+0;t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;for k=1:n+1for i=1:m2+1for j=1:m1+1f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));endendendfor i=1:m2+1for j=1:m1+1u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));endendfor k=1:n+1for i=1:m2+1u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))]; u0(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t0(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t0(k))] ;endendfor k=1:n+1for j=1:m1+1u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))]; u0([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t0(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t0(k))];endendr=h2/(h1*h1);r1=2*(1-r);r2=2*(1+r);for k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组% for i=2:m2a=-r*ones(1,m1-1);c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;b=r2*ones(1,m1-1);d(1)=r*u0(i,1,k)+r*(u(i-1,2,k)+u(i+1,2,k))+r1*u(i,2,k)+...h2*f(i,2,k);for l=2:m1-2d(l)=r*(u(i-1,l+1,k)+u(i+1,l+1,k))+r1*u(i,l+1,k)+...h2*f(i,l+1,k);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性endd(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))...+r1*u(i,m1,k)+h2*f(i,m1,k);for l=1:m1-2 %开始解线性方程组消元过程a(l+1)=-a(l+1)/b(l);b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);endu0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1); %回代过程%for l=m1-2:-1:1u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);endendfor j=2:m1a=-r*ones(1,m2-1);c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;b=r2*ones(1,m2-1);d(1)=r*u(1,j,k+1)+r*(u0(2,j-1,k)+u0(2,j+1,k))+r1*u0(2,j,k)+...h2*f(2,j,k);for l=2:m2-2d(l)=r*(u0(l+1,j-1,k)+u0(l+1,j+1,k))+r1*u0(l+1,j,k)+... h2*f(l+1,j,k);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性endd(m2-1)=r*u(m2+1,j,k+1)+r*(u0(m2,j-1,k)+u0(m2,j+1,k))...+r1*u0(m2,j,k)+h2*f(m2,j,k);for l=1:m2-2 %开始解线性方程组消元过程a(l+1)=-a(l+1)/b(l);b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);endu(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代过程%for l=m2-2:-1:1u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);endendendfor k=1:n+1for i=1:m2+1for j=1:m1+1p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k)); %p为精确解e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k)); %e为误差endendend2.function [u p e x y t]=ADI2(h1,h2,m1,m2,n)%ADI解二维抛物线型偏微分方程(D'Yakonov交替方向隐格式)%此程序用的是追赶法解线性方程组%h1为空间步长，h2为时间步长%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数%p为精确解，u为数值解,e为误差%定义u0(i,j,k)=u'(i,j,k)(引入的过渡层),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数x=(0:m1)*h1+0;y=(0:m2)*h1+0;t=(0:n)*h2+0;t0=(0:n)*h2+1/2*h2;%定义t0是为了f(x,y,t)~=0的情况% for k=1:n+1for i=1:m2+1for j=1:m1+1f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));%编程时-t0(k)写成了+t0(k),导致错误;endendend%初始条件for i=1:m2+1for j=1:m1+1u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));endend%边界条件for k=1:n+1for i=1:m2+1u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))];endendr=h2/(h1*h1);r4=1+r;r5=r/2;for k=1:nfor i=2:m2u0(i,[1 m1+1],k)=r4*u(i,[1 m1+1],k+1)-r5*(u(i-1,[1 m1+1],... k+1)+u(i+1,[1 m1+1],k+1));endendfor k=1:n+1for j=1:m1+1u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))];endendr1=r-r*r;r2=2*(r-1)*(r-1);r3=r*r/2;for k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组% for i=2:m2a=-r*ones(1,m1-1);c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;b=2*r4*ones(1,m1-1);d(1)=r*u0(i,1,k)+r1*(u(i-1,2,k)+u(i,1,k)+u(i+1,2,k)+...u(i,3,k))+r2*u(i,2,k)+r3*(u(i-1,1,k)+...u(i+1,1,k)+u(i-1,3,k)+u(i+1,3,k))+2*h2*f(i,2,k);for l=2:m1-2d(l)=r1*(u(i-1,l+1,k)+u(i,l,k)+u(i+1,l+1,k)+...u(i,l+2,k))+r2*u(i,l+1,k)+r3*(u(i-1,l,k)+...u(i+1,l,k)+u(i-1,l+2,k)+u(i+1,l+2,k))+2*h2*f(i,l+1,k);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性endd(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r1*(u(i-1,m1,k)+u(i,m1-1,k)+...u(i+1,m1,k)+u(i,m1+1,k))+r2*u(i,m1,k)+...r3*(u(i-1,m1-1,k)+...u(i+1,m1-1,k)+u(i-1,m1+1,k)+u(i+1,m1+1,k))+2*h2*f(i,m1,k);for l=1:m1-2 %开始解线性方程组消元过程a(l+1)=-a(l+1)/b(l);b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);end%回代过程%u0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1);for l=m1-2:-1:1u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);endendfor j=2:m1a=-r*ones(1,m2-1);c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;b=2*r4*ones(1,m2-1);d(1)=r*u(1,j,k+1)+2*u0(2,j,k);for l=2:m2-2d(l)=2*u0(l+1,j,k);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性endd(m2-1)=2*u0(m2,j,k)+r*u(m2+1,j,k+1);for l=1:m2-2 %开始解线性方程组消元过程a(l+1)=-a(l+1)/b(l);b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);endu(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代过程%for l=m2-2:-1:1u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);endendendfor k=1:n+1for i=1:m2+1for j=1:m1+1p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k)); %p为精确解e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k)); %e为误差endendend3.function [u u0 p e x y t]=ADI5(h1,h2,m1,m2,n)%ADI解二维抛物线型偏微分方程(P-R交替隐式，未截断)%此程序用的是追赶法解线性方程组%h1为空间步长，h2为时间步长%m1,m2分别为x方向，y方向网格数，n为时间网格数%p为精确解，u为数值解,e为误差%定义u0(i,j,k)=u(i,j,k+1/2),因为矩阵中，i,j,k必须全为整数x=(0:m1)*h1+0;%定义x0,y0,t0是为了f(x,t)~=0的情况%y=(0:m2)*h1+0;t=(0:n)*h2+0; t0=(0:n)*h2+1/2*h2;for k=1:n+1for i=1:m2+1for j=1:m1+1f(i,j,k)=-1.5*exp(0.5*(x(j)+y(i))-t0(k));endendendfor i=1:m2+1for j=1:m1+1u(i,j,1)=exp(0.5*(x(j)+y(i)));endendfor k=1:n+1for i=1:m2+1u(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t(k))]; u1(i,[1 m1+1],k)=[exp(0.5*y(i)-t0(k)) exp(0.5*(1+y(i))-t0(k))] ;endendr=h2/(h1*h1);r1=2*(1-r);r2=r/4;r3=2*(1+r);for k=1:nfor i=2:m2u0(i,[1 m1+1],k)=u1(i,[1 m1+1],k)-r2*(u(i-1,[1 m1+1],k+1)-...2*u(i,[1 m1+1],k+1)+u(i+1,[1 m1+1],k+1)-u(i-1,[1 m1+1],k)+...2*u(i,[1 m1+1],k)-u(i+1,[1 m1+1],k));endendfor k=1:n+1for j=1:m1+1u([1 m2+1],j,k)=[exp(0.5*x(j)-t(k)) exp(0.5*(1+x(j))-t(k))];endendfor k=1:n %外循环，先固定每一时间层，每一时间层上解一线性方程组%for i=2:m2a=-r*ones(1,m1-1);c=a;a(1)=0;c(m1-1)=0;b=r3*ones(1,m1-1);d(1)=r*u0(i,1,k)+r*(u(i-1,2,k)+u(i+1,2,k))+r1*u(i,2,k)+... h2*f(i,2,k);for l=2:m1-2d(l)=r*(u(i-1,l+1,k)+u(i+1,l+1,k))+r1*u(i,l+1,k)+...h2*f(i,l+1,k);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性endd(m1-1)=r*u0(i,m1+1,k)+r*(u(i-1,m1,k)+u(i+1,m1,k))...+r1*u(i,m1,k)+h2*f(i,m1,k);for l=1:m1-2 %开始解线性方程组消元过程a(l+1)=-a(l+1)/b(l);b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);endu0(i,m1,k)=d(m1-1)/b(m1-1); %回代过程%for l=m1-2:-1:1u0(i,l+1,k)=(d(l)-c(l)*u0(i,l+2,k))/b(l);endendfor j=2:m1a=-r*ones(1,m2-1);c=a;a(1)=0;c(m2-1)=0;b=r3*ones(1,m2-1);d(1)=r*u(1,j,k+1)+r*(u0(2,j-1,k)+u0(2,j+1,k))+r1*u0(2,j,k)+...h2*f(2,j,k);for l=2:m2-2d(l)=r*(u0(l+1,j-1,k)+u0(l+1,j+1,k))+r1*u0(l+1,j,k)+... h2*f(l+1,j,k);%输入部分系数矩阵，为0的矩阵元素不输入%一定要注意输入元素的正确性endd(m2-1)=r*u(m2+1,j,k+1)+r*(u0(m2,j-1,k)+u0(m2,j+1,k))...+r1*u0(m2,j,k)+h2*f(m2,j,k);for l=1:m2-2 %开始解线性方程组消元过程a(l+1)=-a(l+1)/b(l);b(l+1)=b(l+1)+a(l+1)*c(l);d(l+1)=d(l+1)+a(l+1)*d(l);endu(m2,j,k+1)=d(m2-1)/b(m2-1); %回代过程%for l=m2-2:-1:1u(l+1,j,k+1)=(d(l)-c(l)*u(l+2,j,k+1))/b(l);endendendfor k=1:n+1for i=1:m2+1for j=1:m1+1p(i,j,k)=exp(0.5*(x(j)+y(i))-t(k)); %p为精确解 e(i,j,k)=abs(u(i,j,k)-p(i,j,k)); %e为误差endendend[up e x y t]=ADI2(0.01,0.001,100,100,1000);surf(x,y,e(:,:,1001)) t=1的误差曲面下面是三种方法的误差比较：1.[u u0 p e x y t]=ADI1(0.1,0.1,10,10,10)((P-R交替隐式，截断)截断中间过渡层用u(i,j,k+1/2）代替）（t=1时的误差）2.[u u0 p e x y t]=ADI5(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隐式，未截断)(未截断过渡层u(i,j,)’=u(i,j,k+1/2)-h2^2/4*dy^2dtu(i,j,k+1/2);)3.[u p e x y t]=ADI2(0.1,0.1,10,10,10)(D'Yakonov交替方向隐格式) surf(x,y,e(:,:,11))(表示t=1时的误差）下面是相关数据：1: [u u0 p e x y t]=ADI1(0.1,0.1,10,10,10)((P-R交替隐式，截断)截断中间过渡层用u(i,j,k+1/2)代替）e(:,:,11) =Columns 1 through 60 0 0 0 0 00 0.00040947 0.00025182 0.00019077 0.00017112 0.000176040 0.00057359 0.00042971 0.00035402 0.00032565 0.000336280 0.00066236 0.00054689 0.00047408 0.00044596 0.000462670 0.00072152 0.00062001 0.00055081 0.00052442 0.000545530 0.00076164 0.0006576 0.00058522 0.00055732 0.000579840 0.00078336 0.00065993 0.00057557 0.00054161 0.000562090 0.00078161 0.00061872 0.00051646 0.00047429 0.000489640 0.00073621 0.0005148 0.00039979 0.00035439 0.000363130 0.00056964 0.00031688 0.00022051 0.0001884 0.000191920 0 0 0 0 02.[u u0 p e x y t]=ADI5(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隐式，未截断)(未截断过渡层u(i,j,)’=u(i,j,k+1/2)-h2^2/4*dy^2dtu(i,j,k+1/2);)e(:,:,11) =Columns 1 through 60 0 0 0 0 00 0.00027006 0.00016305 0.00012104 0.0001071 0.000109950 0.00037754 0.00027817 0.0002253 0.00020483 0.000211160 0.00043539 0.00035386 0.00030207 0.00028124 0.00029140 0.00047398 0.00040104 0.00035113 0.00033111 0.000344050 0.0005003 0.00042535 0.00037309 0.0003519 0.000365710 0.00051479 0.00042699 0.00036681 0.00034164 0.00035410 0.00051415 0.00040056 0.00032887 0.0002985 0.000307640 0.00048504 0.0003335 0.00025411 0.0002221 0.000227060 0.00037609 0.00020532 0.00013956 0.00011718 0.000119020 0 0 0 0 03.[u p e x y t]=ADI2(0.1,0.1,10,10,10)(D'Yakonov交替方向隐格式)e(:,:,11) =Columns 1 through 60 0 0 0 0 00 8.6469e-006 1.4412e-005 1.8364e-005 2.091e-005 2.2174e-0050 1.4412e-005 2.4777e-005 3.2047e-005 3.6716e-005 3.8961e-0050 1.8364e-005 3.2047e-005 4.1789e-005 4.8054e-005 5.1008e-0050 2.091e-005 3.6716e-005 4.8054e-005 5.5353e-005 5.8764e-0050 2.2174e-005 3.8961e-005 5.1008e-005 5.8764e-005 6.2389e-0050 2.2118e-005 3.8698e-005 5.0523e-005 5.8126e-005 6.171e-0050 2.055e-005 3.5581e-005 4.6157e-005 5.2942e-005 5.6197e-0050 1.707e-005 2.8951e-005 3.7128e-005 4.2365e-005 4.4952e-0050 1.0851e-005 1.7698e-005 2.2265e-005 2.5203e-005 2.672e-0050 0 0 0 0 01.[u u0 p e x y t]=ADI1(0.1,0.1,10,10,10)((P-R交替隐式，截断)截断中间过渡层用u(i,j,k+1/2)代替）Columns 7 through 110 0 0 0 00.00020348 0.00026228 0.00038338 0.00066008 00.00038607 0.00048321 0.00064717 0.00091668 00.00052635 0.00064203 0.00081637 0.0010517 00.0006174 0.00074272 0.00092111 0.0011417 00.00065651 0.00078964 0.00097724 0.0012051 00.00064051 0.00078116 0.00098594 0.0012433 00.00056474 0.00070822 0.00093332 0.0012478 00.00042547 0.00055526 0.00078616 0.0011844 00.00022735 0.00030946 0.00049004 0.00092402 00 0 0 0 02.[u u0 p e x y t]=ADI5(0.1,0.1,10,10,10)(P-R交替隐式，未截断)(未截断过渡层u(i,j,)’=u(i,j,k+1/2)-h2^2/4*dy^2dtu(i,j,k+1/2);)Columns 7 through 110 0 0 0 00.00012826 0.00016798 0.00024986 0.00043637 00.00024444 0.00031023 0.00042173 0.00060513 00.00033401 0.00041257 0.00053179 0.00069358 00.00039216 0.00047742 0.00059986 0.00075263 00.00041704 0.00050761 0.00063642 0.00079439 00.00040657 0.0005021 0.00064226 0.00081984 00.00035784 0.000455 0.00060828 0.00082334 00.00026866 0.00035628 0.00051263 0.0007824 00.00014262 0.00019789 0.00031956 0.0006113 00 0 0 0 0 3.[u p e x y t]=ADI2(0.1,0.1,10,10,10)(D'Yakonov交替方向隐格式) Columns 7 through 110 0 0 0 02.2118e-005 2.055e-005 1.707e-005 1.0851e-005 03.8698e-005 3.5581e-005 2.8951e-005 1.7698e-005 05.0523e-005 4.6157e-005 3.7128e-005 2.2265e-005 05.8126e-005 5.2942e-005 4.2365e-005 2.5203e-005 06.171e-005 5.6197e-005 4.4952e-005 2.672e-005 06.1116e-005 5.5803e-005 4.4817e-005 2.6785e-005 05.5803e-005 5.1239e-005 4.1529e-005 2.5153e-005 04.4817e-005 4.1529e-005 3.42e-005 2.126e-005 02.6785e-005 2.5153e-005 2.126e-005 1.3869e-005 00 0 0 0 0。

二维抛物线方程数值解法方法二维抛物线方程是数学中常见的偏微分方程之一，表示一个二维区域中的传热、扩散、波动等现象。

求解二维抛物线方程通常需要使用数值解法，其中ADI（Alternating Direction Implicit）隐式交替法是一种有效的数值解法之一、本文将详细介绍ADI隐式交替法的原理和步骤。

首先，我们来看一下二维抛物线方程的一般形式：∂u/∂t=α(∂²u/∂x²+∂²u/∂y²)+f(x,y,t)其中u(x,y,t)是未知函数，表示二维区域中的一些物理量（如温度），α是扩散系数，f(x,y,t)是源（即外力项）。

ADI隐式交替法的基本思想是将偏微分方程中的时间导数项进行分离，然后通过交替方向的半隐式差分逼近来求解。

具体步骤如下：1.将时间导数项进行分离，得到两个互相独立的方程：∂u/∂t=α(∂²u/∂x²)+α(∂²u/∂y²)+f(x,y,t)等价于：∂u/∂t=α(∂²u/∂x²)+f(x,y,t)，考虑到y方向上的导数已经被分离出来。

∂u/∂t=α(∂²u/∂y²)+f(x,y,t)，考虑到x方向上的导数已经被分离出来。

2. 对第一个方程应用隐式差分（比如Crank-Nicolson差分格式），得到一个关于未知函数u的线性方程组Ax=b。

3.利用ADI思想，对第二个方程同样进行隐式差分，得到另一个关于未知函数u的线性方程组Ay=c。

4.对线性方程组Ax=b和Ay=c进行求解，得到u的一个时间层的近似解。

5.重复步骤2至4，直到得到整个时间区间内的数值解。

ADI隐式交替法的关键在于递归地求解两个互相独立的线性方程组。

在每个时间步长中，先求解一个方向（比如x方向）上的方程组，然后用该方程组的解代入另一个方向（比如y方向）的方程组中求解。

通过交替进行，可以逼近二维抛物线方程的解。

二维抛物方程的有限差分法二维抛物方程的有限差分法摘要二维抛物方程是一类有广泛应用的偏微分方程，由于大部分抛物方程都难以求得解析解，故考虑采用数值方法求解。

有限差分法是最简单又极为重要的解微分方程的数值方法。

本文介绍了二维抛物方程的有限差分法。

首先，简单介绍了抛物方程的应用背景，解抛物方程的常见数值方法，有限差分法的产生背景和发展应用。

讨论了抛物方程的有限差分法建立的基础，并介绍了有限差分方法的收敛性和稳定性。

其次，介绍了几种常用的差分格式，有古典显式格式、古典隐式格式、Crank-Nicolson隐式格式、Douglas差分格式、加权六点隐式格式、交替方向隐式格式等，重点介绍了古典显式格式和交替方向隐式格式。

进行了格式的推导，分析了格式的收敛性、稳定性。

并以热传导方程为数值算例，运用差分方法求解。

通过数值算例，得出古典显式格式计算起来较简单，但稳定性条件较苛刻；而交替方向隐式格式无条件稳定。

关键词：二维抛物方程；有限差分法；古典显式格式；交替方向隐式格式FINITE DIFFERENCE METHOD FORTWO-DIMENSIONAL PARABOLICEQUATIONAbstractTwo-dimensional parabolic equation is a widely used class of partial differential equations. Because this kind of equation is so complex, we consider numerical methods instead of obtaining analytical solutions. finite difference method is the most simple and extremely important numerical methods for differential equations. The paper introduces the finite difference method fortwo-dimensional parabolic equation.Firstly, this paper introduces the background and common numerical methods for Parabolic Equation, Background and development of applications. Discusses the basement for the establishment of the finite difference method for parabolic equation And describes the convergence and stability for finite difference method.Secondly, Introduces some of the more common simple differential format,for example, the classical explicit scheme, the classical implicit scheme, Crank-Nicolson implicit scheme, Douglas difference scheme, weighted six implicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper focuses on the classical explicit scheme and the alternating direction implicit format. The paper takes discusses the derivation convergence,and stability of the format . The paper takes And the heat conduction equation for the numerical example, using the differential method to solve. Through numerical examples, the classical explicit scheme is relatively simple for calculation, with more stringent stability conditions; and alternating direction implicit scheme is unconditionally stable.Keywords:Two-dimensional Parabolic Equation; Finite-Difference Method; Eclassical Explicit Scheme; Alternating Direction Implicit Scheme目录摘要........................................................................................................................... .. (I)Abstract .............................................................................................................. ............................ II 1绪论. (1)1.1课题背景 (1)1.2发展概况 (1)1.2.1抛物型方程的常见数值解法 (1) 1.2.2有限差分方法的发展 (2)1.3差分格式建立的基础 (3)1.3.1区域剖分 (3)1.3.2差商代替微商 (3)1.3.3差商代替微商格式的误差分析 (4) 1.4本文主要研究容 (5)2显式差分格式 (7)2.1常系数热传导方程的古典显式格式 (7) 2.1.1古典显式格式格式的推导 (7)2.1.3古典显式格式的算法步骤 (8)3隐式差分格式 (10)3.1古典隐式格式 (10)3.2 Crank-Nicolson隐式格式 (12)3.3 Douglas差分格式 (13)3.4加权六点隐式格式 (14)3.5交替方向隐式格式 (15)3.5.1 Peaceman-Rachford格式 (15) 3.5.2 Rachford-Mitchell格式 (15)3.5.3 Mitchell-Fairweather格式 (15) 3.5.4交替方向隐式格式的算法步骤 (16) 4实例分析与结果分析 (17)4.1算例 (17)4.1.1已知有精确解的热传导问题 (17) 4.1.2未知精确解的热传导问题 (19)4.2结果分析 (20)5稳定性探究与分析 (21)5.1稳定性问题的提出 (21)5.2 几种分析稳定性的方法 (21)5.3 r变化对稳定性的探究 (23)5.3.1 古典显式格式的稳定性 (23)5.3.2 P-R格式格式的稳定性 (24)结语 (26)参考文献 (27)附录P-R格式的C++实现代码 (28)致谢 (30)1绪论1.1课题背景抛物方程是一类特殊的偏微分方程，二维抛物方程的一般形式为u Lu t=? (1-1) 其中1212((,,))((,,))(,,)(,,)(,,)u u u u u u L a x y t a x y t b x y t b x y t C x y t x x y y x y=++++ 120,0,0a a C >>≥。