高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 7 第7讲 抛物线教案 理-高三全册数学教案

第7讲抛物线【2013年高考会这样考】1．考查抛物线定义、标准方程．2．考查抛物线的焦点弦问题．3．与向量知识交汇考查抛物线的定义、方程、性质等．【复习指导】熟练掌握抛物线的定义及四种不同的标准形式，会根据抛物线的标准方程研究得出几何性质及会由几何性质确定抛物线的标准方程；掌握代数知识，平面几何知识在解析几何中的作用．基础梳理1．抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．其数学表达式：|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质一个结论焦半径：抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P (x 0，y 0)到焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离|PF |＝x 0＋p2.两种方法(1)定义法：根据条件确定动点满足的几何特征，从而确定p 的值，得到抛物线的标准方程． (2)待定系数法：根据条件设出标准方程，再确定参数p 的值，这里要注意抛物线标准方程有四种形式．从简单化角度出发，焦点在x 轴的，设为y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴的，设为x 2＝by (b ≠0)．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)抛物线y 2＝8x 的焦点到准线的距离是( )． A ．1 B ．2 C ．4 D ．8 解析 由2p ＝8得p ＝4，即焦点到准线的距离为4. 答案 C2．(2012·金华模拟)已知抛物线的焦点坐标是(0，－3)，则抛物线的标准方程是( )．A ．x 2＝－12y B ．x 2＝12y C ．y 2＝－12xD ．y 2＝12x解析 p2＝3，∴p ＝6，∴x 2＝－12y .答案 A3．(2011·陕西)设抛物线的顶点在原点，准线方程x ＝－2，则抛物线的方程是( )．A ．y 2＝－8x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝8x D ．y 2＝4x解析 由准线方程x ＝－2，顶点在原点，可得两条信息：①该抛物线焦点为F (2,0)；②该抛物线的焦准距p ＝4.故所求抛物线方程为y 2＝8x . 答案 C4．(2012·西安月考)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )．A ．4B ．6C ．8D ．12解析 据已知抛物线方程可得其准线方程为x ＝－2，又由点P 到y 轴的距离为4，可得点P 的横坐标x P ＝4，由抛物线定义可知点P 到焦点的距离等于其到准线的距离，即|PF |＝x P ＋p2＝x P ＋2＝4＋2＝6. 答案 B5．(2012·长春模拟)抛物线y 2＝8x 的焦点坐标是________．解析 ∵抛物线方程为y 2＝8x ，∴2p ＝8，即p ＝4.∴焦点坐标为(2,0)． 答案 (2,0)考向一 抛物线的定义及其应用【例1】►(2011·辽宁)已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )． A.34 B ．1 C.54 D.74[审题视点] 由抛物线定义将|AF |＋|BF |转化为线段AB 的中点到准线的距离即可． 解析设抛物线的准线为l ，作AA 1⊥l 于A 1，BB 1⊥l 于B 1，由抛物线的定义知|AA 1|＋|BB 1|＝|AF |＋|BF |＝3，则AB 的中点到y 轴的距离为12(|AA 1|＋|BB 1|)－14＝54.答案 C涉及抛物线上的点到焦点(准线)的距离问题，可优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线(焦点)的距离问题求解．【训练1】 (2011·济南模拟)已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )． A.172 B ．3 C. 5 D.92解析 由抛物线的定义知，点P 到该抛物线的距离等于点P 到其焦点的距离，因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和即为点P 到点(0,2)的距离与点P 到焦点的距离之和，显然，当P 、F 、(0,2)三点共线时，距离之和取得最小值，最小值等于⎝ ⎛⎭⎪⎫0－122＋－2＝172. 答案 A考向二 抛物线的标准方程及性质【例2】►(1)(2011·南京模拟)以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P (－2，－4)的抛物线方程为________．(2)(2010·浙江)设抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点A (0,2)．若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为________．[审题视点] (1)为求抛物线的方程问题，用待定系数法求解，根据题设条件，按焦点所在位置的可能情况，分类讨论．(2)抓住FA 的中点B 在抛物线上，求出p . 解析 (1)由于点P 在第三象限．①当焦点在x 轴负半轴上时，设方程为y 2＝－2px (p ＞0)， 把点P (－2，－4)代入得：(－4)2＝－2p ×(－2)， 解得p ＝4，∴抛物线方程为y 2＝－8x .②当焦点在y 轴负半轴上时，设方程为x 2＝－2py (p ＞0)，把点P (－2，－4)代入得：(－2)2＝－2p ×(－4)．解得p ＝12.∴抛物线方程为x 2＝－y .综上可知抛物线方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y .(2)抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则线段FA 的中点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p4，1，代入抛物线方程得1＝2p ×p 4，解得p ＝2，故点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫24，1，故点B 到该抛物线准线的距离为24＋22＝324. 答案 (1)y 2＝－8x 或x 2＝－y (2)324求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置，开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程．【训练2】 已知F 为抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点，M 为其上一点，且|MF |＝2p ，则直线MF 的斜率为( )． A ．－33 B ．±33C ．－ 3D ．± 3 解析 依题意，得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，准线为y ＝－p2，过点M 作MN 垂直于准线于N ，过F 作FQ 垂直于MN 于Q ，则|MN |＝|MF |＝2p ，|MQ |＝p ，故∠MFQ ＝30°，即直线MF 的倾斜角为150°或30°，斜率为－33或33. 答案 B考向三 抛物线的综合应用【例3】►(2011·江西)已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值．[审题视点] (1)联立方程，利用焦点弦公式求解；(2)先求出A 、B 坐标，利用关系式表示出点C 坐标，再利用点C 在抛物线上求解．解 (1)直线AB 的方程是y ＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，从而有4x 2－5px ＋p 2＝0，所以x 1＋x 2＝5p4，由抛物线定义得：|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝9， 所以p ＝4，从而抛物线方程是y 2＝8x .(2)由p ＝4,4x 2－5px ＋p 2＝0可简化为x 2－5x ＋4＝0， 从而x 1＝1，x 2＝4，y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)；设OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)， 又y 23＝8x 3，即[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2.本题综合考查了直线与抛物线的位置关系、抛物线的标准方程与几何性质、平面向量知识，以及数形结合思想和化归思想．其中直线与圆锥曲线的相交问题一般是联立方程，设而不求，借助根的判别式及根与系数的关系进行转化．【训练3】 设抛物线C ：y 2＝4x ，F 为C 的焦点，过F 的直线L 与C 相交于A 、B 两点． (1)设L 的斜率为1，求|AB |的大小； (2)求证：OA →·OB →是一个定值．(1)解 ∵F (1,0)，∴直线L 的方程为y ＝x －1，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y 2＝4x得x 2－6x ＋1＝0，∴x 1＋x 2＝6，x 1x 2＝1. ∴|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·36－4＝8.(2)证明 设直线L 的方程为x ＝ky ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky ＋1，y 2＝4x得y 2－4ky －4＝0.∴y 1＋y 2＝4k ，y 1y 2＝－4， OA →＝(x 1，y 1)，OB →＝(x 2，y 2)．∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝(ky 1＋1)(ky 2＋1)＋y 1y 2 ＝k 2y 1y 2＋k (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2 ＝－4k 2＋4k 2＋1－4＝－3. ∴OA →·OB →是一个定值．阅卷报告14——忽视“判别式”致误【问题诊断】 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法，在解决直线与圆锥曲线相交的问题时，有时不需要考虑判断式，致使有的考生思维定势的原因，任何情况下都没有考虑判别式，导致解题错误.【防范措施】 解题后任何情况下都来检验判别式Δ.【示例】►(2010·福建)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 实录 (1)将点A (1，－2)代入y 2＝2px ，得p ＝2，故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ， 其准线方程为x ＝－1.错因 遗漏判别式的应用．(2)假设存在直线l ，设l ：y ＝－2x ＋t ， 由直线OA 与l 的距离d ＝55，得|t |5＝15，解得t ＝±1.故符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0或2x ＋y ＋1＝0.正解 (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1， 所以p ＝2.故所求的抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t ，y 2＝4x ，得y 2＋2y －2t ＝0.因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝55， 可得|t |5＝15，解得t ＝±1.因为－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.【试一试】 (2012·杭州模拟)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，F 2也是抛物线C 2：y 2＝4x 的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且|MF 2|＝53.(1)求C 1的方程；(2)平面上的点N 满足MN →＝MF 1→＋MF 2→，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B 两点，若OA →·OB →＝0，求直线l 的方程．[尝试解答] (1)由C 2：y 2＝4x ，知F 2(1,0)， 设M (x 1，y 1)，M 在C 2上， 因为|MF 2|＝53，所以x 1＋1＝53，得x 1＝23，y 1＝263.所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，263.M 在C 1上，且椭圆C 1的半焦距c ＝1，于是⎩⎪⎨⎪⎧49a 2＋83b2＝1，b 2＝a 2－1，消去b 2并整理得9a 4－37a 2＋4＝0.解得a ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＝13不合题意，舍去. 故b 2＝4－1＝3.故椭圆C 1的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由MF 1→＋MF 2→＝MN →，知四边形MF 1NF 2是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l ∥MN ，所以l 与OM 的斜率相同． 故l 的斜率k ＝26323＝ 6.设l 的方程为y ＝6(x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝6x －m消去y 并整理得9x 2－16mx ＋8m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 1＋x 2＝16m 9，x 1x 2＝8m 2－49.因为OA →⊥OB →，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋6(x 1－m )(x 2－m ) ＝7x 1x 2－6m (x 1＋x 2)＋6m 2 ＝7·8m 2－49－6m ·16m 9＋6m 2＝19(14m 2－28)＝0. 所以m ＝± 2.此时Δ＝(16m )2－4×9(8m 2－4) ＝－32m 2＋144＝－32×2＋144＞0.故所求直线l 的方程为y ＝6x －23，或y ＝6x ＋2 3.。

§9.7 抛物线最新考纲考情考向分析1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质. 2.了解抛物线的简单应用. 抛物线的定义、标准方程及性质是高考考查的重点，直线与抛物线的位置关系是考查的热点，题型既有小巧灵活的选择题、填空题，多为中档题，又有综合性较强的解答题.1.抛物线的概念平面内与一个定点F 和一条定直线l (l 不经过点F )的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线. 2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px (p >0) y 2＝－2px (p >0) x 2＝2py (p >0) x 2＝－2py (p >0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点坐标 O (0,0)对称轴 x 轴y 轴焦点坐标 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2X 围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右向左 向上向下 焦半径 x 0＋p 2－x 0＋p2y 0＋p 2－y 0＋p2通径长 2p概念方法微思考1.若抛物线定义中定点F 在定直线l 上时，动点的轨迹是什么图形？ 提示 过点F 且与l 垂直的直线.2.直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的什么条件？提示 直线与抛物线的对称轴平行时，只有一个交点，但不是相切，所以直线与抛物线只有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( × )(2)方程y ＝ax 2(a ≠0)表示的曲线是焦点在x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫a4，0，准线方程是x ＝－a4.( × )(3)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x 2＝－2ay (a >0)的通径长为2a .( √ ) 题组二 教材改编2.过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |等于( ) A.9B.8C.7D.6 答案 B解析 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋1＝x 1＋x 2＋2＝8.3.若抛物线y 2＝4x 的准线为l ，P 是抛物线上任意一点，则P 到准线l 的距离与P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值是( ) A.2B.135C.145D.3答案 A解析 由抛物线定义可知点P 到准线l 的距离等于点P 到焦点F 的距离，由抛物线y 2＝4x 及直线方程3x ＋4y ＋7＝0可得直线与抛物线相离.∴点P 到准线l 的距离与点P 到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离之和的最小值为点F (1,0)到直线3x ＋4y ＋7＝0的距离，即|3＋7|32＋42＝2.故选A.4.已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P (－2，－4)，则该抛物线的标准方程为____________________.答案 y 2＝－8x 或x 2＝－y解析 设抛物线方程为y 2＝mx (m ≠0)或x 2＝my (m ≠0). 将P (－2，－4)代入，分别得方程为y 2＝－8x 或x 2＝－y . 题组三 易错自纠5.已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程是( ) A.y 2＝±22x B.y 2＝±2x C.y 2＝±4x D.y 2＝±42x 答案 D解析 由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0). 设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p2＝2，所以p ＝22，所以抛物线方程为y 2＝±42x .故选D.6.设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值X 围是__________. 答案 [－1,1]解析 Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0， 由Δ＝(4k 2－8)2－4k 2·4k 2＝64(1－k 2)≥0， 解得－1≤k ≤1.抛物线的定义和标准方程命题点1 定义及应用例1设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 是抛物线y 2＝4x 的焦点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________. 答案 4解析 如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB|＋|PF|的最小值为4.本例中的B点坐标改为(3,4)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.答案2 5解析由题意可知点B(3,4)在抛物线的外部.∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，F(1,0)，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝22＋42＝25，即|PB|＋|PF|的最小值为2 5.若将本例中的条件改为已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，则d1＋d2的最小值为________.答案32－1解析由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离，故d2＋|PF|的最小值为|1＋5|12＋－12＝32，所以d1＋d2的最小值为32－1.命题点2 求标准方程例2(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点的抛物线的标准方程为( )A.x2＝－12y或y2＝16xB.x2＝12y或y2＝－16xC.x2＝9y或y2＝12xD.x2＝－9y或y2＝－12x答案 A解析对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，所以抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0).当焦点为(0，－3)时，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，则p2＝3，所以p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则p2＝4，所以p ＝8， 此时抛物线的标准方程为y 2＝16x .故所求抛物线的标准方程为x 2＝－12y 或y 2＝16x .(2)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的标准方程为( ) A.y 2＝4x 或y 2＝8x B.y 2＝2x 或y 2＝8x C.y 2＝4x 或y 2＝16x D.y 2＝2x 或y 2＝16x 答案 C解析 由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，抛物线的准线方程为x ＝－p 2，则由抛物线的定义知，x M＝5－p2，设以MF 为直径的圆的圆心为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，y M 2，所以圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y M 22＝254，又因为圆过点(0,2)，所以y M ＝4，又因为点M 在C 上，所以16＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫5－p 2，解得p ＝2或p ＝8，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝4x 或y 2＝16x ， 故选C.思维升华(1)与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径.(2)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.跟踪训练1(1)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，则点P 到点A (－1，1)的距离与点P 到直线x ＝－1的距离之和的最小值为________. 答案5解析 如图，易知抛物线的焦点为F (1,0)，准线是x ＝－1，由抛物线的定义知点P 到直线x ＝－1的距离等于点P 到F 的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P ，使点P 到点A (－1,1)的距离与点P 到F (1,0)的距离之和最小，显然，连接AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为[1－－1]2＋0－12＝ 5.(2)(2019·某某中学调研)若抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为10和6，则抛物线的方程为( ) A.y 2＝4x B.y 2＝36xC.y 2＝4x 或y 2＝36x D.y 2＝8x 或y 2＝32x 答案 C解析 因为抛物线y 2＝2px (p >0)上一点到抛物线的对称轴的距离为6，所以若设该点为P ，则P (x 0，±6).因为P 到抛物线的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0的距离为10，所以由抛物线的定义得x 0＋p2＝10.①因为P 在抛物线上，所以36＝2px 0.②由①②解得p ＝2，x 0＝9或p ＝18，x 0＝1，则抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝36x .抛物线的几何性质例3(1)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且|PA |＝12|AB |，则点A到抛物线C 的焦点的距离为( ) A.53B.75C.97D.2 答案 A解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为点D ，E . ∵|PA |＝12|AB |，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53.(2)(2020·某某检测)已知双曲线y 24－x 2＝1的两条渐近线分别与抛物线y 2＝2px (p >0)的准线交于A ，B 两点.O 为坐标原点.若△OAB 的面积为1，则p 的值为________. 答案2解析 双曲线的两条渐近线方程为y ＝±2x ，抛物线的准线方程为x ＝－p2，故A ，B 两点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，±p ，|AB |＝2p ，所以S △AOB ＝12×2p ×p 2＝p 22＝1，解得p ＝ 2. (3)(2020·华中师大附中月考)如图，点F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，点A ，B 分别在抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16的实线部分上运动，且AB 始终平行于x 轴，则△ABF 的周长的取值X 围是________.答案 (8,12)解析 设A (x A ，y A )，B (x B ，y B ).抛物线的准线l ：x ＝－2，焦点F (2,0)， 由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋2，圆(x －2)2＋y 2＝16的圆心为点(2,0)，半径为4，∴△FAB 的周长为|AF |＋|AB |＋|BF |＝x A ＋2＋(x B －x A )＋4＝6＋x B ，由抛物线y 2＝8x 及圆(x －2)2＋y 2＝16可得交点的横坐标为2，∴x B ∈(2,6)，∴6＋x B ∈(8,12). ∴△ABF 的周长的取值X 围是(8,12).思维升华在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.跟踪训练2(1)(2020·某某期中)以原点为顶点，y 轴为对称轴的抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其中A (2,2)，B (4,2)，C (4,4)，则抛物线Ω的焦点F 到准线l 的最大距离为( ) A.12B.4C.6D.8 答案 B解析 由题意可得D (2,4)，设抛物线Ω：x 2＝2py ，p >0，要使得抛物线Ω与正方形ABCD 有公共点，其临界状态应该是过B 或过D ，把B ，D 的坐标分别代入抛物线方程，得42＝2p ×2，或22＝2p ×4，可得p ＝4或p ＝12，故抛物线的焦点F 到准线l 的最大距离为4.(2)(2020·某某龙泉中学、钟祥一中、京山一中、沙洋中学四校联考)已知点A 是抛物线y ＝14x 2的对称轴与准线的交点，点F 为该抛物线的焦点，点P 在抛物线上且满足|PF |＝m |PA |，则m 的最小值为________. 答案22解析 过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义可得|PN |＝|PF |，∵|PF |＝m |PA |，∴|PN |＝m |PA |，则|PN ||PA |＝m ，设PA 的倾斜角为α，则sin α＝m ，当m 取得最小值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切， 设直线PA 的方程为y ＝kx －1，代入x 2＝4y ， 可得x 2＝4(kx －1)，即x 2－4kx ＋4＝0， ∴Δ＝16k 2－16＝0，∴k ＝±1， ∴m 的最小值为22. 直线与抛物线例4(2019·全国Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解 设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).(1)由题设可得F ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，0， 故|AF |＋|BF |＝x 1＋x 2＋32，又|AF |＋|BF |＝4，所以x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，令Δ>0，得t <12，则x 1＋x 2＝－12t －19.从而－12t －19＝52，得t ＝－78. 所以l 的方程为y ＝32x －78，即12x －8y －7＝0.(2)由AP →＝3PB →可得y 1＝－3y 2， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0，所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3， 代入C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，即A (3,3)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－1， 故|AB |＝4133.思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x 轴的正半轴上)，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解. (4)设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦， 若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 ①x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.②弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角). ③以弦AB 为直径的圆与准线相切.④通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p ，通径是过焦点最短的弦.跟踪训练3(2020·某某模拟)已知点M 为直线l 1：x ＝－1上的动点，N (1,0)，过M 作直线l 1的垂线l ，l 交MN 的中垂线于点P ，记点P 的轨迹为C . (1)求曲线C 的方程；(2)若直线l 2：y ＝kx ＋m (k ≠0)与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ，与曲线C 交于A ，B 两点，且D 为线段AB 的中点，求直线l 2的方程.解 (1)由已知可得，|PN |＝|PM |，即点P 到定点N 的距离等于它到直线l 1的距离，故点P 的轨迹是以N 为焦点，l 1为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为y 2＝4x .(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，y 2＝4x ，得k 2x 2＋(2km －4)x ＋m 2＝0，∴x 1＋x 2＝4－2km k2， ∴x 0＝x 1＋x 22＝2－kmk2， y 0＝kx 0＋m ＝2k ，即D ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－km k2，2k ，∵直线l 2与圆E ：(x －3)2＋y 2＝6相切于点D ， ∴|DE |2＝6，且DE ⊥l 2， 从而⎝⎛⎭⎪⎫2－km k 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝6，k DE·k ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－kmk 2－3＝－2，⎝ ⎛⎭⎪⎫2－km k 2－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝6，整理可得⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2＝2，即k ＝±2，∴m ＝0，故直线l 2的方程为2x －y ＝0或2x ＋y ＝0.1.抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.14B.－14C.4D.－4 答案 B解析 由y ＝ax 2，变形得x 2＝1a y ＝2×12a y ，∴p ＝12a .又抛物线的准线方程是y ＝1，∴－14a＝1，解得a ＝－14.2.(2019·某某青山区模拟)已知点P (2，y )在抛物线y 2＝4x 上，则点P 到抛物线焦点F 的距离为( ) A.2B.3C.3D. 2 答案 B解析 因为抛物线y 2＝4x 的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，结合定义点P 到抛物线焦点的距离等于它到准线的距离，为3.3.设F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上三点，若F 为△ABC 的重心，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|的值为( ) A.1B.2C.3D.4 答案 C解析 依题意，设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， 又焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，所以x 1＋x 2＋x 3＝3×12＝32， 则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋12＝(x 1＋x 2＋x 3)＋32＝32＋32＝3.4.(2020·某某调研)已知F 是抛物线C ：y ＝2x 2的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ，若2FM →＝MN →，则|FN →|等于( )A.58B.12C.38D.1 答案 A解析 由题意得点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，18， 设点M 的坐标为(x 0，y 0)，点N 的坐标为(a ,0)， 所以FM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0，y 0－18，MN →＝(a －x 0，－y 0)，由2FM →＝MN →可得，⎩⎪⎨⎪⎧2x 0＝a －x 0，2y 0－14＝－y 0，解得y 0＝112，x 0＝13a ，代入抛物线方程可得x 0＝±612，则a ＝±64，所以点N 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫±64，0， 由两点之间的距离公式可得|FN |＝58.5.抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，过点F 作斜率为33的直线l 与抛物线在y 轴右侧的部分相交于点A ，过点A 作抛物线准线的垂线，垂足为H ，则△AHF 的面积是( ) A.4B.3 3 C.43D.8 答案 C解析 由抛物线的定义可得|AF |＝|AH |， ∵AF 的斜率为33，∴AF 的倾斜角为30°， ∵AH 垂直于准线，∴∠FAH ＝60°，故△AHF 为等边三角形.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫m ，m 24，m >0， 过F 作FM ⊥AH 于M ，则在Rt△FAM 中，|AM |＝12|AF |，∴m 24－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫m 24＋1，解得m ＝23，故等边三角形AHF 的边长|AH |＝4， ∴△AHF 的面积是12×4×4sin60°＝4 3.故选C.6.(2019·某某模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点，若|AB |＝6，则△AOB 的面积为( )A.6B.22C.23D.4 答案 A解析 根据题意，抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0).设直线AB 的斜率为k ，可得直线AB 的方程为y ＝k (x －1)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x 消去x ，得 y 2－4k y －4＝0，y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－4， 则x 1＋x 2＝y 1＋y 2k ＋2＝4k2＋2， |AB |＝x 1＋x 2＋p ＝4k2＋2＋2＝6， 则k ＝±2， |y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝26，S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF ＝12|OF |·|y 1－y 2|＝12×1×26＝6，∴△AOB 的面积为 6.7.(2020·某某模拟)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴的交点为P ，点A 在抛物线C 上，过点A 作AA ′⊥l ，垂足为A ′，若四边形AA ′PF 的面积为14，且cos∠FAA ′＝35，则抛物线C 的方程为( )A.y 2＝8x B.y 2＝4x C.y 2＝2x D.y 2＝x 答案 B解析 如图所示，过点F 作FF ′⊥AA ′，垂足为F ′，设|AF ′|＝3x ，因为cos∠FAA ′＝35，故|AF |＝5x ，|FF ′|＝4x ，由抛物线定义可知，|AF |＝|AA ′|＝5x ， 则|A ′F ′|＝2x ＝p ，故x ＝p2.四边形AA ′PF 的面积S ＝|PF |＋|AA ′|·|PA ′|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋52p ·2p 2＝14，解得p ＝2，故抛物线C 的方程为y 2＝4x .8.(2019·某某模拟)从抛物线y 2＝4x 上一点P 引其准线的垂线，垂足为M ，设抛物线的焦点为F ，且|PF |＝5，则△MPF 的面积为________.答案 10解析 由抛物线的定义可知|PF |＝|PM |＝5，并且点P 到准线的距离x P ＋1＝5， ∴x P ＝4，y P ＝±4， ∴S ＝12×5×4＝10.9.(2020·江淮十校联考)已知直线l 是抛物线y 2＝2px (p >0)的准线，半径为3的圆过抛物线顶点O 和焦点F 与l 相切，则抛物线的方程为________. 答案 y 2＝8x解析 ∵半径为3的圆与抛物线的准线l 相切， ∴圆心到准线的距离等于3，又∵圆心在OF 的垂直平分线上，|OF |＝p2，∴p 2＋p4＝3，∴p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x . 10.已知抛物线C ：y 2＝8x 与点M (－2,2)，过C 的焦点且斜率为k 的的直线与C 交于A ，B 两点.若MA →·MB →＝0，则k ＝________. 答案 2解析 抛物线C 的焦点为F (2,0)， 则直线方程为y ＝k (x －2)，与抛物线方程联立，消去y 化简得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， 则抛物线C 与直线必有两个交点.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4＋8k2，x 1x 2＝4，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4k ＝8k，y 1y 2＝k 2[x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4]＝－16.因为MA →·MB →＝(x 1＋2，y 1－2)·(x 2＋2，y 2－2) ＝(x 1＋2)(x 2＋2)＋(y 1－2)(y 2－2)＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2－2(y 1＋y 2)＋8＝0， 将上面各个量代入，化简得k 2－4k ＋4＝0， 所以k ＝2.11.一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸(单位：m)如图，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m ，车与箱共高4.5m ，此车能否通过隧道？说明理由.解 建立如图所示的平面直角坐标系，设矩形的边与抛物线的接点为A ，B ，则A (－3，－3)，B (3，－3).设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， 将B 点坐标代入得9＝－2p ·(－3)， 所以p ＝32.所以抛物线方程为x 2＝－3y (－3≤y ≤0). 因为车与箱共高4.5m ，所以集装箱上表面距抛物线形隧道拱顶0.5m. 设抛物线上点D 的坐标为(x 0，－0.5)， 则x 20＝32，所以|x 0|＝32＝62， 所以2|x 0|＝6<3，故此车不能通过隧道.12.(2020·某某“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)已知点F (0,1)，点A (x ，y )(y ≥0)为曲线C 上的动点，过A 作x 轴的垂线，垂足为B ，满足|AF |＝|AB |＋1.(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于两个不同点P ，Q (非原点)，过P ，Q 两点分别作曲线C 的切线，两切线的交点为M ，设线段PQ 的中点为N ，若|FM |＝|FN |，求直线l 的斜率. 解 (1)由|AF |＝|AB |＋1，得x 2＋y －12＝|y |＋1，化简得曲线C 的方程为x 2＝4y . (2)由题意可知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，联立x 2＝4y ，得x 2－4kx －4b ＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4b ， 设N (x N ，y N )，则x N ＝x 1＋x 22＝2k ，y N ＝2k 2＋b ，又曲线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝x 24，y ′＝x2，∴过P 点的切线斜率为x 12，切线方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －14x 21.同理，过Q 点的切线方程为y ＝x 22x －14x 22，联立两切线可得交点M 的坐标为x M ＝x 1＋x 22＝2k ，y M ＝14x 1x 2＝－b .所以x M ＝x N ，又因为|FM |＝|FN |，所以MN 中点纵坐标为1，即2k 2＋b －b2＝1，k ＝±1，故直线l 的斜率为k ＝±1.13.长为2的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝x 上滑动，则线段AB 的中点M 到y 轴距离的最小值是________. 答案 34解析 由题意知，2大于抛物线的通径，即AB 可以过焦点.设抛物线y 2＝x 的焦点为F ，准线为l ，点A ，B ，M 在l 上的射影分别为点C ，D ，N ，连接AC ，BD ，MN ，如图.由梯形的中位线定理，可得|MN |＝12(|AC |＋|BD |).连接AF ，BF ，根据抛物线的定义得|AF |＝|AC |，|BF |＝|BD |.根据平面几何知识，可得|AF |＋|BF |≥|AB |，当且仅当点F 在AB 上时取等号， ∴|AC |＋|BD |≥|AB |＝2，∴|MN |＝12(|AC |＋|BD |)≥12|AB |＝1.设点M 的横坐标为a ，抛物线y 2＝x 的准线方程为x ＝－14，则|MN |＝a ＋14≥1，解得a ≥34.因此，当且仅当线段AB 为经过抛物线焦点的弦时，AB 的中点M 到y 轴距离的最小值为34.14.过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点F 作直线l 交C 于A ，B 两点，设D (0,3).若(DA →＋DB →)·AB →＝0，则弦AB 的长为________. 答案 4解析 若(DA →＋DB →)·AB →＝0， 则线段AB 的垂直平分线过点D .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21＝4y 1，x 22＝4y 2， 两式相减得x 1＋x 2＝4y 1－y 2x 1－x 2＝4k AB ，即k AB ＝x 1＋x 24，则弦AB 的中点与点D (0,3)的连线的斜率 k ＝y 1＋y 22－3x 1＋x 22＝－4x 1＋x 2，所以y 1＋y 2＝2，所以|AB |＝y 1＋y 2＋2＝4.15.(2019·全国100所名校联考)已知点P (1,2)在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若Rt△PAB 内接于该抛物线，且∠A ＝90°，则点B 的纵坐标的取值X 围是________. 答案 (－∞，－6)∪[10，＋∞)解析 由题意可得抛物线的方程为y 2＝4x ，设A (x ，y )，B (x 0，y 0)，△PAB 的外接圆的方程为(x －1)(x －x 0)＋(y －2)(y －y 0)＝0，所以(4x －4)(4x －4x 0)＋16(y －2)(y －y 0)＝0， 即(y 2－4)(y 2－y 20)＋16(y －2)(y －y 0)＝0， 化简可得y 0＝－16y ＋2－y ＝－16y ＋2－(y ＋2)＋2. 令t ＝－(y ＋2)，且y ≠y P ，则y 0＝－16y ＋2－y ＝16t＋t ＋2∈(－∞，－6)∪[10，＋∞). 16.已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过点F 且倾斜率为π4的直线l 被E 截得的线段长为8.(1)求抛物线E 的方程；(2)已知点C 是抛物线上的动点，以C 为圆心的圆过点F ，且圆C 与直线x ＝－12相交于A ，B两点，求|FA |·|FB |的取值X 围.解 (1)由题意，直线l 的方程为y ＝x －p 2，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px ，消去y 整理得x 2－3px ＋p 24＝0.设直线l 与抛物线E 的交点的横坐标分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝3p ，故直线l 被抛物线E 截得的线段长为x 1＋x 2＋p ＝4p ＝8，得p ＝2， ∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)由(1)知，F (1,0)，设C (x 0，y 0)，则圆C 的方程是(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝(x 0－1)2＋y 20. 令x ＝－12，得y 2－2y 0y ＋3x 0－34＝0.又∵y 20＝4x 0，∴Δ＝4y 20－12x 0＋3＝y 20＋3>0恒成立.设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y 4， 则y 3＋y 4＝2y 0，y 3y 4＝3x 0－34.∴|FA |·|FB |＝y 23＋94·y 24＋94＝y 3y 42＋94y 23＋y 24＋8116＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－342＋94⎣⎢⎡⎦⎥⎤4y 20－2⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 0－34＋8116＝9x 20＋18x 0＋9＝3|x 0＋1|. ∵x 0≥0，∴|FA |·|FB |∈[3，＋∞).。

9.7 抛物线考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的简单应用，了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的____，直线l 叫做抛物线的____．F ______F ______ F ______(x 0，y 0))21．抛物线y ＝8x 2的准线方程为( )．A ．x ＝－2B ．x ＝－12C ．y ＝－18D ．y ＝－1322．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为( )．A ．4B ．－14C ．－4D ．144．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为__________．5．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到定直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为__________．一、抛物线的定义及其应用【例1－1】 设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )．A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16【例1－2】 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是( )． A ．72 B ．4 C ．92 D ．5 方法提炼利用抛物线的定义可解决的常见问题：(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上． 请做演练巩固提升1,3二、抛物线的标准方程及其几何性质【例2－1】 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )．A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)【例2－2】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．方法提炼1．求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以，只需一个条件确定p 值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．抛物线的标准方程及其性质的应用由抛物线的方程可求x ，y 的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p 值，确定焦点坐标等．提醒：抛物线方程中的参数p ＞0，其几何意义是焦点到准线的距离． 请做演练巩固提升2,4要注重抛物线定义的运用【典例】 (12分)(2012课标全国高考)设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．规范解答：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝2p .(1分)由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA |＝2p .(2分) 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42， 解得p ＝－2(舍去)，p ＝2.所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(4分)(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上， 所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.(6分)由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33.(7分) 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0.解得b ＝－p6.(9分)因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.(12分) 答题指导：1.对抛物线的考查多在定义上出题目； 2．解决抛物线问题多考虑开口方向及焦点等问题．1．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )．A ．线段B ．圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分2．(2012课标全国高考)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )．A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．83．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )．A.34 B ．1 C.54 D.744．已知抛物线y ＝2px 2(p ＞0)的焦点为F ，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，过P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．相等 焦点 准线2．⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2 1 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 基础自测1．D 解析：抛物线的方程可化为x 2＝18y ，即2p ＝18，p ＝116，p 2＝132，所以准线方程为y ＝－132.2．D 解析：点A 到抛物线焦点的距离等于点A 到抛物线准线的距离，即4－(－1)＝5.3．B 解析：由x 2＝1a y ，∴其准线方程为y ＝－14a .∴a ＝－14.4．6 解析：由双曲线x 26－y 23＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，得p2＝3，p ＝6.5．y 2＝8x 解析：由条件可知P 点的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)，准线为x ＝－2， 所以p2＝2，p ＝4，轨迹方程为y 2＝2px ＝8x .考点探究突破【例1－1】 B 解析：如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°.又AP ∥MF ，所以∠PAF ＝60°. 又|PA |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形． 故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8.【例1－2】 C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12. 又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92.【例2－1】 C 解析：易知F (0,2)，准线方程为y ＝－2. 圆心到准线的距离为4，则|FM |＞4，即|FM |＝x 02＋(y 0－2)2＝8y 0＋(y 0－2)2＞4，∴y 02－4y 0＋4＋8y 0＞16，y 02＋4y 0－12＞0，解得y 0＞2或y 0＜－6(舍)． ∴y 0的取值范围是(2，＋∞)．【例2－2】 解法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 解法二：如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5， 而|MN |＝3＋p2，∴3＋p2＝5，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6. 演练巩固提升1．D 解析：连接PC 1，即为P 到直线C 1D 1的距离．根据题意，在平面BB 1C 1C 内点P 到定点C 1的距离等于到定直线BC 的距离，符合抛物线定义，轨迹两个端点分别为B 1及CC 1的中点，∴P 点的轨迹为抛物线的一部分．2．C 解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝1，抛物线的准线为x ＝－4，且|AB |＝43，故可得A (－4,23)，B (－4，－23)，将点A 的坐标代入双曲线方程得a ＝4，故a ＝2，故实轴长为4.3．C 解析：如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.4．138 解析：由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上得p ＝18， 故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，点F 坐标为(0,1)，准线为y ＝－1，∴|FM |＝2，|PQ |＝1＋14＝54，|MQ |＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋2×1＝138.。

§9.7抛物线考纲展示►1.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程.2.了解抛物线的简单应用，掌握其几何性质.3.理解数形结合思想.考点1 抛物线的定义及应用抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的________的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的________，直线l叫做抛物线的________．答案：距离相等焦点准线[教材习题改编]动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．答案：y2＝4x解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.抛物线的定义：关注应用．过抛物线y2＝8x的焦点且倾斜角为45°的直线与抛物线交于点A，B，则|AB|＝________.答案：16解析：解法一：依题意，过抛物线焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，将y＝x－2代入y2＝8x，得x2－12x＋4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝12，x1x2＝4，所以|AB|＝1＋12·x1＋x22－4x1x2＝2×122－16＝16.解法二：过抛物线焦点且倾斜角为45°的直线方程为y＝x－2，将y＝x－2代入y2＝8x，得x 2－12x ＋4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12. 由抛物线定义知，|AB |＝x 1＋x 2＋4＝16.[考情聚焦] 与抛物线定义相关的最值问题常涉及距离最短、距离和最小等等． 主要有以下几个命题角度： 角度一到焦点与定点距离之和最小问题[典题1] [2017·江西赣州模拟]若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的点M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)[答案] D[解析] 过点M 作左准线的垂线，垂足是N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M 的坐标为(2,2)．角度二到点与准线的距离之和最小问题[典题2] [2017·河北邢台摸底]已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．[答案] 5[解析] 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，则|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度三到定直线的距离最小问题[典题3] 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3 [答案] B[解析] 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.角度四焦点弦中距离之和最小问题[典题4] 已知抛物线y 2＝4x ，过焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，过A ，B 分别作y 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，则|AC |＋|BD |的最小值为________．[答案] 2[解析] 由题意知F (1,0)，|AC |＋|BD |＝|AF |＋|FB |－2＝|AB |－2，即|AC |＋|BD |取得最小值时当且仅当|AB |取得最小值．依抛物线定义知，当|AB |为通径，即|AB |＝2p ＝4时为最小值，所以|AC |＋|BD |的最小值为2.[点石成金] 与抛物线有关的最值问题的两个转化策略转化策略一：将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得以解决．转化策略二：将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决．考点2 抛物线的标准方程与性质1.抛物线的标准方程(1)顶点在坐标原点，焦点在x 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：________； (2)顶点在坐标原点，焦点在x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：________； (3)顶点在坐标原点，焦点在y 轴正半轴上的抛物线的标准方程为：________； (4)顶点在坐标原点，焦点在y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为：________. 答案：(1)y 2＝2px (p >0) (2)y 2＝－2px (p >0) (3)x 2＝2py (p >0) (4)x 2＝－2py (p >0) 2．抛物线的几何性质答案：O (0,0) y ＝0 x ＝0 1(1)[教材习题改编]若抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值是________． 答案：－18解析：抛物线y ＝ax 2的标准方程为x 2＝1ay ，∴－14a ＝2，∴a ＝－18.(2)[教材习题改编]将抛物线C 1：x 2＝12y 绕原点逆时针旋转90°，得到抛物线C 2，则C 2的焦点坐标是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0 解析：易知抛物线C 2的方程为y 2＝－12x ，其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－18，0.抛物线的标准方程：注意一次项系数的符号．抛物线x 2＋2py ＝0的焦点到准线的距离为4，则p ＝________. 答案：±4解析：抛物线x 2＋2py ＝0的标准方程为x 2＝－2py ，依题意知|p |＝4，所以p ＝±4.求抛物线的标准方程：待定系数法．抛物线的开口向左，过抛物线的焦点且与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段AB 的长为4，则该抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝－4x解析：依题意设抛物线方程为y 2＝－2px (p >0)，则其焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－p2，0，易得|AB |＝2p ＝4，所以p ＝2， 所以所求抛物线方程为y 2＝－4x .[典题5] (1)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线的焦点坐标为( )A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．(0，－1)D ．(0,1) [答案] B[解析] 抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p 2且过点(－1,1)，故－p2＝－1，解得p ＝2.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．(2)已知双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2.若抛物线C 2：x 2＝2py (p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( )A ．x 2＝833yB ．x 2＝1633yC ．x 2＝8y D ．x 2＝16y[答案] D[解析] ∵x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2，∴c a ＝2，即c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝4，∴ba ＝ 3.则x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线方程为y ＝±bax ，即y ＝±3x . x 2＝2py (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2，由题意得p21＋32＝2，解得p ＝8.故C 2的方程为x 2＝16y .[点石成金] 1.求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以只需一个条件确定p 的值即可．2．利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程．3．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.若抛物线y 2＝4m x 的准线经过椭圆x 27＋y23＝1的左焦点，则实数m 的值为________．答案：12解析：抛物线y 2＝4m x 的准线方程为x ＝－1m ，椭圆x 27＋y23＝1的左焦点坐标为(－2,0)，由题意知－1m ＝－2，所以实数m ＝12.考点3 焦点弦问题[典题6] 已知过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1<x 2)两点，且|AB |＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC →＝OA →＋λOB →，求λ的值． [解] (1)由题意得，直线AB 的方程为y ＝22·⎝⎛⎭⎪⎫x －p 2，与y 2＝2px 联立，消去y 得4x 2－5px ＋p 2＝0， 所以x 1＋x 2＝5p4.由抛物线定义得，|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝5p4＋p ＝9，所以p ＝4，从而该抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由(1)，得4x 2－5px ＋p 2＝0，即x 2－5x ＋4＝0，则x 1＝1，x 2＝4， 于是y 1＝－22，y 2＝42， 从而A (1，－22)，B (4,42)．设C (x 3，y 3)，则OC →＝(x 3，y 3)＝(1，－22)＋λ(4,42)＝(4λ＋1,42λ－22)． 又y 23＝8x 3，所以[22(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)， 整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[点石成金] 解决焦点弦问题的关键是“设而不求”方法的应用，解题时，设出直线与抛物线两交点的坐标，根据抛物线的方程正确表示出焦点弦长，再利用已知条件求解.设抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，经过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点C 在抛物线的准线上，且BC ∥x 轴．求证：直线AC 经过原点O .证明：设直线AB 的方程为x ＝my ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2pmy －p 2＝0. 由根与系数的关系，得y A y B ＝－p 2，即y B ＝－p 2y A.∵BC ∥x 轴，且点C 在准线x ＝－p2上，∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，y B ，则k OC ＝y B －p 2＝2p y A ＝y A x A ＝k OA . ∴直线AC 经过原点O .考点4 直线与抛物线的位置关系[典题7] 已知A (8,0)，B ，C 两点分别在y 轴上和x 轴上运动，并且满足AB →·BP →＝0，BC→＝CP →，(1)求动点P 的轨迹方程；(2)是否存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M ，N 两点，且满足QM →·QN →＝97，其中Q (－1,0)，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．[解] (1)设B (0，b )，C (c,0)，P (x ，y )， 则AB →＝(－8，b )，BP →＝(x ，y －b )，BC →＝(c ，－b )，CP →＝(x －c ，y )．∴AB →·BP →＝－8x ＋b (y －b )＝0，①∴由BC →＝CP →，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝x －c ，－b ＝y ，将b ＝－y 代入①，得y 2＝－4x . ∴动点P 的轨迹方程为y 2＝－4x .(2)当直线l 的斜率不存在时，x ＝8与抛物线没有交点，不合题意． 当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ， 则l ：y ＝k (x －8)． 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则QM →＝(x 1＋1，y 1)，QN →＝(x 2＋1，y 2)，由QM →·QN →＝97，得(x 1＋1)(x 2＋1)＋y 1y 2＝97.即x 1x 2＋x 1＋x 2＋1＋k 2(x 1－8)(x 2－8)＝97， ∴(1＋k 2)x 1x 2＋(1－8k 2)(x 1＋x 2)＋64k 2＝96.② 将y ＝k (x －8)代入y 2＝－4x ， 得k 2x 2＋(4－16k 2)x ＋64k 2＝0. ∵直线l 与y 2＝－4x 交于不同的两点， ∴Δ＝(4－16k 2)2－4×k 2×64k 2＞0， 即－24＜k ＜24， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝16k 2－4k2，x 1x 2＝64.代入②式，得64(1＋k 2)＋(1－8k 2)16k 2－4k2＋64k 2＝96. 整理得k 2＝14，∴k ＝±12.∵k ＝±12∉⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24，∴这样的直线l 不存在．综上，不存在过点A 的直线l 与动点P 的轨迹交于M ，N 两点，且满足OM →·ON →＝97. [点石成金] 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；2．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB |＝x 1＋x 2＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．3．涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.如图，已知抛物线C 1：y ＝14x 2，圆C 2：x 2＋(y －1)2＝1，过点P (t,0)(t ＞0)作不过原点O的直线PA ，PB 分别与抛物线C 1和圆C 2相切，A ，B 为切点．(1)求点A ，B 的坐标； (2)求△PAB 的面积．解：(1)由题意知，直线PA 的斜率存在，故可设直线PA 的方程为y ＝k (x －t )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －t ，y ＝14x 2消去y ，整理得x 2－4kx ＋4kt ＝0，由于直线PA 与抛物线相切，得k ＝t .因此，点A 的坐标为(2t ，t 2)．设圆C 2的圆心为D (0,1)，点B 的坐标为(x 0，y 0)． 由题意知，点B ，O 关于直线PD 对称，故⎩⎪⎨⎪⎧y 02＝－x 02t ＋1，x 0t －y 0＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2t1＋t 2，y 0＝2t21＋t 2，因此，点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 2，2t 21＋t 2.(2)由(1)知，|AP |＝t ·1＋t 2，直线PA 的方程为tx －y －t 2＝0. 点B 到直线PA 的距离是d ＝t 21＋t2.设△PAB 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AP |·d ＝t32.[方法技巧] 1.求抛物线的标准方程时，一般要用待定系数法求出p 值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，以及是哪一种标准方程．2．抛物线的离心率e ＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简化．3．设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有以下几个结论：(1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)；(3)1|FA |＋1|FB |＝2p； (4)以AF 为直径的圆与y 轴相切； (5)以弦AB 为直径的圆与准线相切．[易错防范] 直线与抛物线结合的问题，不要忘记验证判别式．真题演练集训1．[2015·浙江卷]如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1 B.|BF |2－1|AF |2－1 C.|BF |＋1|AF |＋1 D.|BF |2＋1|AF |2＋1答案：A解析：由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知，焦点F (1,0)，作准线l ， 则l 的方程为x ＝－1.∵ 点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1. 在△CAN 中，BM ∥AN ， ∴ |BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1. 2．[2016·新课标全国卷Ⅰ]以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案：B解析：由题意，不妨设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，由|AB |＝42，|DE |＝25，可取A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4p ，22，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，5，设O 为坐标原点，由|OA |＝|OD |，得16p 2＋8＝p24＋5，解得p ＝4，故选B.3．[2016·四川卷]设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p >0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为( )A.33 B.23 C.22D ．1 答案：C解析：设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，易知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则由|PM |＝2|MF |，得M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫p ＋t 22p 3，t 3. 当t ＝0时，直线OM 的斜率k ＝0； 当t ≠0时，直线OM 的斜率k ＝tp ＋t 22p ＝1p t ＋t2p，所以|k |＝1p |t |＋|t |2p ≤12p |t |·|t |2p＝22，当且仅当p |t |＝|t |2p 时等号成立，于是直线OM 的斜率的最大值为22，故选C.4．[2016·天津卷]设抛物线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数，p ＞0)的焦点为F ，准线为l .过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设C ⎝ ⎛⎭⎪⎫72p ，0，AF 与BC 相交于点E .若|CF |＝2|AF |，且△ACE 的面积为32，则p 的值为________．答案： 6解析：抛物线的普通方程为y 2＝2px ，故F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，l ：x ＝－p 2.由|CF |＝2|AF |，得|AF |＝32p ，不妨设点A (x ，y )在第一象限，则x ＋p 2＝3p2，即x ＝p ，所以y ＝2p .易知△ABE ∽△FCE ，|AB ||CF |＝|AE ||EF |＝12，所以|EF |＝2|AE |，所以△ACF 的面积等于△AEC 的面积的3倍，即S △ACF ＝92， 所以S △ACF ＝12×3p ×2p ＝92，解得p ＝ 6.5．[2016·浙江卷]若抛物线y 2＝4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是________．答案：9解析：由于抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线为x ＝－1，设点M 的坐标为(x ，y )，则x ＋1＝10，所以x ＝9.故M 到y 轴的距离是9.课外拓展阅读对抛物线的标准方程认识不准而致误分析[典例] 抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点与双曲线C 2：x 23－y 2＝1的右焦点的连线交C 1于第一象限的点M .若C 1在点M 处的切线平行于C 2的一条渐近线，则p ＝( )A.316 B.38 C.233 D.433[解析] 抛物线C 1：x 2＝2py (p >0)的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，双曲线x 23－y 2＝1的右焦点坐标为(2,0)，两点连线的方程为y ＝－p4(x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p4x －，y ＝12p x 2，消去y ，得2x 2＋p 2x －2p 2＝0. 设点M 的横坐标为a ，易知在点M 处切线的斜率存在，则在点M 处切线的斜率为y ′x ＝a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12p x 2′x ＝a ＝a p ， 又因为双曲线x 23－y 2＝1的渐近线方程为x3±y ＝0，其与切线平行，所以ap ＝33，即a ＝33p ， 代入2x 2＋p 2x －2p 2＝0，得p ＝433或p ＝0(舍去)．[答案] D。

高考数学一轮复习第九章平面解析几何第7讲抛物线教案理（含解析）新人教A版第7讲抛物线基础知识整合1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离□01相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的□02准线．其数学表达式：□03|MF|＝d(其中d为点M到准线的距离)．2．抛物线的标准方程与几何性质抛物线焦点弦的几个常用结论设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则： (1)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2psin 2α(α为弦AB 的倾斜角)．(3)以弦AB 为直径的圆与准线相切．(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p .1．抛物线y ＝2x 2的准线方程为( ) A ．y ＝－18B ．y ＝－14C ．y ＝－12D ．y ＝－1答案 A解析 由y ＝2x 2，得x 2＝12y ，故抛物线y ＝2x 2的准线方程为y ＝－18，故选A.2．(2019·黑龙江联考)若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( )A.194 B.92C ．3D ．4 答案 D解析 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1.根据抛物线的定义可知5＝n ＋1，解得n ＝4.故选D.3．已知抛物线C ：y ＝x 28的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，且|AF |＝2y 0，则x 0＝( )A ．2B ．±2 C．4 D ．±4 答案 D解析 由y ＝x 28，得x 2＝8y ，∴抛物线C 的准线方程为y ＝－2，焦点为F (0,2)．由抛物线的性质及题意，得|AF |＝2y 0＝y 0＋2.解得y 0＝2，∴x 0＝±4.故选D.4．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝6x C ．y 2＝8x D ．y 2＝10x答案 C解析 ∵抛物线y 2＝2px ，∴准线方程为x ＝－p2.∵点P (2，y 0)到其准线的距离为4.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪－p2－2＝4.∴p ＝4，∴抛物线的标准方程为y 2＝8x .5．(2019·广东中山统测)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点．如果x 1＋x 2＝6，那么|AB |＝( )A ．6B ．8C ．9D ．10 答案 B解析 由题意知，抛物线y 2＝4x 的准线方程是x ＝－1.∵过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2.又∵x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.故选B.6．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．2 2C ．2 3D ．4 答案 C解析 利用|PF |＝x P ＋2＝42，可得x P ＝32， ∴y P ＝±2 6.∴S △POF ＝12|OF |·|y P |＝2 3.故选C.核心考向突破考向一 抛物线的定义角度1 到焦点与到定点距离之和最小问题例1 (2019·赣州模拟)若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线y 2＝2x 的焦点，点M 在抛物线上移动时，使|MF |＋|MA |取得最小值的M 的坐标为( )A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2) D ．(2,2)答案 D解析 过M 点作准线的垂线，垂足为N ，则|MF |＋|MA |＝|MN |＋|MA |，当A ，M ，N 三点共线时，|MF |＋|MA |取得最小值，此时M (2,2)．角度2 到点与准线的距离之和最小问题例2 (2019·邢台模拟)已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是________．答案 5解析 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5.角度3 到定直线的距离最小问题例3 已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2 C.115D ．3 答案 B解析 由题意可知l 2：x ＝－1 是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.触类旁通与抛物线有关的最值问题的两个转化策略(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解．2将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决.)即时训练 1.(2019·潍坊质检)在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2) 答案 B解析 如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义，知|PF |＝|PN |，∴|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|，即当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号．∴P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1，则可排除A ，C ，D ，故选B.2．已知P 是抛物线y 2＝4x 上一动点，则点P 到直线l ：2x －y ＋3＝0和y 轴的距离之和的最小值是( )A. 3B. 5 C ．2 D.5－1 答案 D解析 由题意知，抛物线的焦点为F (1,0)．设点P 到直线l 的距离为d ，由抛物线的定义可知，点P 到y 轴的距离为|PF |－1，所以点P 到直线l 的距离与到y 轴的距离之和为d ＋|PF |－1.易知d ＋|PF |的最小值为点F 到直线l 的距离，故d ＋|PF |的最小值为|2＋3|22＋－12＝5，所以d ＋|PF |－1的最小值为5－1.考向二 抛物线的方程例4 (1)(2019·运城模拟)已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线的方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3y D ．x 2＝3y答案 D解析 设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a 2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y . (2)抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点为F ，其准线与双曲线x 23－y 23＝1相交于A ，B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝________.答案 6解析 抛物线的准线方程为y ＝－p2，设A ，B 的横坐标分别为x A ，x B ，则|x A |2＝|x B |2＝3＋p 24，所以|AB |＝|2x A |.又焦点到准线的距离为p ，由等边三角形的特点，得p ＝32|AB |，即p 2＝34×4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋p 24，所以p ＝6. 触类旁通求抛物线的标准方程应注意的几点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种． 2要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系. 3要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题. 即时训练 3.(2019·上海模拟)抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且|MF |＝4|OF |，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝6x B ．y 2＝8x C ．y 2＝16x D ．y 2＝152x答案 B解析 设M (x ，y )，∵|OF |＝p 2，|MF |＝4|OF |，∴|MF |＝2p ，由抛物线的定义知x ＋p2＝2p ，∴x ＝32p ，∴y ＝±3p ，又△MFO 的面积为43，∴12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．∴抛物线的方程为y 2＝8x .4．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p >0)交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．答案 x 2＝3y解析 设直线l 的方程为y ＝3x ＋b ，联立⎩⎨⎧y ＝3x ＋b ，x 2＝2py ，消去y ，得x 2＝2p (3x ＋b )．即x 2－23px －2pb ＝0，∴x 1＋x 2＝23p ＝3.∴p ＝32，∴抛物线的方程为x 2＝3y .考向三 抛物线的性质例5 (1)已知抛物线y 2＝2px (p >0)，过其焦点且斜率为－1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为( )A ．x ＝1B ．x ＝2C ．x ＝－1D ．x ＝－2 答案 C解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0，所以过焦点且斜率为－1的直线方程为y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，代入抛物线方程，整理得x 2－3px ＋p 24＝0，由AB 中点的横坐标为3，得3p ＝6，解得p ＝2，故抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1.(2)(2018·北京高考)已知直线l 过点(1,0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________．答案 (1,0)解析 如图，由题意可得，点P (1,2)在抛物线上，将P (1,2)代入y 2＝4ax ，解得a ＝1，∴y 2＝4x ，由抛物线方程可得，2p ＝4，p ＝2，p2＝1，∴焦点坐标为(1,0)．触类旁通1涉及抛物线上的点到焦点的距离或到准线的距离时，常可相互转化. 2应用抛物线的几何性质解题时，常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性.即时训练 5.(2016·全国卷Ⅰ)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ，B 两点，交C 的准线于D ，E 两点．已知|AB |＝42，|DE |＝25，则C 的焦点到准线的距离为( )A ．2B ．4C ．6D ．8 答案 B解析 不妨设C ：y 2＝2px (p >0)，A (x 1,22)，则x 1＝2222p＝4p，由题意可知|OA |＝|OD |，得⎝ ⎛⎭⎪⎫4p 2＋8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＋5，解得p ＝4.故选B.6．在平面直角坐标系xOy 中有一定点A (4,2)，若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________．答案 x ＝－52解析 OA 的中点的坐标为(2,1)，斜率k OA ＝12，OA 的垂直平分线的方程为y －1＝－2(x－2)，即y ＝－2x ＋5.又∵抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点在x 轴上，即y ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，y ＝－2x ＋5，得抛物线的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，∴52＝p 2，∴抛物线的准线方程为x ＝－52. 考向四 直线与抛物线的位置关系例6 (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝2x ，点A (2,0)，B (－2，0)，过点A 的直线l 与C 交于M ，N 两点．(1)当l 与x 轴垂直时，求直线BM 的方程；。

一、知识梳理１．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：（１）在平面内．（２）动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等．（３）定点不在定直线上．２．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y２＝２px（p＞0）y２＝—２px（p＞0）x２＝２py（p＞0）x２＝—２py（p＞0）p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O（0，0）对称轴y＝0x＝0焦点F错误!F错误!F错误!F错误!离心率e＝１准线方程x＝—错误!x＝错误!y＝—错误!y＝错误!范围x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 开口方向向右向左向上向下焦半径（其中P （x0，y0））|PF|＝x0＋错误!|PF|＝—x0＋错误!|PF|＝y0＋错误!|PF|＝—y0＋错误!１．抛物线y２＝２px（p＞0）上一点P（x0，y0）到焦点F错误!的距离|PF|＝x0＋错误!，也称为抛物线的焦半径．２．y２＝ax（a≠0）的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!.３．如图，设A（x１，y１），B（x２，y２）．（１）y１y２＝—p２，x１x２＝错误!.（２）|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!（θ为AB的倾斜角）．（３）错误!＋错误!为定值错误!.（４）以AB为直径的圆与准线相切．（５）以AF或BF为直径的圆与y轴相切．二、教材衍化１．过点P（—２，３）的抛物线的标准方程是（）Ａ．y２＝—错误!x或x２＝错误!yＢ．y２＝错误!x或x２＝错误!yＣ．y２＝错误!x或x２＝—错误!yＤ．y２＝—错误!x或x２＝—错误!y解析：选Ａ．设抛物线的标准方程为y２＝kx或x２＝my，代入点P（—２，３），解得k＝—错误!，m＝错误!，所以y２＝—错误!x或x２＝错误!y.故选Ａ．２．抛物线y２＝8x上到其焦点F距离为５的点P有（）Ａ．0个Ｂ．１个Ｃ．２个Ｄ．４个解析：选Ｃ．设P（x１，y１），则|PF|＝x１＋２＝５，y错误!＝8x１，所以x１＝３，y１＝±２错误!.故满足条件的点P有两个．故选Ｃ．３．过抛物线y２＝４x的焦点的直线l交抛物线于P（x１，y１），Q（x２，y２）两点，如果x１＋x２＝6，则|PQ|＝________．解析：抛物线y２＝４x的焦点为F（１，0），准线方程为x＝—１．根据题意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x１＋１＋x２＋１＝x１＋x２＋２＝8．答案：8一、思考辨析判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线．（）（２）若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切．（）（３）若一抛物线过点P（—２，３），则其标准方程可写为y２＝２px（p>0）．（）（４）抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形．（）答案：（１）×（２）×（３）×（４）×二、易错纠偏错误!错误!（１）忽视抛物线的标准形式；（２）忽视p的几何意义；（３）忽视k＝0的讨论；（４）易忽视焦点的位置出现错误．１．抛物线8x２＋y＝0的焦点坐标为（）Ａ．（0，—２）Ｂ．（0，２）Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｃ．由8x２＋y＝0，得x２＝—错误!y.２p＝错误!，p＝错误!，所以焦点为错误!，故选Ｃ．２．已知抛物线C与双曲线x２—y２＝１有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是（）Ａ．y２＝±２错误!xＢ．y２＝±２xＣ．y２＝±４xＤ．y２＝±４错误!x解析：选D.由已知可知双曲线的焦点为（—错误!，0），（错误!，0）．设抛物线方程为y２＝±２px （p＞0），则错误!＝错误!，所以p＝２错误!，所以抛物线方程为y２＝±４错误!x.故选Ｄ．３．设抛物线y２＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是________．解析：由已知可得Q（—２，0），当直线l的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l的方程为y＝k （x＋２），代入抛物线方程，消去y整理得k２x２＋（４k２—8）x＋４k２＝0，当k＝0时，l与抛物线有公共点；当k≠0时，Δ＝6４（１—k２）≥0得—１≤k＜0或0＜k≤１．综上，—１≤k≤１．答案：[—１，１]４．若抛物线的焦点在直线x—２y—４＝0上，则此抛物线的标准方程为________．解析：令x＝0，得y＝—２；令y＝0，得x＝４．所以抛物线的焦点是（４，0）或（0，—２），故所求抛物线的标准方程为y２＝１6x或x２＝—8y.答案：y２＝１6x或x２＝—8y抛物线的定义（典例迁移）设P是抛物线y２＝４x上的一个动点，F为抛物线的焦点，若B（３，２），则|PB|＋|PF|的最小值为________．【解析】如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P１，则|P１Q|＝|P１F|.则有|PB|＋|PF|≥|P１B|＋|P１Q|＝|BQ|＝４．即|PB|＋|PF|的最小值为４．【答案】４【迁移探究１】（变条件）若将本例中“B（３，２）”改为“B（３，４）”，如何求解？解：由题意可知点B（３，４）在抛物线的外部．因为|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，由例题知，F（１，0），所以|PB|＋|PF|≥|BF|＝错误!＝２错误!，即|PB|＋|PF|的最小值为２错误!.【迁移探究２】（变问法）在本例条件下，求点P到点A（—１，１）的距离与点P到直线x＝—１的距离之和的最小值．解：如图，易知抛物线的焦点为F（１，0），准线是x＝—１，由抛物线的定义知点P到直线x＝—１的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A（—１，１）的距离与点P到F（１，0）的距离之和最小，显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点P，此时最小值为错误!＝错误!.【迁移探究３】（变问法）在本例条件下，求点P到直线l１：４x—３y＋6＝0和l２：x＝—１的距离之和的最小值．解：由题可知l２：x＝—１是抛物线y２＝４x的准线，设抛物线的焦点为F（１，0），则动点P到l的距离等于|PF|，故动点P到直线l１和直线l２的距离之和的最小值，即焦点F到直线l１：４x—３y＋6２＝0的距离，所以最小值是错误!＝２．错误!（１）与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关．“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径．（２）注意灵活运用抛物线上一点P（x，y）到焦点F的距离|PF|＝|x|＋错误!或|PF|＝|y|＋错误!.１．（２0２0·江西萍乡一模）已知动圆C经过点A（２，0），且截y轴所得的弦长为４，则圆心C的轨迹是（）Ａ．圆Ｂ．椭圆Ｃ．双曲线Ｄ．抛物线解析：选Ｄ．设圆心C（x，y），弦为BD，过点C作CE⊥y轴，垂足为E，则|BE|＝２，则有|CA|２＝|BC|２＝|BE|２＋|CE|２，所以（x—２）２＋y２＝２２＋x２，化为y２＝４x，则圆心C的轨迹为抛物线．故选Ｄ．２．（２0２0·成都模拟）已知抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点为F，准线l：x＝—１，点M在抛物线C上，点M在直线l：x＝—１上的射影为A，且直线AF的斜率为—错误!，则△MAF的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．２错误!Ｃ．４错误!Ｄ．8错误!解析：选Ｃ．如图所示，设准线l与x轴交于点N.则|FN|＝２．因为直线AF的斜率为—错误!，所以∠AFN＝60°.所以∠MAF＝60°，|AF|＝４．由抛物线的定义可得|MA|＝|MF|，所以△AMF是边长为４的等边三角形．所以S△AMF＝错误!×４２＝４错误!.故选Ｃ．抛物线的标准方程（师生共研）如图，过抛物线y２＝２px（p＞0）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若|BC|＝２|BF|，且|AF|＝３，则此抛物线的方程为（）Ａ．y２＝9xＢ．y２＝6xＣ．y２＝３xＤ．y２＝错误!x【解析】如图，过点A，B分别作准线的垂线，交准线于点E，D，设|BF|＝a，则由已知得|BC|＝２a，由抛物线定义得|BD|＝a，故∠BCD＝３0°，在直角三角形ACE中，因为|AE|＝|AF|＝３，|AC|＝３＋３a，２|AE|＝|AC|，所以３＋３a＝6，从而得a＝１，|FC|＝３a＝３，所以p＝|FG|＝错误!|FC|＝错误!，因此抛物线的方程为y２＝３x，故选Ｃ．【答案】C错误!求抛物线的标准方程应注意以下几点（１）当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线的标准方程属于四种类型中的哪一种．（２）要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系．（３）要注意参数p的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．１．（２0２0·重庆调研）已知抛物线y２＝２px（p＞0），点C（—４，0），过抛物线的焦点作垂直于x轴的直线，与抛物线交于A，B两点，若△CAB的面积为２４，则以直线AB为准线的抛物线的标准方程是（）Ａ．y２＝４xＢ．y２＝—４xＣ．y２＝8xＤ．y２＝—8x解析：选Ｄ．因为AB⊥x轴，且AB过点F，所以AB是焦点弦，且|AB|＝２p，所以S△CAB＝错误!×２p×错误!＝２４，解得p＝４或—１２（舍），所以抛物线方程为y２＝8x，所以直线AB的方程为x＝２，所以以直线AB为准线的抛物线的标准方程为y２＝—8x.故选Ｄ．２．已知双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，若抛物线C２：x２＝２py（p ＞0）的焦点到双曲线C１的渐近线的距离为２，则抛物线C２的方程是（）Ａ．x２＝１6yＢ．x２＝8yＣ．x２＝错误!yＤ．x２＝错误!y解析：选Ａ．因为双曲线C１：错误!—错误!＝１（a＞0，b＞0）的离心率为２，所以错误!＝２．因为双曲线的渐近线方程为bx±ay＝0，抛物线C２：x２＝２py（p＞0）的焦点错误!到双曲线的渐近线的距离为２，所以错误!＝错误!·错误!＝错误!＝２，解得p＝8，所以抛物线C２的方程是x２＝１6y.抛物线的性质（师生共研）已知抛物线y２＝２px（p>0）的焦点为F，A（x１，y１），B（x２，y２）是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：（１）y１y２＝—p２，x１x２＝错误!；（２）错误!＋错误!为定值；（３）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．【证明】（１）由已知得抛物线焦点坐标为F（错误!，0）．由题意可设直线方程为x＝my＋错误!，代入y２＝２px，得y２＝２p错误!，即y２—２pmy—p２＝0．（*）则y１，y２是方程（*）的两个实数根，所以y１y２＝—p２.因为y错误!＝２px１，y错误!＝２px２，所以y错误!y错误!＝４p２x１x２，所以x１x２＝错误!＝错误!＝错误!.（２）错误!＋错误!＝错误!＋错误!＝错误!.因为x１x２＝错误!，x１＋x２＝|AB|—p，|AB|＝x１＋x２＋p，代入上式，得错误!＋错误!＝错误!＝错误!（定值）．（３）设AB的中点为M（x0，y0），如图，分别过A，B作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则|MN|＝错误!（|AC|＋|BD|）＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!|AB|.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切．错误!抛物线几何性质的应用技巧（１）涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性．（２）与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解．解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式是由交点横坐标还是由交点纵坐标定，是p与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这是正确解题的关键．１．（２0２0·河南郑州二模）已知抛物线C：y２＝２x，过原点作两条互相垂直的直线分别交C于A，B两点（A，B均不与坐标原点重合），则抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．错误!Ｄ．４解析：选Ｃ．设直线AB的方程为x＝my＋t，A（x１，y１），B（x２，y２）．由错误!⇒y２—２my—２t＝0⇒y１y２＝—２t，由OA⊥OB⇒x１x２＋y１y２＝错误!＋y１y２＝0⇒y１y２＝—４，所以t＝２，即直线AB过定点（２，0）．所以抛物线的焦点F到直线AB的距离的最大值为２—错误!＝错误!.故选Ｃ．２．（２0２0·洛阳模拟）已知F是抛物线C１：y２＝２px（p＞0）的焦点，曲线C２是以F为圆心，错误!为半径的圆，直线４x—３y—２p＝0与曲线C１，C２从上到下依次相交于点A，B，C，D，则错误!＝（）Ａ．１6 Ｂ．４Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ａ．因为直线４x—３y—２p＝0过C１的焦点F（C２的圆心），故|BF|＝|CF|＝错误!，所以错误!＝错误!.由抛物线的定义得|AF|—错误!＝x A，|DF|—错误!＝x D.由错误!整理得8x２—１7px＋２p２＝0，即（8x—p）（x—２p）＝0，可得x A＝２p，x D＝错误!，故错误!＝错误!＝错误!＝１6．故选Ａ．直线与抛物线的位置关系（师生共研）（２0１9·高考全国卷Ⅰ）已知抛物线C：y２＝３x的焦点为F，斜率为错误!的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.（１）若|AF|＋|BF|＝４，求l的方程；（２）若错误!＝３错误!，求|AB|.【解】设直线l：y＝错误!x＋t，A（x１，y１），B（x２，y２）．（１）由题设得F错误!，故|AF|＋|BF|＝x１＋x２＋错误!，由题设可得x１＋x２＝错误!.由错误!可得9x２＋１２（t—１）x＋４t２＝0，则x１＋x２＝—错误!.从而—错误!＝错误!，得t＝—错误!.所以l的方程为y＝错误!x—错误!.（２）由错误!＝３错误!可得y１＝—３y２.由错误!可得y２—２y＋２t＝0．所以y１＋y２＝２．从而—３y２＋y２＝２，故y２＝—１，y１＝３．代入C的方程得x１＝３，x２＝错误!.故|AB|＝错误!.错误!解决直线与抛物线位置关系问题的方法（１）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．（２）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x１|＋|x２|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．（３）涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．１．（２0２0·河南郑州二模）已知抛物线C：y２＝４x的焦点为F，直线l过焦点F与抛物线C分别交于A，B两点，且直线l不与x轴垂直，线段AB的垂直平分线与x轴交于点T（５，0），则S△AOB＝（）Ａ．２错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．３错误!解析：选Ａ．如图所示，F（１，0）．设直线l的方程为y＝k（x—１）（k≠0），A（x１，y１），B（x，y２），线段AB的中点E（x0，y0）．２则线段AB的垂直平分线的方程为y＝—错误!（x—５）．联立错误!化为ky２—４y—４k＝0，所以y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，所以y0＝错误!（y１＋y２）＝错误!，x0＝错误!＋１＝错误!＋１，把E错误!代入线段AB的垂直平分线的方程y＝—错误!（x—５），可得错误!＝—错误!·错误!，解得k２＝１．S△OAB＝错误!×１×|y１—y２|＝错误!错误!＝错误!错误!＝２错误!.故选Ａ．２．设A，B为曲线C：y＝错误!上两点，A与B的横坐标之和为２．（１）求直线AB的斜率；（２）设M为曲线C上一点，曲线C在点M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB 的方程．解：（１）设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１≠x２，y１＝错误!，y２＝错误!，x１＋x２＝２，故直线AB的斜率k＝错误!＝错误!＝１．（２）由y＝错误!，得y′＝x.设M（x３，y３），由题设知x３＝１，于是M错误!.设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N（１，１＋m），|MN|＝错误!.将y＝x＋m代入y＝错误!，得x２—２x—２m＝0．由Δ＝４＋8m＞0，得m＞—错误!，x１，２＝１±错误!.从而|AB|＝错误!|x１—x２|＝２错误!.由题设知|AB|＝２|MN|，即错误!＝错误!，解得m＝错误!或m＝—２（舍）．所以直线AB的方程为y＝x＋错误!.解析几何中的“设而不求”“设而不求”是简化运算的一种重要手段，它的精彩在于设而不求，化繁为简．解题过程中，巧妙设点，避免解方程组，常见类型有：（１）灵活应用“点、线的几何性质”解题；（２）根据题意，整体消参或整体代入等．类型一巧妙运用抛物线定义得出与根与系数关系的联系，从而设而不求在平面直角坐标系xOy中，双曲线错误!—错误!＝１（a>0，b>0）的右支与焦点为F的抛物线x２＝２py（p>0）交于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝４|OF|，则该双曲线的渐近线方程为________．【解析】设A（x１，y１），B（x２，y２），由抛物线的定义可知|AF|＝y１＋错误!，|BF|＝y２＋错误!，|OF|＝错误!，由|AF|＋|BF|＝y１＋错误!＋y２＋错误!＝y１＋y２＋p＝４|OF|＝２p，得y１＋y２＝p.k AB＝错误!＝错误!＝错误!.由错误!得k AB＝错误!＝错误!＝错误!·错误!，则错误!·错误!＝错误!，所以错误!＝错误!⇒错误!＝错误!，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x.【答案】y＝±错误!x类型二中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，“点差法”实质上是“设而不求”的一种方法△ABC的三个顶点都在抛物线E：y２＝２x上，其中A（２，２），△ABC的重心G是抛物线E 的焦点，则BC边所在直线的方程为________．【解析】设B（x１，y１），C（x２，y２），边BC的中点为M（x0，y0），易知G错误!，则错误!从而错误!即M错误!，又y错误!＝２x１，y错误!＝２x２，两式相减得（y１＋y２）（y１—y２）＝２（x１—x２），则直线BC 的斜率k BC＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝—１，故直线BC的方程为y—（—１）＝—错误!，即４x ＋４y＋５＝0．【答案】４x＋４y＋５＝0类型三中点弦或对称问题，可以利用“点差法”，但不要忘记验证Δ>0已知双曲线x２—错误!＝１，过点P（１，１）能否作一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？【解】假设存在直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．设A（x１，y１），B（x２，y２），易知x１≠x２，由错误!两式相减得（x１＋x２）（x１—x２）—错误!＝0，又错误!＝１，错误!＝１，所以２（x１—x２）—（y１—y２）＝0，所以k AB＝错误!＝２，故直线l的方程为y—１＝２（x—１），即y＝２x—１．由错误!消去y得２x２—４x＋３＝0，因为Δ＝１6—２４＝—8<0，方程无解，故不存在一条直线l与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点．类型四求解直线与圆锥曲线的相关问题时，若两条直线互相垂直或两直线斜率有明确等量关系，可用“替代法”，“替代法”的实质是设而不求已知F为抛物线C：y２＝２x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l１，l２，直线l１与C交于A，B两点，直线l２与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为________．【解析】法一：由题意知，直线l１，l２的斜率都存在且不为0，F错误!，设l１：x＝ty＋错误!，则直线l１的斜率为错误!，联立方程得错误!消去x得y２—２ty—１＝0．设A（x１，y１），B（x２，y２），则y１＋y２＝２t，y１y２＝—１．所以|AB|＝错误!|y１—y２|＝错误!·错误!＝错误!错误!＝２t２＋２，同理得，用—错误!替换t可得|DE|＝错误!＋２，所以|AB|＋|DE|＝２错误!＋４≥４＋４＝8，当且仅当t２＝错误!，即t＝±１时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8．法二：由题意知，直线l１，l２的斜率都存在且不为0，F错误!，不妨设l１的斜率为k，则l１：y＝k错误!，l２：y＝—错误!错误!.由错误!消去y得k２x２—（k２＋２）x＋错误!＝0，设A（x１，y１），B（x２，y２），则x１＋x２＝１＋错误!.由抛物线的定义知，|AB|＝x１＋x２＋１＝１＋错误!＋１＝２＋错误!.同理可得，用—错误!替换|AB|中k，可得|DE|＝２＋２k２，所以|AB|＋|DE|＝２＋错误!＋２＋２k２＝４＋错误!＋２k２≥４＋４＝8，当且仅当错误!＝２k２，即k＝±１时等号成立，故|AB|＋|DE|的最小值为8．【答案】8[基础题组练]１．（２0１9·高考全国卷Ⅱ）若抛物线y２＝２px（p>0）的焦点是椭圆错误!＋错误!＝１的一个焦点，则p＝（）Ａ．２Ｂ．３Ｃ．４Ｄ．8解析：选Ｄ．由题意，知抛物线的焦点坐标为错误!，椭圆的焦点坐标为（±错误!，0），所以错误!＝错误!，解得p＝8，故选Ｄ．２．（２0２0·河北衡水三模）设F为抛物线y２＝４x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若A，B，C三点坐标分别为（１，２），（x１，y１），（x２，y２），且|错误!|＋|错误!|＋|错误!|＝１0，则x１＋x２＝（）Ａ．6 Ｂ．５Ｃ．４Ｄ．３解析：选Ａ．根据抛物线的定义，知|错误!|，|错误!|，|错误!|分别等于点A，B，C到准线x＝—１的距离，所以由|错误!|＋|错误!|＋|错误!|＝１0，可得２＋x１＋１＋x２＋１＝１0，即x１＋x２＝6．故选Ａ．３．（２0２0·河北邯郸一模）位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为５m，跨径为１２m，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（）Ａ．错误!m Ｂ．错误!mＣ．错误!m Ｄ．错误!m解析：选Ｄ．建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线的解析式为x２＝—２py，p＞0，因为抛物线过点（6，—５），所以３6＝１0p，可得p＝错误!，所以桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为错误!m．故选Ｄ．４．（２0２0·河南安阳三模）已知抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点为F，准线为l，l与x轴的交点为P，点A在抛物线C上，过点A作AA′⊥l，垂足为A′.若四边形AA′PF的面积为１４，且cos∠FAA′＝错误!，则抛物线C的方程为（）Ａ．y２＝xＢ．y２＝２xＣ．y２＝４xＤ．y２＝8x解析：选Ｃ．过点F作FF′⊥AA′，垂足为F′.设|AF′|＝３x，因为cos∠FAA′＝错误!，故|AF|＝５x，则|FF′|＝４x，由抛物线定义可知，|AF|＝|AA′|＝５x，则|A′F′|＝２x＝p，故x＝错误!.四边形AA′PF的面积S＝错误!＝错误!＝１４，解得p＝２，故抛物线C的方程为y２＝４x.５．已知直线y＝k（x＋２）（k＞0）与抛物线C：y２＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝２|FB|，则k＝（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!解析：选Ｄ．设抛物线C：y２＝8x的准线为l，易知l：x＝—２，直线y＝k（x＋２）恒过定点P（—２，0），如图，过A，B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N，由|FA|＝２|FB|，知|AM|＝２|BN|，所以点B为线段AP的中点，连接OB，则|OB|＝错误!|AF|，所以|OB|＝|BF|，所以点B的横坐标为１，因为k＞0，所以点B的坐标为（１，２错误!），所以k＝错误!＝错误!.故选Ｄ．6．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，则C的焦点到准线的距离为________．解析：由题意，不妨设抛物线方程为y２＝２px（p＞0），由|AB|＝４错误!，|DE|＝２错误!，可取A错误!，D错误!，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得错误!＋8＝错误!＋５，得p＝４．答案：４7．过抛物线C：y２＝２px（p＞0）的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若|MN|＝|AB|，则l的斜率为________．解析：设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作AA′⊥m，NN′⊥m，BB′⊥m，垂足分别为A′，N′，B′.因为直线l过抛物线的焦点，所以|BB′|＝|BF|，|AA′|＝|AF|.又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，所以|NN′|＝错误!（|BB′|＋|AA′|）＝错误!（|BF|＋|AF|）＝错误! |AB|＝错误!|MN|，所以∠MNN′＝60°，则直线MN的倾斜角为１２0°.又MN⊥l，所以直线l的倾斜角为３0°，斜率是错误!.答案：错误!8．（一题多解）已知点M（—１，１）和抛物线C：y２＝４x，过C的焦点且斜率为k的直线与C 交于A，B两点．若∠AMB＝90°，则k＝________．解析：法一：由题意知抛物线的焦点为（１，0），则过C的焦点且斜率为k的直线方程为y＝k（x—１）（k≠0），由错误!消去y得k２（x—１）２＝４x，即k２x２—（２k２＋４）x＋k２＝0，设A（x１，y），B（x２，y２），则x１＋x２＝错误!，x１x２＝１．由错误!消去x得y２＝４错误!，即y２—错误!y—４１＝0，则y１＋y２＝错误!，y１y２＝—４，由∠AMB＝90°，得错误!·错误!＝（x１＋１，y１—１）·（x２＋１，y２—１）＝x１x２＋x１＋x２＋１＋y１y２—（y１＋y２）＋１＝0，将x１＋x２＝错误!，x１x２＝１与y＋y２＝错误!，y１y２＝—４代入，得k＝２．１法二：设抛物线的焦点为F，A（x１，y１），B（x２，y２），则错误!所以y错误!—y错误!＝４（x１—x），则k＝错误!＝错误!，取AB的中点M′（x0，y0），分别过点A，B作准线x＝—１的垂线，垂足分别２为A′，B′，又∠AMB＝90°，点M在准线x＝—１上，所以|MM′|＝错误!|AB|＝错误!（|AF|＋|BF|）＝错误!（|AA′|＋|BB′|）．又M′为AB的中点，所以MM′平行于x轴，且y0＝１，所以y１＋y２＝２，所以k＝２．答案：２9．已知过抛物线y２＝２px（p>0）的焦点，斜率为２错误!的直线交抛物线于A（x１，y１），B（x，y２）（x１<x２）两点，且|AB|＝9．２（１）求该抛物线的方程；（２）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若错误!＝错误!＋λ错误!，求λ的值．解：（１）由题意得直线AB的方程为y＝２错误!·错误!，与y２＝２px联立，消去y有４x２—５px＋p２＝0，所以x１＋x２＝错误!.由抛物线定义得|AB|＝x１＋x２＋p＝错误!＋p＝9，所以p＝４，从而该抛物线的方程为y２＝8x.（２）由（１）得４x２—５px＋p２＝0，即x２—５x＋４＝0，则x１＝１，x２＝４，于是y１＝—２错误!，y２＝４错误!，从而A（１，—２错误!），B（４，４错误!），设C（x３，y３），则错误!＝（x３，y３）＝（１，—２错误!）＋λ（４，４错误!）＝（４λ＋１，４错误!λ—２错误!）．又y错误!＝8x３，所以[２错误!（２λ—１）]２＝8（４λ＋１），整理得（２λ—１）２＝４λ＋１，解得λ＝0或λ＝２．１0．（２0２0·河北衡水二模）已知抛物线C：x２＝２py（p＞0）的焦点为F，点M（２，m）（m ＞0）在抛物线上，且|MF|＝２．（１）求抛物线C的方程；（２）若点P（x0，y0）为抛物线上任意一点，过该点的切线为l0，证明：过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．解：（１）由抛物线的定义可知，|MF|＝m＋错误!＝２，１又M（２，m）在抛物线上，所以２pm＝４，２由１２解得p＝２，m＝１，所以抛物线C的方程为x２＝４y.（２）证明：１当x0＝0，即点P为原点时，显然符合；２x0≠0，即点P不在原点时，由（１）得，x２＝４y，则y′＝错误!x，所以抛物线在点P处的切线的斜率为错误!x0，所以抛物线在点P处的切线l0的方程为y—y0＝错误!x0（x—x0），又x错误!＝４y0，所以y—y0＝错误!x0（x—x0）可化为y＝错误!x0x—y0.又过点F且与切线l0垂直的方程为y—１＝—错误!x.联立方程得错误!消去x，得y＝—错误!（y—１）x错误!—y0.（*）因为x错误!＝４y0，所以（*）可化为y＝—yy0，即（y0＋１）y＝0，由y0＞0，可知y＝0，即垂足必在x轴上．综上，过点F作切线l0的垂线，垂足必在x轴上．[综合题组练]１．（２0２0·陕西西安一模）已知F为抛物线C：y２＝6x的焦点，过点F的直线l与C相交于A，B 两点，且|AF|＝３|BF|，则|AB|＝（）Ａ．6 Ｂ．8Ｃ．１0 Ｄ．１２解析：选Ｂ．抛物线y２＝6x的焦点坐标为错误!，准线方程为x＝—错误!，设A（x１，y１），B（x２，y２），因为|AF|＝３|BF|，所以x１＋错误!＝３错误!，所以x１＝３x２＋３，因为|y１|＝３|y２|，所以x１＝9x２，所以x１＝错误!，x２＝错误!，所以|AB|＝错误!＋错误!＝8．故选Ｂ．２．过抛物线y２＝４x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|＝３，则△AOB的面积为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．２错误!解析：选Ｃ．由题意设A（x１，y１），B（x２，y２）（y１>0，y２<0），如图所示，|AF|＝x１＋１＝３，所以x１＝２，y１＝２错误!.设AB的方程为x—１＝ty，由错误!消去x得y２—４ty—４＝0．所以y１y２＝—４，所以y２＝—错误!，x２＝错误!，所以S△AOB＝错误!×１×|y１—y２|＝错误!，故选Ｃ．３．（２0２0·江西九江二模）已知抛物线C：x２＝４y的焦点为F，直线l与抛物线C交于A，B两点，连接AF并延长交抛物线C于点D，若AB中点的纵坐标为|AB|—１，则当∠AFB最大时，|AD|＝（）Ａ．４Ｂ．8Ｃ．１6 Ｄ．错误!解析：选Ｃ．设A（x１，y１），B（x２，y２），D（x３，y３），由抛物线定义得y１＋y２＋２＝|AF|＋|BF|，因为错误!＝|AB|—１，所以|AF|＋|BF|＝２|AB|，所以cos∠AFB＝错误!＝错误!≥错误!＝错误!，当且仅当|AF|＝|BF|时取等号．所以当∠AFB最大时，△AFB为等边三角形，联立错误!消去y得，x２—４错误!x—４＝0，所以x１＋x３＝４错误!，所以y１＋y３＝错误!（x１＋x３）＋２＝１４．所以|AD|＝１6．故选Ｃ．４．已知直线y＝a交抛物线y＝x２于A，B两点．若该抛物线上存在点C，使得∠ACB为直角，则实数a的取值范围为________．解析：如图，设C（x0，x错误!）（x错误!≠a），A（—错误!，a），B（错误!，a），则错误!＝（—错误!—x0，a—x错误!），错误!＝（错误!—x0，a—x错误!）．因为CA⊥CB，所以错误!·错误!＝0，即—（a—x错误!）＋（a—x错误!）２＝0，（a—x错误!）（—１＋a—x错误!）＝0，所以x错误!＝a—１≥0，所以a≥１．答案：[１，＋∞）５．已知抛物线的方程为x２＝２py（p>0），其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k（k≠0）的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.（１）求错误!·错误!；（２）设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为错误!p２，求直线AB的斜率k.解：（１）设直线AB的方程为y＝kx＋错误!，A（x１，y１），B（x２，y２），由错误!得x２—２pkx—p２＝0，则错误!所以y１·y２＝错误!，所以错误!·错误!＝x１·x２＋y１·y２＝—错误!p２.（２）由x２＝２py，知y′＝错误!，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为错误!，错误!，所以直线AM的方程为y—y１＝错误!（x—x１），直线BM的方程为y—y２＝错误!（x—x２），则可得M错误!.所以k MF＝—错误!，所以直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|＝错误!|x１—x２|＝错误!·错误!＝２p（k２＋１），用—错误!代替k得，|CD|＝２p错误!，四边形ACBD的面积S＝错误!·|AB|·|CD|＝２p２错误!＝错误!p２，解得k２＝３或k２＝错误!，即k＝±错误!或k＝±错误!.6．已知抛物线C：x２＝２py（p＞0）和定点M（0，１），设过点M的动直线交抛物线C于A，B 两点，抛物线C在A，B处的切线的交点为N.（１）若N在以AB为直径的圆上，求p的值；（２）若△ABN的面积的最小值为４，求抛物线C的方程．解：设直线AB：y＝kx＋１，A（x１，y１），B（x２，y２），将直线AB的方程代入抛物线C的方程得x２—２pkx—２p＝0，则x１＋x２＝２pk，x１x２＝—２p.１（１）由x２＝２py得y′＝错误!，则A，B处的切线斜率的乘积为错误!＝—错误!，因为点N在以AB为直径的圆上，所以AN⊥BN，所以—错误!＝—１，所以p＝２．（２）易得直线AN：y—y１＝错误!（x—x１），直线BN：y—y２＝错误!（x—x２），联立，得错误!结合１式，解得错误!即N（pk，—１）．|AB|＝错误!|x２—x１|＝错误!错误!＝错误!错误!，点N到直线AB的距离d＝错误!＝错误!，则△ABN的面积S△ABN＝错误!·|AB|·d＝错误!≥２错误!，当k＝0时，取等号，因为△ABN的面积的最小值为４，所以２错误!＝４，所以p＝２，故抛物线C的方程为x２＝４y.。

9.7 抛物线考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的简单应用，了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(F∉l)的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的____，直线l叫做抛物线的____．O(0,0)0 x0F______F______F______F______e＝________________1．抛物线y＝8x2的准线方程为( )．A．x＝－2 B．x＝－12C．y＝－18D．y＝－1322．抛物线x2＝4y上一点A的纵坐标为4，则点A到抛物线焦点的距离为( )．A．2 B．3C．4 D．53．已知抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则a的值为( )．A．4 B．－14C．－4 D．144．若抛物线y2＝2px的焦点与双曲线x26－y23＝1的右焦点重合，则p的值为__________．5．已知动点P到定点(2,0)的距离和它到定直线l：x＝－2的距离相等，则点P的轨迹方程为__________．一、抛物线的定义及其应用【例1－1】设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )．A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16【例1－2】已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是( )． A ．72 B ．4 C ．92 D ．5 方法提炼利用抛物线的定义可解决的常见问题：(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上．请做演练巩固提升1,3二、抛物线的标准方程及其几何性质【例2－1】设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )．A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞) D．[2，＋∞)【例2－2】已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．方法提炼1．求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以，只需一个条件确定p 值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．抛物线的标准方程及其性质的应用由抛物线的方程可求x ，y 的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p 值，确定焦点坐标等．提醒：抛物线方程中的参数p ＞0，其几何意义是焦点到准线的距离．请做演练巩固提升2,4要注重抛物线定义的运用【典例】(12分)(2012课标全国高考)设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．规范解答：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝2p .(1分)由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA |＝2p .(2分) 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42， 解得p ＝－2(舍去)，p ＝2.所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(4分) (2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上， 所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.(6分)由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33.(7分) 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0.解得b ＝－p6.(9分)因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.(12分) 答题指导：1．对抛物线的考查多在定义上出题目； 2．解决抛物线问题多考虑开口方向及焦点等问题．1．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )．A ．线段B ．圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分2．(2012课标全国高考)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )．A ． 2B ．2 2C ．4D ．83．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )．A ．34B ．1C ．54D ．744．已知抛物线y ＝2px 2(p ＞0)的焦点为F ，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，过P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为__________．参考答案基础梳理自测 知识梳理1．相等 焦点 准线2．⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2 1 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2基础自测1．D 解析：抛物线的方程可化为x 2＝18y ，即2p ＝18，p ＝116，p 2＝132，所以准线方程为y ＝－132.2．D 解析：点A 到抛物线焦点的距离等于点A 到抛物线准线的距离，即4－(－1)＝5.3．B 解析：由x 2＝1a y ，∴其准线方程为y ＝－14a .∴a ＝－14.4．6 解析：由双曲线x 26－y 23＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，得p2＝3，p ＝6.5．y 2＝8x 解析：由条件可知P 点的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)，准线为x ＝－2，所以p2＝2，p ＝4，轨迹方程为y 2＝2px ＝8x .考点探究突破【例1－1】B 解析：如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°.又AP ∥MF ，所以∠PAF ＝60°. 又|PA |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形． 故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8.【例1－2】C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12. 又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92.【例2－1】C 解析：易知F (0,2)，准线方程为y ＝－2. 圆心到准线的距离为4，则|FM |＞4，即|FM |＝x 02＋(y 0－2)2＝8y 0＋(y 0－2)2＞4，∴y 02－4y 0＋4＋8y 0＞16，y 02＋4y 0－12＞0，解得y 0＞2或y 0＜－6(舍)． ∴y 0的取值范围是(2，＋∞)．【例2－2】解法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ， m ＝±26，准线方程为y ＝2. 解法二：如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5， 而|MN |＝3＋p2，∴3＋p2＝5，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6. 演练巩固提升1．D 解析：连接PC 1，即为P 到直线C 1D 1的距离．根据题意，在平面BB 1C 1C 内点P 到定点C 1的距离等于到定直线BC 的距离，符合抛物线定义，轨迹两个端点分别为B 1及CC 1的中点，∴P 点的轨迹为抛物线的一部分．2．C 解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝1，抛物线的准线为x ＝－4，且|AB |＝43，故可得A (－4,23)，B (－4，－23)，将点A 的坐标代入双曲线方程得a 2＝4，故a ＝2，故实轴长为4.3．C 解析：如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.4．138 解析：由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上得p ＝18， 故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，点F 坐标为(0,1)，准线为y ＝－1，∴|FM |＝2，|PQ |＝1＋14＝54，|MQ |＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋2×1＝138.。

1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质1．抛物线2x 2＋y ＝0的准线方程为________． 解析：∵抛物线的标准方程为x 2＝－12y ，∴2p ＝12，∴ p 2＝18，故准线方程为y ＝18. 答案：y ＝182．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是________． 解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离， 又准线方程为y ＝－116，设M (x ，y )，则y ＋116＝1，所以y ＝1516.答案：15163．若抛物线y 2＝2px 上一点P (2，y 0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为________． 解析：由题意知，抛物线的准线为x ＝－p2.因为点P (2，y 0)到其准线的距离为4，所以⎪⎪⎪⎪－p 2－2＝4，所以p ＝4.所以抛物线的标准方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是________． 答案：一条直线2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .所以2p ＝18，p ＝116，所以焦点为⎝⎛⎭⎫0，－132. 答案：⎝⎛⎭⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·徐州调研)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离为________．解析：抛物线y 2＝16x 中，p ＝8，∴准线方程为x ＝－4，∵抛物线y 2＝16x 上横坐标为1的点到其焦点的距离即为到其准线的距离， ∴d ＝1－(－4)＝5. 答案：52．若点P 为抛物线y ＝2x 2上的动点，F 为抛物线的焦点，则PF 的最小值为________． 解析：设点P 到准线的距离为d ，则有PF ＝d ， 又抛物线的方程为y ＝2x 2，即x 2＝12y,则其准线方程为y ＝－18，所以当点P 在抛物线的顶点时，d 有最小值18，即PF 的最小值为18.答案：183．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是________．解析：由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于PF ，故动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.答案：2[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离PF ＝|x |＋p 2或PF ＝|y |＋p2.[即时应用]1．(2018·南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________．解析：由题意AF 与x 轴正半轴所成角为120°，P A ＝PF ，所以△P AF 为正三角形． 因为p ＝3，所以PF ＝AF ＝2p ＝6. 答案：62．(2019·镇江调研)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点P 到焦点的距离为5，到y 轴的距离为3，则p ＝________.解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，由题意可得P 到准线的距离为5，又P 到y 轴的距离为3，故p2＝5－3，解得p ＝4.答案：4考点二 抛物线的标准方程与几何性质 题点多变型考点——多角探明[锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点． 常见的命题角度有： (1)根据性质求方程； (2)抛物线的对称性；(3)抛物线性质的实际应用．[题点全练]角度一：根据性质求方程1．顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是________．解析：设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .答案：y 2＝－x 或x 2＝－8y 角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝________.解析：双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x ，因为双曲线的离心率为2，所以1＋b 2a 2＝2，ba ＝ 3. 由⎩⎨⎧ y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2p 3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得，2×12×23p 3×2p 3＝3，解得p 2＝94，即p ＝32⎝⎛⎭⎫p ＝－32舍去. 答案：32角度三：抛物线性质的实际应用3．如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________ m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设水面与拱桥的一个交点为A ，则点A 的坐标为(2，－2)．设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则22＝－2p ×(－2)，得p ＝1.所以抛物线方程为x 2＝－2y .设水位下降1 m 后水面与拱桥的交点坐标为(x 0，－3)，则x 20＝6，解得x 0＝±6，所以水面宽为2 6 m.答案：2 6[通法在握]求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p 的关系．(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y 2＝mx 或x 2＝my (m ≠0)． (3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y 2＝2px (p ＞0)上的点常设为⎝⎛⎭⎫y22p ，y . [提醒] 求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况．[演练冲关]1．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，焦点在直线3x －4y －12＝0上，则该抛物线的方程为________．解析：由题意知，抛物线的焦点在x 轴上． ∵直线3x －4y －12＝0交x 轴于点(4,0)， ∴抛物线的焦点为(4,0)． 设抛物线方程为y 2＝2px (p ＞0)，由p2＝4，得p ＝8，∴该抛物线的方程为y 2＝16x . 答案：y 2＝16x2．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点A (0，2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为________．解析：依题意设P 在抛物线准线的射影为P ′，抛物线的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫12，0，由抛物线的定义知P 到该抛物线准线的距离PP ′＝PF ，则点P 到点A (0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和d ＝PF ＋P A ≥AF ＝⎝⎛⎭⎫122＋22＝172.答案：172考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领]已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，抛物线C 与直线l 1：y ＝－x 的一个交点的横坐标为8. (1)求抛物线C 的方程；(2)不过原点的直线l 2与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点A ，B ，若线段AB 的中点为P ，且OP ＝PB ，求△F AB 的面积．解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，－8)， 所以(－8)2＝2p ×8，所以2p ＝8， 所以抛物线的方程为y 2＝8x .(2)由直线l 2与l 1垂直，且不过原点，故可设直线l 2：x ＝y ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且直线l 2与x轴的交点为M .由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，x ＝y ＋m ，得y 2－8y －8m ＝0， Δ＝64＋32m ＞0，所以m ＞－2. y 1＋y 2＝8，y 1y 2＝－8m ，所以x 1x 2＝y 21y 2264＝m 2.由题意可知OA ⊥OB ，即x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－8m ＝0， 所以m ＝8或m ＝0(舍去)，所以直线l 2的方程为x ＝y ＋8，M (8,0)． 故S △F AB ＝S △FMB ＋S △FMA ＝12·FM ·|y 1－y 2|＝3y 1＋y 22－4y 1y 2＝24 5.[由题悟法]解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB ＝|x A |＋|x B |＋p 或AB ＝|y A |＋|y B |＋p ，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒] 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解．[即时应用]已知过点(2,0)的直线l 1交抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)于A ，B 两点，直线l 2：x ＝－2交x 轴于点Q. (1)设直线Q A ，Q B 的斜率分别为k 1，k 2，求k 1＋k 2的值；(2)点P 为抛物线C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 交直线l 2于M ，N 两点， OM ―→·ON ―→＝2，求抛物线C 的方程．解：(1)设直线l 1的方程为x ＝my ＋2，点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2px ，得y 2－2pmy －4p ＝0，则y 1＋y 2＝2pm ，y 1y 2＝－4p . 由题意知，点Q(－2,0)， 所以k 1＋k 2＝y 1x 1＋2＋y 2x 2＋2＝y 1my 1＋4＋y 2my 2＋4＝2my 1y 2＋4y 1＋y 2my 1＋4my 2＋4＝－8mp ＋8mpmy 1＋4my 2＋4＝0.(2)设点P (x 0，y 0)，直线P A ：y －y 1＝y 1－y 0x 1－x 0(x －x 1)，当x ＝－2时，y M ＝－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0，同理y N ＝－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0.因为OM ―→·ON ―→＝2，所以4＋y N y M ＝2，即－4p ＋y 2y 0y 2＋y 0·－4p ＋y 1y 0y 1＋y 0＝16p 2－4py 0y 2＋y 1＋y 20y 1y 2y 2y 1＋y 0y 2＋y 1＋y 20＝16p 2－8p 2my 0－4py 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－4p －4p ＋2pmy 0＋y 20－4p ＋2pmy 0＋y 20＝－2， 故p ＝12，所以抛物线C 的方程为y 2＝x .一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝2px (p ＞0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点坐标为⎝⎛⎭⎫p 2，0，准线方程x ＝－p 2，由抛物线的定义可知，2＋p2＝4，则p ＝4，∴抛物线的准线方程为x ＝－2.答案：x ＝－22．(2018·扬州期末)若抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点也是双曲线x 2－y 2＝8的一个焦点，则p ＝________. 解析：抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝⎛⎭⎫p 2，0，双曲线x 2－y 2＝8的右焦点为(4,0)，故p2＝4，即p ＝8. 答案：83．已知P 为抛物线y 2＝8x 上动点，定点A (3,1)，F 为该抛物线的焦点，则PF ＋P A 的最小值为________． 解析：易知点A 在抛物线内部，抛物线的准线方程为x ＝－2，过点P 作准线的垂线，垂足为M ，则PF ＋P A ＝PM ＋P A ，当A ，P ，M 三点共线时取得最小值，所以PF ＋P A ＝3－(－2)＝5.答案：54．(2018·前黄中学检测)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为________．解析：由于抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p 2，由题意得－p2＝－1，p ＝2，所以焦点坐标为 (1,0) . 答案：(1,0)5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x P x P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：26．(2019·连云港模拟)设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，过点M (3，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C ，BF ＝2，则S △BCFS △ACF＝________.解析：∵抛物线方程为y 2＝2x ，∴焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫12，0，准线方程为x ＝－12. 如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，过A ，B 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E ，N ，则BF ＝BN ＝x 2＋12＝2，∴x 2＝32，把x 2＝32代入抛物线y 2＝2x ，得y 2＝－3，∴直线AB 过点M (3，0)与B ⎝⎛⎭⎫32，－3. 则直线AB 的方程为3x ＋⎝⎛⎭⎫32－3y －3＝0，与抛物线方程联立，解得x 1＝2， ∴AE ＝2＋12＝52.∵在△AEC 中，BN ∥AE ，∴BC AC ＝BN AE ＝252＝45，故S △BCF S △ACF ＝12BC ·h12AC ·h＝45. 答案：45二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·宿迁一模)抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为________．解析：∵抛物线x 2＝4y 的焦点在y 轴上，开口向上，且2p ＝4，∴p2＝1.∴抛物线x 2＝4y 的焦点坐标为(0,1)． 答案：(0,1)2．过抛物线x 2＝－12y 的焦点F 作直线垂直于y 轴，交抛物线于A ，B 两点，O 为抛物线的顶点，则△OAB 的面积是________．解析：由题意F (0，－3)，将y ＝－3代入抛物线方程得x ＝±6， 所以AB ＝12，所以S △OAB ＝12×12×3＝18.答案：183．已知过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 且倾斜角为60°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则AFBF＝________.解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知AB 所在的直线方程为y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2， 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝3⎝⎛⎭⎫x －p 2得x 2－5p 3x ＋p 24＝0， 解得x 1＝3p 2，x 2＝p6，所以AF BF ＝32p ＋p 2p 2＋p6＝3.答案：34．(2019·南通调研)已知F 是抛物线C ：y 2＝12x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则FN 的长度为________．解析：∵F (3,0)，∴由题意可得M 的横坐标为32，∴FM ＝32＋3＝92，FN ＝2FM ＝9.答案：95．已知抛物线y 2＝2x 的弦AB 的中点的横坐标为32，则AB 的最大值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3，由抛物线的定义可知，AF ＋BF ＝x 1＋x 2＋1＝4，由图可知AF ＋BF ≥AB ，AB ≤4，当且仅当直线AB 过焦点F 时，AB 取得最大值4.答案：46．一个顶点在原点，另外两点在抛物线y 2＝2x 上的正三角形的面积为________． 解析：如图，根据抛物线的对称性得∠AOx ＝30°. 直线OA 的方程y ＝33x ， 代入y 2＝2x ，得x 2－6x ＝0， 解得x ＝0或x ＝6. 即得A 的坐标为(6,23)．∴AB ＝43，正三角形OAB 的面积为12×43×6＝12 3.答案：12 37．(2018·无锡调研)过点P (－2,0)的直线与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，且P A ＝12AB ，则点A到抛物线C 的焦点的距离为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别过点A ，B 作直线x ＝－2的垂线，垂足分别为D ，E (图略)，因为P A ＝12AB ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3x 1＋2＝x 2＋2，3y 1＝y 2，又⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得x 1＝23，则点A 到抛物线C 的焦点的距离为1＋23＝53. 答案：538．抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，O 为坐标原点，M 为抛物线上一点，且MF ＝4OF ，△MFO 的面积为43，则抛物线的方程为________．解析：设M (x ，y )，因为OF ＝p 2，MF ＝4OF ，所以MF ＝2p ，由抛物线定义知x ＋p 2＝2p ，所以x ＝32p ，所以y ＝±3p .又△MFO 的面积为43，所以12×p2×3p ＝43，解得p ＝4(p ＝－4舍去)．所以抛物线的方程为y 2＝8x .答案：y 2＝8x9．已知抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点P 是抛物线上的动点，点A (3,2)，求P A ＋PF 的最小值，并求取最小值时点P 的坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝± 6. 因为6＞2，所以A 在抛物线内部．设抛物线上的点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知P A ＋PF ＝P A ＋d .当P A ⊥l 时，P A ＋d 最小，最小值为72，即P A ＋PF 的最小值为72，此时P 点纵坐标为2，代入y 2＝2x ，得x ＝2，所以点P 的坐标为(2,2)．10．(2018·扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点． (1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA ―→·OB ―→的值；(2)如果OA ―→·OB ―→＝－4，证明直线l 必过一定点，并求出该定点． 解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x ，得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4， 所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明：设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ，消去x ，得 y 2－4ty －4b ＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，所以OA ―→·OB ―→＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，得b 2－4b ＋4＝0，解得b ＝2.所以直线l 过定点(2,0)．三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·连云港二模)从抛物线x 2＝4y 上一点P 引抛物线准线的垂线，垂足为M ，且PM ＝5，设抛物线的焦点为F ，则△MPF 的面积S ＝________.解析：设P (x 0，y 0)，依题意可知抛物线的准线方程为y ＝－1，∴y 0＝5－1＝4，∴|x 0|＝4×4＝4，∴△MPF 的面积S ＝12PM ·|x 0|＝12×5×4＝10. 答案：102．过抛物线x 2＝4y 的焦点F 作直线AB ，CD 与抛物线交于A ，B ，C ，D 四点，且AB ⊥CD ，则F A ―→·FB―→＋FC ―→·FD ―→的最大值等于________．解析：依题意可得，F A ―→·FB ―→＝－(|F A ―→|·|FB ―→|)．又因为|F A ―→|＝y A ＋1，|FB ―→|＝y B ＋1，所以F A ―→·FB ―→＝－(y A y B ＋y A ＋y B ＋1)．设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)，联立x 2＝4y ，可得x 2－4kx －4＝0，所以x A ＋x B ＝4k ，x A x B ＝－4.所以y A y B ＝1，y A ＋y B ＝4k 2＋2.所以F A ―→·FB ―→＝－(4k 2＋4)．同理FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4.所以F A ―→·FB ―→＋FC ―→·FD ―→＝－⎝⎛⎭⎫4k 2＋4k 2＋8≤－16.当且仅当k ＝±1时等号成立．答案：－163.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)．因为点P (1,2)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB . 则k P A ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧ y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2，②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x1≠x 2)．。