圆锥曲线轨迹问题

圆锥曲线的解题方法(精选4篇)（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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圆锥曲线的轨迹方程问题1.抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为F ，P 在抛物线C 上，O 是坐标原点，当PF 与x 轴垂直时，△OFP 的面积为1.(1)求抛物线C 的方程；(2)若A ，B 都在抛物线C 上，且OA ⋅OB =-4，过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足是G ，求动点G 的轨迹方程.【答案】(1)y 2=4x ;(2)x 2+y 2-2x =0x ≠0【解析】(1)当PF 与x 轴垂直时，P p 2,p ，故S △OFP =12×p 2×p =1，故p =2，故抛物线的方程为：y 2=4x .(2)设A y 214,y 1 ,B y 224,y 2，直线AB :x =ty +m ，因为OA ⋅OB =-4，故y 21y 2216+y 1y 2=-4，整理得到：y 21y 22+16y 1y 2+64=0，故y 1y 2=-8.由x =ty +my 2=4x可得y 2-4ty -4m =0，故-4m =-8即m =2，故直线AB :x =ty +2，此直线过定点M 2,0 .因为OG ⊥GM ，故G 的轨迹为以OM 为直径的圆，其方程为：x -0 x -2 +y -0 y -0 =0即x 2+y 2-2x =0.因为直线AB :x =ty +2与x 轴不重合，故G 不为原点，故G 的轨迹方程为：x 2+y 2-2x =0x ≠0 .2.已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的离心率e =233，且经过点P 3,1 .(1)求双曲线C 的方程；(2)设A ，B 在C 上，PA ⊥PB ，过P 点向AB 引垂线，垂足为M ，求M 点的轨迹方程.【答案】(1)x 26-y 22=1;(2)x -92 2+y +122=92(去掉点P )【解析】(1)∵双曲线的离心率e =c a =233，∴c 2=43a 2=a 2+b 2，即a 2=3b 2，将P 3,1 代入C :x 23b 2-y 2b 2=1，即93b 2-1b2=1，解得b 2=2，a 2=6，故双曲线C 的方程为x 26-y 22=1；(2)当直线AB 斜率不存在时，不满足PA ⊥PB ，故不满足题意；当直线AB 斜率存在时，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，AB :y =kx +m ，代入双曲线方程整理得：3k 2-1 x 2+6kmx +3m 2+6 =0.Δ>0，则x 1+x 2=-6km 3k 2-1，x 1x 2=3m 2+63k 2-1，∵PA ⊥PB ，∴x 1-3 x 2-3 +y 1-1 y 2-1 =0，即x 1-3 x 2-3 +kx 1+m -1 kx 2+m -1 =0，整理得18k 2+9km +m 2+m -2=0，即3k +m -1 6k +m +2 =0，当3k +m -1=0时，AB 过P 点，不符合题意，故6k +m +2=0，直线AB 化为y +2=k x -6 ，AB 恒过定点Q 6,-2 ，∴M 在以PQ 为直径的圆上且不含P 点，即M 的轨迹方程为x -92 2+y +12 2=92(去掉点P ).3.已知抛物线C :y =x 2，过点M 1,2 的直线交抛物线C 于A ,B 两点，以A ,B 为切点分别作抛物线C 的两条切线交于点P .(1)若线段AB 的中点N 的纵坐标为32，求直线AB 的方程；(2)求动点P 的轨迹.【答案】(1)x -y +1=0；(2)2x -y -2=0【解析】(1)依题意有：直线AB 的斜率必存在，故可设直线AB 的方程为y -2=k (x -1).由y -2=k (x -1)，y =x 2， 可得：x 2-kx +k -2=0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2.于是：y 1+y 2=x 21+x 22=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=k 2-2k +4=3，解得k =1，故直线AB 的方程为x -y +1=0.(2)设P (x 0，y 0)，对于抛物线y =x 2，y =2x ，于是：A 点处切线方程为y -y 1=2x 1(x -x 1)，点P 在该切线上，故y 0-x 21=2x 1(x 0-x 1)，即x 21-2x 0x 1+y 0=0.同理：P 点坐标也满足x 22-2x 0x 2+y 0=0，于是：x 1，x 2是方程x 2-2x 0x +y 0=0的两根，所以x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=y 0.又由(1)可知：x 1+x 2=k ，x 1x 2=k -2，于是x 0=k2，y 0=k -2，消k 得y 0=2x 0-2，于是P 的轨迹方程为2x -y -2=0，点P 的轨迹是一条直线.4.已知圆C 与y 轴相切，圆心C 在直线x -2y =0上且在第一象限内，圆C在直线y =x 上截得的弦长为214.(1)求圆C 的方程；(2)已知线段MN 的端点M 的横坐标为-4，端点N 在(1)中的圆C 上运动，线段MN 与y 轴垂直，求线段MN 的中点H 的轨迹方程.【答案】(1)x -4 2+y -2 2=16;(2)4x 2+y -2 2=16【解析】(1)依题意，设所求圆C 的方程为x -a 2+y -b 2=r 2a >0 .所以圆心a ,b 到直线x -y =0d =a -b2，则有d 2+14 2=r 2，即a -b 2+28=2r 2.①由于圆C 与y 轴相切，所以r 2=a 2.②又因为圆C 的圆心在直线x -2y =0上，所以a -2b =0.③联立①②③，解得a =4,b =2,r =4，故所求圆C 的方程为x -4 2+y -2 2=16.(2)设点H 的坐标为x ,y ，点N 的坐标为x 0,y 0 ，点M 的坐标为-4,y ，因为H 是线段MN 的中点，所以x =x 0-42，y =y 0，于是有x 0=2x +4，y 0=y .①因为点N 在第(1)问中圆C 上运动，所以点N 满足x 0-4 2+y 0-2 2=16.②把①代入②，得2x +4-4 2+y -2 2=16，整理，得4x 2+y -2 2=16.此即为所求点H 的轨迹方程.5.已知圆O ：x 2+y 2=4与x 轴交于点A (-2,0)，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过-65,0 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1=4k 2．【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)设N (x 0，y 0)，则H (x 0，0)，∵N 是MH 的中点，∴M (x 0，2y 0)，又∵M 在圆O 上，∴ x 20+(2y 0)2=4，即x 204+y 20=1；∴曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =-65，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则P -65,45 ,Q -65,-45，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，∴S 65,45，k 1=k AP =45-0-65+2=1,k 2=k AS =45-065+2=14,∴k 1=4k 2；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方，同理得：P -65,-45 ,Q -65,45 ,S 65,-45，∴k1=k AP=-45-0-65+2=-1,k2=k AS=-45-065+2=-14，∴k1=4k2；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：x=my-6 5,，由x=my-65,与x24+y2=1联立可得(m2+4)y2-12m5y-6425=0，其中Δ=144m225+4×(m2+4)×6425>0，设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则S(-x2,-y2)，则y1+y2=12m5m2+4,y1y2=-6425m2+4，∴k1=k AP=y1-0x1+2=y1x1+2,k2=k AS=-y2-0-x2+2=y2x2-2,则k1k2=y1x1+2⋅x2-2y2=y1my2-165my1+45y2=my1y2-165y1my1y2+45(y1+y2)-45y1=-6425m2+4-165y1-6425mm2+4+45⋅125mm2+4-45y1=-6425m2+4-165y1-1625m2+4-45y1=4，∴k1=4k2.6.已知点E(2,0)，F22,0，点A满足|AE|=2|AF|，点A的轨迹为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1交于M，N两点，且∠MON=π2(O为坐标原点)，求点A到直线l距离的取值范围.【答案】(1)x2+y2=1；(2)655-1,655+1.【解析】(1)设A(x,y)，因为|AE|=2|AF|，所以(x-2)2+(y-0)2=2×x-2 22+(y-0)2，平方化简，得x2+y2=1；(2)直线l:y=kx+m与双曲线：x24-y29=1的方程联立，得y=kx+mx2 4-y29=1⇒(4k2-9)x2+8kmx+4m2+36=0，设M(x1,y1),N(x2,y2)，所以有4k2-9≠0(8km)2-4⋅(4k2-9)(4m2+36)>0⇒m2+9>4k2且k≠±32，所以x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9，因为∠MON =π2，所以OM ⊥ON⇒x 1x 2+y 1y 2=0⇒x 1x 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0，化简，得(k 2+1)x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=0，把x 1+x 2=-8km 4k 2-9，x 1x 2=4m 2+364k 2-9代入，得(k 2+1)⋅4m 2+364k 2-9+km ⋅-8km 4k 2-9 +m 2=0，化简，得m 2=36(k 2+1)5，因为m 2+9>4k 2且k ≠±32，所以有36(k 2+1)5+9>4k 2且k ≠±32，解得k ≠±32，圆x 2+y 2=1的圆心为(0,0)，半径为1，圆心(0,0)到直线l :y =kx +m 的距离为d =mk 2+1=65k 2+1k 2+1=655>1，所以点A 到直线距离的最大值为655+1，最小值为655-1，所以点A 到直线距离的取值范围为655-1,655+1 ，7.在平面直角坐标系xOy 中，点D ，E 的坐标分别为-2,0 ，2,0 ，P 是动点，且直线DP 与EP 的斜率之积等于-14.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)已知直线y =kx +m 与椭圆：x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，与y 轴交于点M ，若存在m 使得OA +3OB =4OM，求m 的取值范围.【答案】(1)x 24+y 2=1x ≠±2 ;(2)-1,-12 ∪12,1 【解析】(1)设P x ,y ，则k EP ⋅k DP =y x -2⋅y x +2=-14x ≠±2 ，所以可得动点P 的轨迹C 的方程为x 24+y 2=1x ≠±2 .(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,又M 0,m ，由OA +3OB =4OM得x 1+3x 2,y 1+3y 2 =0,4m ，x 1=-3x 2联立y =kx +m x 24+y 2=1可得4k 2+1 x 2+8kmx +4m 2-4=0∵Δ=(8km )2-4×(4k 2+1)×(4m 2-4)>0，即64k 2-16m 2+16>0∴4k 2-m 2+1>0，且x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-44k 2+1，又x 1=-3x 2∴x 2=4km 4k 2+1，则x 1⋅x 2=-3x 22=4km 4k 2+1 2=4m 2-44k 2+1，∴16k 2m 2-4k 2+m 2-1=0，∴k 2=m 2-14-16m 2代入4k 2-m 2+1>0得m 2-11-4m2+1-m 2>0，14<m 2<1，解得m ∈-1,-12 ∪12,1 .∴m 的取值范围是-1,-12 ∪12,1 8.如图，设点A ，B 的坐标分别为(-3,0)，(3,0)，直线AP ，BP 相交于点P ，且它们的斜率之积为-23.(1)求P 的轨迹方程；(2)设点P 的轨迹为C ，点M 、N 是轨迹为C 上不同于A ，B 的两点，且满足AP ∥OM ，BP ∥ON ，求△MON 的面积.【答案】(1)x 23+y 22=1x ≠±3 ;(2)62【解析】(1)由已知设点P 的坐标为x ,y ，由题意知k AP ⋅k BP =y x +3⋅y x -3=-23x ≠±3 ，化简得P 的轨迹方程为x 23+y 22=1x ≠±3(2)证明：由题意M 、N 是椭圆C 上非顶点的两点，且AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，则直线AP ,BP 斜率必存在且不为0，又由已知k AP ⋅k BP =-23.因为AP ⎳OM ,BP ⎳ON ，所以k OM k ON =-23设直线MN 的方程为x =my +t ，代入椭圆方程x 23+y 22=1，得3+2m 2 y 2+4mty +2t 2-6=0....①，设M ,N 的坐标分别为x 1,y 1 ,x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-4mt 3+2m 2,y 1y 2=2t 2-63+2m 2又k OM ⋅k ON =y 1y 2x 1x 2=y 1y 2m 2y 1y 2+mt y 1+y 2 +t 2=2t 2-63t 2-6m 2，所以2t 2-63t 2-6m2=-23，得2t 2=2m 2+3又S △MON =12t y 1-y 2 =12t -24t 2+48m 2+723+2m 2，所以S △MON =26t t 24t 2=62，即△MON 的面积为定值62.9.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l :x =1，点F 4,0 ，动点P 到点F 的距离是它到直线l 的距离的2倍，记P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过点F 且斜率大于3的直线交C 于两点，点Q -2,0 ，连接QA 、QB 交直线l 于M 、N 两点，证明：点F 在以MN 为直径的圆上．【答案】(1)x 24-y 212=1;(2)证明见解析【解析】(1)设P x ,y ，由题意得x -4 2+y 2=2x -1 化简得x 24-y 212=1，所以曲线C 的方程为x 24-y 212=1．(2)证明：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 、M 1,m 、N 1,n ，设直线AB 的方程为y =k x -4 且k >3，联立y =k x -4 x 24-y 212=1得3-k 2 x 2+8k 2x -16k 2-12=0，3-k 2≠0，Δ=64k 4+43-k 2 16k 2+12 =144k 2+1 >0，由韦达定理可得x 1+x 2=8k 2k 2-3，x 1x 2=16k 2+12k 2-3，因为点M 在直线QA 上，则k QM =k QA ，即m3=y 1x 1+2，可得m =3y 1x 1+2=3k x 1-4x 1+2，同理可得n =3k x 2-4 x 2+2，FM=-3,m ，FN =-3,n ，所以，FM ⋅FN =9+mn =9+9k 2x 1x 2-4x 1+x 2 +16x 1x 2+2x 1+x 2 +4=9+9k 216k 2+12-32k 2+16k 2-4816k 2+12+16k 2+4k 2-12=0，故点F 在以MN 为直径的圆上．10.已知圆C ：x 2+y 2-2x -2y +1=0，O 为坐标原点，动点P 在圆C 外，过P 作圆C 的切线，设切点为M .(1)若点P 运动到(2，3)处，求此时切线l 的方程；(2)求满足条件PM =PO 的点P 的轨迹方程.【答案】(1)x =2或3x -4y +6=0；(2)2x +2y -1=0.【解析】(1)把圆C 的方程化为标准方程为(x -1)2+(y -1)2=1，∴圆心为C (1，1)，半径r =1.当l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x =2，C 到l 的距离d =1=r ，满足条件.当l 的斜率存在时，设斜率为k ，得l 的方程为y -3=k (x -2)，即kx -y +3-2k =0，则k -1+3-2k1+k 2=1，解得k =34.∴l 的方程为y -3=34(x -2)，即3x -4y +6=0.综上，满足条件的切线l 的方程为x =2或3x -4y +6=0.(2)设P (x ，y )，则|PM |2=|PC |2-|MC |2=(x -1)2+(y -1)2-1，|PO |2=x 2+y 2，∵|PM |=|PO |.∴(x -1)2+(y -1)2-1=x 2+y 2，整理，得2x +2y -1=0，∴点P 的轨迹方程为2x +2y -1=0.11.已知抛物线C ：y 2=2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1、l 2分别交C 于A 、B 两点，交C 的准线于P 、Q 两点.(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ .(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程.【答案】(1)证明见解析；(2)y 2=x -1.【解析】(1)由题意可知F 12,0 ，设l 1：y =a ，l 2：y =b 且ab ≠0，A a 22,a ，B b 22,b ，P -12,a ，Q -12,b ，R -12,a +b 2 ，直线AB 方程为2x -(a +b )y +ab =0，∵点F 在线段AB 上，∴ab +1=0，记直线AR 的斜率为k 1，直线FQ 的斜率为k 2，∴k 1=a -b 1+a 2，k 2=b-12-12=-b ，又∵ab +1=0，∴k 1=a -b 1+a 2=a -b a 2-ab =1a =-aba =-b =k 2，∴AR ∥FQ ；(2)设l 1：y =a ，l 2：y =b ，A a 22,a ，B b 22,b ，设直线AB 与x 轴的交点为D x 1,0 ，∴S △ABF =12a -b FD =12a -b x 1-12，又S△PQF=a-b2，∴由题意可得S△PQF=2S△ABF，即a-b2=2×12·a-b⋅x1-12，解得x1=0(舍)或x1=1.设满足条件的AB的中点为E(x，y)，则x=a2+b24y=a+b2，当AB与x轴不垂直时，由k AB=k DE可得a-ba22-b22=yx-1，即2a+b=yx-1(x≠1)，∴y2=x-1x≠1.当AB与x轴垂直时，E与D重合，也满足y2=x-1.∴AB中点的轨迹方程为y2=x-1.12.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的长轴长为4，左顶点A到上顶点B的距离为5，F为右焦点．(1)求椭圆C的方程和离心率；(2)设直线l与椭圆C交于不同的两点M，N(不同于A，B两点)，且直线BM ⊥BN时，求F在l上的射影H的轨迹方程．【答案】(1)x24+y2=1，离心率为32;(2)x-322+y+3102=2125【解析】(1)由题意可得：2a=4，a2+b2=5，a2=b2+c2，可得a=2，c=3，b=1，所以椭圆C的方程为x24+y2=1，离心率为e=ca=32．(2)当直线斜率存在时，可设l:y=kx+m代入椭圆方程x24+y2=1，得：4k2+1x2+8kmx+4m2-1=0．设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则x 1+x 2=-8km4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1．因为直线BM ，BN 垂直，斜率之积为-1，所以k BM ⋅k BN =-1，所以k BM ⋅k BN =k 2x 1x 2+k m -1 x 1+x 2 +m -1 2x 1x 2=-1．将x 1+x 2=-8km 4k 2+1x 1x 2=4m 2-1 4k 2+1代入，整理化简得：m -1 5m +3 =0，所以m =1或m =-35．由直线l :y =kx +m ，当m =1时，直线l 经过0,1 ，与B 点重合，舍去，当m =-35时，直线l 经过定点E 0,-35，当直线斜率不存在时，可设l :x =t ，则M t ,1-t 24 ，N t ,-1-t 24，因为k BM ⋅k BN =-1，所以1-t 24-1t ×-1-t 24+1t=-1，解得t =0，舍去．综上所述，直线l 经过定点E 0,-35，而F 在l 上的射影H 的轨迹为以EF 为直径的圆，其E 0,-35 ，F 3,0 ，所以圆心32,-310 ，半径r =215，所以圆的方程为x -32 2+y +310 2=2125，即为点H 的轨迹方程．13.在平面直角坐标系xOy 中，A (-3,0)，B (3,0)，C 是满足∠ACB =π3的一个动点．(1)求△ABC 垂心H 的轨迹方程；(2)记△ABC 垂心H 的轨迹为Γ，若直线l ：y =kx +m (km ≠0)与Γ交于D ，E 两点，与椭圆T ：2x 2+y 2=1交于P ，Q 两点，且|DE |=2|PQ |，求证：|k |>2．【答案】(1)x 2+(y +1)2=4(y ≠-2)；(2)证明见解析．【解析】设△ABC 的外心为O 1，半径为R ，则有R =AB 2sin ∠ACB=2，又∠OO 1B =∠OO 1C =π3，所以OO 1=R cos π3=1，即O 1(0,1)，或O 1(0,-1)，当O 1坐标为(0,1)时．设C (x ,y )，H x 0,y 0 ，有O 1C =R ，即有x 2+(y -1)2=4(y >0)，由CH ⊥AB ，则有x 0=x ，由AH ⊥BC ，则有AH ⋅BC=x 0+3 (x -3)+y 0y =0，所以有y 0=-x 0+3 (x -3)y =3-x 2y =(y -1)2-1y=y -2，y >0，则y 0=y -2>-2，则有x 20+y 0+1 2=4(y 0>-2)，所以△ABC 垂心H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2).同理当O 1坐标为(0,-1)时．H 的轨迹方程为x 2+(y -1)2=4(y <2).综上H 的轨迹方程为x 2+(y +1)2=4(y >-2)或x 2+(y -1)2=4(y <2)．(2)若取x 2+(y +1)2=4(y >-2)，记点(0,-1)到直线l 的距离为d ，则有d =|m +1|1+k 2，所以|DE |=24-d 2=24-(m +1)21+k 2，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，联立y =kx +m 2x 2+y 2=1，有2+k 2 x 2+2kmx +m 2-1=0，所以Δ=4k 2+2-2m 2 >0，|PQ |=1+k 2⋅Δ2+k 2=21+k 2 k 2+2-2m 2 2+k 2，由|DE |=2|PQ |，可得4-(m +1)21+k 2=4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+1 2+k 2 2≤4k 2+1 k 2+2-8m 2k 2+22，所以4k 2+2+8m 22+k 22≤(m +1)2k 2+1，即有4k 2+1 k 2+2+8k 2+1 m 22+k 22≤(m +1)2，所以2+2m 2-4k 2+1 k 2+2-8k 2+1 m 2k 2+22≥(m -1)2，即2k 2k 2+2k 2m 2k 2+2-1 =(m -1)2⇒k 2m 2k 2+2-1≥0⇒m 2≥1+2k2又Δ>0，可得m 2<1+k 22，所以1+2k2<1+k 22，解得k 2>2，故|k |>2．同理，若取x 2+(y -1)2=4(y <2)，由对称性，同理可得|k |> 2.综上，可得|k |> 2.14.在平面直角坐标系中，△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为-1,0 ，1,0 ，平面内两点G ，M 同时满足以下3个条件：①G 是△ABC 三条边中线的交点；②M 是△ABC 的外心；③GM ⎳AB ．(1)求△ABC 的顶点C 的轨迹方程；(2)若点P 2,0 与(Ⅰ)中轨迹上的点E ，F 三点共线，求PE ⋅PF 的取值范围．【答案】(1)x 2+y 23=1(y ≠0)；(2)3,92.【解析】(1)设C x ,y ，G x 0,y 0 ，M x M ,y M ，圆锥曲线的轨迹方程问题第11页因为M 是△ABC 的外心，所以MA =MB ，所以M 在线段AB 的中垂线上，所以x M =-1+12=0．因为GM ⎳AB ，所以y M =y 0．又G 是△ABC 三条边中线的交点，所以G 是△ABC 的重心，所以x 0=-1+1+x 3=x 3，y 0=0+0+y 3=y 3，所以y M =y 0=y 3．又MA =MC ，所以0+1 2+y 3-0 2=0-x 2+y 3-y 2，化简得x 2+y 23=1(y ≠0)，所以顶点C 的轨迹方程为x 2+y 23=1(y ≠0)．(2)因为P ，E ，F 三点共线，所以P ，E ，F 三点所在直线斜率存在且不为0，设所在直线的方程为y =k x -2 ，联立y =k x -2 ,x 2+y 23=1,得k 2+3 x 2-4k 2x +4k 2-3=0．由Δ=4k 2 2-4k 2+3 4k 2-3 >0，得k 2<1．设E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，则x 1+x 2=4k 2k 2+3,x 1⋅x 2=4k 2-3k 2+3.所以PE ⋅PF =1+k 22-x 1 ⋅1+k 22-x 2 =1+k 2 ⋅4-2x 1+x 2 +x 1⋅x 2=1+k 2 ⋅4k 2+3 -8k 2+4k 2-3 k 2+3=91+k 2 k 2+3=9-18k 2+3．又0<k 2<1，所以3<k 2+3<4，所以3<PE ⋅PF <92．故PE ⋅PF 的取值范围为3,92 ．15.已知A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 是抛物线C :y 2=4x 上两个不同的点，C 的焦点为F ．(1)若直线AB 过焦点F ，且y 21+y 22=32，求AB 的值；(2)已知点P -2,2 ，记直线PA ，PB 的斜率分别为k PA ，k PB ，且k PA +k PB =-1，当直线AB 过定点，且定点在x 轴上时，点D 在直线AB 上，满足PD ⋅AB =0，求点D 的轨迹方程．【答案】(1)AB =10；(2)x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 ).【解析】(1)由抛物线方程知：F 1,0 ，准线方程为：x =-1．圆锥曲线的轨迹方程问题第12页∵AF =x 1+1=y 214+1，BF =x 2+1=y 224+1，∴AB =AF +BF =y 21+y 224+2=10.(2)依题意可设直线AB :x =ty +m ，由y 2=4x x =ty +m得：y 2-4ty -4m =0，则Δ=16t 2+16m >0，∴y 1+y 2=4t y 1y 2=-4m ⋯①∵k PA +k PB =y 1-2x 1+2+y 2-2x 2+2=y 1-2ty 1+m +2+y 2-2ty 2+m +2=-1，∴2ty 1y 2+m +2 y 1+y 2 -2t y 1+y 2 -4m +2 t 2y 1y 2+t m +2 y 1+y 2 +m +2 2=-1⋯②由①②化简整理可得：8t -4m +m 2-4=0，则有m +2-4t m -2 =0，解得：m =2或m =4t -2．当m =4t -2时，Δ=16t 2+64t -32=16t +2 2-96>0，解得：t >-2+6或t <-2-6，此时AB :x =ty +4t -2=t y +4 -2过定点-2,-4 ，不符合题意；当m =2时，Δ=16t 2+32>0对于∀t ∈R 恒成立，直线AB :x =ty +2过定点E 2,0 ，∴m =2.∵PD ⋅AB =0，∴PD ⊥AB ，且A ,B ,D ,E 四点共线，∴PD ⊥DE ，则点D 的轨迹是以PE 为直径的圆．设D x ,y ，PE 的中点坐标为0,1 ，PE =25，则D 点的轨迹方程为x 2+y -1 2=5．当D 的坐标为-2,0 时，AB 的方程为y =0，不符合题意，∴D 的轨迹方程为x 2+y -1 2=5(除掉点-2,0 )．圆锥曲线的轨迹方程问题第13页。

圆锥曲线技巧——轨迹方程一、直接翻译法题型：动点M 满足。

条件，可由M 坐标直接翻译为等式关系。

即设M （x ，y ），f(x,y)=01、已知点A(-2,0)，B(2,0)，动点M 满足直接AM 与 直线BM 的斜率之积为-21，记M 的轨迹为曲线C ，求C 的轨迹方程。

（*：斜率要注意存在问题；本题答案：x 2/4+y 2/2=1（x ≠±2））2、已知点A （0，-1），点B 在直线y=-3上，动点M 满足MB ∥OA 且AB MA •=BA MB •，求动点M 轨迹方程。

（本题答案：0842=--y x ）3、已知圆O ：0222=-+y x ，圆O ':010822=+-+x y x ，由点P 向两圆引切线长相等，求点P 的轨迹方程。

二、四大定义法如果吻合曲线四大定义，则直接写出曲线方程即可。

例题1：已知点)0,2(),0,2(21F F -,动点P 满足421=+PF PF ，则P 点的轨迹为（） 答案：线段例题2：已知点)0,2(),0,2(21F F -,动点P 满足221=-PF PF ，则P 点的轨迹为（） 答案：双曲线的一支例题3：已知动点M 到点)1,2(F 的距离和到直线01043:=-+y x l 的距离相等，则M 点的轨迹为（）答案：直线1、已知动圆P 过定点A （-3,0），且与圆64)3(:22=+-y x B 相切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

2、已知圆25)1(:22=++y x C ，Q 为圆C 上任意一点，点A （1,0），线段AQ 的垂直平分线与CQ 的连接线相交于点M ，求点M 的轨迹方程。

（提示：垂直平分线的性质定理，即垂直平分线上的点到线段两边的距离相等）3、已知动圆P 与圆1)3(:221=++y x O 外切，与圆1)3(:222=+-y x O 内切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

4、已知动圆P 与定圆1)2(:22=++y x C 外切，又与定直线1:=x l 相切，求动圆圆心P 的轨迹方程。

圆锥曲线轨迹方程题型一、引言圆锥曲线是高中数学中的一个重要部分，涉及到的内容包括圆、椭圆、双曲线和抛物线等。

其中，求解圆锥曲线轨迹方程是一个常见的题型。

本文将从以下几个方面详细介绍圆锥曲线轨迹方程题型。

二、基本概念1. 圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面截过一个双曲面或抛物面得到的图形。

根据截面与轴的位置不同，可以分为四种类型：圆、椭圆、双曲线和抛物线。

2. 坐标系在解决圆锥曲线问题时，通常会使用笛卡尔坐标系或极坐标系。

笛卡尔坐标系是平面直角坐标系，在二维平面上用两个垂直于彼此的轴来确定点的位置。

极坐标系则是以原点为中心，以极径和极角来表示点在平面上的位置。

3. 曲线方程在笛卡尔坐标系下，通常使用一般式或标准式来表示圆锥曲线的方程。

一般式为Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0，标准式则是将一般式进行化简后得到的形式。

在极坐标系下，通常使用参数方程或极坐标方程来表示圆锥曲线的方程。

三、圆锥曲线轨迹方程题型1. 求解椭圆轨迹方程椭圆是指平面上到两个定点F1和F2距离之和为常数2a的所有点P的集合。

求解椭圆轨迹方程的方法是先确定坐标系，然后根据定义列出方程，并进行化简。

例如，已知椭圆的焦点为F1(-3,0)和F2(3,0)，离心率为1/2，求解该椭圆的轨迹方程。

解法如下：（1）确定坐标系：以焦点连线所在直线为x轴正半轴，以中心点O(0,0)为原点建立坐标系。

（2）列出方程：由于离心率为e=1/2，则有a=3/2。

根据椭圆定义可得：PF1+PF2=2a即√[(x+3)²+y²]+√[(x-3)²+y²]=3将上式平方并移项可得：(x+3)²+y²+(x-3)²+y²+2√[(x+3)²+y²]√[(x-3)²+y²]=9化简得到：x²/9+y²/4=1这就是所求的椭圆轨迹方程。

圆 锥 曲 线 中 的 轨 迹 问 题【复习目标】掌握求曲线方程的几种常用方法。

【课前预习】1、一动圆与两圆：221x y +=和228120x y x +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹为 （ ）（A ）抛物线 （B ）圆 （C ）双曲线的一支 （D ）椭圆2、动点P 到直线40x +=的距离减去它到点(2,0)M 的距离之差等于2，则点P 的轨迹是（ ）（A ）直线 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线3、与圆22(2)1x y -+=外切，且与y 轴相切的动圆圆心P 的轨迹方程为 。

4、过抛物线22y x =的焦点的直线交抛物线于A 、B 两点，则线段AB 中点的轨迹方程是 。

【典型例题】1、设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆2224x y +=交于A 、B 两点，点P 在直线l 上，且满足||||1PA PB ⋅=，求点P 的轨迹方程。

2、求与两定点(1,0),(1,0)A B -的连线的斜率之积为常数k 的点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形？3、求曲线2244x y +=关于点(3,5)M 对称的曲线方程。

4、已知ABC ∆中，|BC|=2，顶点A 在平行于底边且距离底边为1的直线上运动，求ABC ∆的垂心H 的轨迹方程。

【巩固练习】1、已知点P 是直线230x y -+=上的一个动点，定点(1,2)M -，Q 是线段PM 延长线上的一个动点，且|PM|=|MQ|，则点Q 的轨迹方程是 （ ）()210 ()250 ()210 ()250A x y B x y C x y D x y ++=--=--=-+=2、动点P 到直线x=6的距离与它到点(2,1)P 的轨迹方程是 （ ）22222222(1)(1)()+=1 ()=1 5454(1)(1)(1)(1)()=1 ()=1 5454x y x y A B x y x y C D -----+-++ 3、倾斜角为4π的直线交椭圆2214x y +=于A 、B 两点，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是 。

圆 锥 曲 线 之 轨 迹 问 题一、临阵磨枪1.直接法（五部法）：如果动点满足的几何条件本身就是一些几何量的等量关系，或这些几何条件简单明了且易于表达，我们只须把这种关系“翻译”成含,x y 的等式就得到曲线的轨迹方程。

这种求轨迹的方法称之为直接法。

2.定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义），则可根据定义直接求出动点的轨迹方程。

3.坐标转移法（代入法）：有些问题中，其动点满足的条件不便于等式列出，但动点是随着另一动点（称之为相关点）而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹方程，这种求轨迹的方法坐标转移法，也称相关点法或代入法。

4.参数法：有时求动点应满足的几何条件不易求出，也无明显的相关点，但却较易发现（或经分析可发现）这个动点的运动常常受到另一个变量（角度、斜率、比值、截距或时间等）的制约，即动点坐标(,)x y 中的,x y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以把这个变量设为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法，如果需要得到轨迹的普通方程，只要消去参变量即可。

5.交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这类问题常可通过解方程组得出交点含参数的坐标，再消去参数得出所求轨迹方程，此种方法称为交轨法。

二、小试牛刀1.已知M （-3,0），N （3,0）6=-PN PM ,则动点P 的轨迹方程为 析：MN PM PN =-Q ∴点P 的轨迹一定是线段MN 的延长线。

故所求轨迹方程是 0(3)y x =≥2.已知圆O 的方程为222=+y x ，圆O '的方程为010822=+-+x y x ，由动点P 向两圆所引的切线长相等，则动点P 的轨迹方程为析：∵圆O 与圆O '外切于点M(2,0) ∴两圆的内公切线上的点向两圆所引的切线长都相等， 故动点P 的轨迹就是两圆的内公切线，其方程为2x =3.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，M 是椭圆上一动点，1F 为椭圆的左焦点，则线段1MF 的中点P 的轨迹方程为析：设P (,)x y 00(,)M x y 又1(,0)F c - 由中点坐标公式可得：00002222x c x x x c y y y y -⎧=⎪=+⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩ 又点00(,)M x y 在椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 上 ∴2200221(0)x y a b a b +=>> 因此中点P 的轨迹方程为2222(2)41x c y a b++= 4.已知A 、B 、C 是不在同一直线上的三点，O 是平面ABC 内的一定点，P 是动点，若[)+∞∈+=-,0),21(λλBC AB OA OP ,则点P 的轨迹一定过三角形ABC 的 重 心。

数学高考复习名师精品教案第67课时：第八章 圆锥曲线方程——轨迹问题（2）课题：轨迹问题（2） 一．复习目标：1．掌握求轨迹方程的另几种方法——相关点法（代入法）、参数法（交规法）； 2．学会用适当的参数去表示动点的轨迹，掌握常见的消参法． 二．知识要点：1．相关点法（代入法）：对于两个动点00(,),(,)P x y Q x y ，点P 在已知曲线上运动导致点Q 运动形成轨迹时，只需根据条件找到这两个点的坐标之间的等量关系并化为00(,)(,)x f x y y g x y =⎧⎨=⎩然后将其代入已知曲线的方程即得到点Q的轨迹方程．2．参数法（交规法）：当动点P 的坐标,x y 之间的直接关系不易建立时，可适当地选取中间变量t ，并用t 表示动点P 的坐标,x y ，从而动点轨迹的参数方程()()x f t y g t =⎧⎨=⎩消去参数t ，便可得到动点P 的的轨迹的普通方程，但要注意方程的等价性，即有t 的范围确定出,x y 的范围． 三．课前预习： 1．已知椭圆1162522=+yx的右焦点为F ，Q 、P 分别为椭圆上和椭圆外一点，且点Q 分FP的比为2:1，则点P 的轨迹方程为 （ C ）()A 14875)6(22=+-yx ()B 14875)6(22=++yx ()C 1144225)6(22=++yx ()D 11444225)32(22=++yx2．设动点P 在直线01=-x 上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰直角三角形OPQ ，则动点Q 的轨迹是 （ B ）()A ()B 两条平行直线 ()C 抛物线 ()D 双曲线3．已知点(,)P x y 在以原点为圆心的单位圆上运动，则点(,)Q x y xy +的轨迹是（ B ） ()A 圆 ()B 抛物线 ()C 椭圆 ()D 双曲线 4．双曲线22143xy-=关于直线20x y -+=对称的曲线方程是22(2)(2)143y x ---=5．倾斜角为4π的直线交椭圆1422=+yx于B A ,两点，则线段AB 中点的轨迹方程是40(||5x y x +=<四．例题分析： 例1．动圆22:(1)1C x y -+=，过原点O作圆的任一弦，求弦的中点的轨迹方程．解：（一）直接法：设O Q 为过O 的任一条弦(,)P x y 是其中点，则CP OQ ⊥，则0C P O Q ⋅= ∴ (1,)(,)0x y x y -=，即2211((01)24x y x -+=<≤（二）定义法：∵090OPC∠=，动点P 在以1(,0)2M 为圆心，O C 为直径的圆上，∴所求点的轨迹方程为2211()(01)24x y x -+=<≤（三）参数法：设动弦PQ 的方程为y kx =，由22(1)1y kxx y =⎧⎨-+=⎩ 得： 22(1)20k x x +-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，PQ 的中点为(,)x y ，则：122121x x x k+==+，21k y kx k==+ 消去k 得2211((01)24x y x -+=<≤例2．求过点(1,2)A ，离心率为12，且以x 轴为准线的椭圆的下方的顶点轨迹方程．解：设椭圆下方的焦点00(,)F x y ，椭圆的下方的顶点为由定义||122A F =，∴||1AF =，即点F 的轨迹方程是220(1)(2)1x y -+-=，又003,2xx y y==，∴点的P 轨迹方程为223(1)(2)12x y -+-=.例3．设椭圆方程为1422=+yx ，过点M （0，1）的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足1()2O P O A O B =+，点N 的坐标为21,21(，当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程； （2）||N P的最小值与最大值.（1）解法一：直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y 记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=14122yx kx y 的解. 将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=++-=+.48,42221221k y y kk x x 于是 44,4()2,2()(21222121kkk y y x x OB OA OP ++-=++=+=设点P 的坐标为),,(y x 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=.44,422k y kk x 消去参数k 得0422=-+y y x ③当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x解法二：设点P 的坐标为),(y x ，因),(11y x A 、),(22y x B 在椭圆上，所以①②,142121=+y x ④ .142222=+y x ⑤④—⑤得0)(4122212221=-+-y y x x，所以.0))((41))((21212121=+-++-y y y y x x x x当21x x ≠时，有.0)(4121212121=--⋅+++x x y y y y x x ⑥并且⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧--=-+=+=.1,2,221212121x x y y xy y y y x x x ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 .0422=-+y y x ⑧当21x x =时，点A 、B 的坐标为（0，2）、（0，－2），这时点P 的坐标为（0，0）也满足⑧，所以点P 的轨迹方程为.141)21(16122=-+y x五．课后作业： 1．抛物线xy 42=经过焦点的弦的中点的轨迹方程是 （ ）()A 12-=x y()B )1(22-=x y ()C 212-=x y()D 122-=x y2．已知椭圆22194xy+=的左、右顶点分别为1A 和2A ，垂直于椭圆长轴的动直线与椭圆的两个交点分别为1P 和2P ，其中1P 的纵坐标为正数，则直线11A P 与22A P 的交点M 的轨迹方程 （ ）()A 22194xy+= ()B 22194yx+= ()C 22194xy-= ()D 22194yx-=3．已知抛物线)(12R m mx x y ∈-+-=的顶点为A ，那么当m 变化时，此抛物线焦点F 的轨迹方程是___________________________． 4．自椭圆221204xy+=上的任意一点P 向x 轴引垂线，垂足为Q ，则线段PQ 的中点M的轨迹方程为5．已知椭圆15922=+yx的两个焦点分别是F 1、F 2，△MF 1F 2的重心G 恰为椭圆上的点，则点M 的轨迹方程为 ．6．如图， 7．设,x y R ∈,i j为直角坐标平面内,x y 轴正方向上的单位向量，若向量(5)a x i y j =++(5)b x i y j =-+ ，||||8a b -=，求点(,)M x y 的轨迹C 的方程．7．某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两个观测点晚4s ，已知各观测点到中心的距离都是1020m ，试确定该巨响发生的位置．（假定当时声音传播的速度为340/m s ；相关各点均在同一平面上） 8．设双曲线2222:1x y C ab-=(0,0)a b >>的离心率为e ，右准线l 与两条渐近线交于,P Q两点，右焦点为F ，且PQF ∆为等边三角形．（1）求双曲线C 的离心率e 的值；（2）若双曲线C 被直线y ax b =+截得的弦长为22b e a，求双曲线C 的方程；（3）设双曲线C 经过点(1,0)，以F 为左焦点，l 为左准线的椭圆，其短轴的端点为B ，求BF 中点的轨迹方程．。

课时考点13 轨迹问题考纲透析考试大纲：在理解曲线与方程意义的基础上，能较好地掌握求轨迹的几种基本方法. 高考热点：1.直接法、定义法、转移法求曲线的轨迹方程.2.数形结合的思想，等价转化的思想能起到事半功倍的作用.新题型分类例析热点题型1：直接法求轨迹方程 （05江苏•19）如图，圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O .圆2O 的切线PM 、PN （M.N分别为切点），使得PN PM 2=试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程解：以1O 2O 的中点O 为原点，1O 2O 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则1O （-2，0），2O （2，0）， 由已知PN 2PM =，得22PN PM =因为两圆的半径均为1，所以1(212221-=-PO PO设),(y x P ，则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ，即33)6(22=+-y x ， 所以所求轨迹方程为)6(22=+-y x （或031222=+-+x y x ）[变式新题型1]：设双曲线13222=-x ay 的焦点分别为1F 、2F ，离心率为2.（1）求此双曲线的渐近线`1l 、2l 的方程；（2）若A 、B 分别为`1l 、2l 上的动点，且2|AB |=5|1F 2F |，求线段AB 的中 点M 的轨迹方程并说明轨迹是什么曲线.热点题型2：定义法和转移法求轨迹方程 （05辽宁•理21）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca F +=||1；（Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=.2b 若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由。

高三数学解答题难题突破—圆锥曲线中动点轨迹方程问题本文介绍了解动点轨迹问题的四种方法：直译法、定义法、代入法和参数法。

其中，直译法包括建系、设点、列式、代换和证明五个步骤；定义法则是根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程；代入法和参数法则是在特定条件下使用的方法。

此外，文章还提到了解轨迹问题时需要注意的两点：求点的轨迹与求轨迹方程是不同的要求，要验证曲线上的点是否都满足方程。

接下来，文章以一个例题为例，介绍了利用代点法求轨迹方程的具体步骤。

该例题要求求出点P的轨迹方程，通过设点、列式、代换和证明四个步骤，最终得出了轨迹方程x2+y2=2.此外，文章还介绍了如何利用轨迹方程验证曲线上的点是否都满足方程，以及如何去掉满足方程的解而不再曲线上的点。

最后，文章介绍了另一种解轨迹问题的方法：定义法。

该方法是先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。

I）设圆心C的坐标为(x,y)，则圆方程为(x-1)^2+y^2=1，又因为在y轴上截得的弦长为2，所以C到y轴的距离为1，即x^2+y^2=1.联立两式可得圆心C的轨迹方程为x^2+y^2-x-1=0.II）由题意可知，直线l的斜率为k，且过点Q(1,0)，则直线方程为y=k(x-1)。

将直线方程代入圆的方程中，得到方程x^2+(k(x-1))^2-x-1=0，化简可得x^2(1+k^2)-2xk^2+k^2-1=0.由于直线l与轨迹C有交点A、B，所以方程有两个不同的实根，即Δ=4k^4-4(k^2+1)(k^2-1)≥0.解得-1≤k≤1.再将k带入直线方程可求出交点A、B的坐标，进而证明AR//FQ。

求AB中点的坐标为((k^2-1)/(1+k^2),k(k^2-2)/(1+k^2))，将其代入x^2+y^2-x-1=0中得到轨迹方程为x^4-2x^3+6x^2-2x+1-4y^2=0.1.定点、定值问题的解法定点、定值问题通常可以通过设定参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少。

微专题圆锥曲线经典难题之一类交点轨迹问题的通性通法研究【秒杀总结】交点轨迹问题的常用技巧：1.两直线方程相乘消元2.两直线方程相除，相当于两斜率比问题，平方转韦达结构可消元3.定比点差法4.同构5.硬解坐标【典型例题】例1.(2023·全国·高三专题练习)已知双曲线Γ:x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)过点4,13 ，离心率为14，直线l :x =9交x 轴于点A ，过点A 作直线交双曲线Γ于M ,N 两点.(1)求双曲线Γ的标准方程；(2)若M 是线段AN 的中点，求直线MN 的方程；(3)设P ,Q 是直线l 上关于x 轴对称的两点，直线PM 与QN 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.【解析】(1)由题意得：16a 2-169b2=1，ca =14，a 2+b 2=c 2.解得a 2=3，b 2=39，所以双曲线Γ的标准方程为x 23-y 239=1.(2)方法1：设N x 0,y 0 ，则M x 0+92,y 02依题意有x 023-y 0239=1x 0+9 23×4-y 0239×4=1解得x 0=-4，y 0=±13所以直线MN 的方程为x +y -9=0或x -y -9=0.方法2：设直线MN 的方程为y =k x -9 ，与双曲线的方程x 23-y 239=1联立得：13-k 2 x 2+18k 2x -81k 2+39 =0.当Δ=324k 4+413-k 2 81k 2+39 >0时设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，得x 1+x 2=-18k 213-k 2，x 1x 2=-81k 2+3913-k 2.又因为x 1=x 2+92，所以x 2=-9k 2+3913-k 2，x 22+9x 22=-81k 2+3913-k 2，解得k 2=1.此时Δ>0，所以直线MN 的方程为x +y -9=0或x -y -9=0.(3)方法1：设P 9,t ，Q 9,-t ，直线PM 的方程为y -t =y 1-t x 1-9x -9 ，直线ON 的方程y +t =y 2+tx 2-9x -9 ，联立两方程，可得2t =y 2+t x 2-9-y 1-tx 1-9 x -9 ①结合(2)方法2，可得y 2+t x 2-9-y 1-tx 1-9=k x 2-9 +t x 2-9-k x 1-9 -t x 1-9=t x 1+x 2-18 x 1x 2-9x 1+x 2 +81代入①得2=x 1+x 2-18x 1x 2-9x 1+x 2 +81⋅x -9故x =2x 1x 2-9x 1+x 2 x 1+x 2-18=2-81k 2+3913-k 2 -9-18k 213-k 2 18k 213-k 2-18=13.所以直线PM 与QN 的交点在定直线x =13上.方法2：设直线MN 的方程为x =my +9，与双曲线的方程x 23-y 239=1联立得：13m 2-1 y 2+234my +1014=0.设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，P 9,t ，Q 9,-t ，由根与系数的关系，得y 1+y 2=-234m 13m 2-1，y 1y 2=101413m 2-1.l PM ：y -t =y 1-t x 1-9x -9 ，l QN ：y +t =y 2+tx 2-9x -9 ，联立两方程，可得：2t =y 2+t x 2-9-y 1-t x 1-9 x -9 =y 2+t my 2-y 1-t my 1 x -9 =y 1+y 2my 1y 2t x -9 =-234m 13m 2-1m ⋅101413m 2-1⋅t x -9 =-313t x -9 ，解得x =13所以直线PM 与QN 的交点在定直线x =13上.例2.(2023·全国·高三专题练习)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F 0,c (c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322．(1)求抛物线C 的方程；(2)设点P (x 0，y 0)为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；(3)过(2)中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线l 1，l 2，求l 1，l 2交点M 满足的轨迹方程．【解析】(1)设抛物线的方程为x 2=2py ，∵抛物线C 的焦点F 0,c (c >0)到直线l :x -y -2=0的距离为322，∴|0-c -2|2=322，解得c =1或c =-5(舍去)，∴p2=1，p =2，∴抛物线C 的方程为x 2=4y ．(2)设P (x 0，x 0-2)，设切点为x ,x 24 ，曲线C :y =x 24，y ′=x2，则切线的斜率为x 24-(x 0-2)x -x 0=y ′=x 2，化简得x 2-2x 0x +4x 0-8=0，设A x 1，x 124 ，B x 2,x 224，则x 1，x 2是以上方程的两根，则x 1+x 2=2x 0，x 1x 2=4x 0-8，k AB =x 124-x 224x 1-x 2=x 1+x 24=x 02，直线AB 的方程为：y -x 124=x 02(x -x 1)，整理得y =x 02x -x 0x 12+x 124，∵切线PA 的方程为y -x 124=x 12(x -x 1)，整理得y =x 12x -x 124，且点P (x 0，y 0)在切线PA 上，∴y 0=x 12x 0-x 124，即直线AB 的方程为：y =x02x -y 0，化简得x 0x -2y -2y 0=0，又∵y 0=x 0-2，∴x 0x -2 -2y +4=0，故直线AB 过定点Q (2,2)．(3)设A x 1，x 124 ，B x 2,x 224，过A 的切线y =x 12(x -x 1)+x 124，过B 的切线y =x 22(x -x 2)+x 224，则交点M x 1+x 22，x 1x 24设过Q 点的直线为y =k (x -2)+2，联立y =k x -2 +2x 2=4y，得x 2-4kx +8k -8=0，∴x 1+x 2=4k ，x 1x 2=8k -2，∴M (2k ,2k -2)，∴y =x -2．∴点M 满足的轨迹方程为x -y -2=0．例3.(2023·全国·高三专题练习)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12，椭圆上的点到焦点的最小距离为1．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，且OA ⊥OB (O 为坐标原点)，OH ⊥AB 于H 点．试求点H 的轨迹方程．【解析】(1)由题意知：e =c a =12，a -c =1，a 2=b 2+c 2，解得a =2，b 2=3．故椭圆的方程为x 24+y 23=1．(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(i )若l ⊥x 轴，可设H (x 0，0)，因OA ⊥OB ，则A (x 0，±x 0)．由x 024+x 023=1，得x 20=127，即H ±127,0；若l ⊥y 轴，可设H (0,y 0)，同理可得H 0,±127；(ii )当直线l 的斜率存在且不为0时，设l :y =kx +m ，由y =kx +m x 24+y 23=1，消去y 得：(3+4k 2)x 2+8km x +4m 2-12=0，则x 1+x 2=-8km 3+4k 2,x 1x 2=4m 2-123+4k 2，y 1y 2=(kx 1+m )(kx 2+m )=k 2x 1x 2+km (x 1+x 2)+m 2=3m 2-12k 23+4k 2，由OA ⊥OB ，知x 1x 2+y 1y 2=0．故4m 2-123+4k 2+3m 2-12k 23+4k 2=0，即7m 2=12(k 2+1)(记为①)．由OH ⊥AB ，可知直线OH 的方程为y =-1kx ，联立方程组y =kx +m y =-1k x，得k =-x ym =x 2y+y(记为②)，将②代入①，化简得x 2+y 2=127．综合(1)、(2)，可知点H 的轨迹方程为x 2+y 2=127．例4.(2023·全国·高三开学考试)椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的离心率为22，且过点22,2 .(1)求椭圆E 的方程；(2)F 1，F 2分别为椭圆E 的左､右焦点，动点A ，B 在椭圆上(不含长轴端点)，且关于y 轴对称，P 为椭圆上异于A ，B 的动点，直线PA 与PB 分别交y 轴于M ，N 两点求证：直线MF 1与NF 2的交点在定圆上.【解析】(1)解：由c a =22得a =2c ，由c 2=a 2-b 2，所以b =c ，把点22,2 代入方程得82c 2+4c2=1，所以c 2=8，所以椭圆E 的方程为x 216+y 28=1.(2)解：设A x 1,y 1 ，P x 2,y 2 ，B -x 1,y 1 ，由AP 方程：y -y 1=y 2-y 1x 2-x 1x -x 1 ，得M 0,x 2y 1-x 1y 2x 2-x 1 ，由BP 方程：y -y 1=y 2-y 1x 2+x 1x +x 1 ，得N 0,x 2y 1+x 1y 2x 2+x 1 ，∴MF 1的方程为y =x 2y 1-x 1y 222x 2-x 1x +22 ，①NF 2的方程为y =x 2y 1+x 1y 2-22x 2+x 1x -22 ，②由①②相乘得y 2=x 22y 21-x 21y 22-8x 22-x 21 x 2-8 ，③由A ，P 在椭圆上可得y 21=8-x 212，y 22=8-x 222，代入③式可得：y 2=-x 2-8 ，即直线MF 1与NF 2的交点在定圆x 2+y 2=8上.例5.(【全国市级联考】山西省晋中市2023届高三1月高考适应性调研考试数学(理)试题)已知抛物线C ：y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆M ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右焦点，且两曲线有公共点23，263(1)求椭圆M 的方程；(2)椭圆M 的左、右顶点分别为A 1，A 2，若过点B 4，0 且斜率不为零的直线l 与椭圆M 交于P ，Q 两点，已知直线A 1P 与A 2Q 相较于点G ，试判断点G 是否在一定直线上？若在，请求出定直线的方程；若不在，请说明理由.【解析】试题分析：(1)由条件易得：a 2-b 2=149a 2+249b2=1，从而得到椭圆M 的方程；(2)先由特殊位置定出G 1,-332，猜想点G 在直线x =1上，由条件可得直线PQ 的斜率存在， 设直线PQ :y =k x -4 k ≠0 ，联立方程y =k x -4 3x 2+4y 2-12=0，消y 得：3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0有两个不等的实根，利用韦达定理转化条件即可.试题解析：(1)将23，263代入抛物线C :y 2=2px 得p =2∴抛物线的焦点为1,0 ，则椭圆M 中c =1，又点23,263在椭圆M 上，∴a 2-b 2=149a 2+249b2=1， 解得a 2=4,b 2=3，椭圆M 的方程为x 24+y 23=1(2)方法一当点P 为椭圆的上顶点时，直线l 的方程为3x +4y -43=0，此时点P 0,3 ，Q 85,335，则直线l A 1P :3x -2y +23=0和直线l A 2Q :33x +2y -63=0，联立3x -2y +23=033x +2y -63=0，解得G 1,332，当点P 为椭圆的下顶点时，由对称性知： G 1,-332. 猜想点G 在直线x =1上，证明如下：由条件可得直线PQ 的斜率存在， 设直线PQ :y =k x -4 k ≠0 ，联立方程y =k x -43x 2+4y 2-12=0，消y 得：3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0有两个不等的实根，Δ=322k 4-4⋅43+4k 2 16k 2-3 =16⋅91-4k 2 >0，∴0<k 2<14设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，则x 1+x 2=32k 23+4k 2，x 1⋅x 2=64k 2-123+4k 2*则直线l A 1P :y =y 1x 1+2x +2 与直线l A 2Q :y =y 2x 2-2x -2联立两直线方程得y 1x 1+2x +2 =y 2x 2-2x -2 (其中x 为G 点横坐标)将x =1代入上述方程中可得3y 1x 1+2=-y 2x 2-2，即3k x 1-4 x 2-2 =-k x 2-4 x 1+2 ，即证4x 1x 2-10x 1+x 2 +16=0将* 代入上式可得4×64k 2-12 3+4k 2-10×32k 23+4k 2+16=1616k 2-3-20k 2+3+4k 23+4k 2=0，此式成立∴点G 在定直线x =1上.方法二由条件可得直线PQ 的斜率存在， 设直线PQ :y =k x -4 k ≠0联立方程y =k x -4 3x 2+4y 2-12=0，消y 得：3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0有两个不等的实根，Δ=322k 4-4⋅43+4k 2 16k 2-3 =16⋅91-4k 2 >0，∴0<k 2<14设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ,G x 3,y 3 ，则x 1+x 2=32k 23+4k 2，x 1⋅x 2=64k 2-123+4k 2∴x 1-x 2 =x 1+x 2 2-4x 1x 2=121-4k 23+4k 2，由A 1，P ，G 三点共线，有： y 1x 1+2=y 3x 3+2由A 2，Q ，G 三点共线，有： y 3x 3-2=y 2x 2-2上两式相比得x 3+2x 3-2=y 2x 1+2 y 1x 2-2 =k x 2-4 x 1+2 k x 1-4 x 2-2=x 1x 2-x 1+x 2 +3x 2-x 1 -8x 1x 2-3x 1+x 2 +x 1-x 2 +8=-3，解得x 3=1∴点G 在定直线x =1上．例6.(安徽省淮北市树人高级中学、萧县实验中学2022-2023学年高三上学期期中联考数学试题)已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右顶点分别为A 1，A 2，右焦点为F 2(1,0)，点B 1,32 在椭圆上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l ：y =k (x -4)(k ≠0)与椭圆C 交于M ，N 两点，已知直线A 1M 与A 2N 相交于点G ，证明：点G 在定直线上，并求出此定直线的方程．【解析】解:(1)因为F 2(1,0),所以c =1,由题意知:a 2=1+b 21a 2+94b 2=1 ,解得a =2b =3 ,则椭圆的方程为:x 24+y 23=1.(2)由椭圆对称性知G 在x =x 0上,假设直线 l 过椭圆上顶点,则M (0,3),则k =-34,而N 85,335,l A 1M :y =32(x +2),l A 2N :y =-332(x -2),其交点G 1,332,所以G 在定直线x =1上;当M 不在椭圆顶点时,设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,由y =k (x -4)x 24+y 23=1,整理得:3+4k 2 x 2-32k 2x +64k 2-12=0,则x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1x 2=64k 2-123+4k 2,l A 1M :y =y 1x 1+2(x +2),l A 2N :y =y 2x 2-2(x -2),当x =1时,3y 1x 1+2=-y 2x 2-2,得3k x 1-4 x 1+2=-k x 2-4 x 2-2,得2x 1x 2-5x 1+x 2 +8=0,得2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+8=0,上式显然成立,所以G 在定直线x =1上.例7.(【全国百强校】黑龙江省双鸭山市第一中学2022-2023学年高三4月月考数学(理)试题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为12，且经过点1,32 .(1)求椭圆C 的方程；(2)动直线l :y =k x -4 k ≠0 与椭圆C 相交于点M ，N ，椭圆C 的左右顶点为A 1,A 2,直线A 1M 与A 2N 相交于点G ，证明点G 在定直线上，并求出定直线的方程.【解析】(1)离心率为12，即c a =12，而a 2=b 2+c 2所以b 2=34a 2 ①，椭圆经过点1,32.所以1a 2+94b 2=1②，由①②联立方程组，解得a 2=4,b 2=3，所以椭圆的方程为x 24+y 23=1(2)由椭圆的对称性可知点G 一定在x =x 0上，假设直线l 过椭圆的上顶点，则M (0,3)，l :y =k x -4 k ≠0 ，显然直线l 过定点(4，0)所以k =-34，椭圆方程与直线方程联立，求出点N 的坐标为85,335l A 1M :y =32(x +2) l A 2N :y =-332(x -2)两方程联立，解得交点G 1,332，所以G 在定直线x =1上．当M 不是椭圆顶点时，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)椭圆方程与直线l 联立y =k (x -4)x 24+y 23=1消去y ，整理得(3+4k 2)x 2-32k 2x +64k 2-12=0所以有x 1+x 2=32k 23+4k 2,x 1⋅x 2=64k 2-123+4k 2l A 1M :y =y 1x 1+2(x +2)l A 2N :y =y 2x 2-2(x -2)当x =1时，3y 1x 1+2=-y 2x 2-2把y 1=k x 1-4 ,y 2=k x 2-4 代入整理得：2x 1⋅x 2-5(x 1+x 2)+8=0 所以有2×64k 2-123+4k 2-5×32k 23+4k 2+8=0,显然成立，所以G 在定直线x =1上．例8.(山西省晋城市2023届高三上学期第一次模拟考试数学试题)已知点P 1,32 在椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，F 2为椭圆C 的右焦点，A 1、A 2分别为椭圆C 的左、右两个顶点.若过点B 4,0 且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，且线段MA 1、MA 2的斜率之积为-34.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线A 1M 与A 2N 相交于点G ，证明：G 、P 、F 2三点共线.【解析】(1)设点M x 1,y 1 ，其中y 1≠0，则x 21a 2+y 21b 2=1，可得y 21=b 2-b 2x 21a2，易知点A 1-a ,0 、A 2a ,0 ，k MA 1k MA2=y 1x 1+a ⋅y 1x 1-a =b 21-x 21a 2x 21-a 2=b 2a 2-x 21a 2x 21-a 2=-b 2a 2=-34，所以，1a 2+94b 2=1b 2a 2=34 ，解得a 2=4，b 2=3，因此，椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)易知点F 21,0 、A 1-2,0 、A 22,0 ，设点M x 1,y 1 、N x 2,y 2 ，设直线l 的方程为x =my +4，其中m ≠0，联立x =my +43x 2+4y 2=12，可得3m 2+4 y 2+24my +36=0，Δ=242m 2-1443m 2+4 =144m 2-4 >0，解得m <-2或m >2，由韦达定理可得y 1+y 2=-24m 3m 2+4，y 1y 2=363m 2+4，k A 1M =-34k A 2M=-34y 1x 1-2=-3my 1+2 4y 1，直线A 1M 的方程为y =-3my 1+2 4y 1x +2 ，k A 2N =y 2x 2-2=y 2my 2+2，直线A 2N 的方程为y =y 2my 2+2x -2 ，联立y =-3my 1+24y 1x +2 y =y 2my 2+2x -2可得-34⋅x +2x -2=y 1y 2my 1+2 my 2+2=y 1y 2m 2y 1y 2+2m y 1+y 2 +4=3636m2-48m2+43m2+4=94，解得x=1，即点G的横坐标为1，因此，G、P、F2三点共线.例9.(广东省东莞市2022-2023学年度第一学期期末教学质量检查高三数学试题)已知椭圆C:x2 a2+y2 b2=1a>b>0的两个焦点分别是F1，F2，点P在椭圆C上，且PF1+PF2=4，记椭圆C的左右顶点分别为A1，A2，上顶点为B，ΔA1A2B的面积为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)不过点B的直线l:y=kx+m与椭圆C相交于M、N两点，记直线BM、BN的斜率分别为k1、k2，且k1⋅k2=2．试问：直线MN是否恒过一定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．【解析】(1)设椭圆C的长半轴为a．依题意，PF1+PF2=4=2a得a=2，由ΔA1A2B的面积为2得SΔA1A2B=ab=2得b=1所以，椭圆C的方程是x24+y2=1(2)将直线MN的方程y=kx+m代入x24+y2=1，消去y，整理得1+4k2x2+8km x+4m2-4=0Δ=64k2m2-41+4k24m2-4=164k2-m2+1>0(*)设M x1,y1,N x2,y2,则．x1+x2=-8km1+4k2，x1x2=4m2-41+4k2由题意k BM k BN=2⇒y1-1x1y2-1x2=2，将y1=kx1+m,y2=kx2+m代入上式并化简得整理得k2-2x1x2+k m-1x1+x2+m-12=0将式代入k2-24m2-41+4k2+k m-1-8km1+4k2+m-12=0由直线不过点B得m≠1，从而化简后：-7m-9=0⇒m=-9 7所以直线MN过定点0,-9 7【过关测试】1.(四川省2023届高三大数据精准教学第二次统一监测数学试题)在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为-2,0，2,0，P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于-14.设点P的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程；(2)某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点1,0且倾斜角不为0的直线l与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上.此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由.【解析】(1)设点P 的坐标为x ,y ，由y x +2⋅y x -2=-14，得4y 2=4-x 2，即x 24+y 2=1y ≠0 .故轨迹C 的方程为：x 24+y 2=1y ≠0(2)根据题意，可设直线MN 的方程为：x =my +1，由x =my +1x 24+y 2=1，消去x 并整理得m 2+4 y 2+2my -3=0其中，Δ=4m 2+12m 2+4 =16m 2+48>0.设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2m m 2+4，y 1y 2=-3m 2+4.因直线l 的倾斜角不为0，故x 1，x 2不等于±2(y 1，y 2不为0)，从而可设直线AM 的方程为y =y 1x 1+2x +2 ①，直线BN 的方程为y =y 2x 2-2x -2 ②，所以，直线AM ，BN 的交点Q x 0,y 0 的坐标满足：x 0+2=y 2x 1+2y 1x 2-2⋅x 0-2而y 2x 1+2 y 1x 2-2 =y 2my 1+3 y 1my 2-1=my 1y 2+3y 2my 1y 2-y 1=-3m m 2+4+3-2m m 2+4-y 1 -3m m 2+4-y 1=-9m -3m 2+4 y 1-3m -m 2+4 y 1=3，因此，x 0=4，即点Q 在直线x =4上.所以，探究发现的结论是正确的.2.(浙江省杭州第二中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题)已知圆M :(x -3)2+y 2=9以及圆C :x 2+y 2=4.(1)求过点(1，2)，并经过圆M 与圆C 的交点的圆的标准方程；(2)设D (2,0)，过点D 作斜率非0的直线l 1，交圆M 于P 、Q 两点.(i )过点D 作与直线l 1垂直的直线l 2，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(ii )设B (6，0)，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【解析】(1)联立两圆方程，可得(x-3)2+y2=9x2+y2=4，消去y整理可得：x2-6x+9+4-x2=9，解得x=23，则y=±423，则所求圆所过点分别为A1,2，A123,423，A223,-423，由A1A2的中垂线为x轴，则可设圆心H a,0，由AH=A1H，则1-a2+22=23-a2+4232，解得a=32，故所求圆的半径r1=1-3 22+22=172，故圆H的标准方程为x-322+y2=174.(2)(i)由M:(x-3)2+y2=9，则圆心M3,0，半径r=3，由直线l1过点D且斜率非0，则可设l1:kx-y-2k=0，即点M到直线l1的距离d1=3k-2k1+k2=k1+k2，故QP=2r2-d12=29-k21+k2=28k2+91+k2，由l1⊥l2，且直线l2过点D，则可设l2:x+ky-2=0，即点M到直线l2的距离d2=3-21+k2=11+k2，故EF=2r2-d22=29-11+k2=29k2+81+k2，故S=12⋅EF⋅QP=12⋅28k2+91+k2⋅29k2+81+k2=28k2+99k2+81+k22≤2171+k221+k2=17，当且仅当9k2+8=8k2+9，即k=±1时，取等号，故四边形EPFQ的面积为S最大值为17.(ii)设P x1,y1,Q x2,y2，设直线PQ:x=my+2，联立(x-3)2+y2=9x=my+2，消x得m2+1y2-2my-8=0，则y1+y2=2m1+m2,y1y2=-81+m2，即y1+y2y1y2=-m4，直线OP的方程为y=y1x1x，直线BQ的直线方程为y=y2x2-6x-6，联立y=y1x1xy=y2x2-6x-6，消y得y1x1x=y2x2-6x-6，解得x=6x1y2x1y2-y1x2-6=6my1+2y2my1+2y2-y1my2-4，由y1+y2y1y2=-m4，则my1y2=-4y1+y2，即3my1y2+2y22y1+y2=3-4y1-4y2+2y22y1+y2=-6，N在定直线x=-6.3.(江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高三上学期期中数学试题)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积．即椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆C 1的中心为坐标原点，焦点F 1，F 2均在x 轴上，椭圆C 1的面积为23π，且短轴长为23．椭圆C 2:x 2m +y 23=1(0<m <3)与椭圆C 1有相同的离心率．(1)求m 的值与椭圆C 1的标准方程；(2)过椭圆C 1的左顶点A 作直线l ，交椭圆C 1于另一点B ，交椭圆C 2于P ，Q 两点(点P 在A ，Q 之间)．①求△OPQ 面积的最大值(O 为坐标原点)；②设PQ 的中点为M ，椭圆C 1的右顶点为C ，直线OM 与直线BC 的交点为N ，试探究点N 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．【解析】(1)由题意可得ab =23ππ2b =23解得a =2，b =3因为椭圆C 1的焦点在x 轴上，所以C 1的标准方程为x 24+y 23=1椭圆C 1的离心率为12，椭圆C 2得焦点在y 轴上，则12=1-m3则m =94(2)①当直线AB 与x 轴重合时，O ，P ，Q 三点共线，不符合题意故设直线AB 的方程为：x =ty -2且t ≠0设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2由(1)知椭圆C 2的方程为：4x 29+y 23=1联立方程4x 29+y 23=1x =ty -2消去x 得：4t 2+3 y 2-16ty +7=0由韦达定理得：y 1+y 2=16t 4t 2+3；y 1y 2=74t 2+3又S △POQ =S △AOQ -S △AOP =12|AO |⋅y 1-y 2 =y 1-y 2=16t 4t 2+3 2-4⋅74t 2+3=23⋅12t 2-74t 2+32令4t 2+3=s (s >3)23⋅12t 2-74t 2+32=23⋅3s -16s 2=23⋅-161s -332 2+964≤334此时s=32 3>3∴△OPQ面积的最大值为：334②由①知：y1+y2=16t4t2+3，则x1+x2=-124t2+3∴M-64t2+3,8t 4t2+3∴直线OM的斜率：k OM=-4t3则直线OM的方程为：y=-4t 3x联立方程x=ty-2x24+y23=1消去x得：3t2+4y2-12ty=0，解得：y B=12t 3t2+4∴x B=t⋅12t3t2+4-2=6t2-84t2+3∴k BC=12t3t2+46t2-83t2+4-2=-12t16=-3t4则直线BC的方程为：y=-3t4(x-2)联立直线OM和BC的方程y=-4t3xy=-3t4(x-2)解得：N-187,24t7∴点N在定值直线x=-187运动.4.(湖南省部分校教育联盟2022-2023学年高三上学期入学摸底测试数学试题)设F1,F2是双曲线C:x2 a2-y2b2=1a>0,b>0的左､右两个焦点，O为坐标原点，若点P在双曲线C的右支上，且OP=OF1=2,△PF1F2的面积为3.(1)求双曲线C的渐近线方程；(2)若双曲线C的两顶点分别为A1-a,0,A2a,0，过点F2的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由.【解析】(1)由OP=OF1=2得c=2，且PF1⊥PF2所以PF1- PF2=2a 12PF1. PF2=3 ,PF 12+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 PF 2即4a 2+12=16解得a =1,又a 2+b 2=c 2=4,b =3,故双曲线的渐近线方程为y =±ba x =±3x .(2)由(1)可知双曲线的方程为x 2-y 23=1.(i )当直线l 的斜率不存在时，M 2,3 ,N 2,-3 ，直线A 1M 的方程为y =x +1，直线A 2N 的方程为y =-3x +3，联立直线A 1M 与直线A 2N 的方程可得Q 12,32，(ii )当直线l 的斜率存在时，易得直线l 不和渐近线平行，且斜率不为0，设直线l 的方程为y =k x -2 k ≠0,k ≠±3 ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，联立y =k x -2 x 2-y 23=1得3-k 2 x 2+4k 2x -4k 2-3=0,∴Δ>0,x 1+x 2=4k 2k 2-3,x 1x 2=4k 2+3k 2-3∴直线A 1M 的方程为y =y 1x 1+1x +1 ，直线A 2N 的方程为y =y 2x 2-1x -1 ，联立直线A 1M 与直线A 2N 的方程可得：x +1x -1=y 2x 1+1 y 1x 2-1 ，两边平方得x +1x -1 2=y 22x 1+1 2y 21x 2-1 2，又M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 满足x 2-y 23=1，∴y 22x 1+1 2y 21x 2-1 2=3x 22-1 x 1+1 23x 21-1 x 2-1 2=x 2+1 x 1+1 x 1-1 x 2-1=x 1x 2+x 1+x 2 +1x 1x 2-x 1+x 2 +1.=4k 2+3k 2-3+4k 2k 2-3+14k 2+3k 2-3-4k 2k 2-3+1=4k 2+3+4k 2+k 2-34k 2+3-4k 2+k 2-3=9，∴x +1x -1 2=9,∴x =12，或x =2，(舍去).综上，Q 在定直线上，且定直线方程为x =12.5.(上海市格致中学2023届高三上学期期中数学试题)椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的焦点F 1，F 2是等轴双曲线C 2：x 22-y 22=1的顶点，若椭圆C 1与双曲线C 2的一个交点是P ，△PF 1F 2的周长为4+22.(1)求椭圆C 1的标准方程；(2)点M 是双曲线C 2上任意不同于其顶点的动点，设直线MF 1、MF 2的斜率分别为k 1，k 2，求证k 1，k 2的乘积为定值；(3)过点Q -4,0 任作一动直线l 交椭圆C 1与A ，B 两点，记AQ =λQBλ∈R ，若在直线AB 上取一点R ，使得AR =-λ RB，试判断当直线l 运动是，点R 是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.【解析】(1)有由题可知：c =2，由△PF 1F 2的周长为4+22所以PF 1 +PF 2 =4+22-22=4，即2a =4⇒a =2所以b 2=a 2-c 2=2所以椭圆的方程为x 24+y 22=1(2)设M x ,y ，由F 1-2,0 ,F 22,0 所以k 1=y x +2,k 2=y x -2所以k 1⋅k 2=y 2x 2-2，又x 22-y 22=1，则y 2=x 2-2所以k 1⋅k 2=1(3)依题可知：直线的斜率存在，设方程为y =k x +4 ，A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 所以y =k x +4x 24+y 22=1⇒1+2k 2 x 2+16k 2x +32k 2-4=0所以Δ=16k 2 2-4×1+2k 2 ×32k 2-4 =161-6k 2 >0x 1x 2=32k 2-41+2k 2,x 1+x 2=-16k 21+2k 2由AQ =λQB ⇒-4-x 1=λx 2+4 ⇒λ=-4+x 1x 2+4，设R x 0,y 0由AR =-λ RB⇒x 0-x 1=-λx 2-x 0所以x 0=x 1-λx 21-λ=x 1+4+x 1x 2+4x 21+4+x 1x 2+4=2x 1x 2+4x 1+x 2 x 1+x 2+8所以x 0=2×32k 2-41+2k 2+4×-16k 21+2k 2 -16k 21+2k 2+8=-16.(黑龙江省齐齐哈尔市2022-2023学年高三上学期期末考试数学(理)试题)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的离心率e =12，F 为椭圆的右焦点，P 为椭圆上的动点，PF 的最大值为3.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，过点F 作直线交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM 、BN 交于点T ，试探究点T 是否在某条定直线上，若是，请求出该定直线方程，若不是，请说明理由.【解析】(1)由题意得：e=ca=12，a+c=3，则a=2，c=1，b=a2-c2=3，∴椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)由题知，A-2,0，B2,0，F(1,0)，设M x1,y1，N x2,y2，设直线MN的方程为x=my+1，将其与x24+y23=1联立，消去x并整理得3m2+4y2+6my-9=0，由韦达定理得y1+y2=-6m3m2+4①，y1y2=-93m2+4②，联立①②得my1y2=32y1+y2，设直线AM方程为y=y1x1+2x+2③，直线BN方程为y=y2x2-2x-2④，联立③④得x-2x+2=y1x2-2y2x1+2=y1my2+1-2y2my1+1+2=my1y2-y1my1y2+3y2=32y1+y2-y132y1+y2+3y2=12y1+32y232y1+92y2=13，则x-2x+2=13，解得x=4，即T点在定直线x=4上.7.(湖北省云学新高考联盟学校2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题)在平面直角坐标系中，圆M是以A(1,-3),B(3,3)两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线y=x对称．(1)求圆N的标准方程；(2)设C(0,1),D(0,4)，过点C作直线l1，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上．①过点C作与直线l1垂直的直线l2，交圆N于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；②设直线OP,DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．【解析】(1)由题意得：M为线段AB的中点，故圆M的圆心坐标为M(2,0)，半径r=12|AB|=2圆M的方程为：(x-2)2+y2=4，因为圆N关于圆M关于直线y=x对称，所以圆N的圆心为N(0,2)所以圆N的标准方程为：x2+(y-2)2=4.(2)设直线l1的方程为y=kx+1，即kx-y+1=0，则圆心N(0,2)到直线l1的距离d1=|-2+1|k2+1=1k2+1，所以|PQ|=24-1k2+1=24k2+3k2+1，(ⅰ)若k=0，则直线l2斜率不存在，则|PQ|=23，|EF|=4,则S=12|EF|⋅|PQ|=43，若k≠0，则直线l2的方程为y=-1k x+1，即x+ky-k=0，则圆心N(0,2)到直线l1的距离d2=kk2+1，所以|EF|=24-k2k2+1=23k2+4k2+1，则S=12|EF|.|PQ|=24k2+33k2+4k2+12=212k2+12+k2k2+12=212+k2k2+12=212+1k2+1k2+2≤212+12k2⋅1k2+2=7，当且仅当k2=1k2，即k=±1时，等号成立.综上所述，因为7=49>43，所以S的最大值为7；(ⅱ)设P x1,y1,Q x2,y2，联立方程组得：x2+(y-2)2=4 y=kx+1消y得k2+1x2-2kx-3=0，则x1+x2=2kk2+1,x1x2=-3k2+1，直线OP的方程为y=y1x1x，直线DQ的方程为y=y2-4x2x+4，联立解得x=4x1x23x1+x2则y=y1x1⋅4x1x23x1+x2=4y1x23x1+x2=4kx1+1x23x1+x2=4kx1x2+4x23x1+x2=-6x1-2x23x1+x2=-2，所以G4x1x23x1+x2,-2，所以点G在定直线y=-2上.8.(江苏省南京市第九中学2022-2023学年高三上学期期末模拟数学试题)在平面直角坐标系中，圆M是以A(1,3)，B(3,-3)两点为直径的圆，且圆N与圆M关于直线y=x对称.(1)求圆N的标准方程；(2)设C(0,1)，D(0,4)，过点C作直线l1，交圆N于P、Q两点，P、Q不在y轴上.(i)过点C作与直线l1垂直的直线l2，交圆N于E、F两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；(ii)设直线OP，DQ相交于点G，试讨论点G是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【解析】(1)由题意得：圆M的半径为|AB|2=(3-1)2+(-3-3)22=2，圆心M即AB的中点为(2,0)，圆M的方程为：(x-2)2+y2=4，因为圆N与圆M关于直线y=x对称，所以圆N的圆心N(0,2)，半径为2，所以圆N的标准方程为：x2+(y-2)2=4；(2)依题意可知，直线l1的斜率存在，设直线l1的方程为y=kx+1，即kx-y+1=0，则圆心N(0,2)到直线l1的距离d1=|-2+1|k2+1=1k2+1，所以|PQ|=24-1k2+1=24k2+3k2+1，(i)若k=0，则直线l2斜率不存在，则|PQ|=23，|EF|=4，则S=12|EF|⋅|PQ|=43，若k≠0，则直线l2的方程为y=-1k x+1，即x+ky-k=0，则圆心N(0,2)到直线l2的距离d2=|k|k2+1，所以|EF|=24-k2k2+1=23k2+4k2+1，则S=12|EF|⋅|PQ|=2(4k2+3)(3k2+4)(k2+1)2=212(k2+1)2+k2(k2+1)2=212+k2(k2+1)2=212+1k2+1k2+2≤212+12k2⋅1k2+2=7，当且仅当k2=1k2即k=±1时取等号，综上所述，因为7=49>43，所以S的最大值为7；(ii)设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，联立x2+y-22=4y=kx+1，消去y得(k2+1)x2-2kx-3=0，Δ=4k2+12(k2+1)>0恒成立，则x1+x2=2kk2+1，x1x2=-3k2+1，直线OP的方程为y=y1x1x=kx1+1x1x=k+1x1x，直线DQ的方程为y=y2-4x2x+4=kx2-3x2x+4=k-3x2x+4，联立y=k+1x1xy=k-3x2x+4，解得x=4x1x23x1+x2，因为x1+x2=2kk2+1，x1x2=-3k2+1，所以x1+x2x1x2=2kk2+1-3k2+1=-2k3，所以k=-3(x1+x2)2x1x2，则y=k+1 x1⋅4x1x23x1+x2=4kx1+1x23x1+x2=4kx1x2+4x23x1+x2=-6(x1+x2)+4x23x1+x2=-6x 1-2x 23x 1+x 2=-2，所以G 4x 1x 23x 1+x 2,-2，所以点G 在定直线y =-2上.9.(【市级联考】江苏省盐城市2018~2019学年高三第二学期期末考试数学(文理合卷)试题)如图，已知椭圆C 1:x 24+y 22=1与椭圆C 2:y 22+x 2m 2=10<m <2 的离心率相同．(1)求m 的值；(2)过椭圆C 1的左顶点A 作直线l ，交椭圆C 1于另一点B ，交椭圆C 2于P ,Q 两点(点P 在A ,Q 之间)．①求ΔOPQ 面积的最大值(O 为坐标原点)；②设PQ 的中点为M ，椭圆C 1的右顶点为C ，直线OM 与直线BC 的交点为R ，试探究点R 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．【解析】(1) 由椭圆C 1方程知：a 1=2，b 1=2 ∴c 1=a 21-b 21=2∴离心率：e1=c 1a 1=22又椭圆C 2中，a 2=2，b 2=m ∴c 2=2-m 2∴e 2=c 2a 2=22=2-m 22，又0<m <2，解得：m =1(2)①当直线AB 与x 轴重合时，O ,P ,Q 三点共线，不符合题意故设直线AB 的方程为：x =my -2且m ≠0设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2由(1)知椭圆C 2的方程为：y 22+x 2=1联立方程消去x 得：y 2+2my -2 2-2=0即：1+2m 2 y 2-8my +6=0解得：y 1=4m -4m 2-61+2m 2，y 2=4m +4m 2-61+2m 2，m ≥62又S ΔPOQ =S ΔAOQ -S ΔAOP =12AO y 1-y 2 =24m 2-61+2m 2令1+2m 2=t ≥4∴24m 2-61+2m 2=22t -8t =22t -8t 2=-81t2+2t ≤24，此时t =8∴ΔOPQ 面积的最大值为：24②由①知：y 1+y 2=8m 1+2m 2 ∴x 1+x 2=-41+2m 2∴M -21+2m 2,4m1+2m 2∴直线OM 的斜率：k OM =-2m则直线OM 的方程为：y =-2mx联立方程x 24+y 22=1x =my -2消去x 得：m 2+2 y 2-4my =0，解得：y B =4m m 2+2∴x B =4m 2m 2+2-2=2m 2-4m 2+2 ∴k BC =4mm 2+22m 2-4m 2+2-2=-m 2则直线BC 的方程为：y =-m2x -2联立直线OM 和BC 的方程y =-2mx y =-m 2x -2，解得：R -23,-4m3 ∴点R 在定直线x =-23上运动10.(四川省内江市2022-2023学年高三上学期期末考试数学(理)试题)已知圆M :(x -3)2+y 2=9．设D 2,0 ，过点D 作斜率非0的直线l 1，交圆M 于P 、Q 两点．(1)过点D 作与直线l 1垂直的直线l 2，交圆M 于EF 两点，记四边形EPFQ 的面积为S ，求S 的最大值；(2)设B 6,0 ，过原点O 的直线OP 与BQ 相交于点N ，试讨论点N 是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．【解析】(1)由圆M :(x -3)2+y 2=9知，圆心为M 3,0 ，半径r =3，因为直线l 1过点D 2,0 且斜率非0，所以设直线l 1方程为：y -0=k x -2 ，即kx -y -2k =0，则点M 到直线l 1的距离为：d 1=3k -2k1+k2=k1+k2，所以PQ =2r 2-d 21=232-k1+k 22=29-k 21+k 2=28k 2+91+k 2，由l 1⊥l 2，且直线l 2过点D ，所以设直线l 2方程为：y -0=-1kx -2 ，即x +ky -2=0，则点M 到直线l 2的距离为：d 2=3-21+k 2=11+k 2，所以EF =2r 2-d 22=232-11+k 22=29-11+k 2=29k 2+81+k 2，故S =12⋅EF ⋅PQ =12⋅28k 2+91+k 2⋅29k 2+81+k 2=28k2+9 9k 2+81+k 22≤2×8k2+9 +9k 2+8221+k 22=2×171+k221+k2=17，当且仅当8k2+9=9k2+8⇒k=±1时取等号，所以四边形EPFQ的面积S的最大值为17. (2)点N在定直线x=-6上.证明：设P x1,y1,Q x2,y2，直线PQ过点D，则设直线PQ方程为：x=my+2，联立x=my+2x-32+y2=9，消去x整理得：m2+1y2-2my-8=0，y1+y2=2mm2+1,y1y2=-8m2+1，所以y1+y2y1y2=-m4⇒my1y2=-4y1+y2，由k OP=y1-0x1-0=y1x1，所以直线OP的方程为：y=y1x1x，k BQ=y2-0x2-6=y2x2-6，所以直线BQ的方程为：y=y2x2-6x-6，因为直线OP与直线BQ交于点N，所以联立y=y1x1xy=y2x2-6x-6，所以x N=6x1y2x1y2-y1x2-6=6my1+2y2my1+2y2-y1my2+2-6=6my1y2+12y2my1y2+2y2-my1y2+4y1=3my1y2+6y2 y2+2y1=3×-4×y1+y2+6y2y2+2y1=-12y1-12y2+6y2y2+2y1=-12y1-6y2y2+2y1=-6，所以x N=-6，所以点N 在定直线x =-6上.11.(一题打天下之椭圆与方程(39问))已知①如图，长为23，宽为12的矩形ABCD ，以A ､B 为焦点的椭圆M :x 2a 2+y 2b2=1恰好过CD 两点，②设圆(x +3)2+y 2=16的圆心为S ，直线l 过点T (3,0)，且与x 轴不重合，直线l 交圆S 于CD 两点，过点T 作SC 的平行线交SD 于M ，判断点M 的轨迹是否为椭圆，若是，求出椭圆方程，(1)在①②两个条件中任选一个条件，求椭圆M 的标准方程；(2)根据(1)所得椭圆M 的标准方程，若AB 是椭圆M 的左右顶点，过点(1,0)的动直线l 交椭圆M 与CD 两点，试探究直线AC 与BD 的交点是否在一定直线上，若在，请求出该直线方程，若不在，请说明理由.【解析】(1)若选①，可得2c =23，所以c =3，令x =c ，可得BC =b 2a =12，由a 2=b 2+c 2,可得a =2,b =1，所以椭圆M 的标准方程为x 24+y 2=1，若选②，如图所示，圆的半径为4，易知CS =SD ，所以TM ⎳SC ，所以TM =MD ，所以MS +MT =MS +MD =SD =4>ST =23，所以M 点轨迹为以S ，T 为焦点的椭圆，2a =4,2c =23，所以a =2,b =1，所以椭圆方程为x 24+y 2=1(y ≠0)，所以不是椭圆；(2)当斜率为0时，直线AC 与BD 都和x 轴重合，当斜率不为0时，设直线方程为x =my +1，代入椭圆方程可得(m 2+4)y 2+2my -3=0，设C (x 1,y 1),D (x 2,y 2)，有y 1+y 2=-2m m 2+4,y 1y 2=-3m 2+4，x 1+x 2=8m 2+4，x 1x 2=-4+8m 2+4，所以直线AC 方程为y =y 1x 1+2(x +2)，直线BD 方程为y =y 2x 2-2(x -2)，联立两直线方程可得：x +2x -2=y 2(x 1+2)y 1(x 2-2)=y 2(my 1+3)y 1(my 2-1)=my 1y 2+3y 2my 1y 2-y 1=m⋅-3m2+4+3-y1-2mm2+4m⋅-3m2+4-y1=-9m-3(m2+4)y1-3m-(m2+4)y1=3，所以x+2x-2=3，解得x=1，故直线AC与BD的交点在定直线x=1上.12.(【全国百强校】河北省邢台市育才中学2023届高三上学期第三次月考数学试题)已知A1,A2分别是焦距为2的椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点，P为椭圆C上非顶点的点，直A1P,A2P线的斜率分别为k1,k2，且k1k2=-3 4.(1)求椭圆C的方程；(2)直线l(与x轴不重合)过点(1,0)且与椭圆C交于M、N两点，直线A1M与A2N交于点S，试求S 点的轨迹是否是垂直x轴的直线，若是，则求出S点的轨迹方程，若不是，请说明理由.【解析】试题分析：(1)由题意可求得a2=4,b2=3，则椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由题意分类讨论直线斜率存在和斜率不存在两种情况可得点S的轨迹方程为x=4.试题解析：(1)设P x0,y0为椭圆C上非顶点的点，∴k A1P⋅k A2P=y02x02-a2=-34，又∵x02a2+y02b2=1,∴y02a2-x02=b2a2, ∴b2a2=34，即b2=34a2，∴c2=a2-b2=14a2=1,a2=4,b2=3，故椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)当过点1,0直线l斜率不存在时，不妨设M1,3 2,N1,-32，直线A1M的方程是y=12x+1，直线A2N的方程是y=32x-3，交点为S14,3.若M1,-32,N1,32，由对称性可知交点为S24,-3.点S在直线x=4上，当直线斜率存在时，设l的方程为x=my+1，由x24+y23=1x=my+1得3m2+4y2+6my-9=0，记M x1,y1,N x2,y2，则y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4.A1M的方程是y=y1x1+2x+2,A2N的方程是y=y2x2-2x-2，由y=y1x1+2x+2,y=y2x2-2x-2,得y1x1+2x+2=y2x2-2x-2，即x=2⋅y2x1+2+y1x2-2y2x1+2-y1x2-2=2⋅y2my1+3+y1my2-2y2my1+2-y1my2-2=2⋅2my1y2+3y2-y13y2+y1=2⋅2m⋅-93m2+4+3-6m3m2+4-y1-y13-6m3m2+4-y1+y1=4.综上所述，点S的轨迹方程为x=4.13.(广东省新高考2023届高三下学期开学调研数学试题)已知A,B两点的坐标分别为-1,0，1,0，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为4．(1)求点P的轨迹方程；(2)过点12,0的直线l与点P的轨迹交于C，D两点，试探究直线AC与BD的交点M是否在某条定直线上，若是求出该定直线方程，若不是请说明理由．【解析】(1)设P x,y，由题意可知k AP⋅k BP=4，即yx+1⋅yx-1=4x≠±1，化简整理，得x2-y24=1x≠±1，所以点P的轨迹方程为x2-y24=1x≠±1.(2)由题意可设l的方程为x=my+12m≠±12，联立x=my+12x2-y24=1，消x整理得4m2-1y2+4my-3=0，设C x1,y1，D x2,y2，则Δ=64m2-12>0，即m2>3 16，由韦达定理有y1+y2=-4m4m2-1y1y2=-34m2-1 ，又直线AC的方程为y=y1x1+1(x+1)，直线BD的方程为y=y2x2-1(x-1)，联立y=y1x1+1x+1y=y2x2-1x-1，解得x=x1y2+x2y1-y1+y2x1y2-x2y1+y1+y2=my1+12y2+my2+12y1-y1+y2my1+12y2-my2+12y1+y1+y2。

圆锥曲线轨迹方程的求法一直以来，圆锥曲线这部分内容都是高考必考内容，作为解析几何中一个重要的部分，在历次考试中也是让相当一部分考生感到棘手。

现在，我就圆锥曲线的轨迹方程的问题作一个归纳总结。

在一般情况下，我们对于求圆锥曲线的轨迹方程采用的方法有：直接法，定义法，相关点法，参数法。

下面就以上几种方法作一下介绍。

一、 用直接法求轨迹方程 利用动点运动的条件作出等量关系，表示成x,y 的等式。

例：已知点A(-2,0),B(3,0).动点P(x,y)满足 PA · PB =x 2,则点P 的轨迹是（ ）.A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线二、 用定义法求轨迹方程根据圆锥曲线的基本定义解题。

例：如图，已知圆O 的方程为x 2+y 2=100,点A 的坐标为(-6,0),M 为圆O 上的任意一点,AM 的垂直平分线交OM 于点P ,则点P 的轨迹方程（ ）A.x 225 +y 216 =1B. x 225 －y 216 =1C.(x+3)225 + y 216 =1D. (x+3)225 - y 216 =1三、 用相关点法求轨迹方程当动点M 随着已知方程的曲线上另一动点C （x 0,y 0）运动时，找出点M 与点C 之间的坐标关系式，用（x,y ）表示（x 0,y 0）再将x 0,y 0代入已知曲线方程，即可得到点M 的轨迹方程。

例：如图所示从双曲线x 2-y 2=1上一点Q 引直线x+y=2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程.四、 用参数法求轨迹方程选取适当的参数，分别用参数表示动点坐标得到动点轨迹的普通方程.例：（04.成都)过抛物线y 2=2px(p>0)的顶点O 作两条互相垂直的弦OA,OB,再以OA,OB 为邻边作矩形AOBM,如图,求点M 的轨迹方程.注:在利用参数法求解时,要选择合理的参数,同时要注意参数的取值范围.除上述四种常用求曲线轨迹方程方法外,我们还介绍两种重要的求解方法.一.几何法1.几何法求解.(利用平面几何或解析几何中的图形性质)例:已知圆的方程为x 2+y 2=4,若抛物线过点A(-1,0),B(1,0)且以圆的切线为准线,则抛物线的焦点轨迹方程是( ). A.x 24 －y 23 =1(x ≠0) B .x 24 +y 23 =1(x ≠0) C. x 24 －y 23=1(y ≠0) D .x 24 +y 23=1(y ≠0)二.交轨法2.用交轨法来求轨迹方程.(一般用于两动曲线交点的轨迹方程,其过程是选出一个适当的参数,求出两动曲线的方程或动点坐标适合的含参数的等式,再消去参数,即得所求动点轨迹的方程)例:如图所示,垂直于x 轴的直线交直线交双曲线x 2a 2 －y 2b2 =1 于MN 两点，A 1，A 2为双曲线的顶点，求直线A 1M 与A 2N 的交点P 的轨迹方程，并指出轨迹形状.。

高中数学中的圆锥曲线与轨迹问题在高中数学中，圆锥曲线与轨迹问题是一个重要的课题。

圆锥曲线是指在平面上由一个动点与一个固定点和一个固定直线的位置关系所确定的曲线。

而轨迹问题则是研究动点在运动过程中所形成的路径。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。

这些曲线在数学和物理学中都有广泛的应用。

在几何学中，椭圆常常用于描述行星的轨道、电子的轨道等。

双曲线则常常用于描述双星系统、双曲线天体轨道等。

抛物线则常常用于描述抛物运动、天体轨道等。

在解决圆锥曲线问题时，我们需要掌握一些基本的概念和性质。

例如，椭圆的定义是平面上到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。

而双曲线的定义是平面上到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。

抛物线的定义是平面上到一个定点的距离等于定直线的距离的点的集合。

在研究圆锥曲线的性质时，我们还需要掌握一些重要的定理。

例如，离心率是椭圆和双曲线的一个重要参数，它可以用来描述曲线的形状。

离心率越接近于0，曲线越接近于圆形；离心率越大于1，曲线越接近于双曲线。

另外，焦点和准线也是圆锥曲线的重要概念。

对于椭圆和双曲线来说，焦点是定点到曲线上任意一点的距离之和等于常数的点；准线是定直线与曲线的交点。

对于抛物线来说，焦点是定点到曲线上任意一点的距离等于定直线的距离的点。

除了圆锥曲线，轨迹问题也是数学中的一个重要课题。

轨迹问题是研究动点在运动过程中所形成的路径。

例如，如果一个点在平面上以一定的速度沿着一条直线运动，那么它所形成的路径就是一条直线。

如果一个点在平面上以一定的速度绕着一个固定点旋转，那么它所形成的路径就是一个圆。

轨迹问题在物理学中也有广泛的应用。

例如，行星绕太阳的轨道、地球上物体的自由落体运动等都可以用轨迹问题来描述。

解决轨迹问题时，我们需要运用一些基本的数学方法。

例如，我们可以使用向量来描述动点的位置和速度。

向量可以表示动点的位移和速度的方向和大小。

另外，我们还可以使用微积分的方法来解决轨迹问题。

专题1 圆锥曲线的轨迹方程问题轨迹与轨迹方程高考题中在选择题或填空题中单独考查，在解答题中也会出现轨迹与轨迹方程的问题.本文主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。

首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法等方法1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y 的等式，就得到轨迹方程。

直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。

经典例题：1．（2020·江苏徐州市·高三月考）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值λ（1λ≠）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy 中，()2,0A -、()4,0B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论正确的是（ ） A ．C 的方程为()22416x y ++= B ．在C 上存在点D ，使得D 到点()1,1的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得2MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得224NO NA += 【答案】ABD【分析】设点P 的坐标，利用12PA PB =，即可求出曲线C 的轨迹方程，然后假设曲线C 上一点坐标，根据BCD 选项逐一列出所满足条件，然后与C 的轨迹方程联立，判断是否有解，即可得出答案．【详解】设点P （x ，y ），()2,0A -、()4,0B ，由12PA PB =，12=，化简得x 2+y 2+8x ＝0，即：（x +4）2+y 2＝16，故A 选项正确；曲线C 的方程表示圆心为（﹣4，0），半径为4的圆，圆心与点（1，1）=﹣4，+4，而3∈﹣4，故B 正确；对于C 选项，设M （x 0，y 0），由|MO |＝2|MA |，=又 ()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝2，解得y 0无解，故C 选项错误；对于D 选项，设N （x 0，y 0），由|NO |2+|NA |2＝4，得 ()2222000024x y x y ++++=，又()2200416x y ++=，联立方程消去y 0得x 0＝0，解得y 0＝0，故D 选项正确．2．（2020·湖南省高三期末）点(,)P x y 与定点(1,0)F 的距离和它到直线:4l x =距离的比是常数12. 求点P 的轨迹方程；【答案】22143x y +=12=，化简即可求出；12=，化简得：223412x y +=，故1C 的方程为22143x y +=.【点睛】该题考查的是有关解析几何的问题，涉及到的知识点是动点轨迹方程的求解.3．（2021年湖南省高三月考）已知动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54，求P 点的轨迹方程．【答案】轨迹方程是221169x y -=.【分析】利用动点P 到定点A （5，0）的距离与到定直线165x =的距离的比是54可得方程，化简由此能求出轨迹M 的方程．【详解】由题意，设P （x ，y ），则()22252516165x y x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭，化简得轨迹方程是221169x y -=． 故答案为221.169x y -=【点睛】本题主要考查轨迹方程的求法，属于基础题．由2、3题推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。