2017年中考数学专题练习圆50题

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圆的有关性质一、选择题1．(2016·山东省滨州市·3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F,则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC=∠AEC；③CB平分∠ABD;④AF=DF；⑤BD=2OF;⑥△CEF≌△BED，其中一定成立的是（ ）A．②④⑤⑥B．①③⑤⑥C．②③④⑥D．①③④⑤【考点】圆的综合题．【分析】①由直径所对圆周角是直角，②由于∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，③由平行线得到∠OCB=∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC=∠DBC；④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；⑤用三角形的中位线得到结论；⑥得不到△CEF和△BED中对应相等的边，所以不一定全等．【解答】解：①、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°,∴AD⊥BD，②、∵∠AOC是⊙O的圆心角，∠AEC是⊙O的圆内部的角角，∴∠AOC≠∠AEC，③、∵OC∥BD,∴∠OCB=∠DBC,∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∴∠OBC=∠DBC，∴CB平分∠ABD,④、∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BD，∵OC∥BD，∴∠AFO=90°,∵点O为圆心,∴AF=DF,⑤、由④有,AF=DF，∵点O为AB中点，∴OF是△ABD的中位线，∴BD=2OF,⑥∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，故选D【点评】此题是圆综合题，主要考查了圆的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握圆的性质．2．（2016·山东省德州市·3分)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有下列问题“今有勾八步,股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是:“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，问该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）直径是多少?”( ）A．3步B．5步C．6步D．8步【考点】三角形的内切圆与内心．【专题】圆的有关概念及性质．【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边,即可确定出内切圆半径．【解答】解：根据勾股定理得:斜边为=17，则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆)半径r==3(步），即直径为6步,故选C【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心,Rt△ABC，三边长为a，b,c（斜边），其内切圆半径r=．3．(2016·山东省济宁市·3分）如图，在⊙O中， =，∠AOB=40°,则∠ADC的度数是（ ）A．40°B．30°C．20°D．15°【考点】圆心角、弧、弦的关系．【分析】先由圆心角、弧、弦的关系求出∠AOC=∠AOB=50°,再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵在⊙O中, =,∴∠AOC=∠AOB，∵∠AOB=40°，∴∠AOC=40°，∴∠ADC=∠AOC=20°，故选C．4。

圆的综合题1. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB ＝4，过圆心O 的直线垂直AB 于点D ，交⊙O 于点C 和点E ，连接AC 、BC 、OB ，cos ∠ACB ＝13，延长OE 到点F ，使EF ＝2OE .(1)求证：∠BOE ＝∠ACB ; (2)求⊙O 的半径；(3)求证：BF 是⊙O 的切线．2. 如图，AB 为⊙O 的直径，点C 为圆外一点，连接AC 、 BC ，分别与⊙O 相交于点D 、点E ，且»»AD DE ，过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接BD 、DE 、AE . (1)求证：DF 是⊙O 的切线；(2)试判断△DEC 的形状，并说明理由；(3)若⊙O 的半径为5，AC ＝12，求sin ∠EAB 的值．3. (2016长沙9分)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC 为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF.(1)求∠CDE的度数；(2)求证：DF是⊙O的切线；(3)若AC＝25DE，求tan∠ABD的值．4. (2016德州10分)如图，⊙O是△ABC的外接圆，AE平分∠BAC交⊙O于点E，交BC 于点D，过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与⊙O的位置关系，并说明理由；(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F，求证：BE＝EF;(3)在(2)的条件下，若DE＝4，DF＝3，求AF的长．5. (2015永州)如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE上的一点，使CF∥BD.(1)求证：BE ＝CE ；(2)试判断四边形BFCD 的形状，并说明理由； (3)若BC ＝8，AD ＝10，求CD 的长．6 (2017原创)如图，AB 切⊙O 于点B ，AD 交⊙O 于点C 和点D ，点E 为»DC的中点，连接OE 交CD 于点F ，连接BE 交CD 于点G .(1) 求证：AB ＝AG ；(2) (2)若DG ＝DE ，求证：GB 2＝GC ·GA ；(3)在(2)的条件下，若tan D ＝34，EG ＝10，求⊙O 的半径．7.(2015达州)在△ABC 的外接圆⊙O 中，△ABC 的外角平分线CD 交⊙O 于点D ，F 为»AD 上一点，且»»AF BC ，连接DF ，并延长DF 交BA 的延长线于点E. (1)判断DB 与DA 的数量关系，并说明理由；(2)求证：△BCD ≌△AFD ；(3)若∠ACM ＝120°，⊙O 的半径为5，DC ＝6，求DE 的长．8. 如图，AB 为⊙O 的直径，P 是BA 延长线上一点，PC 切⊙O 于点C ，CG 是⊙O 的弦，CG ⊥AB ，垂足为点D .(1)求证：△ACD ∽△ABC ；(2)求证：∠PCA ＝∠ABC ；(3)过点A 作AE ∥PC 交⊙O 于点E ，交CG 于点F ，连接BE ，若sin P ＝35，CF ＝5，求BE 的长．9、(2016大庆9分)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以BC 为直径的⊙O 交斜边AB于点M，若H是AC的中点，连接MH。

2017中考数学学业水平测试专题复习第十三部分 圆1．如图，A 、B 、C 三点在⊙O 上，80=∠AOB ，则ACB ∠的大小（ ）A ．40 B ．60 C ．80D ．1004．如图，A 、D 是⊙O 上的两点，BC 是⊙O 直径．若35=∠D ，则=∠OAC （ ）A ． 35B ． 55C ． 65D ．705．如图，小华同学设计了一个圆直径的测量器，标有刻度的尺子OA 、OB 在O 点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O 点靠在圆周上，读得刻度8=OE 个单位，6=OF 个单位，则圆的直径为（ ）A ．12个单位B ．10个单位C ．4个单位D ．15个单位6．如图，⊙O 是ABC ∆的外接圆，50=∠OCB ，则A ∠的度 数等于（ ）A ． 60B ． 50C ． 40D ．307．如图，⊙O 的半径为1，A 、B 、C 是圆周上的三点，36=∠BAC ， 则劣弧BC 的长是（ ）A ．π51B ．π52C ．π53D ．π548．若圆的一条弦把圆分成度数比为3:1的两条弧，则优弧所对的圆周角为（ ）A ．45 B ．90 C ．135 D ．270B面积．若测量得AB 的长为m 20，则圆环的面积为（ ）A ．210mB ．2 10m πC ．2100mD ．2100m π 11．已知⊙O 的直径40=AB ，弦AB CD ⊥于点E ，且32=CD ，则AE 的长为（ ）A ．12B ．8C ．12或28D ．8或3212．一条公路弯道处是一段圆弧AB ，点O 是这条弧所在圆的圆心，点C 是弧相交于点D ．已知m AB 120=，m CD 20=，那么这段弯道的半径为（ ）A ．m 200B ．m 3200C ．m 100D ．m 3100 13．一个圆形人工湖如图所示，弦AB 是湖上的一座桥，已知桥AB 长m 100， 测得圆周角45=∠ACB ，则这个人工湖的直径AD 为（ ）A ．m 250B ．m 2100C ．m 2150D ．m 220014．如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点是A、B ，已知60=∠P 3=OA ，那么AOB ∠所对弧的长度为（ ）A ．π6B ．π5C ．π3D ．π216．如图，直线21//l l ，点A 在直线1l 上，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线1l 、2l 于B 、C 两点，连结AC 、BC ．若54=∠ABC ，则1∠的大小为（ ）A ．36 B ．54 C ．72 D ．7317．若⊙O 的半径为cm 5，点A 到圆心O 的距离为cm 4，那么点A 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．点A 在圆外B ．点A 在圆上C ．点A 在圆内D ．不能确定18．已知⊙O 的面积为29cm π，若点O 到直线l 的距离为cm π，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．无法确定 21．已知ABC ∆的外接圆O 的半径为3，4=AC ，则=B sin （ ）A ．31B ．43C ．54D ．3222．如图，将半径为cm 2的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则 折痕AB 的长为（ ）ABCDOA B C2l1l 154A ．cm 2B ．cm 3C ．cm 32D ．cm 52 23．如图，100=∠AOB ，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则 ACB ∠的度数为（ ）A ．50B ．80 或50C ．130D ．50 或13024．在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB 为6分米，如果再注入一些油后，油面AB 上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN 为（ ）A ．6分米B ．8分米C ．10分米D ．12分25．如图，已知⊙O 的半径为4，点D 是直径AB 延长线上一点，DC 切⊙O 于点，连结，若30=∠CAB ，则BD 的长为（ ）A．34 B ．8 C ．4 D ．3226．按图1的方法把圆锥的侧面展开，得到图2，其半径3=OA ，圆心角120=∠AOB ，则弧AB 错误！未找到引用源。

2017中考数学试题-----圆精选1一、圆的有关概念：1. 如下图1，AB 是⊙O 的弦，AB=5，点C 是⊙O 上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M 、N 分别是AB 、AC 的中点，则MN 长的最大值是．2. 如下图2，四边形内接，平分，则下列结论正确的是（ ）A ．B ． C. D ．二、垂径定理1.如上图3，⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ，∠A=15°，半径为2，则弦CD 的长 为（ ）A ．2B ．﹣1 C．42.如上图4，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ．若AB=8，AE=1，则弦CD 的长是（ ）．6 D ．83．如下图1是“明清影视城”的一扇圆弧形门，小红到影视城游玩，他了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的，AB=CD=0.25米，BD=1.5米，且AB 、CD 与水平地面都是垂直的．根据以上数据，请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是（ ）A ．2米 B ．2.5米 C ．2.4米 D ．2.1米4.如下图2，⊙O 的半径OD 垂直于弦AB ，垂足为点C ，连接AO 并延长交⊙O 于点E ，连接BE ，CE ．若AB=8，CD=2，则△BCE 的面积为（ ）A ．12 B ．15 C ．16 D ．185. 如上图3，在O 中，在O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB CD ⊥，垂足为E ，连接0,,20CO AD BAD ∠=，则下列说法中正确的是（ ）A ．2AD OB = B ．CE EO = C. 040OCE ∠= D ．2BOC BAD ∠=∠ABCD O AC BAD ∠AB AD =BC CD =AB AD =BCA DCA ∠=∠6．如下图1，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB =，BD =5，则OH 的 长度为（ ）A ．B ．C ．D ． 7. 如上图2，是的直径，弦，垂足为，若，，则的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．8.如上图3，是的直径，弦交于点，，.则的长为 （ ）AB ．D ．8 9. 已知半径为的中，弦，弦，则的度数为．三、圆周角：1. 如上图4，⊙的直径垂直于弦，则的大小 是（）A ． B ． C. D ．2. 如下图1，是的切线，切点为，是的直径，交于点，连接，若，则的度数为．3.如上图2，点A 、B 、C 在⊙O 上，AC ∥OB ，∠BAO=25°，则∠BOC 的度数为（ ） A ．25° B ．50°C ．60°D ．80°4.如上图3，,,,A B C D 是O 上的四个点，B 是 AC 的中点，M 是半径OD 上任意一点，若40BDC ∠= ，则AMB ∠的度数不可能是（ ）453265167CD OAB CD ⊥M 12AB =:5:8OM MD =O 26π13π965π5AB O CD AB P 2,6AP BP ==030APC ∠=CD 2O 2AC =22AD =COD ∠O AB 36,=∠CAB CD BCD ∠ 18 36 54 72AC O C BC O AB O D OD 50A ∠=︒COD ∠A ．45B ．60 C. 75 D ．85 5. 已知：如下图1，在中，，则的度数为（ ）A ． 30°B ． 35° C. 45° D ．70°6. 如上图2，⊙的半径为，四边形内接于⊙，连接,若，则的长为（）A ． B ． C. D ．7. 如上图3，中，弦，相交于点，，，则的大小 是( )A.B.C.D.8.如上图4，是的直径，是上位于异侧的两点．下列四个角中，一定与互余的角是（ ）A ． B 、 C ． D ．9．如下图1，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ACD=30°，则∠BAD 为（ ） A ．30°B ．50°C ．60°D ．70°10.如下图2，△ABC 内接于⊙O ，若∠OAB=32°，则∠C=°．11.如上图2，内接于，若，则等于（ ）A ．B ． C. D ．12. 如上图3，四边形为⊙的内接四边形.延长与相交于点,,垂足为,连接,，则的度数为（ ）.O 3ABCD O OD OB ,BCD BOD ∠=∠⋂BD ππ23π2π3O ⊙AB CD P 42A =∠°77APD =∠°B ∠43°35°34°44°AB O e ,C D O e AB ACD ∠ADC ∠ABD ∠BAC ∠BAD ∠ABC ∆O A α∠=OBC ∠1802α- 2α90α+ 90α- ABCD O AB DC G CD AO ⊥E BD ︒=∠50GBC DBC∠A.50°B.60°C.80°D.85°13. 如下图1，将⊙O 沿弦AB 折叠，点C 在上，点D 在上，若∠ACB=70°， 则∠ADB=°．14.如下图2，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，且四边形OABC 是菱形.若点D 是圆上异于A 、B 、C 的另一点，则∠ADC 的度数是____________.15、如上图3，圆内接四边形的边过圆心，过点的切线与边所在直线垂直于点，若，则等于（ ）A ． B ． C. D ． 16.如上图4，等腰△ABC 内接于⊙O ，已知AB=AC ，∠ABC=30°，BD 是⊙O 的直径， 如果CD=3，则AD= ． 17. 如下图1，AB 是⊙O 的直径，C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED ＝20°，则∠BCD 的度数为（ ） A 、100° B 、110° C 、115° D 、120°18．如上图2，△ABC 内接于⊙O ，∠ACB=90°，∠ACB 的角平分线交⊙O 于D ．若AC=6，BD=5，则BC 的长为 ．19．如上图3，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，D 为半圆上一点，AC ∥OD ，AD 与OC 交于点E ，连结CD 、BD ，给出以下三个结论：①OD 平分∠COB ；②BD=CD ；③CD 2=CE.CO ， 其中正确结论的序号是 ．20. 如上图4，为等腰的外接圆，直径，为弧上任意一点（不与，重合），直线交延长线于点，在点处切线交于点，下列结论正确AmB AB ABCD AB O C AD M 55ABC ∠= ACD ∠20 35 40 55O C ∆AB 12AB =P C B B C C P AB Q O P D P Q BD的是．①若，则弧的长为； ②若，则平分； ③若，则④无论点在弧上的位置如何变化，为定值． 21、已知AB 是⊙O 的直径，AT 是⊙O 的切线，050=∠ABT ，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙O 于点D .（1）如图①，求T ∠和CDB ∠的大小； （2）如图②，当BC BE =时，求CDO ∠的大小.22.如图，已知C ∆AB 内接于O ，AB 是直径，点D 在O 上，D//C O B ，过点D 作D E ⊥AB ，垂足为E ，连接CD 交OE 边于点F ．（1）求证：D ∆OE ∽C ∆AB ；（2）求证：DF D ∠O =∠B E ；（3）连接C O ，设D ∆OE 的面积为1S ，四边形C D B O 的面积为2S ，若1227S S =，求sin A 的值．23、如图，已知等腰直角三角形，点是斜边上一点（不与重合），是的外接圆⊙的直径.（1）求证：是等腰直角三角形；（2）若⊙的直径为2，求的值.30∠PAB = BPπD//C P B AP C ∠AB D PB =B D P =P C BC CQ P⋅ABC P BC ,B C PE ABP ∆O APE ∆O 22PC PB +2017中考数学试题-----圆精选2四、和圆有关的位置关系： 1、三角形和圆1.已知一个三角形的三边长分别为5，7，8．则其内切圆的半径为（ ）A ．2B ．32C ．．2、 如下图1，O 是ABC ∆的内切圆，则点O 是ABC ∆的（ ） A ． 三条边的垂直平分线的交点 B ．三角形平分线的交点 C. 三条中线的交点D ．三条高的交点3.如上图2，ABC ∆内接于O ，,AB AC CO =的延长线交AB 于点D ． （1）求证AO 平分BAC ∠；（2）若36,sin 5BC BAC =∠=，求AC 和CD 的长．4.如图，BAC ∠的平分线交ABC V 的外接圆于点D ，ABC ∠的平分线交AD 于点E . （1）求证：DE DB =；（2）若90BAC ∠=︒，4BD =，求ABC V 外接圆的半径.5、如图，点E 是△ABC 的内心，AE 的延长线交BC 于点F ，交△ABC 的外接圆⊙O 于点D ；连接BD ，过点D 作直线DM ，使∠BDM ＝∠DA C ．（1）求证：直线DM 是⊙O 的切线； （2）求证：DE 2＝DF ·D A ．6. 已知的内切圆与分别相切于点，若，如图1. (1)判断的形状，并证明你的结论；(2)设与相交于点，如图2，求的长.2、四边形和圆ABC O ,,AB BC AC ,,D E F EF DE =ABC AE DF M 24,AF FC ==AM1．如下图1，四边形ABCD 内接于⊙O ，DA =DC ，∠CBE =50°，则∠DAC 的大小为（ ） A ．130° B ．100° C ．65° D ．50°3、直线和圆：1. 如上图2，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，连结PO 并延长交⊙O 于点C ，连结AC ，AB=10，∠P=30°，则AC 的长度是（ ）A ．B ．C ．5D ．2、如上图3，⊙O 的直径AB=4，BC 切⊙O 于点B ，OC 平行于弦AD ，OC=5，则AD 的长为（ ）A ． 65 B ．85 CD．53.如下图1，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点A ，PO 交⊙O 于点C ；连接BC ，若∠P=40°，则∠B 等于（ ）A ．20° B ．25°C ．30°D ．40°4.如上图2，菱形ABCD 的边AB=20，面积为320，∠BAD ＜90°，⊙O 与边AB ，AD 都相切，AO=10，则⊙O 的半径长等于（ ）A ．5 B ．6C ．D ．5.如上图3，在直角坐标系中，⊙A 的圆心A 的坐标为（-1，0），半径为1，点P 为直线上的动点，过点P 作⊙A 的切线，切点为Q ，则切线长PQ 的最小值是__________6. 如下图1，已知，在射线上取点，以为圆心的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切；；在射线上取点，以为圆心，为半径的圆与相切．若的半径为，则的半径长是．343+-=x y 30∠AOB = OA 1O 1O OB 1O A 2O 2O 21O O OB 2O A 3O 3O 32O O OB ⋅⋅⋅9O A 10O 10O 109O O OB 1O 110O7. 如下图2，与⊙相切于点，线段与弦垂直，垂足为，则．8、如图，已知直线PT 与⊙O 相切于点T ，直线PO 与⊙O 相交于A ，B 两点． （1）求证：PT 2=PA •PB ；（2）若PT=TB=，求图中阴影部分的面积．9．如图，在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ． （1）求证：∠A =∠ADE ；（2）若AD =16，DE =10，求BC 的长．10、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ．（1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若CF =2，DF =4，求⊙O 直径的长．11．如图，已知AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为H ，与AC 平行的圆O 的一条切线交CD 的延长线于点M ，交AB 的延长线于点E ，切点为F ，连接AF 交CD 于点N ．AB O B OA BC ,2D AB BC ==AOB ∠=（1）求证：CA =CN ；（2）连接DF ，若cos ∠DFA =，AN =，求圆O 的直径的长度．12．如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ． （1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由；（2）若BD =BF =2，求阴影部分的面积（结果保留π）．13.如图，为半圆的直径，是⊙的一条弦，为的中点，作,交的延长线于点,连接. （1）求证：为半圆的切线； （2）若，求阴影区域的面积.（结果保留根号和π）14.已知：如图，为的直径，是的弦，垂直于过点的直线，垂足为点，且平分.求证：（1）是的切线；（2）．45AB O AC O D BC AC DE ⊥B F DA EF O 36==DF DA15．如图，AB 为⊙O 的直径，C 、D 为⊙O 上的两点，∠BAC =∠DAC ，过点C 做直线EF ⊥AD ，交AD 的延长线于点E ，连接BC ．（1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若DE =1，BC =2，求劣弧的长l ．16. 如图，是的弦，切于点垂足为是的半径，且.（1）求证：平分；（2）若点是优弧 上一点，且，求扇形的面积（计算结果保留）17. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，CD 与⊙O 相切于C ，BE ∥CO ．（1）求证：BC 是∠ABE 的平分线；（2）若DC =8，⊙O 的半径OA =6，求CE 的长．BCAB O BC O ,B AD BC ⊥,D OA O 3OA =AB OAD ∠E AEB 060AEB ∠=OABπ18、如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与直径AB 相交于点F ．点E 在⊙O 外，做直线AE ，且∠EAC =∠D ．（1）求证：直线AE 是⊙O 的切线．（2）若∠BAC =30°，BC =4，cos ∠BAD =，CF =，求BF 的长．19、如图，AB 为半圆O 的直径，C 为BA 延长线上一点，CD 切半圆O 于点D 。

圆一、选择题1.（2017·江苏南京）过三点（2，2），（6，2），（4，5）的圆的圆心坐标为（ ）A ．（4，）B ．（4，3） C.（5，） D ．（5，3） 【答案】A【解析】试题分析：根据题意，可知线段的线段垂直平分线为4，然后由C 点的坐标可求得圆心的横坐标为4，然后设圆的半径为r ，则根据勾股定理可知，解得，因此圆心的纵坐标为，因此圆心的坐标为（4，）. 故选：A考点：1、线段垂直平分线，2、三角形的外接圆，3、勾股定理2. （2017·浙江金华）如图，在半径为的圆形铁片上切下一块高为的弓形铁片，则弓形弦的长为（ ）A ．B ． C. D ．【答案】C.【解析】试题分析：作⊥交点为D ，交圆于点C ，13，8，5；在△中，根据勾股定理可求得12，再由垂径定理可得224，故选C.3.（2017·山东青岛）如图， 是⊙O 的直径，C ，D ，E 在⊙O 上，若∠＝20°，则∠的度数为（ ）A 、100°B 、110°C 、115°D 、120°A B C 1761762222(52)r r =+--1361317566-=17613cm 8cmAB 10cm 16cm 24cm 26cm【答案】B【解析】试题分析：如下图，连接，，根据同弧所对的圆周角相等，可知∠∠＝20°，然后根据直径所对的圆周角为直角得到∠＝90°，从而由三角形的内角和求得∠＝70°，因此可求得∠110°.故选：B考点：圆的性质与计算4.（2017·广西贵港）如图，A，B，C，D是⊙O上的四个点，B是的中点，M 是半径上任意一点．若∠40°，则∠的度数不可能是（）A．45°B．60°C．75°D．85°【答案】D【解答】∵B是的中点，∴∠2∠80°，又∵M是上一点，∴∠≤∠80°．则不符合条件的只有85°．故选D．【考点】圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系．5.（2017·贵州黔东南州）如图，⊙O 的直径垂直于弦，垂足为E ，∠15°，半径为2，则弦的长为（ ）A ．2B ．﹣1C ．D ．4【考点】M5：圆周角定理；：勾股定理；M2：垂径定理．【分析】根据垂径定理得到，∠90°，根据圆周角定理得到∠30°，根据直角三角形的性质得到1，最后由垂径定理得出结论．【解答】解：∵⊙O 的直径垂直于弦，∴，∠90°，∵∠15°，∴∠30°，∵2，∴1，∴22，故选A ．6.（2017·河南）如图，将半径为2，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为，，连接，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．B ． C. D ． 【答案】C.【解析】连接O 、B ，根据旋转的性质及已知条件易证四边形为菱形，且∠∠60°，又因∠A =∠120°，所以∠B =120°，因∠∠B =120°+60°=180°，即可得O 、、三点共线，又因，可得∠ ∠ B ，再由∠∠ ∠ B =60°，可得∠ ∠ B =30°，所以△为三角形，由锐角三角函数即可求得 ,所以，故选C. 120︒OAB A 60︒O B 'O 'B 'BB 23π233π-2233π-2433π-'O 'O 'O 'O 'O 'O 'B 'O 'O 'B 'O 'O 'B 'O 'B 'O 'B 'O 'O 'B 'O 'B 'O 'O 'B 'O 'B 'O 'B 'O 'B 'B 'B 232''16022=S 2232323603OBB BOO S S ππ⨯-=⨯⨯-=-阴影扇形考点：扇形的面积计算.7.（2017·湖北黄冈）已知：如图，在中，，则ADC ∠的度数为（ ）A ． 30°B ． 35° C. 45° D ．70°【 考 点 】 垂径定理；圆心角定理．【 分 析 】 根据垂径定理，可得弧弧，再利用圆心角定理得答案．【 解 答 】解：∵⊥∴弧弧∵∠70° ∴∠21∠35°故选：B ．8.（2017·湖南湘潭）如图，在半径为4的O 中，CD 是直径，AB 是弦，且CD AB ⊥，垂足为点E ，90AOB ∠=°，则阴影部分的面积是（ ）A.44π- B ．2π-4 C.π4 D.2π【答案】D【解析】试题分析：∵CD AB ⊥，∴︒=∠=∠45BOC AOC ，∴πππ236044536022====r n S S AOC 扇形阴，故选C考点：垂径定理，扇形的面积9.（2017·山西）右图是某商品的标志图案，与是⊙O 的两条直径，首尾顺次连接点A 、B 、C 、D ，得到四边形．若10，∠36°，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．25cm πB ．210cm πC ．215cm πD ．220cm π【答案】B ．考点：矩形的性质；扇形面积的计算；圆周角定理10.(2017·江苏徐州）如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠72°，则∠等于（ ）A ．28°B ．54°C ．18°D ．36°【考点】圆周角定理．【分析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于同弧所对圆心角的一半即可求解．【解答】解：根据圆周角定理可知，∠2∠72°，即∠36°，故选D ．11.（2017·山东烟台）如图，▱中，∠70°，6，以为直径的⊙O 交于点E ，则的长为（ ）A．πB．πC．πD．π【考点】：弧长的计算；L5：平行四边形的性质；M5：圆周角定理．【分析】连接，由平行四边形的性质得出∠∠70°，6，得出3，由等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠40°，再由弧长公式即可得出答案．【解答】解：连接，如图所示：∵四边形是平行四边形，∴∠∠70°，6，∴3，∵，∴∠∠70°，∴∠180°﹣2×70°=40°，∴的长；故选：B．⊥于点E，若12.（2017·四川泸州）如图，AB是O的直径，弦CD AB==，则弦CD的长是（）AB AE8,1A．7B．27C．6D．8【答案】B.【解析】二、填空题1.（2017·北京）如图，为的直径，为上的点，.若，则 ．【答案】25°.考点：圆周角定理2.（2017·重庆A 卷）如图，是⊙O 的直径，点A 在圆上，连接，，∠64°，则∠ ．【答案】32°．【解析】试题解析：∵，∴∠∠，∵∠64°，AB O C D 、O AD CD =040CAB ∠=CAD ∠=∴∠∠64°，∴∠64°÷2=32°．考点：圆周角定理.3.（2017·重庆B 卷）如图，、是⊙O 的半径，点B 在⊙O 上，连接、，若∠40°，则∠ 度．【答案】80．考点：圆周角定理．4.（2017·浙江金华）在一空旷场地上设计一落地为矩形的小屋，．拴住小狗的长的绳子一端固定在点处，小狗在不能进人小屋内的条件下活动，其可以活动的区域面积为.(1)如图，若，则 ．(2)如图,现考虑在(1)中的矩形小屋的右侧以为边拓展一正区域,使之变成落地为五边的小屋,其它条件不变.则在的变化过程中,当取得最小值时，边长的长为 ．【答案】.【解析】试题分析：（1）在B 点处是以点B 为圆心，10为半径的个圆；在A 处是以A 为圆心，4为半径的个圆；在C 处是以C 为圆心，6为半径的个圆；所以ABCD 10AB BC m +=10m B ()2S m 14BC m =S =2m 2ABCD CD CDE ∆ABCDE BC S BCm 52341414；（2）设,则10， =（-10250），当时，S 最小，即. 5.（2017·山东青岛）如图，直线与分别与⊙O 相切于B 、D 两点，且⊥，垂足为P ，连接.若＝4，则阴影部分的面积为。

FhseFhee2017中考数学全国试题汇编-■■■■■圆24 （2017.北京）如图，AB是LI O的一条弦,LI O的切线交CE的延长线于点D .（1）求证：DB 二DE ；（2）若AB =12, BD =5，求LI O 的半径.【解析】E是AB的中点，过点E作EC_OA于点C ,过点B作试题分析：（1）由切线性质及等量代换推出/ 4=7 5,再利用等角对等边可得出结论；（2）由已知条件得出sin7 DEF和sin7 AOE的值，禾用对应角的三角函数值相等推出结论.试题解析：（1）证明：T DC 丄OA, A / 1 + 7 3=90°, v BD 为切线，二OB 丄BD, /-Z 2+7 5=90°, v OA=OB, •••7 1=7 2，v/ 3=7 4，A/ 4=7 5,在厶DEB中, 7 4=7 5，A DE=DB.⑵作DF丄AB 于F,连接OE, ・，.EF^-EE=3/在RTADEF中，EA3, DE=BD=5J EQ3 , J.f~nj jQ-F* 4Y彗一3 =斗——=-3「.在irrAAOE 中rDE5TAEh,二曲二二■ ■考点：圆的性质，切线定理，三角形相似，三角函数27 （2017甘肃白银）•如图，AN是L M的直径，NB//X轴, ~A OAB交L M于点C .(1)若点A 0,6 , N 0,2厂ABN =30°，求点B的坐标;(2)若D为线段NB的中点，求证：直线CD是L M的切线.解：(1)v A 的坐标为(0, 6), N (0, 2)••• AN=4, .............................................................................................................. 1 分vZ ABN=30°, / ANB=90°,••• AB=2AN=8, ...................................................................................................... 2分•••由勾股定理可知：NB=4..3 ,••• B ( 4 3 , 2) ....................................................... 3 分(2)连接MC , NC ........................................................................................... 4 分v AN是O M的直径,•••Z ACN=90°°•••Z NCB=90° ° ................................................................................................... 5 分在Rt A NCB中,D为NB的中点,1•CD= = N B=ND ,2•Z CND=Z NCD, .............................. 6 分v MC=MN ,•Z MCN=Z MNC.vZ MNC+Z CND=90°°• Z MCN+Z NCD=90° ° ...................... 7 分即MC I CD.•直线CD是。

一、选择题目1．（2017四川省南充市）如图，在Rt △ABC 中，AC =5cm ，BC =12cm ，∠ACB =90°，把Rt △ABC 所在的直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体的侧面积为（ ）A ．60πcm 2B ．65πcm 2C ．120πcm 2D ．130πcm 2 【答案】B ．考点：1．圆锥的计算；2．点、线、面、体．2．（2017四川省广安市）如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，已知cos ∠CDB =45，BD =5，则OH 的长度为（ ）A ．32B ．65C ．1D ．67【答案】D ． 【解析】试题分析：连接OD ，如图所示：∵AB 是⊙O 的直径，且经过弦CD 的中点H ，∴AB ⊥CD ，∴∠OHD =∠BHD =90°，∵cos ∠CDB =DHBD=45，BD =5，∴DH =4，∴BH3，设OH =x ，则OD =OB =x +3，在Rt △ODH 中，由勾股定理得：x 2+42=（x +3）2，解得：x =67，∴OH =67；故选D ．考点：1．圆周角定理；2．解直角三角形．3．（2017四川省眉山市）如图，在△ABC 中，∠A =66°，点I 是内心，则∠BIC 的大小为（ ）A ．114°B ．122°C ．123°D ．132° 【答案】C ． 【解析】试题分析：∵∠A =66°，∴∠ABC +∠ACB =114°，∵点I 是内心，∴∠IBC =12∠ABC ，∠ICB =12∠ACB ，∴∠IBC +∠ICB =57°，∴∠BIC =180°﹣57°=123°，故选C ．学*科网 考点：三角形的内切圆与内心．4．（2017四川省绵阳市）“赶陀螺”是一项深受人们喜爱的运动，如图所示是一个陀螺的立体结构图，已知底面圆的直径AB =8cm ，圆柱体部分的高BC =6cm ，圆锥体部分的高CD =3cm ，则这个陀螺的表面积是（ ）A ．68πcm 2B ．74πcm 2C ．84πcm 2D ．100πcm 2【答案】C．【解析】试题分析：∵底面圆的直径为8cm，高为3cm，∴母线长为5cm，∴其表面积=π×4×5+42π+8π×6=84πcm2，故选C．考点：1．圆锥的计算；2．几何体的表面积．5．（2017四川省达州市）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是（）A B C．D【答案】A．考点：正多边形和圆．6．（2017山东省枣庄市）如图，在网格（每个小正方形的边长均为1）中选取9个格点（格线的交点称为格点），如果以A为圆心，r为半径画圆，选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内，则r的取值范围为（）A．r << Br << C5r << D．5r <<【答案】B ． 【解析】试题分析：给各点标上字母，如图所示． AB==，AC =AD==，AE==，AF==，AG =AM =AN5r <<A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内．故选B ．考点：1．点与圆的位置关系；2．勾股定理；3．推理填空题目．7．（2017山东省济宁市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =BC =1，将Rt △ABC 绕点A 逆时针旋转30°后得到Rt △ADE ，点B 经过的路径为，则图中阴影部分的面积是（ ）A ． 6πB ． 3πC ．122π-D ． 12【答案】A．【解析】试题分析：∵∠ACB=90°，AC=BC=1，∴AB，∴S扇形ABD=6π．又∵Rt△ABC绕A点逆时针旋转30°后得到Rt△ADE，∴Rt△ADE≌Rt△ACB，∴S阴影部分=S△ADE+S扇形ABD﹣S△ABC=S扇形ABD=6π．故选A．考点：1．扇形面积的计算；2．等腰直角三角形；3．旋转的性质．学科*网8．（2017广东省）如图，四边形ABCD内接于⊙O，DA=DC，∠CBE=50°，则∠DAC的大小为（）A．130°B．100°C．65°D．50°【答案】C．考点：圆内接四边形的性质．9．（2017广西四市）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧BC的长等于（）A．2π3B．π3C．2√3π3D．√3π3【答案】A．【解析】试题分析：如图，连接OB 、OC ，∵∠BAC =30°，∴∠BOC =2∠BAC =60°，又OB =OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC =OB =OC =2，∴劣弧BC 的长为：602180π⨯ =2π3．故选A ．考点：1．弧长的计算；2．圆周角定理． 二、填空题目10．（2017四川省眉山市）如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，且AB =8cm ，DC =2cm ，则OC = cm ．【答案】5． 【解析】试题分析：连接OA ，∵OC ⊥AB ，∴AD =12AB =4cm ，设⊙O 的半径为R ，由勾股定理得，OA 2=AD 2+OD 2，∴R 2=42+（R ﹣2）2，解得R =5，∴OC =5cm ．故答案为：5．考点：1．垂径定理；2．勾股定理．11．（2017四川省达州市）如图，矩形ABCD 中，E 是BC 上一点，连接AE ，将矩形沿AE 翻折，使点B 落在CD 边F 处，连接AF ，在AF 上取点O ，以O 为圆心，OF 长为半径作⊙O 与AD 相切于点P．若AB =6，BC=F 是CD 的中点；②⊙O 的半径是2；③AE =92CE；④S =阴影．其中正确结论的序号是 ．【答案】． 【解析】试题分析：①∵AF 是AB 翻折而来，∴AF =AB =6，∵AD =BC=DF=3，∴F 是CD中点；∴①正确；②连接OP ，∵⊙O 与AD 相切于点P ，∴OP ⊥AD ，∵AD ⊥DC ，∴OP ∥CD ，∴AO OP AF DF =，设OP =OF =x ，则636x x -=，解得：x =2，∴②正确；③∵RT △ADF 中，AF =6，DF =3，∴∠DAF =30°，∠AFD =60°，∴∠EAF =∠EAB =30°，∴AE =2EF ； ∵∠AFE =90°，∴∠EFC =90°﹣∠AFD =30°，∴EF =2EC ，∴AE =4CE ，∴③错误；④连接OG ，作OH ⊥FG ，∵∠AFD =60°，OF =OG ，∴△OFG 为等边△；同理△OPG 为等边△；∴∠POG =∠FOG =60°，OHOG，S 扇形OPG =S 扇形OGF ，∴S 阴影=（S 矩形OPDH ﹣S 扇形OPG ﹣S △OGH ）+（S 扇形OGF ﹣S △OFG ）=S 矩形OPDH ﹣32S △OFG=312(222-⨯⨯．∴④正确；故答案为：①②④．考点：1．切线的性质；2．矩形的性质；3．扇形面积的计算；4．翻折变换（折叠问题）；5．综合题．12．（2017山东省枣庄市）如图，在▱ABCD中，AB为⊙O的直径，⊙O与DC相切于点E，与AD相交于点F，已知AB=12，∠C=60°，则FE的长为．【答案】π．考点：1．切线的性质；2．平行四边形的性质；3．弧长的计算．学&科网13．（2017山东省济宁市）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的六条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2，如此继续下去，则正六边形A4B4C4D4E4F4的面积是．考点：1．正多边形和圆；2．规律型；3．综合题．14．（2017四川省南充市）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，以AC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，E 为BC 的中点，连接DE 并延长交AC 的延长线于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线；（2）若CF =2，DF =4，求⊙O 直径的长．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】试题分析：（1）连接OD 、CD ，由AC 为⊙O 的直径知△BCD 是直角三角形，结合E 为BC的中点知∠CDE=∠DCE，由∠ODC=∠OCD且∠OCD+∠DCE=90°可得答案；（2）设⊙O的半径为r，由OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2可得r=3，即可得出答案．试题解析：（1）如图，连接OD、CD．∵AC为⊙O的直径，∴△BCD是直角三角形，∵E为BC的中点，∴BE=CE=DE，∴∠CDE=∠DCE，∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ACB=90°，∴∠OCD+∠DCE=90°，∴∠ODC+∠CDE=90°，即OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（2）设⊙O的半径为r，∵∠ODF=90°，∴OD2+DF2=OF2，即r2+42=（r+2）2，解得：r=3，∴⊙O的直径为6．考点：切线的判定与性质．15．（2017四川省广安市）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD与直径AB相交于点F．点E在⊙O外，做直线AE，且∠EAC=∠D．（1）求证：直线AE是⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，BC=4，cos∠BAD=34，CF=103，求BF的长．【答案】（1）证明见解析；（2【解析】试题分析：（1）由直径所对的圆周角是直角得：∠ADB=90°，则∠ADC+∠CDB=90°，所以∠EAC+∠BAC=90°，则直线AE是⊙O的切线；（2）分别计算AC和BD的长，证明△DFB∽△AFC，列比例式得：BF BDFC AC，得出结论．试题解析：（1）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即∠ADC+∠CDB=90°，∵∠EAC=∠ADC，∠CDB=∠BAC，∴∠EAC+∠BAC=90°，即∠BAE=90°，∴直线AE是⊙O的切线；（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，Rt△ACB中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=2×4=8，由勾股定理得：AC=，Rt△ADB中，cos∠BAD=34=ADAB，∴34=8AD，∴AD=6，∴BD=，∵∠BDC=∠BAC，∠DFB=∠AFC，∴△DFB∽△AFC，∴BF BDFC AC=，∴103BF=，∴BF=考点：1．切线的判定与性质；2．解直角三角形．16．（2017四川省绵阳市）如图，已知AB是圆O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，与AC平行的圆O的一条切线交CD的延长线于点M，交AB的延长线于点E，切点为F，连接AF交CD于点N．（1）求证：CA=CN；（2）连接DF，若cos∠DF A=45，AN=，求圆O的直径的长度．【答案】（1）证明见解析；（2）503．学&科网【解析】试题分析：（1）连接OF，根据切线的性质结合四边形内角和为360°，即可得出∠M+∠FOH=180°，由三角形外角结合平行线的性质即可得出∠M=∠C=2∠OAF，再通过互余利用角的计算即可得出∠CAN=90°﹣∠OAF=∠ANC，由此即可证出CA=CN；（2）连接OC，如图2所示．∵cos∠DF A=45，∠DF A=∠ACH，∴CHAC=45．设CH=4a，则AC=5a，AH=3a，∵CA=CN，∴NH=a，∴AN=a=，∴a=2，AH=3a=6，CH=4a=8．设圆的半径为r，则OH=r﹣6，在Rt△OCH中，OC=r，CH=8，OH=r﹣6，∴OC2=CH2+OH2，r2=82+（r﹣6）2，解得：r=253，∴圆O的直径的长度为2r=503．考点：1．切线的性质；2．勾股定理；3．圆周角定理；4．解直角三角形．17．（2017四川省达州市）如图，△ABC内接于⊙O，CD平分∠ACB交⊙O于D，过点D作PQ∥AB分别交CA、CB延长线于P、Q，连接BD．（1）求证：PQ是⊙O的切线；（2）求证：BD2=AC•BQ；（3）若AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，且tan∠PCD=13，求⊙O的半径．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】试题分析：（1）根据平行线的性质和圆周角定理得到∠ABD=∠BDQ=∠ACD，连接OB，OD，交AB于E，根据圆周角定理得到∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，根据三角形的内角和得到2∠ODB+2∠O=180°，于是得到∠ODB+∠O=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；（2）证明：连接AD，根据等腰三角形的判定得到AD=BD，根据相似三角形的性质即可得到结论；试题解析：（1）证明：∵PQ∥AB，∴∠ABD=∠BDQ=∠ACD，∵∠ACD=∠BCD，∴∠BDQ=∠ACD，如图1，连接OB，OD，交AB于E，则∠OBD=∠ODB，∠O=2∠DCB=2∠BDQ，在△OBD中，∠OBD+∠ODB+∠O=180°，∴2∠ODB+2∠O=180°，∴∠ODB+∠O=90°，∴PQ是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接AD，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴∠BDQ=∠DCB=∠ACD=∠BCD=∠BAD，∴AD=BD，∵∠DBQ=∠ACD，∴△BDQ∽△ACD，∴AD ACBQ BD=，∴BD2=AC•BQ；（3）解：方程4x mx+=可化为x2﹣mx+4=0，∵AC、BQ的长是关于x的方程4x mx+=的两实根，∴AC•BQ=4，由（2）得BD2=AC•BQ，∴BD2=4，∴BD=2，由（1）知PQ是⊙O的切线，∴OD⊥PQ，∵PQ∥AB，∴OD⊥AB，由（1）得∠PCD=∠ABD，∵tan∠PCD=13，∴tan∠ABD=13，∴BE=3DE，∴DE 2+（3DE ）2=BD 2=4，∴DE=，∴BE=，设OB =OD =R ，∴OE =R﹣，∵OB 2=OE 2+BE 2，∴R 2=（R）2+2，解得：R=，∴⊙O的半径为．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．分式方程的解；3．圆周角定理；4．切线的判定与性质；5．解直角三角形；6．压轴题．18．（2017山东省枣庄市）如图，在△ABC 中，∠C =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，点O 在AB 上，以点O 为圆心，OA 为半径的圆恰好经过点D ，分别交AC ，AB 于点E ，F ． （1）试判断直线BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若BD=BF =2，求阴影部分的面积（结果保留π）．【答案】（1）BC 与⊙O 相切；（2）23π．【解析】试题分析：（1）连接OD ，证明OD ∥AC ，即可证得∠ODB =90°，从而证得BC 是圆的切线；（2）设OF =OD =x ，则OB =OF +BF =x +2，由勾股定理得：OB 2=OD 2+BD 2，即（x +2）2=x 2+12，解得：x =2，即OD =OF =2，∴OB =2+2=4，∵Rt △ODB 中，OD =12OB ，∴∠B =30°，∴∠DOB =60°，∴S扇形AOB =604360π⨯ =23π，则阴影部分的面积为S △ODB ﹣S 扇形DOF =12×2×﹣23π=23π-．故阴影部分的面积为23π．考点：1．直线与圆的位置关系；2．扇形面积的计算；3．探究型．19．（2017山东省济宁市）如图，已知⊙O 的直径AB =12，弦AC =10，D 是BC 的中点，过点D 作DE ⊥AC ，交AC 的延长线于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）求AE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）11． 【解析】试题分析：（1）连接OD ，由D 为弧BC 的中点，得到两条弧相等，进而得到两个同位角相等，确定出OD与AE 平行，利用两直线平行同旁内角互补得到OD 与DE 垂直，即可得证；（2）解：过点O 作OF ⊥AC ，∵AC =10，∴AF =CF=12AC =5，∵∠OFE =∠DEF =∠ODE =90°，∴四边形OFED 为矩形，∴FE =OD =12AB ，∵AB =12，∴FE =6，则AE =AF +FE =5+6=11．考点：1．切线的判定与性质；2．勾股定理；3．垂径定理．20．（2017广东省）如图，AB 是⊙O 的直径，AB =E 为线段OB 上一点（不与O ，B 重合），作CE ⊥OB ，交⊙O 于点C ，垂足为点E ，作直径CD ，过点C 的切线交DB 的延长线于点P ，AF ⊥PC 于点F ，连接CB ．（1）求证：CB 是∠ECP 的平分线； （2）求证：CF =CE ；（3）当34CF CP =时，求劣弧BC 的长度（结果保留π）【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3．【解析】试题分析：（1）根据等角的余角相等证明即可； （2）欲证明CF =CE ，只要证明△ACF ≌△ACE 即可；（3）作BM ⊥PF 于M ．则CE =CM =CF ，设CE =CM =CF =4a ，PC =4a ，PM =a ，利用相似三角形的性质求出BM ，求出tan ∠BCM 的值即可解决问题；试题解析：（1）证明：∵OC =OB ，∴∠OCB =∠OBC ，∵PF 是⊙O 的切线，CE ⊥AB ，∴∠OCP =∠CEB =90°，∴∠PCB +∠OCB =90°，∠BCE +∠OBC =90°，∴∠BCE =∠BCP ，∴BC 平分∠PCE ．（2）证明：连接AC ．∵AB 是直径，∴∠ACB =90°，∴∠BCP +∠ACF =90°，∠ACE +∠BCE =90°，∵∠BCP =∠BCE ，∴∠ACF =∠ACE ，∵∠F =∠AEC =90°，AC =AC ，∴△ACF ≌△ACE ，∴CF =CE ．（3）解：作BM ⊥PF 于M ．则CE =CM =CF ，设CE =CM =CF =4a ，PC =4a ，PM =a ，∵△BMC ∽△PMB ，∴BM CMPM BM =，∴BM 2=CM •PM =3a 2，∴BM=a ，∴tan ∠BCM=BM CM =，∴∠BCM =30°，∴∠OCB =∠OBC =∠BOC =60°，∴BC 的长．考点：1．相似三角形的判定与性质；2．垂径定理；3．切线的性质；4．弧长的计算．21．（2017江苏省盐城市）如图，△ABC 是一块直角三角板，且∠C =90°，∠A =30°，现将圆心为点O 的圆形纸片放置在三角板内部．（1）如图①，当圆形纸片与两直角边AC 、BC 都相切时，试用直尺与圆规作出射线CO ；（不写作法与证明，保留作图痕迹）（2）如图②，将圆形纸片沿着三角板的内部边缘滚动1周，回到起点位置时停止，若BC =9，圆形纸片的半径为2，求圆心O 运动的路径长．【答案】（1）作图见解析；（2）15+ 【解析】试题分析：（1）作∠ACB 的平分线得出圆的一条弦，再作此弦的中垂线可得圆心O ，作射线CO 即可； （2）添加如图所示辅助线，圆心O 的运动路径长为12OO O C ∆，先求出△ABC 的三边长度，得出其周长，证四边形OEDO 1、四边形O 1O 2HG 、四边形OO 2IF 均为矩形、四边形OECF 为正方形，得出∠OO 1O 2=60°=∠ABC 、∠O 1OO 2=90°，从而知△OO 1O 2∽△CBA ，利用相似三角形的性质即可得出答案． 试题解析：（1）如图①所示，射线OC 即为所求；（2）如图2，圆心O 的运动路径长为12OO O C ∆，过点O 1作O 1D ⊥BC 、O 1F ⊥AC 、O 1G ⊥AB ，垂足分别为点D 、F 、G ，过点O 作OE ⊥BC ，垂足为点E ，连接O 2B ，过点O 2作O 2H ⊥AB ，O 2I ⊥AC ，垂足分别为点H 、I ，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°、∠A =30°，∴AC =tan 30BC==，AB =2BC =18，∠ABC =60°，∴C △ABC =9++18=27+，∵O 1D ⊥BC 、O 1G ⊥AB ，∴D 、G 为切点，∴BD =BG ，在Rt △O 1BD 和Rt △O 1BG 中，∵BD =BG ，O 1B =O 1B ，∴△O 1BD ≌△O 1BG （HL ），∴∠O 1BG =∠O 1BD=30°，在Rt△O1BD中，∠O1DB=90°，∠O1BD=30°，∴BD=1tan 30O D==，∴OO1=9﹣2﹣=7﹣O1D=OE=2，O1D⊥BC，OE⊥BC，∴O1D∥OE，且O1D=OE，∴四边形OEDO1为平行四边形，∵∠OED=90°，∴四边形OEDO1为矩形，同理四边形O1O2HG、四边形OO2IF、四边形OECF为矩形，又OE=OF，∴四边形OECF为正方形，∵∠O1GH=∠CDO1=90°，∠ABC=60°，∴∠GO1D=120°，又∵∠FO1D=∠O2O1G=90°，∴∠OO1O2=360°﹣90°﹣90°=60°=∠ABC，同理，∠O1OO2=90°，∴△OO1O2∽△CBA，∴1212OO OABCC O OC BC∆∆==，∴12OO OC∆=15+，即圆心O运动的路径长为15+考点：1．轨迹；2．切线的性质；3．作图—复杂作图；4．综合题．学科*网22．（2017江苏省连云港市）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点A（﹣2，0）的直线交y轴正半轴于点B，将直线AB绕着点顺时针旋转90°后，分别与x轴、y轴交于点D．C．（1）若OB=4，求直线AB的函数关系式；（2）连接BD，若△ABD的面积是5，求点B的运动路径长．【答案】（1）y=2x+4；（21112．【解析】试题分析：（1）依题意求出点B坐标，然后用待定系数法求解析式；（2）设OB=m，则AD=m+2，根据三角形面积公式得到关于m的方程，解方程求得m的值，然后根据弧长公式即可求得．试题解析：（1）∵OB=4，∴B（0，4）．∵A（﹣2，0），设直线AB的解析式为y=kx+b，则420bk b，解得24kb，∴直线AB的解析式为y=2x+4；（2）设OB=m，则AD=m+2，∵△ABD的面积是5，∴12AD•OB=5，∴12（m+2）•m=5，即22100m m+-=，解得111m 或111m（舍去），∵∠BOD=90°，∴点B 的运动路径长为：1111211142．考点：1．一次函数图象与几何变换；2．轨迹；3．弧长的计算．学#科网23．（2017河北省）如图，AB=16，O为AB中点，点C在线段OB上（不与点O，B重合），将OC绕点O 逆时针旋转270°后得到扇形COD，AP，BQ分别切优弧CD于点P，Q，且点P，Q在AB异侧，连接OP．（1）求证：AP=BQ；（2）当BQ=QD的长（结果保留π）；（3）若△APO的外心在扇形COD的内部，求OC的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）143π；（3）4＜OC＜8．（2）∵Rt △APO ≌Rt △BQO ，∴∠AOP =∠BOQ ，∴P 、O 、Q 三点共线，∵在Rt △BOQ 中，cos B =43382QB OB==，∴∠B =30°，∠BOQ =60°，∴OQ =12OB =4，∵∠COD =90°，∴∠QOD =90°+60°=150°，∴优弧QD 的长=2104180π⨯=143π；（3）∵△APO 的外心是OA 的中点，OA =8，∴△APO 的外心在扇形COD 的内部时，OC 的取值范围为4＜OC ＜8．考点：1．切线的性质；2．弧长的计算；3．旋转的性质．24．（2017河北省）平面内，如图，在ABCD 中，AB =10，AD =15，tan A =43．点P 为AD 边上任意一点，连接PB ，将PB 绕点P 逆时针旋转90°得到线段PQ ．（1）当∠DPQ =10°时，求∠APB 的大小；（2）当tan∠A tan A=3：2时，求点Q与点B间的距离（结果保留根号）；（3）若点Q恰好落在ABCD的边所在的直线上，直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积（结果保留π）．【答案】（1）100°或80°；（2）（3）16π或20π或32π．【解析】试题分析：（1）根据点Q与点B和PD的位置关系分类讨论；（2）因为△PBQ是等腰直角三角形，所以求BQ的长，只需求PB，过点P作PH⊥AB于点H，确定BH，求得AH和BH，解直角△APH求PH，由勾股定理求PB；（2）如图2，过点P作PH⊥AB于点H，连接BQ．∵tan∠A tan A=:3:2PH PHHB AH=，∴HB=3：2．而AB=10，∴AH=6，HB=4．在Rt△PHA中，PH=AH·tan A=8，∴PQ=PB==Rt△PQB中，QBPB=（3）①点Q在AD上时，如图3，由tan A=43得，PB=AB·sin A=8，∴扇形面积为16π．②点A 在CD 上时，如图4，过点P 作PH ⊥AB 于点H ，交CD 延长线于点K ，由题意∠K =90°，∠KDP =∠A ．设AH =x ，则PH =AH ·tan A =43x ．∵∠BPH =∠KQP =90°-∠KPQ ，PB =QP ，∴Rt △HPB ≌Rt △KQP ．∴KP =HB =10-x ，∴AP =53x，PD =()5104x -，AD =15=()551034x x +-，解得x =6．∵22280PB PH HB =+=，∴扇形的面积为20π．③点Q 在BC 延长线上时，如图5，过点B 作BM ⊥AD 于点M ，由①得BM =8．又∠MPB =∠PBQ =45°，∴PB =，∴扇形面积为32π． 所以扇形的面积为16π或20π或32π．考点：1．解直角三角形；2．勾股定理；3．扇形面积的计算；4．分类讨论；5．压轴题．25．（2017浙江省丽水市）如图，在Rt △ABC 中，∠C =Rt ∠，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，切线DE 交AC 于点E ．（1）求证：∠A =∠ADE ；（2）若AD =16，DE =10，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）15． 【解析】试题分析：（1）只要证明∠A +∠B =90°，∠ADE +∠B =90°即可解决问题；（2）连接CD ．∵∠ADE =∠A ，∴AE =DE ，∵BC 是⊙O 的直径，∠ACB =90°，∴EC 是⊙O 的切线，∴ED =EC ，∴AE =EC ，∵DE =10，∴AC =2DE =20，在Rt △ADC 中，DC 12，设BD =x ，在Rt △BDC 中，BC 2=x 2+122，在Rt △ABC 中，BC 2=（x +16）2﹣202，∴x 2+122=（x +16）2﹣202，解得x =9，∴BC 15．考点：1．切线的性质；2．勾股定理．26．（2017浙江省台州市）如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径． （1）求证：△APE 是等腰直角三角形； （2）若⊙O 的直径为2，求22PC PB +的值．【答案】（1）证明见解析；（2）4． 【解析】试题分析：（1）只要证明∠AEP =∠ABP =45°，∠P AB =90°即可解决问题；（2）作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N，则四边形PMAN是矩形，∴PM=AN，∵△PCM，△PNB都是等腰直角三角形，∴PC=2PM，PB=2PN，∴22PC PB+=222()PM PN+ =222()AN PN+=22PA =2PE =22 =4．考点：1．三角形的外接圆与外心；2．等腰直角三角形．27．（2017湖北省襄阳市）如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点，∠BAC=∠DAC，过点C做直线EF⊥AD，交AD的延长线于点E，连接BC．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若DE=1，BC=2，求劣弧BC的长l．【答案】（1）证明见解析；（2）23π．【解析】试题分析：（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠OAC=∠DAC，求得∠DAC=∠OCA，推出AD∥OC，得到∠OCF=∠AEC=90°，于是得到结论；（2）连接OD，DC，∵∠DAC=12∠DOC ，∠OAC=12∠BOC，∴∠DAC=∠OAC，∵ED=1，DC=2，∴sin∠ECD=12DEDC=，∴∠ECD=30°，∴∠OCD=60°，∵OC=OD，∴△DOC是等边三角形，∴∠BOC=∠COD=60°，OC=2，∴l=602180π⨯=23π．考点：1．切线的判定与性质；2．弧长的计算．祝你考试成功!祝你考试成功!。

2 CO C DP O2 3 32 切线的性质和判定练习题 12017 年 10 月1．(2017 年ft 东日照)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A ，连结 PO 并延长交⊙O 于点 C ，连结 AC ，AB=10，∠P=30°，则 AC 的长度是（ ）BA ．B ．C ．5D ．2. （2017 广西百色）以坐标原点O 为圆心，作半径为 2 的圆， 若直线 y = -x + b 与⊙ O 相交，则 b 的取值范围是（ ）A ． 0 ≤ b < 2 2B. -2 ≤ b ≤ 2 APC. -2 < b < 2D. -2 < b < 2 3.（江西省 2017）如图 1，⊙O 的直径 AB=12，P 是弦 BC 上一动点（与点 B,C 不重合）， ∠ABC=30°，过点 P 作 PD⊥OP 交⊙O 于点 D.C DP ABAAOBE图 1图 3（1） 如图 2，当 PD∥AB 时，求 PD 的长；（2）如图 3，当DC=AC 时，延长 AB 至点 E ，使 BE = 12AB ，连接 DE ． ①求证：DE 是⊙O 的切线；②求 PC 的长．2CD PO4.（2017 天津）已知AB 是⊙ O 的直径，AT 是⊙ O 的切线，∠ABT = 500 ，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙ O 于点D .（1）如图①，求∠T 和∠CDB 的大小；（2）如图②，当BE =BC 时，求∠CDO 的大小.5．（2017•河南）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O交AC 边于点D，过点 C 作CF∥AB，与过点 B 的切线交于点 F，连接 BD．（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC 的长．切线的性质和判定练习题 22017 年 10 月1.（2017·南京）如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点.连接 AO 并延长，交 PB 的延长线于点 C，连接 PO，交⊙O 于点 D.（1）求证：PO 平分∠APC .（2）连结DB ，若∠C = 30︒，求证DB / / AC . AODC2．（2017•陕西）如图，已知⊙O的半径为 5，PA 是⊙O的一条切线，切点为 A，连接 PO 并延长，交⊙O于点 B，过点 A 作AC⊥PB交⊙O于点 C、交 PB 于点 D，连接 BC，当∠P=30° 时，（1）求弦 AC 的长；（2）求证：BC∥PA．3．（2017 年甘肃天水）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点 C 是⊙O 外一点且∠DBC=∠A，连接 OE 延长与圆相交于点 F，与BC 相交于点 C．（1）求证：BC 是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为 6，BC=8，求弦 BD 的长．4．（2017东营）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O交BC 于点D，过点 D 作⊙O 的切线 DE，交 AC 于点 E，AC 的反向延长线交⊙O 于点 F．（1）求证：DE⊥AC；（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为 10，求AF 的长度．切线的性质和判定练习题 32017 年 10 月1、（2017·丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC 为直径的⊙O交AB 于点D，切线DE 交AC 于点E.(1)求证：∠A=∠ADE；(2)若AD=16，DE=10，求BC 的长.2、（2017 百色）已知△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC 分别相切于点 D，E，F，E若F=DE ，(1)如图 1.判断△ABC的形状，并证明你的结论；(2)如图 2，AF=2FC=4，求AE 的长.CFEOA D B图 23．（2017 湖北宜昌） 已知，四边形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，ED=EC ,以 AE 为直径的⊙O 与边 CD 相切于 D, B 点在⊙O 上，连接 OB .（1） 求证：DE=OE ；（2） 若 AB∥CD ，求证：四边形 ABCD 是菱形.AC4．（2017•金华）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，CD 是⊙O 的切线，AD⊥C D 于点 D ，E 是 AB 延长线上一点，CE 交⊙O 于点 F ，连接 OC 、AC ． （1）求证：AC 平分∠DAO． （2）若∠DAO=105°，∠E=30°①求∠OCE 的度数； ②若⊙O 的半径为 2 ，求线段 EF 的长．DOEB2 CO C DP O2 3 32切线的性质和判定练习题 12017 年 10 月1．(2017 年ft 东日照)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A ，连结 PO 并延长交⊙O 于点 C ，连结 AC ，AB=10，∠P=30°，则 AC 的长度是（ ）BA ．B ．C ．5D ．2. （2017 广西百色）以坐标原点O 为圆心，作半径为 2 的圆， 若直线 y = -x + b 与⊙ O 相交，则 b 的取值范围是（ ）A ． 0 ≤ b < 2 2B. -2 ≤ b ≤ 2 APC. -2 < b < 2D. -2 < b < 2 3.（江西省 2017）如图 1，⊙O 的直径 AB=12，P 是弦 BC 上一动点（与点 B,C 不重合）， ∠ABC=30°，过点 P 作 PD⊥OP 交⊙O 于点 D.C DP ABAAOBE图 1图 3（1） 如图 2，当 PD∥AB 时，求 PD 的长；（2）如图 3，当DC=AC 时，延长 AB 至点 E ，使 BE = 12AB ，连接 DE ． ①求证：DE 是⊙O 的切线；②求 PC 的长．解：（1）依题意得：OP = tan 30°⋅ r = 2 根据勾股定理可得PD =2 （2）①证明：连接O D ∴∠DOE = 60°D C = AC又 OE = 2OD = 12∴ ODE 是直角三角形，且∠ODE = 90° ∴DE 是O 的切线②连接 DB 、A ，C 可知 ∠DBP = ∠OBP = 30° 又 BP = BP DB = OB ∴ DBP ≅ OBP BC = 6 3,∴PC = 3 BP = 3 + 3 3- 3236 3 CD PO4.（2017 天津）已知AB 是⊙ O 的直径，AT 是⊙ O 的切线，∠ABT = 500 ，BT 交⊙O 于点C ，E 是AB 上一点，延长CE 交⊙ O 于点D .（1）如图①，求∠T 和∠CDB 的大小；（2）如图②，当BE =BC 时，求∠CDO 的大小.试题解析：(1)如图，连接 AC,∵ AB 是⊙ O 的直径，AT 是⊙ O 的切线，∴AT⊥AB,即∠TAB=90°.∵∠ABT = 500 ，∴∠T=90°-∠ABT=40°由AB 是⊙ O 的直径，得∠ACB=90°，∴∠CAB=90°-∠ABC=40°∴∠CDB=∠CAB=40°;（2）如图，连接 AD,在△BCE 中，BE=BC，∠EBC=50°，∴∠BCE=∠BEC=65°,∴∠BAD=∠BCD=65°∵OA=OD∴∠ODA=∠OAD=65°∵∠ADC=∠ABC=50°∴∠CDO=∠ODA-∠ADC=15°.5．（2017•河南）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O交AC 边于点D，过点 C 作CF∥AB，与过点 B 的切线交于点 F，连接 BD．（1）求证：BD=BF；（2）若AB=10，CD=4，求BC 的长．【考点】MC：切线的性质；KH：等腰三角形的性质．【分析】（1）根据圆周角定理求出BD⊥AC，∠BDC=90°，根据切线的性质得出AB⊥BF，求出∠ACB=∠FCB，根据角平分线性质得出即可；（2）求出AC=10，AD=6，根据勾股定理求出BD，再根据勾股定理求出BC 即可．【解答】（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠BDA=90°，∴BD⊥AC，∠BDC=90°，∵BF 切⊙O 于B，∴AB⊥BF，∵CF∥AB，∴CF⊥BF，∠FCB=∠ABC，∵AB=AC，∴∠ACB=∠ABC，∴∠ACB=∠FCB，∵BD⊥AC，BF⊥CF，∴BD=BF；（2）解：∵AB=10，AB=AC，∴AC=10，∵CD=4，∴AD=10﹣4=6，在Rt△ADB 中，由勾股定理得：BD==8，在Rt△BDC 中，由勾股定理得：BC==4 ．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，角平分线性质，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．切线的性质和判定练习题 22017 年 10 月1. （2017·南京）如图，PA，PB 是⊙O 的切线，A，B 为切点.连接 AO 并延长，交 PB 的延长线于点 C，连接 PO，交⊙O 于点 D.（1）求证：PO 平分∠APC .（2）连结DB ，若∠C = 30︒，求证DB / / AC .试题分析：（1）连接 OB，根据切线的性质和角平分线的概念可证明；（2）根据角平分线的性质可证明△ODB 是等边三角形，然后根据平行线的判定得证.试题解析：（1）如图，连接OB .∵PA, PB 是⊙ O 的切线，AO∴OA ⊥AP, OB ⊥BP ，D又OA =OB ，∴ PO 平分∠APC .又OD =OB ，∴ ∆ODB 是等边三角形.C∴∠OBD = 60︒.∴∠DBP =∠OPB -∠OBD = 90︒- 60︒= 30︒.∴∠DBP =∠C .∴DB / / AC .考点：1、圆的切线，2、角平分线的性质与判定，3、平行线的判定2．（2017•陕西）如图，已知⊙O的半径为 5，PA 是⊙O的一条切线，切点为 A，连接 PO 并延长，交⊙O于点 B，过点 A 作AC⊥PB交⊙O于点 C、交 PB 于点 D，连接 BC，当∠P=30° 时，（1）求弦 AC 的长；（2）求证：BC∥PA．解：（1）连接OA，∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO=90°∵∠P=30°，∴∠AOD=60°，∵AC⊥PB，PB 过圆心O，∴AD=DC在Rt△ODA 中，AD=OA•sin60°=∴AC=2AD=5（2）∵AC⊥PB，∠P=30°，∴∠PAC=60°，∵∠AOP=60°∴∠BOA=120°，∴∠BCA=60°，∴∠PAC=∠BCA∴BC∥PA【点评】本题考查圆的综合问题，涉及切线的性质，解直角三角形，平行线的判定等知识，综合程度较高，属于中等题型．3．（2017 年甘肃天水）如图，△ABD是⊙O的内接三角形，E 是弦BD 的中点，点 C 是⊙O 外一点且∠DBC=∠A，连接 OE 延长与圆相交于点 F，与BC 相交于点 C．（1）求证：BC 是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为 6，BC=8，求弦 BD 的长．【解答】（1）证明：连接OB，如图所示：∵E 是弦BD 的中点，∴BE=DE，OE⊥BD， = ，∴∠BOE=∠A，∠OBE+∠BOE=90°，∵∠DBC=∠A，∴∠BOE=∠DBC，∴∠OBE+∠DBC=90°，∴∠OBC=90°，即BC⊥OB，∴BC 是⊙O 的切线；（2）解：∵OB=6，BC=8，BC⊥OB，∴OC= =10，∵△OBC 的面积=OC•BE=OB•BC，∴BE= ==4.8，∴BD=2BE=9.6，即弦BD 的长为9.6．4．（2017东营）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O交BC 于点D，过点 D 作⊙O 的切线 DE，交AC 于点E，AC 的反向延长线交⊙O于点F．（1）求证：DE⊥AC；（2）若DE+EA=8，⊙O的半径为 10，求AF 的长度．【分析】（1）欲证明DE⊥AC，只需推知OD∥AC 即可；（2）如图，过点O 作OH⊥AF 于点H，构建矩形ODEH，设AH=x．则由矩形的性质推知：AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．在Rt△AOH 中，由勾股定理知：x2+（x﹣2）2=102，通过解方程得到AH 的长度，结合OH⊥AF，得到AF=2AH=2×8=16．【解答】（1）证明：∵OB=OD，∴∠ABC=∠ODB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ODB=∠ACB，∴OD∥AC．∵DE 是⊙O 的切线，OD 是半径，∴DE⊥OD，∴DE⊥AC；（2）如图，过点O 作OH⊥AF 于点H，则∠ODE=∠DEH=∠OHE=90°，∴四边形ODEH 是矩形，∴OD=EH，OH=DE．设AH=x．∵DE+AE=8，OD=10，∴AE=10﹣x，OH=DE=8﹣（10﹣x）=x﹣2．在Rt△AOH 中，由勾股定理知：AH2+OH2=OA2，即x2+（x﹣2）2=102，解得x1=8，x2=﹣6（不合题意，舍去）．∴AH=8．∵OH⊥AF，∴AH=FH= AF，∴AF=2AH=2×8=16．【点评】本题考查了切线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质．解题时，利用了方程思想，属于中档题．切线的性质和判定练习题 32017 年 10 月1、（2017·丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC 为直径的⊙O交AB 于点D，切线DE 交AC 于点E.(1)求证：∠A=∠ADE；(2)若AD=16，DE=10，求BC 的长.AC 2 - CE 22、 （2017 百色）已知△ABC 的内切圆⊙O 与 AB ，BC ，AC 分别相切于点 D ，E E ，F =F D ，E 若 ，(3) 如图 1.判断△ABC 的形状，并证明你的结论；(4) 如图 2，AF=2FC=4，求 AE 的长.（1） △ABC 为等腰三角形，C FEOADB图 2∵△ABC 的内切圆⊙O 与 AB 、BC 、AC 分别相切于点D 、E 、F ，∴∠CFE=∠CEF=∠BDO=∠BEO=90°，∵四边形内角和为 360°，∴∠EOF+∠C=180°，∠DOE+∠B=180°，∵ E F = E ，∴∠EOF=∠DOE，∴∠B=∠C，AB=AC ，∴△ABC 为等腰三角形；（2） △ABC 的内切圆⊙O 与 AB ，BC ，AC 分别相切于点 D ，E ，F ，AF=AD ，BD=BE ，CF=CE ∵AB=AC ∴CF=BD，CE=BE∴等腰三角形 ABC 中，AE⊥BC， ∴AE= =43．（2017 湖北宜昌） 已知，四边形 ABCD 中，E 是对角线 AC 上一点，ED=EC ,以 AE 为直径的⊙O 与边 CD 相切于 D, B 点在⊙O 上，连接 OB .（1） 求证：DE=OE ；2DD 3 2O 4E1 B（2）若AB∥CD，求证：四边形ABCD 是菱形.解：（1）证明：连接OD，∵CD 是⊙O 的切线，∴OD⊥CD∴∠2+∠3=∠1+∠COD=90°又∵DE=EC，∴∠2=∠1，∴∠3=∠COD，∴DE=EO（2）∵OD=OE,∴OD=ED=OE,∴∠3=∠COD=∠DEO=60°∴∠2=∠1=30°,∵OA=OB=OE，而OE=DE=EC,∴OA=OB=DE=EC,又∵AB∥CD,∴∠4=∠1A∴∠2=∠1=∠4=∠OBA=30°C ∴△ABO≌△CDE∴AB=CD四边形ABCD 是平行四边形.1∴∠DAE= 2 ∠DOE=30°∴∠1=∠DAE∴CD=AD∴四边形ABCD 是菱形.4．（2017•金华）如图，已知 AB 是⊙O的直径，点 C 在⊙O上，CD 是⊙O的切线，AD⊥C D 于点 D，E 是AB 延长线上一点，CE 交⊙O于点F，连接 OC、AC．（1）求证：AC 平分∠DAO．（2）若∠DAO=105°，∠E=30°①求∠OCE 的度数；②若⊙O的半径为2，求线段EF 的长．【解答】解：（1）∵CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠OCA，∵OC=OA，∴∠OCA=∠OAC，∴∠OAC=∠DAC，∴AC 平分∠DAO；（2）①∵AD∥OC，∴∠EOC=∠DAO=105°，∵∠E=30°，∴∠OCE=45°；②作OG⊥CE 于点G，则CG=FG=OG，∵OC=2 ，∠OCE=45°，∴CG=OG=2，∴FG=2，在Rt△OGE 中，∠E=30°，∴GE=2 ，∴．【点评】本题主要考查圆的切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质，熟练掌握切线的性质、平行线的判定与性质、垂径定理及等腰直角三角形性质是解题的关键．“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。

2017中考试题汇编-----圆(2017贵州铜仁) 24．（12分）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB 为直径的⊙O与AC交于点D，点E是BC的中点，连接BD，DE．（1）若=，求sinC；（2）求证：DE是⊙O的切线．【分析】（1）根据圆周角定理可得∠ADB=90°，再利用同角的余角相等证明∠C=∠ABD，进而可得答案．（2）先连接OD，根据圆周角定理求出∠ADB=90°，根据直角三角形斜边上中线性质求出DE=BE，推出∠EDB=∠EBD，∠ODB=∠OBD，即可求出∠ODE=90°，根据切线的判定推出即可．【解答】（1）解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∴∠ABD+∠BAD=90°，∵∠ABC=90°，∴∠C+∠BAC=90°，∴∠C=∠ABD，∵=，∴sin∠ABD=，∴sinC=；（2）证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=90°，∵E为BC的中点，∴DE=BE=CE，∴∠EDB=∠EBD，∵OD=OB，∴∠ODB=∠OBD，∵∠ABC=90°，∴∠EDO=∠EDB+∠ODB=∠EBD+∠OBD=∠ABC=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．【点评】本题考查了切线的判定，直角三角形的性质，圆周角定理的应用和三角函数，解此题的关键是求出∠ODE=90°，注意：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2017北京)29．（8分）在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．（1）当⊙O的半径为2时，①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是P2，P3．②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．【分析】（1）①根据点P1（，0），P2（，），P3（，0），求得OP1=，OP2=1，OP3=，于是得到结论；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P 到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C （﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（1﹣，0），于是得到结论；如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2，0），于是得到结论．【解答】解：（1）①∵点P1（，0），P2（，），P3（，0），∴OP1=，OP2=1，OP3=，∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；故答案为：P2，P3；②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，∴设P（x，﹣x），当OP=1时，由距离公式得，OP==1，∴x=，当OP=3时，OP==3，解得：x=±；∴点P的横坐标的取值范围为：﹣≤x≤﹣，或≤x≤；（2）∵直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，∴A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，此时，CA=3，∴C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，∴CD=1，∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，∴直线AB与x轴的夹角=45°，∴AC=，∴C（1﹣，0），∴圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤1﹣；如图3，当圆过点A，则AC=1，∴C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，∴OC==2，∴C（2，0）．∴圆心C的横坐标的取值范围为：2≤x C≤2；综上所述；圆心C的横坐标的取值范围为：﹣2≤x C≤1﹣或2≤x C≤2．【点评】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，正确的作出图形是解题的关键．(2017湖南) 25．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，BD⊥AB，交AC的延长线于点D．（1）E为BD的中点，连结CE，求证：CE是⊙O的切线；（2）若AC=3CD，求∠A的大小．【分析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠1，根据三角形的中位线的性质得到OE∥AD，得到∠2=∠3，根据全等三角形的性质得到∠OCE=∠ABD=90°，于是得到CE是⊙O的切线；（2）由AB为⊙O的直径，得到BC⊥AD，根据相似三角形的性质得到BC2=AC•CD，得到tan∠A==，于是得到结论．【解答】解：（1）连接OC，∵OA=OC，∴∠A=∠1，∵AO=OB，E为BD的中点，∴OE∥AD，∴∠1=∠3，∠A=∠2，∴∠2=∠3，在△COE与△BOE中，，∴△COE≌△BOE，∴∠OCE=∠ABD=90°，∴CE是⊙O的切线；（2）∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AD，∵AB⊥BD，∴△ABC∽△BDC，∴，∴BC2=AC•CD，∵AC=3CD，∴BC2=AC2，∴tan∠A==，∴∠A=30°．【点评】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，三角函数的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．(2017江苏)25．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是边AC上一点，以O为圆心，OA为半径的圆分别交AB，AC于点E，D，在BC的延长线上取点F，使得BF=EF，EF与AC交于点G．（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）若OA=2，∠A=30°，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质得到∠A=∠AEO，∠B=∠BEF，于是得到∠OEG=90°，即可得到结论；（2）由AD是⊙O的直径，得到∠AED=90°，根据三角形的内角和得到∠EOD=60°，求得∠EGO=30°，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）连接OE，∵OA=OE，∴∠A=∠AEO，∵BF=EF，∴∠B=∠BEF，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠AEO+∠BEF=90°，∴∠OEG=90°，∴EF是⊙O的切线；（2）∵AD是⊙O的直径，∴∠AED=90°，∵∠A=30°，∴∠EOD=60°，∴∠EGO=30°，∵AO=2，∴OE=2，∴EG=2，∴阴影部分的面积=2×2﹣=2﹣π．【点评】本题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，扇形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．(2017辽宁) 22．（10分）如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O交AC于点E，过点E作EF⊥AB于点F，延长EF交CB的延长线于点G，且∠ABG=2∠C．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若sin∠EGC=，⊙O的半径是3，求AF的长．【分析】（1）连接EO，由∠EOG=2∠C、∠ABG=2∠C知∠EOG=∠ABG，从而得AB∥EO，根据EF⊥AB得EF⊥OE，即可得证；（2）由∠ABG=2∠C、∠ABG=∠C+∠A知∠A=∠C，即BA=BC=6，在Rt△OEG中求得OG==5、BG=OG﹣OB=2，在Rt△FGB中求得BF=BGsin ∠EGO，根据AF=AB﹣BF可得答案．【解答】解：（1）如图，连接EO，则OE=OC，∴∠EOG=2∠C，∵∠ABG=2∠C，∴∠EOG=∠ABG，∴AB∥EO，∵EF⊥AB，∴EF⊥OE，又∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）∵∠ABG=2∠C，∠ABG=∠C+∠A，∴∠A=∠C，∴BA=BC=6，在Rt△OEG中，∵sin∠EGO=，∴OG===5，∴BG=OG﹣OB=2，在Rt△FGB中，∵sin∠EGO=，∴BF=BGsin∠EGO=2×=，则AF=AB﹣BF=6﹣=．【点评】本题主要考查切线的判定与性质及解直角三角形的应用，熟练掌握切线的判定与性质及三角函数的定义是解题的关键．(2017山东) 24．（4分）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD=25°，求∠BAD的度数．【分析】根据直径所对的圆周角是直角，构造直角三角形ABD，再根据同弧所对的圆周角相等，求得∠B的度数，即可求得∠BAD的度数．【解答】解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB=90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD=25°∴∠B=25°∴∠BAD=90°﹣∠B=65°．【点评】考查了圆周角定理的推论．利用直径所对的圆周角是直角是解题关键．(2017辽宁铁岭) 23．（12分）如图，AB是半圆O的直径，点C是半圆上一点，连接OC，BC，以点C为顶点，CB为边作∠BCF=∠BOC，延长AB交CF于点D．（1）求证：直线CF是半圆O的切线；（2）若BD=5，CD=5，求的长．【分析】（1）欲证明CF是切线，只要证明OC⊥CF即可．（2）由△DCB∽△DAC，可得DC：DA=DB：DC，设AB=x，则有75=5（5+x），推出x=10，再证明∠COB=60°即可解决问题．【解答】解：（1）作OH⊥BC于H．∵OC=OB，OH⊥BC，∴∠COH=∠BOH，∵∠BCF=∠BOC，∴∠BCF=∠COH，∵∠COH+∠OCH=90°，∴∠BCF+∠OCH=90°，∴∠OCF=90°，即OC⊥CF，∴CF是⊙O的切线．（2）连接AC．∵∠DCB=∠A，∠CDB=∠ADC，∴△DCB∽△DAC，∴DC：DA=DB：DC，设AB=x，则有75=5（5+x），∴x=10，∴OC=5，OD=10，∴OD=2OC，∵∠OCD=90°，∴∠CDO=30°，∴∠COB=60°，∴的长==π．【点评】本题考查切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质、弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．(2017四川) 22．（8分）如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=DC，求的值．【分析】（1）若要证明直线CA是⊙O的切线，则只要证明∠ACB=90°即可；（2）易证△ADF∽△ACE，由相似三角形的性质以及结合已知条件即可求出的值．【解答】解：（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，CE=CF，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠2+∠3=90°，∵∠3=∠4，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直线CA是⊙O的切线；（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴，∵BD=DC，∴tan∠ABC=，∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=，∴sin∠ACD=，∴．【点评】本题考查了切线的判断和性质、相似三角形的判断和性质、圆周角定理以及三角函数的性质，熟记切线的判断和性质是解题的关键．（2017•自贡）如图，等腰△ABC内接于⊙O，已知AB=AC，∠ABC=30°，BD 是⊙O的直径，如果CD=，则AD=4．【分析】只要证明AD=BC，在Rt△BCD中求出BC即可解决问题．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=∠ADB=30°，∵BD是直径，∴∠BAD=90°，∠ABD=60°，∴∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=30°，∴∠ABC=∠CBD，∴==，∴=，∴AD=CB，∵∠BCD=90°，∴BC=CD•tan60°=•=4，∴AD=BC=4．故答案为4．【点评】本题考查圆周角定理、等腰三角形的性质、含30度的直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．（2017•乌鲁木齐）如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于D．（1）求证：△ADC∽△CDB；（2）若AC=2，AB=CD，求⊙O半径．【分析】（1）首先连接CO，根据CD与⊙O相切于点C，可得：∠OCD=90°；然后根据AB是圆O的直径，可得：∠ACB=90°，据此判断出∠CAD=∠BCD，即可推得△ADC∽△CDB．（2）首先设CD为x，则AB=x，OC=OB=x，用x表示出OD、BD；然后根据△ADC∽△CDB，可得：=，据此求出CB的值是多少，即可求出⊙O 半径是多少．【解答】（1）证明：如图，连接CO，，∵CD与⊙O相切于点C，∴∠OCD=90°，∵AB是圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACO=∠BCD，∵∠ACO=∠CAD，∴∠CAD=∠BCD，在△ADC和△CDB中，∴△ADC∽△CDB．（2）解：设CD为x，则AB=x，OC=OB=x，∵∠OCD=90°，∴OD===x，∴BD=OD﹣OB=x﹣x=x，由（1）知，△ADC∽△CDB，∴=，即，解得CB=1，∴AB==，∴⊙O半径是．【点评】此题主要考查了切线的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．（2017•新疆兵团）如图，AC为⊙O的直径，B为⊙O上一点，∠ACB=30°，延长CB至点D，使得CB=BD，过点D作DE⊥AC，垂足E在CA的延长线上，连接BE．（1）求证：BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BO，根据△OBC和△BCE都是等腰三角形，即可得到∠BEC=∠OBC=∠OCB=30°，再根据三角形内角和即可得到∠EBO=90°，进而得出BE 是⊙O的切线；（2）在Rt△ABC中，根据∠ACB=30°，BC=3，即可得到半圆的面积以及Rt△ABC的面积，进而得到阴影部分的面积．【解答】解：（1）如图所示，连接BO，∵∠ACB=30°，∴∠OBC=∠OCB=30°，∵DE⊥AC，CB=BD，∴Rt△DCE中，BE=CD=BC，∴∠BEC=∠BCE=30°，∴△BCE中，∠EBC=180°﹣∠BEC﹣∠BCE=120°，∴∠EBO=∠EBC﹣∠OBC=120°﹣30°=90°，∴BE是⊙O的切线；（2）当BE=3时，BC=3，∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC=90°，又∵∠ACB=30°，∴AB=tan30°×BC=，∴AC=2AB=2，AO=，∴阴影部分的面积=半圆的面积﹣Rt△ABC的面积=π×AO2﹣AB×BC=π×3﹣××3=﹣．【点评】本题主要考查了切线的判定以及扇形面积的计算，解题时注意：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2017浙江) （2017•丽水）如图，在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A=∠ADE；（2）若AD=16，DE=10，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B=90°，∠ADE+∠B=90°即可解决问题；（2）首先证明AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，可得x2+122=（x+16）2﹣202，解方程即可解决问题；【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE=90°，∴∠ADE+∠BDO=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OD=OB，∴∠B=∠BDO，∴∠ADE=∠A．（2）连接CD．∵∠ADE=∠A，∴AE=DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB=90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED=EC，∴AE=EC，∵DE=10，∴AC=2DE=20，在Rt△ADC中，DC==12，设BD=x，在Rt△BDC中，BC2=x2+122，在Rt△ABC中，BC2=（x+16）2﹣202，∴x2+122=（x+16）2﹣202，解得x=9，∴BC==15．【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．（2017浙江温州）24．（14分）如图，已知线段AB=2，MN⊥AB于点M，且AM=BM，P是射线MN上一动点，E，D分别是PA，PB的中点，过点A，M，D的圆与BP的另一交点C（点C在线段BD上），连结AC，DE．（1）当∠APB=28°时，求∠B和的度数；（2）求证：AC=AB．（3）在点P的运动过程中①当MP=4时，取四边形ACDE一边的两端点和线段MP上一点Q，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且Q为锐角顶点，求所有满足条件的MQ的值；②记AP与圆的另一个交点为F，将点F绕点D旋转90°得到点G，当点G恰好落在MN上时，连结AG，CG，DG，EG，直接写出△ACG和△DEG的面积之比．【分析】（1）根据三角形ABP是等腰三角形，可得∠B的度数，再连接MD，根据MD为△PAB的中位线，可得∠MDB=∠APB=28°，进而得到=2∠MDB=56°；（2）根据∠BAP=∠ACB，∠BAP=∠B，即可得到∠ACB=∠B，进而得出AC=AB；（3）①记MP与圆的另一个交点为R，根据AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，即可得到PR=，MR=，再根据Q为直角三角形锐角顶点，分四种情况进行讨论：当∠ACQ=90°时，当∠QCD=90°时，当∠QDC=90°时，当∠AEQ=90°时，即可求得MQ的值为或或；②先判定△DEG是等边三角形，再根据GMD=∠GDM，得到GM=GD=1，过C 作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=1=MG，即可得到CG=MH=﹣1，进而得出S△ACG=CG×CH=，再根据S△DEG=，即可得到△ACG和△DEG的面积之比．【解答】解：（1）∵MN⊥AB，AM=BM，∴PA=PB，∴∠PAB=∠B，∵∠APB=28°，∴∠B=76°，如图1，连接MD，∵MD为△PAB的中位线，∴MD∥AP，∴∠MDB=∠APB=28°，∴=2∠MDB=56°；（2）∵∠BAC=∠MDC=∠APB，又∵∠BAP=180°﹣∠APB﹣∠B，∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠B，∴∠BAP=∠ACB，∵∠BAP=∠B，∴∠ACB=∠B，∴AC=AB；（3）①如图2，记MP与圆的另一个交点为R，∵MD是Rt△MBP的中线，∴DM=DP，∴∠DPM=∠DMP=∠RCD，∴RC=RP，∵∠ACR=∠AMR=90°，∴AM2+MR2=AR2=AC2+CR2，∴12+MR2=22+PR2，∴12+（4﹣PR）2=22+PR2，∴PR=，∴MR=，Ⅰ．当∠ACQ=90°时，AQ为圆的直径，∴Q与R重合，∴MQ=MR=；Ⅱ．如图3，当∠QCD=90°时，在Rt△QCP中，PQ=2PR=，∴MQ=；Ⅲ．如图4，当∠QDC=90°时，∵BM=1，MP=4，∴BP=，∴DP=BP=，∵cos∠MPB==，∴PQ=，∴MQ=；Ⅳ．如图5，当∠AEQ=90°时，由对称性可得∠AEQ=∠BDQ=90°，∴MQ=；综上所述，MQ的值为或或；②△ACG和△DEG的面积之比为．理由：如图6，∵DM∥AF，DE∥AB，∴四边形AMDE是平行四边形，四边形AMDF是等腰梯形，∴DF=AM=DE=1，又由对称性可得GE=GD，∴△DEG是等边三角形，∴∠EDF=90°﹣60°=30°，∴∠DEF=75°=∠MDE，∴∠GDM=75°﹣60°=15°，∴∠GMD=∠PGD﹣∠GDM=15°，∴GMD=∠GDM，∴GM=GD=1，过C作CH⊥AB于H，由∠BAC=30°可得CH=AC=AB=1=MG ，AH=， ∴CG=MH=﹣1，∴S △ACG =CG ×CH=， ∵S △DEG =，∴S △ACG ：S △DEG =． 【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，三角形中位线定理，勾股定理，圆周角定理以及解直角三角形的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造直角三角形以及等边三角形，运用旋转的性质以及含30°角的直角三角形的性质进行计算求解，解题时注意分类思想的运用．（2017•重庆）如图，OA 、OC 是⊙O 的半径，点B 在⊙O 上，连接AB 、BC ，若∠ABC=40°，则∠AOC= 80 度．【分析】直接根据圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵∠ABC 与AOC 是同弧所对的圆周角与圆心角，∠ABC=40°， ∴∠AOC=2∠ABC=80°．故答案为：80．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．(2017河北)23.如图，16AB =，O 为AB 中点，点C 在线段OB 上（不与点O ，B 重合），将OC 绕点O 逆时针旋转270︒后得到扇形COD ，AP ，BQ 分别切优弧CD 于点P ，Q ，且点P ，Q 在AB 异侧，连接OP ．（1）求证：AP BQ =；（2）当BQ =QD 的长（结果保留π）；（3）若APO ∆的外心在扇形COD 的内部，求OC 的取值范围．(2017湖北) 22.已知：如图，在ABC ∆中，090,C BAC ∠=∠的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE AD ⊥交AB 于点E ，以AE 为直径作O .（1）求证：BC 是O 的切线；（2）若3,4AC BC ==，求BE 的长.(2017内蒙古) 24.如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的O 上的四个点，C 是劣弧BD 的中点，AC 与BD 交于点E ．（1）求证：2DC CE AC =⋅；（2）若2AE =，1EC =，求证：AOD ∆是正三角形；（3）在（2）的条件下，过点C 作O 的切线，交AB 的延长线于点H ，求AC H ∆的面积． (2017山西) 21．如图，ABC ∆内接于O ，且AB 为O 的直径，OD AB ⊥，与AC 交于点E ，与过点C 的O 的切线交于点D ．（1）若4,2AC BC ==，求OE 的长．（2）试判断A ∠与CDE ∠的数量关系，并说明理由．（2017台州）22．（12分）如图，已知等腰直角三角形ABC ，点P 是斜边BC 上一点（不与B ，C 重合），PE 是△ABP 的外接圆⊙O 的直径．（1）求证：△APE 是等腰直角三角形；（2）若⊙O 的直径为2，求PC 2+PB 2的值．【分析】（1）只要证明∠AEP=∠ABP=45°，∠PAB=90°即可解决问题；（2）作PM ⊥AC 于M ，PN ⊥AB 于N ，则四边形PMAN 是矩形，可得PM=AN ，由△PCM ，△PNB 都是等腰直角三角形，推出PC=PM ，PB=PN ，可得PC 2+PB 2=2（PM 2+PN 2）=2（AN 2+PN 2）=2PA 2=PE 2=22=4；【解答】（1）证明：∵AB=AC ，∠BAC=90°，∴∠C=∠ABC=45°，∴∠AEP=∠ABP=45°，∵PE是直径，∴∠PAB=90°，∴∠APE=∠AEP=45°，∴AP=AE，∴△PAE是等腰直角三角形．（2）∵AC=AB．AP=AE，∠CAB=∠PAE=90°，∴∠CAP=∠BAE，∴△CAP≌△BAE，∴∠ACP=∠ABE=45°，PC=EB，∴∠PBE=∠ABC+∠ABE=90°，∴PB2+PC2=PB2+BE2=PE2=22=4．【点评】本题考查三角形的外接圆与外心、勾股定理、矩形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题，属于中考常考题型．（2017攀枝花）22．（8分）如图，△ABC中，以BC为直径的⊙O交AB于点D，AE平分∠BAC交BC于点E，交CD于点F．且CE=CF．（1）求证：直线CA是⊙O的切线；（2）若BD=DC，求的值．【分析】（1）若要证明直线CA是⊙O的切线，则只要证明∠ACB=90°即可；（2）易证△ADF∽△ACE，由相似三角形的性质以及结合已知条件即可求出的值．【解答】解：（1）证明：∵BC为直径，∴∠BDC=∠ADC=90°，∴∠1+∠3=90°∵AE平分∠BAC，CE=CF，∴∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠2+∠3=90°，∵∠3=∠4，∴∠2+∠5=90°，∴∠ACB=90°，即AC⊥BC，∴直线CA是⊙O的切线；（2）由（1）可知，∠1=∠2，∠3=∠5，∴△ADF∽△ACE，∴，∵BD=DC，∴tan∠ABC=，∵∠ABC+∠BAC=90°，∠ACD+∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACD，∴tan∠ACD=，∴sin∠ACD=，【点评】本题考查了切线的判断和性质、相似三角形的判断和性质、圆周角定理以及三角函数的性质，熟记切线的判断和性质是解题的关键．（2017莱芜）23．（10分）已知AB是⊙O的直径，C是圆上一点，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过D作DE⊥AC交AC的延长线于点E，如图①．（1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若AB=10，AC=6，求BD的长；（3）如图②，若F是OA中点，FG⊥OA交直线DE于点G，若FG=，tan ∠BAD=，求⊙O的半径．【分析】（1）欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE；（2）首先证明OD⊥BC，在Rt△BDN中，利用勾股定理计算即可；（3）如图②中，设FG与AD交于点H，根据题意，设AB=5x，AD=4x，则AF= x，想办法用x表示线段FH、GH，根据FH+GH=，列出方程即可解决问题；【解答】（1）证明：如图①中，连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA，∵AD平分∠BAC，∴∠OAD=∠DAE，∴∠ODA=∠DAE，∴∠ODE+∠AED=180°，∵∠AED=90°，∴∠ODE=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线．（2）如图①中，连接BC，交OD于点N，∵AB是直径，∴∠BCA=90°，∵OD∥AE，O是AB的中点，∴ON∥AC，且ON=AC，∴∠ONB=90°，且ON=3，则BN=4，ND=2，∴BD==2．（3）如图②中，设FG与AD交于点H，根据题意，设AB=5x，AD=4x，则AF=x，FH=AF•tan∠BAD=x•=x，AH===x，HD=AD﹣AH=4x﹣x=，由（1）可知，∠HDG+∠ODA=90°，在Rt△HFA中，∠FAH+∠FHA=90°，∵∠OAD=∠ODA，∠FHA=∠DHG，∴∠DHG=∠HDG，∴GH=GD，过点G作GM⊥HD，交HD于点M，∴MH=MD，∴HM=HD=×x=x，∵∠FAH+∠AHF=90°，∠MHG+∠HGM=90°，∴∠FAH=∠HGM，在Rt△HGM中，HG===x，∵FH+GH=，∴x+x=，解得x=，∴此圆的半径为×=4．【点评】本题考查圆综合题、切线的判定、垂径定理、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。