新湘教版九年级数学上册2.1 一元二次方程
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新湘教版九年级下册数学全册教案页数:20
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新湘教版九年级数学上册2.1-一元二次方程PPT课件
(2)5x(x+1)+7=5x2-4。 解：去括号得
5x2+5x+7=5x2-4 ；
移项，合并同类项，得 5x+11=0 ；
因此，这是一元一次方程，不是一元二次方程.
注意： (1)先化成一般形式，再判断； (2)每一项及其系数都包括它前面的符号。
随堂练习
下列方程哪些是一元二次方程？哪些不是？并说明原因。
解：(1)分析得k 2 1 0，k 1.
当k 1时，此方程是一元二次方程.
(2)分析得k 2
1
0，k
1; k
1.
2(k 1) 0, k 1.
当k 1时，此方程是一元一次方程.
2.若关于x的一元二次方程 m 3 x2 2x m2 9 0
的常数项是0，则m的值为（ A）
A. 3
B. -3
第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
湘教版·九年级上册
1.什么是方程？
含有未知数的等式叫方程。 2.我们学习过哪些方程？
一元一次方程； 二元一次方程；
三元一次方程； 分ห้องสมุดไป่ตู้方程.
动脑筋
(1)如图2-1所示，已知一矩形的长为200cm，宽 为150cm，现在矩形中挖去一3个圆，使剩余 部分的面积为原矩形面积的 4 ，求挖去的圆 的半径xcm应满足的方程（其中π取3）；
C.±3
D.±9
特别提醒：若一元二次方程的二次项系数是一个字母或
式子，则该字母或式子不能为0！
3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次
方程的是( D )
A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a
B.ax2+2x+4=0
湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》教学设计
湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册2.1《一元二次方程》是整个初中数学的重要内容，它不仅是一元二次方程知识体系的延续和拓展，也是对之前所学知识的综合运用。
本节课的内容主要包括一元二次方程的定义、解法、应用等方面。
通过本节课的学习，让学生掌握一元二次方程的基本知识，能够解决实际问题，为后续的学习打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的运算、方程的知识，对解方程有一定的了解。
但一元二次方程相对复杂，需要学生在已有的知识体系上进行进一步的推理和理解。
同时，学生需要掌握一元二次方程的解法，以及如何将实际问题转化为数学问题，这都需要学生在学习过程中进行深入的思考和实践。
三. 教学目标1.理解一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的解法。
2.能够将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程进行解决。
3.培养学生的逻辑思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.一元二次方程的定义，以及一元二次方程的解法。
2.如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元二次方程进行解决。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究一元二次方程的定义和解法。
2.采用案例分析法，让学生通过实际问题，理解一元二次方程的应用。
3.采用小组合作法，让学生在小组内进行讨论和交流，共同解决问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例，用于引导学生将实际问题转化为数学问题。
2.准备一元二次方程的解法教程，用于让学生掌握一元二次方程的解法。
3.准备教学PPT，用于展示一元二次方程的定义和解法。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾已知的方程知识，为新知识的学习做好铺垫。
然后，教师给出一个实际问题，让学生尝试解决，从而引出一元二次方程的概念。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示一元二次方程的定义，让学生了解一元二次方程的基本形式。
接着，教师讲解一元二次方程的解法，包括因式分解法、公式法等，让学生掌握解一元二次方程的方法。
2.1一元二次方程教学设计2024—2025学年湘教版数学九年级上册
4.拓展阅读：推荐与一元二次方程相关的数学故事、数学家的生平事迹，激发学生对数学的兴趣。
二、拓展要求
1.鼓励学生在课后阅读相关材料，了解一元二次方程的历史背景和应用领域。
2.观看视频资源，直观感受一元二次方程在实际问题中的应用。
3.参与探究活动，培养学生的实践能力和创新意识。
4.阅读数学故事，了解数学家的探索精神，激发学习兴趣。
技能训练：
总结归纳：
在新课呈现结束后，对一元二次方程的知识点进行梳理和总结。强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对一元二次方程知识的掌握情况。鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。
错题订正：
针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
-一元二次方程教学视频
-互动式数学学习网站（不含网址）
-电子教案和教学设计
5.教学手段：
-探究式学习
-小组合作学习
-情境教学（通过实际案例引入）
-互动问答和讨论
-课后在线辅导和答疑
教学流程
（一）课前准备（预计用时：5分钟）
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解一元二次方程的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习一元二次方程内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确教学目标和重难点。准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。设计课堂互动环节，提高学生学习一元二次方程的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的方程知识，帮助学生建立知识之间的联系。提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。
二、拓展要求
1.鼓励学生在课后阅读相关材料，了解一元二次方程的历史背景和应用领域。
2.观看视频资源，直观感受一元二次方程在实际问题中的应用。
3.参与探究活动，培养学生的实践能力和创新意识。
4.阅读数学故事，了解数学家的探索精神，激发学习兴趣。
技能训练：
总结归纳：
在新课呈现结束后，对一元二次方程的知识点进行梳理和总结。强调重点和难点，帮助学生形成完整的知识体系。
（四）巩固练习（预计用时：5分钟）
随堂练习：
随堂练习题，让学生在课堂上完成，检查学生对一元二次方程知识的掌握情况。鼓励学生相互讨论、互相帮助，共同解决问题。
错题订正：
针对学生在随堂练习中出现的错误，进行及时订正和讲解。引导学生分析错误原因，避免类似错误再次发生。
-一元二次方程教学视频
-互动式数学学习网站（不含网址）
-电子教案和教学设计
5.教学手段：
-探究式学习
-小组合作学习
-情境教学（通过实际案例引入）
-互动问答和讨论
-课后在线辅导和答疑
教学流程
（一）课前准备（预计用时：5分钟）
学生预习：
发放预习材料，引导学生提前了解一元二次方程的学习内容，标记出有疑问或不懂的地方。设计预习问题，激发学生思考，为课堂学习一元二次方程内容做好准备。
教师备课：
深入研究教材，明确教学目标和重难点。准备教学用具和多媒体资源，确保教学过程的顺利进行。设计课堂互动环节，提高学生学习一元二次方程的积极性。
（二）课堂导入（预计用时：3分钟）
激发兴趣：
回顾旧知：
简要回顾上节课学习的方程知识，帮助学生建立知识之间的联系。提出问题，检查学生对旧知的掌握情况，为学习新课打下基础。
九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.1 一元二次方程课件 (新版)湘教版.pptx
x
35cm
x
x
x
35cm
4
解：设人行道的宽度为x m，则草坪的边长为 35-2x m.
根据题意，列出方程 (35-2x)2= 900 把方程通过移项，写成 (35-2x)2-900 =0 即4x2-140x+325=0
5
问题二 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量 为75万辆，两年后增加到108万辆 . 求该市两年来汽
8
例：下列方程是否为一元二次方程，若是，指出其二次
项系数、一次项系数和常数项。
3x(1-x)+10=2(x+2)
解：去括号，得： 3x-3x2+10=2x+4
可以写成：3x2-x-6=0
整理，得： -3x2+x+6=0
二次项系数是-3，一次项系数是1，常数项是6。
9
例：已知关于x的一元二次方程 x2+ax+a=0的一 个根是3，求a的值.
7
4x2-140x+325=0 25x2 50x 11 0.
上述两个方程有什么共同特点？ 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只
含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一 元二次方程，它的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c是已知数，a≠0），
其中a，b，c分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程 。
6
分析： 问题涉及的等量关系是：
两年后的汽车拥有量 = 前年的汽车拥有量 × （1+年平均增长率）2 .
解： 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x .
根据等量关系，可以列出方程
2024-2025学年初中数学九年级上册(湘教版)教学课件2.1一元二次方程
比赛共 1 x(x 1) 28 场. 2 即 x2 x 56 0.
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
新课导入
思考 探究
4x2 -26x+22 ＝0 x2 +12x-15 ＝0
4x2 -8x+75 ＝0 x2 x 56 0
这四个方程都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区 别在哪里？它们有什么共同特点呢？
特点: ①都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数）; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2.
随堂训练
4.(只列方程）三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这 三个数分别是多少？
解：设第一个数为x，则另两个数分别为x＋1, x＋2，依题意 得方程：
x (x ＋1) ＋ x(x ＋2) ＋ (x ＋1) (x ＋2) ＝242. 整理得 x2 ＋2x－80＝0.
课堂小结
概念 一元二次方程
随堂训练
1.判断下列是否为一元二次方程？
(1)3x²-x=2 ( √ )
(2)-2x+5 ( × )
(4)
( ×)
(5)(m²+5)x²+7x-1=0 ( √ )
随堂训练
2.方程（2a-4）x2 -2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方 程为一元一次方程？
解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为 3x2-8x-10=0.
其中二次项是3x2,系数是3；一次项是-8x,系数是-8；常数项是-10.
注意：（1）一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常 数项等都是针对一般形式而言的； （2）系数和项均包含前面的符号.
一元二次方程
湘教版九年级上册数学教学课件 第2章一元二次方程 一元二次方程
练一练：下列方程中是一元二次方程的是（C ）
A.2x+1=0 B.y2+x=1 C.x2-1=0
D. 1 +x2=1 x
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
问题2：根据一元二次方程的定义，试着归纳这个方程
的一般形式。
确保方程为一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 （a≠0）
方程的二次项是_a_x_2_，二次项系数是__a__
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
例 下列方程： ①1－x2＝0； ②2(x2－1)＝3y； ③2x2－3x－1＝0； 其中是一元二次方程的是 ①③ .
提示：一元二次方程必须同时满足以下3个条件：①整式方程； ②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.一元二次方程的定义及一般形式
2.建立一元二次方程模型
新知导入
试一试：在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）
与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高是2m，那
解 x(x-1)=420化为一般形式为x2-x-420=0，其中二次项系 数为1，一次项系数为-1，常数项为-420.
课堂小结
一元二次 方程
定义
等号两边都是整式，只含有一个未 知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
一般形式
ax2+bx+ c= 0（a≠0）
建立一元二 次方程模型
A.2x+1=0 B.y2+x=1 C.x2-1=0
D. 1 +x2=1 x
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
问题2：根据一元二次方程的定义，试着归纳这个方程
的一般形式。
确保方程为一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 （a≠0）
方程的二次项是_a_x_2_，二次项系数是__a__
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
例 下列方程： ①1－x2＝0； ②2(x2－1)＝3y； ③2x2－3x－1＝0； 其中是一元二次方程的是 ①③ .
提示：一元二次方程必须同时满足以下3个条件：①整式方程； ②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2.
课程讲授
1 一元二次方程的定义及一般形式
第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
新知导入 课程讲授
随堂练习 课堂小结
知识要点
1.一元二次方程的定义及一般形式
2.建立一元二次方程模型
新知导入
试一试：在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）
与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部的高度比，
可以增加视觉美感.按此比例，如果雕像的高是2m，那
解 x(x-1)=420化为一般形式为x2-x-420=0，其中二次项系 数为1，一次项系数为-1，常数项为-420.
课堂小结
一元二次 方程
定义
等号两边都是整式，只含有一个未 知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)的方程，叫做一元二次方程．
一般形式
ax2+bx+ c= 0（a≠0）
建立一元二 次方程模型
湘教版九年级上册数学2.1 一元二次方程
问题3 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑宽 相等的三条小路（两条纵向，一条横向，纵向与横 向垂直），把矩形空地分成大小一样的六块，建成 小花坛.如图要使花坛的总面积为570m2，问小路的 宽应为多少？
32
x 20
x 20
思考：
1.若设小路的宽是xm，那么
横向小路的面__3_2_x__m2，纵 向小路的面积是 2×20x m2,
4.(1)有一块矩形铁皮,长100cm,宽50cm,在它的四角各 切去一个正方形,然后将四周凸出部分折起,就能制作一 个无盖方盒,如果要制作的方盒的底面积为3600cm2,那 么铁皮各角应切去多大的正方形？
解：设切去的正方形的边长为 xcm,则盒底的长为（100－ 2x)cm,宽为(50－2x)cm,根据 方盒的底面积为3600cm2,得 x
没有未知数
2x+3
代数式
5x+6=22 x+3y=8 x-5＜18
一元一次方程 二元一次方程
不等式
4 29 x
分式方程
2.什么叫方程？我们学过哪些方程？ 含有未知数的等式叫做方程. 我们学过的方程有一元一次方程，二元一次方程 （组）及分式方程，其中前想两一种想方：程什是么整叫式方程. 3.什么叫一元一次方程？ 一元二次方程呢？
一般式 相同点 不同点
ax=b (a≠0）
ax2+bx+c=0 (a≠0）
整式方程，只含有一个未知数
未知数最高次数是1 未知数最高次数是2
例3：下列方程是一元二次方程吗？若是， 指 出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）3x (1 – x ) + 10 = 2( x + 2) （2）5x ( x + 1) + 7 = 5x2 - 4. 解：（1）去括号， 得 3x - 3x2 + 10 = 2x + 4. 移项， 合并同类项， 得 - 3x2 + x + 6 = 0，
湘教版九年级数学上册《一元二次方程》课件(共14张PPT)
解：设路宽为x m，则耕地的长应该为(30－x)m，宽应该为(20－ x)m，根据面积公式，得(30－x)(20－x)＝500.整理，得x2－50x＋ 100＝0
12．下列方程为一元二次方程的是( A )
A．x2－5x＝2
B．y2－2x＋1＝0
C．x2＋3x＝0
D．x2－2＝(x＋1)2
13．(2014·昆明)某果园 2011 年水果产量为 100 吨，2013 年水果
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
9．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪
念，全班学生共写了 1560 份留言．如果全班有 x 名学生，根据题意，
列出方程为( C ) A.x（x－2 1）＝1560 C．x(x－1)＝1560
B.x（x＋2 1）＝1560 D．x(x＋1)＝1560
10．现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪
18．已知关于 x 的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当 m_≠_±__2___时， 它是一元二次方程；当 m__＝__－__2___时，它是一元一次方程. 19．把下列方程化成一般形式，并分别指出它们的二次系数、一次项 系数和常数项： (1)－x2＋3x＝5； (2)( 3－2x)( 3＋2x)＝(x＋2)2. 解：(1)化为一般形式为x2－3x＋5＝0，二次项系数为1，一次项 系数为－3，常数项为5 (2)化为一般形式为5x2＋4x＋1＝0，二次项系数为5，一次项系 数为4，常数项为1
12．下列方程为一元二次方程的是( A )
A．x2－5x＝2
B．y2－2x＋1＝0
C．x2＋3x＝0
D．x2－2＝(x＋1)2
13．(2014·昆明)某果园 2011 年水果产量为 100 吨，2013 年水果
6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月2021/11/82021/11/82021/11/811/8/2021 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是 思考和识记之母。”2021/11/82021/11/8November 8, 2021 8、普通的教师告诉学生做什么，称职的教师向学生解释怎么做，出色的教师示范给学生，最优秀的教师激励学生。 2021/11/82021/11/82021/11/82021/11/8
9．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪
念，全班学生共写了 1560 份留言．如果全班有 x 名学生，根据题意，
列出方程为( C ) A.x（x－2 1）＝1560 C．x(x－1)＝1560
B.x（x＋2 1）＝1560 D．x(x＋1)＝1560
10．现有一块长 80 cm、宽 60 cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪
18．已知关于 x 的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋3m＝0，当 m_≠_±__2___时， 它是一元二次方程；当 m__＝__－__2___时，它是一元一次方程. 19．把下列方程化成一般形式，并分别指出它们的二次系数、一次项 系数和常数项： (1)－x2＋3x＝5； (2)( 3－2x)( 3＋2x)＝(x＋2)2. 解：(1)化为一般形式为x2－3x＋5＝0，二次项系数为1，一次项 系数为－3，常数项为5 (2)化为一般形式为5x2＋4x＋1＝0，二次项系数为5，一次项系 数为4，常数项为1
湘教版数学九年级上册一元二次方程课件
湘教版数学九年级上册
第二章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
1 课堂讲授 一元二次方程的定义
一元二次方程的一般情势 利用一元二次方程建立实际问题模型
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
随着人们经济收入的不断提高，汽车产业的快速发展， 汽车已越来越多地进入了普通家庭，据某市交通部门统计， 前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆， 你能算出该市两年来汽车拥有量的年平均增长率是多少吗?
x2 2500 = 0
①
知1－导
解：(2) 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x.
根据等量关系，可以列出方程
75 ( 1 + x )2 = 108.
化简，整理得
25x2 + 50 x - 11 = 0.
②
方程①②中有几个未知数? 它们的左边是 x 的 几次多项式?
总结
知1－讲
1. 定义：如果一个方程通过整理可以使右边为0，而 左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样 的方程叫作一元二次方程.
知2－讲
知识点 2 一元二次方程的一般情势
1. 一般情势：关于x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ( a ≠ 0 )， 这种情势叫做一元二次方程的一般情势 .其中ax2 是二次 项，bx 是一次项，c 是常数项.
2. 特殊情势：
知2－讲
例2 把下列一元二次方程化成一般情势，并写出它们的 二次项系数、一次项系数及常数项. (1) (x+1)(x－2)＝4； (2) 2(x－3)(x+4)＝x2－10； (3) (2x+1)(x－2)＝5－3x；
知3－讲
例3 【中考·巴中】某种品牌运动服经过两次降价，每件 零售价由560元降为315元.已知两次降价的百分率相 同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x， 下面所列的方程中正确的是( B ) A. 560 ( 1+x )2 = 315 B. 560 ( 1－x )2 = 315 C. 560 ( 1－2x )2 = 315 D. 560 ( 1+x2 ) = 315
第二章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
1 课堂讲授 一元二次方程的定义
一元二次方程的一般情势 利用一元二次方程建立实际问题模型
2 课时流程
逐点 导讲练
课堂 小结
作业 提升
随着人们经济收入的不断提高，汽车产业的快速发展， 汽车已越来越多地进入了普通家庭，据某市交通部门统计， 前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆， 你能算出该市两年来汽车拥有量的年平均增长率是多少吗?
x2 2500 = 0
①
知1－导
解：(2) 该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为 x.
根据等量关系，可以列出方程
75 ( 1 + x )2 = 108.
化简，整理得
25x2 + 50 x - 11 = 0.
②
方程①②中有几个未知数? 它们的左边是 x 的 几次多项式?
总结
知1－讲
1. 定义：如果一个方程通过整理可以使右边为0，而 左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样 的方程叫作一元二次方程.
知2－讲
知识点 2 一元二次方程的一般情势
1. 一般情势：关于x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 ( a ≠ 0 )， 这种情势叫做一元二次方程的一般情势 .其中ax2 是二次 项，bx 是一次项，c 是常数项.
2. 特殊情势：
知2－讲
例2 把下列一元二次方程化成一般情势，并写出它们的 二次项系数、一次项系数及常数项. (1) (x+1)(x－2)＝4； (2) 2(x－3)(x+4)＝x2－10； (3) (2x+1)(x－2)＝5－3x；
知3－讲
例3 【中考·巴中】某种品牌运动服经过两次降价，每件 零售价由560元降为315元.已知两次降价的百分率相 同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x， 下面所列的方程中正确的是( B ) A. 560 ( 1+x )2 = 315 B. 560 ( 1－x )2 = 315 C. 560 ( 1－2x )2 = 315 D. 560 ( 1+x2 ) = 315
新湘教版九年级上册初中数学 2.1 一元二次方程 教学课件
度比， 等于下部与全部(全身)的高度比， 可以增加视觉美感．按此比
例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?
解：如图，雕像的上部高度AC与下部高度BC应有关
A
系： AC∶BC＝BC∶2，即BC2＝2AC.
C
设雕像下部高 x m，可得方程x2＝2(2－x).
整理，得x2＋2x－4＝0. B
第四页，共二十页。
写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．
解：去括号，得3x2－3x＝5x＋10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2－ 8x－10＝0. 所以二次项系数为3，一次项系数为－8，
常数项为－10.
第十四页，共二十页。
新课讲解
知识点03 一元二次方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解， 一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
已知方程的解求代数式的值， 一般先把已知解代入方程，得 到等式，将所求代数式的一部 分看作一个整体，再用整体思 想代入求值．
第十六页，共二十页。
课堂小结
一 元 二 次 方 程
是整式方程
一元二次方程的概念
只含有一个未知数
一元二次方程的一般形式
未知数的最高次数是2
ax2+bx+c=0(a≠0)
二次项系数
拓展与延伸
D
1. 若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为
2. 若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为
3. 若4a+2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为
.1 . -1
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一次项系数是0，常数项是-2500。
例 下列方程是否一元二次方程？若是，指出其中的二次 项系数，一次项系数和常数项。
（1）3x(1-x)+10=2(x+2) ； 解：去括号得 3x-3x2+10=2x+4 ；
移项，合并同类项，得 -3x2+x+6=0 ；
可以写成 3x2-x-6=0 吗？为什么？
因此，这是一元二次方程，其中： 二次项系数是 -3，一次项系数是1，常数项是6.
(1)5 x 10;× (3) x 0; √
2
( 2)9 x 4 x 6; √
2
1 ( 4) y 2 0; y
×
(5)3 x y 6;× (6) 4 x 2 6 x 3 x 4 x 2 ; ×
2 y 2 (7) ax 4 x 0; × (8) y 1√ ; 2 (9) 2m 2 3m 5 ; √
150cm
x
150cm
200cm
图2-1
200cm
问题(1)涉及的等量关系是：
3 矩形的面积 -圆的面积 = 矩形的面积× 剩余部分的面积 4
150cm
x
150cm
200cm
200cm
问题(1)涉及的等量关系是：
3 矩形的面积 -圆的面积 = 矩形的面积× 剩余部分的面积 4 由于圆的半径为xcm，则它的面积为3x2cm2，根据等 量关系，可以列出方程： 3 2 200150- 3x 200150 4 化简，整理得： x 2 2500 0 ①
小结与复习
１.学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形
式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有
关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系
数、一次项系数． 2.会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系．
两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长率)2
该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.根据等量关系 可以列出方程： ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5（1+x）2=108 化简，整理得：25x2+50x-11=0。 ②
说一说
x2-2500=0；①
25x2+50x-11=0;②
方程①②中有几个未知数？它们的左边是关于x
(2)据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75万辆， 两年后增加到108万辆，求该市两年来汽车拥有量的年 平均增长率x应满足的方程？
分析： 时间
前 年 一年后 两年后
拥有汽车的数量
75万辆 75×(1+x)万辆 2 (1+x)万辆 75 75× （(1+ 1+x x） )×
问题(2)涉及的等量关系是：
的几次多项式？
如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左 边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的 整式方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是：
ax bx c （ 0 a，b，c是已知数，a 0）
2
a：二次项系数
二 次 项
一 常 次 数 项 项
b：一次项系数
c：常数项
例如，方程x2 -2500 =0中，二次项系数是1，
练习
1.请用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来。
2 x 5x x 3
2 2
一元一次方程
3x 5 2 x 4
( x 1) 1 x 4
2 2
一元二次方程
1 3 x2 x
分式方程
2.下列方程是否一元二次方程？若是，指出其中的二次项 系数，一次项系数和常数项。 （2）5x2-2=3x ； （1）4x2=49 ； （3）0.01t2=2t ； （4）(9y-1)(2y+3)=18y2+1 ；
解： (1)分析得k 1 0，k 1.
2
当k 1时，此方程是一元二次 方程. k 2 1 0，k 1; (2)分析得 k 1. 2(k 1) 0, k 1. 当k 1时，此方程是一元一次 方程.
2.若关于x的一元二次方程
m 3 x
(2)5x(x+1)+7=5x2-4。
解：去括号得
5x2+5x+7=5x2-4 ； 移项，合并同类项，得 5x+11=0 ；
因此，这是一元一次方程，不是一元二次方程.
注意： (1)先化成一般形式，再判断； (2)每一项及其系数都包括它前面的符号。
随堂练习
下列方程哪些是一元二次方程？哪些不是？并说明原因。
2
2x m 9 0
2
的常数项是0，则m的值为（ A） A. 3 B. -3 C.±3 D.±9 特别提醒：若一元二次方程的二次项系数是一个字母或 式子，则该字母或式子不能为0！
3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次 方程的是( D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a C.ax2+x=x2-1 B.ax2+2x+4=0 D.(a2+1)x2=0
(10)(x 1)(x 2) x 2 7.
×
结论
2
ax bx c （ 0 a，b，c是已知数，a 0）
一元二次方程的判断标准： (1)是整式方程；
(2)只含有一个未知数； (3)未知数的最高次数为2次；
(4)二次项的系数不为零； 注意： (1)先化成一般形式，再判断； (2)每一项及其系数都包括它前面的符号。
解：（1）4x2-49 =0；
是
二次项系数：4，一次项系数：0，常数项-49. （2）5x2-3x -2=0； 是
二次项系数：5，一次项系数：-3，常数项-2.
（3）0.01t2-2t=0 ； 是 二次项系数：0.01，一次项系数：-2，常数项0. （4）25y-4=0 ； 否
提高练习
1.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, (1)当k为何值时，此方程是一元二次方程． (2)当k为何值时，此方程是一元一次方程．
第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
湘教版· 九年级上册
1.什么是方程？
含有未知数的等式叫方程。 2.我们学习过哪些方程？ 一元一次方程； 二元一次方程；
三元一次方程； 分式方程.
动脑筋
(1)如图2-1所示，已知一矩形的长为200cm，宽 为150cm，现在矩形中挖去一个圆，使剩余 3 部分的面积为原矩形面积的 4 ，求挖去的圆 的半径xcm应满足的方程（其中π取3）；
4.关于x 的方程
2m
2
m 3 x
m1
5x 13
是一元二次方程吗？为什么？
解：不是. 2m2 m 3 0 ∵当 m 1 2 ，即 m 1 时， ∴方程 2m2 m 3 xm1 5x 13 中未知数的
最高次数不能是2. ∴它不是一元二次方程
例 下列方程是否一元二次方程？若是，指出其中的二次 项系数，一次项系数和常数项。
（1）3x(1-x)+10=2(x+2) ； 解：去括号得 3x-3x2+10=2x+4 ；
移项，合并同类项，得 -3x2+x+6=0 ；
可以写成 3x2-x-6=0 吗？为什么？
因此，这是一元二次方程，其中： 二次项系数是 -3，一次项系数是1，常数项是6.
(1)5 x 10;× (3) x 0; √
2
( 2)9 x 4 x 6; √
2
1 ( 4) y 2 0; y
×
(5)3 x y 6;× (6) 4 x 2 6 x 3 x 4 x 2 ; ×
2 y 2 (7) ax 4 x 0; × (8) y 1√ ; 2 (9) 2m 2 3m 5 ; √
150cm
x
150cm
200cm
图2-1
200cm
问题(1)涉及的等量关系是：
3 矩形的面积 -圆的面积 = 矩形的面积× 剩余部分的面积 4
150cm
x
150cm
200cm
200cm
问题(1)涉及的等量关系是：
3 矩形的面积 -圆的面积 = 矩形的面积× 剩余部分的面积 4 由于圆的半径为xcm，则它的面积为3x2cm2，根据等 量关系，可以列出方程： 3 2 200150- 3x 200150 4 化简，整理得： x 2 2500 0 ①
小结与复习
１.学习了什么是一元二次方程，以及它的一般形
式ax２＋bx＋c＝０（a，b，c为常数，a≠０）和有
关概念，如二次项、一次项、常数项、二次项系
数、一次项系数． 2.会用一元二次方程表示实际生活中的数量关系．
两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×(1+年平均增长率)2
该市两年来汽车拥有量的年平均增长率为x.根据等量关系 可以列出方程： ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5（1+x）2=108 化简，整理得：25x2+50x-11=0。 ②
说一说
x2-2500=0；①
25x2+50x-11=0;②
方程①②中有几个未知数？它们的左边是关于x
(2)据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75万辆， 两年后增加到108万辆，求该市两年来汽车拥有量的年 平均增长率x应满足的方程？
分析： 时间
前 年 一年后 两年后
拥有汽车的数量
75万辆 75×(1+x)万辆 2 (1+x)万辆 75 75× （(1+ 1+x x） )×
问题(2)涉及的等量关系是：
的几次多项式？
如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左 边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的 整式方程叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是：
ax bx c （ 0 a，b，c是已知数，a 0）
2
a：二次项系数
二 次 项
一 常 次 数 项 项
b：一次项系数
c：常数项
例如，方程x2 -2500 =0中，二次项系数是1，
练习
1.请用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来。
2 x 5x x 3
2 2
一元一次方程
3x 5 2 x 4
( x 1) 1 x 4
2 2
一元二次方程
1 3 x2 x
分式方程
2.下列方程是否一元二次方程？若是，指出其中的二次项 系数，一次项系数和常数项。 （2）5x2-2=3x ； （1）4x2=49 ； （3）0.01t2=2t ； （4）(9y-1)(2y+3)=18y2+1 ；
解： (1)分析得k 1 0，k 1.
2
当k 1时，此方程是一元二次 方程. k 2 1 0，k 1; (2)分析得 k 1. 2(k 1) 0, k 1. 当k 1时，此方程是一元一次 方程.
2.若关于x的一元二次方程
m 3 x
(2)5x(x+1)+7=5x2-4。
解：去括号得
5x2+5x+7=5x2-4 ； 移项，合并同类项，得 5x+11=0 ；
因此，这是一元一次方程，不是一元二次方程.
注意： (1)先化成一般形式，再判断； (2)每一项及其系数都包括它前面的符号。
随堂练习
下列方程哪些是一元二次方程？哪些不是？并说明原因。
2
2x m 9 0
2
的常数项是0，则m的值为（ A） A. 3 B. -3 C.±3 D.±9 特别提醒：若一元二次方程的二次项系数是一个字母或 式子，则该字母或式子不能为0！
3.下列方程中,无论a为何值,总是关于x的一元二次 方程的是( D ) A.(2x-1)(x2+3)=2x2-a C.ax2+x=x2-1 B.ax2+2x+4=0 D.(a2+1)x2=0
(10)(x 1)(x 2) x 2 7.
×
结论
2
ax bx c （ 0 a，b，c是已知数，a 0）
一元二次方程的判断标准： (1)是整式方程；
(2)只含有一个未知数； (3)未知数的最高次数为2次；
(4)二次项的系数不为零； 注意： (1)先化成一般形式，再判断； (2)每一项及其系数都包括它前面的符号。
解：（1）4x2-49 =0；
是
二次项系数：4，一次项系数：0，常数项-49. （2）5x2-3x -2=0； 是
二次项系数：5，一次项系数：-3，常数项-2.
（3）0.01t2-2t=0 ； 是 二次项系数：0.01，一次项系数：-2，常数项0. （4）25y-4=0 ； 否
提高练习
1.关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0, (1)当k为何值时，此方程是一元二次方程． (2)当k为何值时，此方程是一元一次方程．
第2章 一元二次方程
2.1 一元二次方程
湘教版· 九年级上册
1.什么是方程？
含有未知数的等式叫方程。 2.我们学习过哪些方程？ 一元一次方程； 二元一次方程；
三元一次方程； 分式方程.
动脑筋
(1)如图2-1所示，已知一矩形的长为200cm，宽 为150cm，现在矩形中挖去一个圆，使剩余 3 部分的面积为原矩形面积的 4 ，求挖去的圆 的半径xcm应满足的方程（其中π取3）；
4.关于x 的方程
2m
2
m 3 x
m1
5x 13
是一元二次方程吗？为什么？
解：不是. 2m2 m 3 0 ∵当 m 1 2 ，即 m 1 时， ∴方程 2m2 m 3 xm1 5x 13 中未知数的
最高次数不能是2. ∴它不是一元二次方程