数学建模题目

1、山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：(平面区域1200<=x<=4000,1200<=y<=3600)，试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。

方法一：利用插值的方法，绘制山区的地貌图和等高线，采用了5种插值方法，分别是最邻近插值、线性插值、三次样条插值、立方插值、分段线性插值，得到如图1-5所示的图像：图1 最邻近插值地貌图（左），等高线（右）3600 3200 2800 2400 2000 1600 1200 1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980 1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550 1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070 15001200 1100 1350 1450 1200 1150 10101390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950 1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850 1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700 Y/x 1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000图2 线性插值地貌图（左），等高线（右）图3 三次样条插值地貌图（左），等高线（右）图4 立方插值地貌图（左），等高线（右）图5 分段线性插值地貌图（左），等高线（右）比较由以上五种插值方法得到的地貌图和等高线图，可以看出，由于两个高度之间直线为最短距离，因此利用最邻近插值得到的地貌图和等高线为直线，描述的山地地貌为陡崖，对于一般山区的地貌是不符合的；分段线性插值得到的图像随着分段数目的增多，而更加平缓，棱角更加不明显；利用线性插值、三次样条插值和立方插值所得到的图像，较为平滑，更加适合描述该区山地的地貌。

图像绘制程序：x=1200:400:4000;y=1200:400:3600;z=[1130 1250 1280 1230 1040 900 500 700;1320 1450 1420 1400 1300 700 900 850;1390 1500 1500 1400 900 1100 1060 950;1500 1200 1100 1350 1450 1200 1150 1010;1500 1200 1100 1550 1600 1550 1380 1070;1500 1550 1600 1550 1600 1600 1600 1550;1480 1500 1550 1510 1430 1300 1200 980];figure(1);title('分段线性插值')figure(10)contour(xi,yi,z3i,10,'r')title('立方插值')figure(11)contour(xi,yi,z4i,10,'r')title('三次样条插值')figure(12)contour(xi,yi,z5i,10,'r')title('线性插值')方法二：针对绘制等高线和地貌图的问题，使用 Matlab中的contourf命令绘制等高线，surf命令绘制带阴影的三维曲面图，得到地貌图，如图 6所示的地貌图和平面等高线：图 6 山区地貌图（左），等高线图（右）（1）等高线绘制程序：clc;clf;clear;时刻/h012345678910111213温度/℃1514141414151618202223252831时刻/h1415161718192021222324温度/℃3231292725242220180716对024h的温度进行分析，采用多项式拟合的数学方法，建立温度y和时刻x的模型，利用Matlab编写程序求得多项式方程为：5432=-+--+y x x x x x0.00010.00470.06770.17970.245214.7582拟合所得图像如图7所示：图7 温度-时间拟合曲线由图像可以看出，在03h内，温度变化较平缓，在1415℃左右；在414h 温度处于上升阶段，在14h出现最高温度32℃；从1524h处于下降阶段，其中在23h时出现了低温7℃。

程序：x=0:1:24;y=[15 14 14 14 14 15 16 18 20 22 23 25 28 31 32 31 29 27 25由上述结果得到：F 检验通过，复判定系数与调整复判定系数的差距不大；但在t 检验中有若干自变量对y 的解释作用不明显，在此采用逐步回归的方法对自变量集合进行调整。

利用Matlab 统计工具箱中用作逐步回归的命令stepwise ，进行统计分析，得到如图所示的结果：图1 逐步回归分析结果由上图可以看出：红色表明从模型中移去的变量为2x 、4x 、6x ，移除这三个变量后，再利用最小二乘法拟合一个多元回归模型，有135276.76840.60770.75010.0041x x x y +--=这个回归模型的复判定系数20.9813R =，调整复判定系数20.9792R =。

模型的 剩余标准差为。

对模型进行F 检验： 455.3368F =两个回归模型相比较，得到：后者的复判定系数与调整复判定系数的差距更小，与实际更加符合，因此所做的调整是有意义的，对于预测更加有利。

数据没有找全，没法预测检验。

年份国民收工业总农业总总人口就业人固定资产财政活期 半年期 一年期 二年期 三年期 五年期校基金会计划在n 年内每年用部分本息奖励优秀师生，要求每年的奖金额大致相同，且在n 年末仍保留原基金数额。

校基金会希望获得最佳的基金使用计划，以提高每年的奖金额。

请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案，并对M=5000万元，n=10年及n=12年给出具体结果： （1）只存款不购国库卷； （2）可存款也可购国库卷；（3）学校在基金到位后的第3年要举行百年校庆，基金会希望这一年的奖金比其他年度多20%以(01,19)ij x i n j =-= 代表第i 年第 j 种投资方式投资的金额数目（以万元计），其中16i = 代表存款数目，7,8,9i =代表国库券数目，(1)i y i n =代表第i 年末得到的本息和，(1)i z i n = 代表第i 年发的奖金额，由于每一年的奖金额大致相同，在此取i z z =，z 为常数。

假设该校每年的1月1日发奖金，且存款等都是1月1日进行的。

（1）只存款不购国库卷以奖金额最大为目标函数，其约束条件有： 起初各种投资方式之和为M ，即601j j x M ==∑每一年得到的本息和，全部用于再次投资和奖金，即610i ij j y z x =--≤∑第n 年末仍保留原基金数额M ，即n n y z M -=。

和企业信誉度3个指标按照成本型指标的转化形式转换，最终取线性加权值最小的单位为中标单位，转换之后的各项指标的定量数据如表3所述:表3 转化之后的定量数据对转化之后的定量数据进行无量纲化处理，此处采用标准差方法和极值差方法分别对本问题进行分析。

标准差方法：标准差法求得的ij x 的标准观测值ijx ' 的计算公式为： ()1,24;1,26ij jijjx x x i j s -'===其中()4421111,j ij j ij j i i x x s x x n n ====-∑∑无量纲化之后得到的数据为：指标 单位投标报价 (万元)工期(月) 主材用 料(万元)施工 方案质量 业绩企业 信誉度A1 480 15 192 1 3 3 A2 190 14 196 3 5 5 A3 501 14 204 3 3 1 A4 475 18 190 5 1 5 权重指标 单位投标报价 (万元)工期(月)主材用 料(万元)施工 方案质量 业绩企业 信誉度A1 480 15 192 1 3 3 A2 190 14 196 3 5 5 A3 501 14 204 3 3 1 A4 475181905 1 5平均值 33标准差14)，得到以下的A4414;16)j=16)=主材用万元)施工方案质量业绩114)，得到以下的A441．数据的检验与处理首先，为了保证建模方法的可行性，对已知数据列做必要的检验处理。

由题目所给的历史数据得到参考数据：(0)(0)(0)(0)((1),(2),()),(6)x x x x n n ==，再由数列级比的计算公式(0)(0),2,3,(1)()()k nx k k x k λ=-=计算出参考数据的数列级比，判断所有的级比是否都落在可容覆盖2212(,)n n ee-++Θ=内，此处6n =，因此(0.7515,1.2840)Θ=，若在可容覆盖内，则数列(0)x 可作为模型(1,1)GM 的数据进行灰色预测，否则需对数列(0)x 做必要的变换处理，使其落入可容覆盖内。

商品零售业参考数据为：(0)188.2,98.5,108.475,118.4167,132.8083,145.43)(08x = 数列级比为：k 2 3 4 5 6 1()k λ表1 商品零售业数列级比1()k λ全部在可容覆盖内，可以作为模型(1,1)GM 的数据进行灰色预测。

2.建立模型对(0)x 作一次累加，则(1)(0)(1)(0)1(1)(1)()()(2,3,,6)ik x x x i x k i ====∑，记(1)(1)(1)(1)((1),(2),,(6))x x x x =取(1)x 的加权均值，则(1)(1)(1)()()(1)(1)(2,3,6)z k x k x k k αα=+--= ，α 为确定参数，记(1)(1)(1)(1)((2),(3),,(6))z z z z =(1,1)GM 的白化微分方程模型为(1)(1)dx ax b dt+= 其中a 为发展灰度，b 为内生控制灰度。

由于(1)(1)(0)()(1)()x k x k x k --= ，取(0)()x k 为灰导数，(1)()z k 为背景值，则上述微分方程相应的灰微分方程为：(0)(1)()()(2,3,,6)x k az k b k +==写作矩阵形式为：(,)T Y B a b = 其中(1)(1)(1)(0)(0)(0)(2)(3)(6)((2),(3),,(6)),111TTz z z Y x x x B ⎡⎤---==⎢⎥⎣⎦用最小二乘法求得参数的估计值为：1ˆˆ(,)()T T T ab B B B Y -= 灰微分方程有相应的特解()(1)(0)ˆ1(1)at b b xt x e a a -⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭ 则()()()()()()()()()()01101ˆˆˆ111a k ak b xk x k x k x e e a ---⎛⎫+=+-=-- ⎪⎝⎭， 即可预测得到2003年的平均数值，平均值乘12即为2003年的总数值Z 。