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实验指导3 矩阵的基本运算

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实验指导3 矩阵的基本运算
一、实验目的
熟悉Matlab软件中关于矩阵运算的各种命令
二、实验内容
已知矩阵A、B、b如下：
，
b=[1 3 5 7 9 11 ]
应用Matlab软件进行矩阵的输入及各种基本操作。

三、实验仪器和设备
1.计算机若干台（装有matlab6.5及以上版本软件）
2.打印机
四、实验要求
1.独立完成各个实验任务；
2.实验的过程保存成 .m 文件，以备检查；
3.实验结果保存成 .mat 文件
五、实验原理
（一）预备知识
z线性代数中的矩阵运算；
z本实验所用Matlab命令提示：
（1）矩阵的输入格式：；b=初始值 ：步长 ：终值； （2）求A的转置：A ’；
（3）求A加B：A+B；
（4）求A减B：A－B；
（5）求数k乘以A：k*A；
（6）求A乘以B：A*B；
（7）求A的行列式：det（A）；
（8）求A的秩：rank（A）；
（9）求A的逆：inv（A）；
（10）B右乘A的逆： B / A；
（11）B左乘A的逆：A\B；
（12）求A的特征值：eig(A)；
（13）求A的特征向量矩阵X及对角矩阵D：[X，D]=eig(A)；
（14）方阵A的n次幂： A^ n ；
（15）A与B的对应元素相乘：A .* B；
（16）存储工作空间变量：save’文件名’’变量名’；
（17）列出工作空间所有变量：whos
（二）实验内容及要求
1.输入矩阵A、B、b；
2.作X21=A ’ 、X22=A+B 、X23=A－B 、X24=A*B；
3.作X31=|A| 、X32=|B|；
4.作X41=R（A） 、X42=R（B）；
5.作X5=；
6.求满足矩阵方程：XA=C的解矩阵X6。

其中C为A的第i列乘i 所得矩阵；
7.求满足方程组：AX=b ’ 的解向量X7 ；
8.作X6的特征值向量X8 、X6 的特征向量组 X 及对角阵D ；
9.作X9=；
10.存储工作空间变量 A 、B 。

(三）操作提示
1．计算过程（程序名sy1.m）
A=[3 4 -1 1 -9 10;6 5 0 7 4 -16;1 -4 7 -1 6 -8;...
2 -4 5 -6 12 -8; -
3 6 -7 8 -1 1;8 -
4 9 1 3 0]
B=[1 2 4 6 -3 2;7 9 16 -5 8 -7;8 11 20 1 5 5;...
10 15 28 13 -1 9;12 19 36 25 -7 23;2 4 6 -3 0 5]
b=1:2:11
x21=A'
x22=A+B
x23=A-B
x24=A*B
x31=det(A)
x32=det(B)
x41=rank(A)
x42=rank(B)
x5=inv(A)
for i=1:6
c(:,i)=i*A(:,i); end
c
x6=c/A
x7=A\b'
x8=eig(x6)
[x,D]=eig(x6)
x9=B^2*(A^(-1))^2 save sy1 A B
2．计算结果
A =
3 4 -1 1 -9 10
6 5 0
7 4 -16
1 -4 7 -1 6 -8
2 -4 5 -6 12 -8 -
3 6 -7 8 -1 1
8 -4 9 1 3 0
B =
1 2 4 6 -3 2
7 9 16 -5 8 -7
8 11 20 1 5 5
10 15 28 13 -1 9 12 19 36 25 -7 23 2 4 6 -3 0 5
b =
1 3 5 7 9 11
x21 =
3 6 1 2 -3 8
4 5 -4 -4 6 -4
-1 0 7 5 -7 9
1 7 -1 -6 8 1
-9 4 6 12 -1 3
10 -16 -8 -8 1 0
x22 =
4 6 3 7 -12 12
13 14 16 2 12 -23 9 7 27 0 11 -3
12 11 33 7 11 1
9 25 29 33 -8 24
10 0 15 -2 3 5
x23 =
2 2 -5 -5 -6 8
-1 -4 -16 12 -4 -9
-7 -15 -13 -2 1 -13
-8 -19 -23 -19 13 -17
-15 -13 -43 -17 6 -22
6 -8 3 4 3 -5
x24 =
-55 -85 -180 -245 80 -175
127 174 348 250 -13 52
75 110 220 194 -41 154
82 129 260 283 -91 239
53 76 138 21 21 -29
98 151 284 165 -33 167
x31 =
245295
x32 =
x41 =
6
x42 =
4
x5 =
-0.0737 0.0604 -0.2297 0.0067 -0.0804 0.1042 0.3142 0.0036 0.2408 0.1605 0.1259 -0.1436 0.2099 -0.0395 0.3155 0.0364 0.0834 -0.0663 -0.0827 -0.0123 0.0088 -0.0777 0.0779 0.0878 0.0134 -0.0335 -0.0159 0.1129 0.1061 0.0337 0.0377 -0.0525 -0.0110 0.0469 0.0698 0.0411
c =
3 8 -3
4 -4
5 60
6 10 0 28 20 -96
1 -8 21 -4 30 -48
2 -8 15 -24 60 -48
-3 12 -21 32 -5 6
8 -8 27 4 15 0
x6 =
2.9937 -1.3602 0.3790 -1.3862 0.2409 0.6621 -2.9686 4.4209 2.0166 -2.7720 -1.6217 -1.6197
0.7423 0.7632 4.4879 0.9367 0.1844 -1.4517
1.4636 0.3018 1.7126 5.6670 1.2292 -1.6950
-2.9029 0.1517 -2.7542 -1.6300 2.3827 2.2451 2.4342 -1.1655 4.5517 1.1351 2.5048 1.0478
x7 =
-0.5714
2.2062
1.9446
1.0471
1.9493
1.2331
x8 =
1.0000
2.0000
6.0000
3.0000
4.0000
5.0000
x =
-0.2705 0.3578 -0.4541 -0.0698 0.0811 -0.5313 -0.5410 0.4472 0.7265 -0.0000 0.5678 0.2361 -0.0902 -0.3578 0.3633 0.4889 -0.0811 0.3542 -0.1803 -0.3578 0.3633 0.3492 -0.4867 0.7083 0.2705 0.5367 -0.0454 -0.4889 0.6489 -0.0590 -0.7213 -0.3578 0.0000 0.6286 0.0811 0.1771
D =
1.0000 0 0 0 0 0
0 2.0000 0 0 0 0
0 0 6.0000 0 0 0
0 0 0 3.0000 0 0
0 0 0 0 4.0000 0
0 0 0 0 0 5.0000
x9 =
4.8329 1.1095 4.3899 2.1612 3.5801 6.1010
16.7262 1.3541 15.0714 9.5847 13.0914 18.5071
22.0322 3.1761 19.5899 11.9050 17.4229 27.6293
31.6981 5.3951 28.3698 16.2275 24.5831 39.8312
41.8370 8.3265 37.2783 20.7091 32.4948 55.0544
2.1785 1.3564 1.8128 0.6693 2.2719 5.5885
六、实验任务
(1)对本实验中所得的C矩阵求C’ 、|C|、R(C)、、C 的特征值及对应的特征向量。

(2)创建从2开始，公差为4的等差数列的前15项构成的行向量；
(3)将本实验中矩阵A、B的对应元素相乘、对应元素相除并观察分母为0时的结果；
(4)求b每个元素自身次幂所得行向量；
(5)列出本实验中所有变量。

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矩阵的基本运算

矩阵的基本运算


如果 AT A 则矩阵A称为反对称矩阵.
由此可知，反对称矩阵旳对角元必为零，即 aii = 0
0 5 4
例如
B
5
0 1 是3阶反对称矩阵.
4 1 0
例 设列矩阵 X x1, x2 , , xn T 满足 X T X 1,
E为n阶单位矩阵, H E 2XX T , 证明 H是对称矩阵, 且HH T E.
(i 1, 2, m; j 1, 2, , n)
把此乘积记作 C AB
例如
C 2 1
4 2
222 3
4
16
?
32
622 8 16 22
1 0
例
若
A
1
1
0 5
求AB.
1 3 1
2
0
4
0
B
1
3
1
3 2 1 2
4
1
1
1
解
因
A
aij
,B
34
bij
证 因为 H T (E 2 XX T )T ET 2( XX T )T E 2XX T H
所以H 是对称矩阵. HH T H 2 (E 2 XX T )2
E 4XX T 4( XX T )( XX T ) E 4XX T 4X ( X T X )X T E 4XX T 4XX T E
(3) (AB)( A)B A(B) (其中为常数)
(4) AE EA A
注 矩阵乘法不满足互换律,即 AB BA
例如
设
A
1
1
,
B
1
1
1 1
1 1
两个非零矩阵旳 乘积可能是零矩阵
则
矩阵的运算及其运算规则

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矩阵的运算及其运算规则在数学和众多科学领域中，矩阵是一种非常重要的工具，它有着广泛的应用。

要深入理解和运用矩阵，就必须掌握矩阵的运算及其运算规则。

矩阵的加法是一种基础运算。

两个矩阵相加，只有当它们的行数和列数分别相等时才能进行。

具体来说，就是将对应位置的元素相加。

比如，有矩阵 A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂和矩阵 B ＝ b₁₁ b₁₂;b₂₁ b₂₂，那么它们相加的结果矩阵 C 就是 C ＝ a₁₁＋ b₁₁ a₁₂＋ b₁₂; a₂₁＋ b₂₁ a₂₂＋ b₂₂。

矩阵的数乘也较为常见。

用一个数乘以矩阵，就是将这个数与矩阵中的每个元素相乘。

假如有矩阵 A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂，k 是一个数，那么数乘的结果就是 kA ＝ k×a₁₁ k×a₁₂; k×a₂₁ k×a₂₂。

接下来谈谈矩阵的乘法。

矩阵乘法相对复杂一些，但在实际应用中却非常重要。

当矩阵 A 的列数等于矩阵 B 的行数时，这两个矩阵才能相乘。

假设矩阵 A 是 m×n 的矩阵，矩阵 B 是 n×p 的矩阵，那么它们相乘得到的矩阵 C 是 m×p 的矩阵。

具体计算时，矩阵 C 中第 i 行第 j 列的元素 cij 等于矩阵 A 的第 i 行元素与矩阵 B 的第 j 列对应元素乘积的和。

例如，A ＝ a₁₁ a₁₂; a₂₁ a₂₂，B ＝ b₁₁ b₁₂; b₂₁ b₂₂，那么它们相乘得到的矩阵 C 中的 c₁₁＝ a₁₁×b₁₁＋ a₁₂×b₂₁，c₁₂＝ a₁₁×b₁₂＋ a₁₂×b₂₂，c₂₁＝ a₂₁×b₁₁＋ a₂₂×b₂₁，c₂₂＝ a₂₁×b₁₂＋ a₂₂×b₂₂。

矩阵乘法不满足交换律，也就是说一般情况下AB ≠ BA。

但它满足结合律，即（AB)C ＝ A(BC)，还满足分配律，即 A(B ＋ C) ＝ AB ＋AC。

实验 矩阵的建立和基本运算

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实验1 矩阵的建立和基本运算一、实验目的熟悉MATLAB软件中关于数、数组、矩阵的输入方法以及矩阵元素的使用。

掌握矩阵运算的各种命令。

二、实验内容与要求1．启动与退出双击MATLAB图标，进入MATLAB命令窗口，即可输入命令，开始运算。

单击File菜单中Exit，或使用MATLAB的Exit命令退出。

2．数、数组、矩阵的输入（1）数的输入>>a=5回车：a=5输入复数2-5i>>b=2-5ib=2-5i问题1.1：输入“>>a=5”，回车后与上面有什么区别？在行尾加“；”该行结果不显示；在行尾加“，”或不加标点，该行结果显示。

注意，在MATLAB中，标点符号一定要在英文状态下输入！（2）数组的输入>>b=[1,3,5,7,9,11]%元素之间要用逗号或空格分开>>c=1:2:11>>d=linspace(1,11,6)问题1.2：体会以上输入方法有什么区别和联系。

若b为在0~2π（π用pi表示）之间均匀分布的22个数据，c=(1.3,2.5,7.6,2,-3)，d=(23,20,17,14,11,8,5,2)，各用何种方法输入较简单？（3）矩阵的输入>>A=[2,3,5;1,3,5;6,9,4]%行之间要用分号隔开A=2 3 51 3 56 9 4等待键盘输入命令格式为：>>m=input(‘请输入初始量,m=’)；请输入初始量,m=问题1.3：输入A(2,3)，结果如何？输入A(7)又如何？体会以上输入的结果，注意，数和数组可作为矩阵的特例。

注意：变量名必须是英文字母，后面的字符可以是英文、数字和下划符，但不包括空格和标点；6。

5版变量名最长可包含63个字符，以前的版本最多为31个字符；变量名、函数名对字母大小写是区分的。

3．矩阵大小的测试和定位>>A=[3，5，6；2，5，8；3，5，9；3，7，9]；>>d=numel(A)%测试定矩阵A的元素数，5.x版本没有此命令>>[n,m]=size(A)%测试A的行(n)、列(m)数结果为：d=12n=4m=3>>[i,j]=find(A>3)；%找出A中大于3的元素的行列数注意：“%”后面是注释语句，被忽略而不执行；对一个数组可用n=length(A),A 若是矩阵，n给出A的行、列数的最大值。

矩阵的基本运算与性质

矩阵的基本运算与性质

矩阵的基本运算与性质矩阵是线性代数中重要的数学结构，它广泛应用于统计学、物理学、计算机科学等领域。

本文将介绍矩阵的基本运算和性质，包括矩阵的加法、减法、数乘、乘法以及转置等运算。

一、矩阵的加法和减法矩阵的加法和减法是指将两个矩阵进行逐元素地相加或相减的运算。

假设我们有两个矩阵A和B，它们的维度相同，即有相同的行数和列数。

矩阵的加法运算可以表示为C = A + B，其中C的每个元素等于A和B对应元素的和。

同理，矩阵的减法运算可以表示为D = A - B，其中D的每个元素等于A和B对应元素的差。

二、矩阵的数乘运算矩阵的数乘运算是指将一个实数或复数与矩阵的每个元素相乘的运算。

假设我们有一个矩阵A和一个实数k，矩阵A的数乘运算可以表示为B = kA，其中B的每个元素等于k乘以A对应元素的值。

三、矩阵的乘法运算矩阵的乘法运算是指将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵的运算。

矩阵乘法的定义要求第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。

假设我们有两个矩阵A和B，A的维度为m×n，B的维度为n×p，那么矩阵的乘法运算可以表示为C = AB，其中C的维度为m×p。

矩阵乘法的元素计算方式为C的第i行第j列元素等于A的第i行与B的第j列对应元素乘积的和。

四、矩阵的转置运算矩阵的转置运算是指将矩阵的行转换为列，将列转换为行的操作。

假设我们有一个矩阵A，A的转置可以表示为A^T。

A^T的第i行第j 列元素等于A的第j行第i列元素，即A^T的维度为n×m，其中A的维度为m×n。

矩阵的基本性质：1. 矩阵的加法和减法满足交换律和结合律，即A + B = B + A，(A +B) + C = A + (B + C)。

2. 矩阵的乘法满足结合律，即(A × B) × C = A × (B × C)。

3. 矩阵的加法和数乘运算满足分配律，即k(A + B) = kA + kB，(k + l)A = kA + lA。