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随机信号分析 第三章习题答案
、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2?）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求
（1）证明X(t)是平稳过程。
（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。
（1）
（2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为2
32
()(16)X
G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？
解
()()()2
1521()lim 2T T
T E X t X t X t X t dt A T -→∞⎡⎤=<∞
⇒⎣⎦==⎰是平稳过程
3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为
()()()Y t X t X t T =--。证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-
3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为
令新的随机过程
①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:
()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0
()()(,)[()][()]0()()(2)()()()
()[()()]
[()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R e
E Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τ
τ
τωτδττττττ---==∞=⇒=⎡⎤⎣⎦=-⇒=∴+=⋅+=⇒=+=+=++、都平稳＝与与联合独平立
稳
[][]{}
2214||
()]()()()()()0
()()()
16
()()()1
16(3)()0()0
(4)()[()()]()()()()()
()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+==={}4||
)[()()]
[()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-
3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为
()()Y t X t '=。求互谱密度()XY G ω和功率谱密度()Y G ω？
Ⅰ.平稳过程 维纳－辛钦定理
()
1
()F X X F G R ωτ-
Ⅱ.2-17 已知平稳过程()X t 的均方可导，()()Y t X t '=。证明(),()X t Y t 的互相关函数和()Y t 的
自相关函数分别为 Ⅲ.傅立叶变换的微分性质
2
2
2222
2222
222
27928exp 24
:()[()][2]4
()()()()4
()()()()2)(X X XY X XY X Y X
Y X t e e
e
t P G F R F e R j j R G G e R R G G e τωττσωωτσωωττωωωωττωωσωω-⎛⎫
⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
⇔⎧⎫⎧⎫
-⇔-⎨⎬⎨-
===-
'===⋅-
''=-=-⎬
⎩⎭⎩⎭
⋅高斯脉冲表第解利用傅立叶变换的＝个微分特性
3-17 已知平稳过程()X t 的物理功率谱密度为()4X F ω=，
①求()X t 的功率谱密度()X G ω和自相关函数()X R τ？画出(),(),()X X X F G R ωωτ的图形。
②判断过程()X t 是白噪声还是色噪声？给出理由
白噪声的定义
若平稳随机过程的均值为零，功率谱密度在整个频率轴(,)-∞+∞上均匀分布，满足
(3-1)
其中0N 为正实常数，则称此过程为白噪声过程，简称白噪声。 随机信号分析 第四章习题答案
4-4设有限时间积分器的单位冲激响应
h(t)=U(t)－U(t －0.5) 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数
1
()2
N G N ω
=
4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？ 分析：直流功率＝直流分量的平方
解: 输入平稳
输出的直流分量 输出的直流功率
()2300
X X m R σ==±==()()()1
0332
Y X m m h t h t ττ=*=*=⎰=31-d 294
Y m =
