第五章 向量代数与空间解析几何
这一章在卷面上一般只有4-6分，往往是一个选择题，两个填空题或者是两个选择题，一个填空题。下面我们就把考试中最易出现的考点给大家小结一下. 一.向量的数量积与向量积
首先要清楚两种积的定义及常用的运算法则，如：
()
2
...cos ;.;..;....a b a b a a a a b b a a b c a b a c θ===+=+
()
..sin ;0;.;.a b a b a a a b b a a b c a b a c θ⨯=⨯=⨯=-⨯⨯+=⨯+⨯
例 1.设3,232,a i k b i j k =-=-+求a b ⨯.
解：013130
3
01389.322223
232
i j k
a b i j k i j k --⨯=-=-+=------
例2.设{}{}2,1,,,2,3a m b n ==-，且a ∥b ，求,.m n 解：由于a ∥b ，因此有
21,23m n ==-解得3, 4.2
m n =-=-， 例3.求垂直于{}2,2,1a =与{}4,5,3b =的单位向量.
解：由向量积的定义可知，向量c a b =⨯是既垂直于a 又垂直于b 的向量，因此所求单位向量即为1.c c ±
c a b =⨯2121222212.53
43
45
453
i j k
i j k i j k ==
-
+
=-+
(
213,c =+=因此1
122,,333c c
⎧⎫
±
=±±⎨⎬⎩⎭为所求单位向量.
例4.求以()()()1,2,3,3,4,5,2,4,7A B C 为顶点的ABC ∆的面积. 解：11
2ABC S AB AC ∆=
⨯==
其中222462,56124
i j k
AB AC i j k AB AC ⨯==-+⨯=
二.两向量间关系的判定
要知道两向量间位置关系的判定方法，即
a ⊥.0;
b a b ⇔=a ∥0.b a b ⇔⨯=⇔对应分量成比例.
例5.判定下列各组向量间的关系（1）{}{}1,2,3,2,4,6.a b =-=-- （2）{}{}1,2,3,3,3,1.a b =-= （3）{}{}1,2,3,1,3,2.a b =-=
解：（1）注意两个向量对应分量之间的比例关系可知，a ∥b ;
（2）所给两向量的对应分量不成比例，故不平行。再考虑.0a b =，故a ⊥b ; （3）所给两向量的对应分量不成比例，故不平行；而.0a b ≠，故a 也不垂直于b . 例6.设1,2,a b ==且a ⊥b ，求()()
3223a b a b +⨯-. 解：由于
()()()322369469413,
a b a b a a a b b a b b a b a b a b +⨯-=⨯-⨯+⨯-⨯=-⨯-⨯=-⨯故()()
322313.sin
1312126.2
a b a b a b π
+⨯-==⨯⨯⨯=
例7.试确定常数λ，使得{}{}1,2,3,2,4,a b λ==满足（1）,a b ∧⎛⎫
⎪⎝⎭为锐角；
（2）,a b ∧⎛⎫
⎪⎝⎭
为钝角；（3）垂直；（4）同向.
解：（1）由于.10cos ,280a b
a b a b
∧⎛⎫=
= ⎪⎝⎭
（1）当1030,λ+>即10
3λ>-时，cos ,0,
a b ∧⎛⎫> ⎪⎝⎭,a b ∧⎛⎫
⎪⎝⎭为锐角； （2）当1030,λ+<即10
3λ<-时，cos ,0,
a b ∧⎛⎫< ⎪⎝⎭
,a b ∧⎛⎫
⎪⎝⎭
为钝角；
（3）当1030,λ+=即10
3λ=-时，cos ,0,a b ∧⎛⎫= ⎪⎝⎭
a ⊥
b ；
（4
）当103λ+=，即6,λ=cos ,cos 01,a b ∧⎛⎫
== ⎪⎝⎭
此时，a 与b 同向;
（5
）当103λ+=，即6,λ=cos ,cos 01,a b ∧⎛⎫== ⎪⎝⎭
此时，a ∥b .
例8.问λ为何值时，以2a b +与a b λ+为邻边的平行四边形的面积为6. 解：由于
()()()()2220202,
a b a b a a a b b a b b a b a b a b λλλλλ+⨯+=⨯+⨯+⨯+⨯=+⨯-⨯+=-⨯故()()
22.sin ,22 6.a b a b a b a b λλλ∧⎛⎫
+⨯+=-=-= ⎪⎝⎭
故121, 5.λλ=-=
例9.已知向量{}2,,6c k =-同时垂直于{}{}2,1,1,1,1,2a b =-=-，求k 值. 解：c 同时垂直于,a b ，则c ∥a b ⨯。
又{}2
11531,5,3.112
i
j k
a b i j k ⨯=-=--=---
c ∥15310.26
a b k k --⨯⇔
==⇒=-- 三.平面方程
要熟知平面有三种形式的方程，即： （1）点、法式方程
假设平面π过点()0000,,M x y z 且和非零向量{}C B A n ,,=垂直，则其方程。 ()()()0000A x x B y y C z z -+-+-={}C B A n ,,=称为平面π的法线向量，简 称法向量，下面举一个例子.
例10.求过三点()()()1232,1,4,1,3,2,0,2,3M M M ---的平面方程.
