中考数学(人教版)总复习 课件：第7课时 分式方程

第7讲分式方程考点1 分式方程及解法分式方程的概念分母里含有①的方程叫做分式方程.分式方程的解法解分式方程的基本思路是将分式方程转化为②方程，具体步骤是：(1)去分母，在方程的两边都乘以③，化成整式方程；(2)解这个整式方程；(3)验根，把整式方程的根代入最简公分母，如果④，则整式方程的解是原式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.考点2 分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤跟一次方程(组)的应用题不一样的是：要检验⑤，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否⑥ .分式方程无解有可能是两种情况：一是去分母后的整式方程无解；二是整式方程有解，但整式方程的解使最简公分母为0，分式方程也无解.命题点1 分式方程的解法例1 (·呼和浩特)解方程：23 2x x +-212x x-=0.【思路点拨】先确定最简公分母x(x+2)(x-2)，方程两边同乘最简公分母，把分式方程转化为整式方程求解，最后要检验.【解答】方法归纳：解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程，解这个整式方程，并检验该整式方程的解是不是原分式方程的解.1.(·原创)把分式方程24x+=1x转化为一元一次方程时，方程两边需同乘以( )A.xB.2xC.x+4D.x(x+4)2.(·台州)将分式方程1-21xx-=31x-去分母，得到正确的整式方程是( )A.1-2x＝3B.x-1-2x＝3C.1+2x＝3D.x-1+2x＝33.(·重庆B卷)分式方程41x+=3x的解是( )A.x＝1B.x＝-1C.x＝3D.x＝-34.(·连云港)解方程：22x-+3=12xx--.命题点2 分式方程的应用例2 (·襄阳)甲、乙两座城市的中心火车站A，B两站相距360 km，一列动车与一列特快列车分别从A、B两站同时出发相向而行，动车的平均速度比特快列车快54 km/h.当动车到达B站时，特快列车恰好到达距离A站135 km处的C站.求动车和特快列车的平均速度各是多少？【思路点拨】设特快列车的平均速度为x km/h，则动车的平均速度为(x+54)km/h，依题意有等量关系：动车行驶360 km所用时间＝特快列车行驶(360-135)km所用时间.列方程求解即可.【解答】方法归纳：列分式方程解应用题的关键是分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的关系，从而得到等量关系式，进而引进未知数，列出方程解决问题.利用分式方程解应用题一定要注意检验，找出符合实际情况的答案.1.(·莱芜)已知A、C两地相距40千米，B、C两地相距50千米，甲乙两车分别从A、B两地同时出发到C地.若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C地.设乙车的速度为x千米/小时，依题意列方程正确的是( )A. 40x=5012x-B.4012x-=50xC. 40x=5012x+D.4012x+=50x2.(·大连)某超市购进A、B两种糖果，A种糖果用了480元，B种糖果用了1 260元，A、B两种糖果的重量比是1∶3，A种糖果每千克的进价比B种糖果每千克的进价多2元.A、B 两种糖果各购进多少千克?3.(·东营)为顺利通过“国家文明城市”验收，东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造.根据市政建设的需要，须在40天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程.经调查知道：乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程的时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成.甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天?1.(·山西)解分式方程21x -+ 21x x+-=3时，去分母后变形为( ) A.2+(x+2)=3(x-1) B.2-x+2=3(x-1)C.2-(x+2)=3(1-x)D.2-(x+2)=3(x-1)2.(·孝感)分式方程1x x -=233x -的解为( ) A.x=-16 B.x=23C.x=13D.x=563.(·原创)邱老师和黄老师住在同一个小区，离学校 3 000米，某天早晨，邱老师和黄老师分别于7点10分、7点15分离家骑自行车上班，刚好在校门口遇上，已知黄老师骑车的速度是邱老师的1.2倍，则邱老师骑车的速度是( )A.80米/分B.100米/分C.120米/分D.200米/分4.(·无锡)方程22x +=1x的解是 . 5.(·广安)解方程42x x --1=32x-，则方程的解是 . 6.(·巴中)若分式方程1x x -- 1m x -=2无解，则m 的值是 . 7.(·盘锦)小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍.设骑自行车的速度为x 千米/时，根据题意列方程为 .8.解分式方程：(1)(·盐城)31x -＝21x +；(2)(·聊城) 22xx+-+2164x-=-1.9.(·东营模拟)如图，点A、B在数轴上，它们所对应的数分别是-3和1-x2-x，且点A、B 到原点的距离相等，求x的值.10.(·娄底)娄底到长沙的距离约为180千米，小刘开着小轿车，小张开着大货车，都从娄底去长沙，小刘比小张晚出发1小时，最后两车同时到达，已知小轿车的速度是大货车的速度的1.5倍.(1)求小轿车和大货车的速度各是多少？(列方程解答)(2)当小刘出发时，小张离长沙还有多远？11.(·徐州)几个小伙伴打算去音乐厅观看演出，他们准备用360元钱购买门票.下面是两个小伙伴的对话：根据对话中的信息，请你求出小伙伴们的人数.12.(·威海）端午节期间，某食堂根据职工食用习惯，用700元购进甲、乙两种粽子260个，其中甲种粽子比乙种粽子少用100元.已知甲种粽子单价比乙种粽子单价高20%，乙种粽子的单价是多少元？甲、乙两种粽子各购买了多少个？13.(·自贡)学校新到一批理、化、生实验器材需要整理，若实验管理员李老师一人单独整理需要40分钟完成.现在李老师与工人王师傅共同整理20分钟后，李老师因事外出，王师傅再单独整理了20分钟才完成任务.(1)王师傅单独整理这批实验器材需要多少分钟完成？(2)学校要求王师傅的工作时间不能超过30分钟，要完成整理这批器材，李老师至少要工作多少分钟？14.(·荆门)已知：点P(1-2a ，a-2)关于原点的对称点在第一象限内，且a 为整数，则关于x 的分式方程 1x x a+-＝2的解是( ) A.5 B.1 C.3 D.不能确定15.(·枣庄)对于非零的两个实数a ，b ，规定a b ⊕=1b -1a ，若()221x ⊕-=1，则x 的值为( ) A.56 B.54 C.32 D.-16 16.(·达州)某服装商预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8 000元购进一批衬衫，面市后果然供不应求，服装商又用17 600元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但单价贵了8元.商家销售这种衬衫时每件定价都是100元，最后剩下10件按8折销售，很快售完.在这两笔生意中，商家共盈利多少元？17.(·娄底)为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4 800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元.(1)求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？(2)若单独租用一台车，租用哪台车合算？参考答案考点解读①未知数②整式③最简公分母④不为0 ⑤两⑥符合题意各个击破例1方程两边同乘x(x+2)(x-2),去分母，得3(x-2)-(x+2)=0，去括号，得3x-6-x-2=0，移项，得3x-x=6+2，合并，得2x=8，系数化为1，得x=4.检验，当x=4时，x(x+2)(x-2)=48≠0，∴x=4是原方程的解.题组训练 1.D 2.B 3.C4.2+3(x-2)=x-1，2+3x-6=x-1，2x=3，x=32.经检验，x=32是原方程的解.例2 设特快列车的平均速度为x km/h，则动车的平均速度为(x+54)km/h，根据题意，得36054 x+=360135x-.解得x=90.经检验，x=90是这个分式方程的解，且符合题意.x+54=144.答：动车和特快列车的平均速度分别为144 km/h和90 km/h.题组训练 1.B2.设A种糖果购进x千克，则B种糖果购进3x千克，根据题意，得480 x -12603x=2.解得x＝30.经检验，x＝30是原方程的解，且符合题意.3x＝90.答：A种糖果购进30千克，B种糖果购进90千克.3.设甲工程队单独完成此项工程需x天，则乙工程队单独完成此项工程需2x天.由题意得1x +12x =110.解得x=15. 经检验，x=15是原方程的解.∴2x=30.答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天. 整合集训1.D2.B3.B4.x=25.x=-536.-17.5x -52x =168.(1)分式两边同乘(x+1)(x-1),去分母，得3(x+1)＝2(x-1).解得x ＝-5.检验，当x ＝-5时，(x+1)(x-1)=24≠0.∴原分式方程的解是x ＝-5.(2)分式两边同乘(x+2)(x-2)去分母，得-(2+x)2+16=-(x 2-4)，解得x=2.经检验，当x=2时，x 2-4=0.∴原方程无解.9.依题意可得12x x --=3，解得x=52. 经检验，x=52是原方程的解. ∴x 的值为52. 10.(1)设大货车的速度为x 千米/时，小轿车的速度为1.5x 千米/时，则180x -1801.5x=1.解得x=60. 经检验，x=60是方程的解，且符合题意.1.5x=90.答：大货车的速度为60千米/时，小轿车的速度为90千米/时.(2)180-60=120(千米).答：当小刘出发时，小张离长沙还有120千米.11.设共有x 个小伙伴，依题意，得3602x -×0.6=36072x-.解得x=8. 经检验，x=8是原方程的解，且符合题意.答：共有8个小伙伴.12.设乙种粽子的单价为x 元，则()00300120x ++400x=260.解得x=2.5. 经检验，x=2.5是原方程的解，且符合题意. ∴()00300120x +=100, 400x =160.答：乙种粽子的单价是2.5元，甲、乙两种粽子分别购买了100个、160个.13.(1)设王师傅单独整理这批实验器材需要x 分钟完成，则 (140+1x )×20+20x=1.解得x=80. 经检验得x=80是原分式方程的解，且符合题意.答：王师傅单独整理这批实验器材需要80分钟完成.(2)设李老师要工作m 分钟，则40m +3080≥1.解得x ≥25. 答：李老师至少要工作25分钟.14.C 15.A16.设第一批进货的单价为x 元，则第二批进货的单价为(x+8)元，由题意，得 2×8 000x =17 6008x .解得x=80. 经检验，x=80是原分式方程的解，且符合题意.则第一次进货100件，第二次进货的单价为88元，第二次进货200件.总盈利为：(100-80)×100+(100-88)×(200-10)+10×(100×0.8-88)=4 200(元).答：在这两笔生意中，商家共盈利4 200元.17.(1)设甲车单独运完此堆垃圾需运x 趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x 趟，依题意，得12x +122x=1.解得x=18. 经检验x=18是原方程的解，且符合题意.2x=36.答：甲车单独运完此堆垃圾需18趟，乙车需36趟.(2)设甲车每趟需运费a 元，则乙车每趟需运费(a-200)元，依题意，得12a+12(a-200)=4 800.解得a=300.a-200=100.∴单独租用甲车的费用=300×18=5 400(元)，单独租用乙车的费用=100×36=3 600(元).∵5 400＞3 600，∴单独租用乙车合算.。

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。