函数的奇偶性●知识梳理1.奇函数：对于函数f（x）的定义域内随意一个x，都有f（－ x）=－f（x）〔或f （x） + f（－ x） =0〕，则称f（ x）为奇函数.2.偶函数：对于函数f（ x）的定义域内随意一个x，都有f（－ x） =f（ x）〔或f （ x）－ f（－ x）=0〕，则称f（x）为偶函数.3.奇、偶函数的性质（1）拥有奇偶性的函数，其定义域对于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必需条件是其定义域对于原点对称）.（2）奇函数的图象对于原点对称，偶函数的图象对于y 轴对称 .（3）若奇函数的定义域包括数0，则 f（0）=0.（4）奇函数的反函数也为奇函数.（5）定义在（－∞， +∞）上的随意函数f（x）都能够独一表示成一个奇函数与一个偶函数之和 .●点击双基1.下边四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象必定与y 轴订交②奇函数的图象必定经过原点③偶函数的图象对于 y 轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数必定是f（ x）=0（x∈R）分析：①不对；②不对，由于奇函数的定义域可能不包括原点；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数能够为f（ x）=0〔x∈（－ a， a）〕.答案： A2.已知函数 f（x）=ax2＋bx＋ c（a≠0）是偶函数，那么g（x） =ax3＋bx2＋cx 是A. 奇函数C.既奇且偶函数B.偶函数D.非奇非偶函数分析：由f（x）为偶函数，知b=0，有g（x）=ax3＋cx（ a≠0）为奇函数.答案： A3.若偶函数f（x）在区间［－1， 0］上是减函数，α、β是锐角三角形的两个内角，且α≠β，则以下不等式中正确的选项是（cosα）＞ f（cosβ）（sinα）＞ f（ cosβ）（sinα）＞ f（sinβ）（cosα）＞f（sinβ）分析：∵偶函数f（x）在区间［－ 1， 0］上是减函数，∴ f（x）在区间［ 0， 1］上为增函数 .由α、β是锐角三角形的两个内角，∴α+β＞90°，α＞90°－β.1＞sinα＞cosβ＞ 0.∴f（sinα）＞ f（ cosβ） .答案： B4.已知 f（ x）＝ ax2＋ bx＋ 3a＋ b 是偶函数，且其定义域为［a－1，2a］，则 a＝___________，b＝___________.分析：定义域应对于原点对称，故有 a－1＝－ 2a，得 a＝1 .3又对于所给分析式，要使f（－ x）＝ f（ x）恒建立，应 b＝0.答案：131（ x≠ 0）；②y=x25.给定函数+1；③y=2x；④y=log2；⑤y=log2（x+x 2 1 ）:①y=x.x在这五个函数中，奇函数是_________，偶函数是 _________，非奇非偶函数是__________.答案：①⑤② ③④●典例分析【例 1】已知函数 y=f（x）是偶函数， y=f（x－ 2）在［ 0，2］上是单一减函数，则（0）＜ f（－ 1）＜ f（ 2）（－1）＜f（0）＜f（2）（－ 1）＜ f（ 2）＜ f（ 0）（2）＜f（－1）＜f（0）分析：由 f（x－2）在［ 0，2］上单一递减，∴f（x）在［－ 2，0］上单一递减 .∵y=f（x）是偶函数，∴f（x）在［ 0， 2］上单一递加 .又 f（－ 1） =f（1），故应选 A.答案： A【例 2】判断以下函数的奇偶性：（1）f（x）=|x+1|－ |x－ 1|；1x（2）f（x）=（x－1）·；（3）f（x）=1x 2；| x 2 | 2（4）f（x）=x(1x)( x0),x(1x)( x0).分析：依据函数奇偶性的定义进行判断.解：（1）函数的定义域x∈（－∞， +∞），对称于原点 .∵f（－ x）=|－ x+1|－ |－ x－ 1|=|x－1|－ |x+1|=－（ |x+1|－|x－1|） =－ f（ x），∴f（x）=|x+1|－ |x－ 1|是奇函数 .（ 2）先确立函数的定义域 .由1x1 x≥0，得－ 1≤x＜ 1，其定义域不对称于原点，所以 f（x）既不是奇函数也不是偶函数.（3）去掉绝对值符号，依据定义判断.由1x20,1 x 1,得4. | x 2 | 2 0,x 0且x故 f（x）的定义域为［－ 1，0）∪（0，1］，对于原点对称，且有 x+2＞0.进而有 f（x）221( x)22= 1 x= 1x=－1x =－f（x），故 f（x）为奇，这时有 f（－ x）=xx22x x函数 .（4）∵函数 f（x）的定义域是（－∞， 0）∪（0，+∞），而且当 x＞ 0 时，－ x＜0，∴f（－ x）=（－ x）［1－（－ x）］=－x（1+x） =－ f（x）（x＞ 0） .当 x＜ 0 时，－ x＞0，∴ f（－ x） =－ x（ 1－ x）=－f（x）（ x＜ 0） .故函数 f（x）为奇函数 .评论：（ 1）分段函数的奇偶性应分段证明 .（2）判断函数的奇偶性应先求定义域再化简函数分析式 .【例 3】（2005 年北京东城区模拟试题）函数f（ x）的定义域为 D={ x|x≠0} ，且满足对于随意 x 、 x ∈D，有 f（ x ·x ）=f（ x ）+f（x ） .121212（1）求 f（ 1）的值；（2）判断 f（x）的奇偶性并证明；（3）假如 f（4）=1， f（3x+1）+f（ 2x－6）≤ 3，且 f（ x）在（ 0，+∞）上是增函数，求 x 的取值范围 .（1）解：令 x1 =x2=1，有 f（1×1）=f（ 1） +f（1），解得 f（1）=0.（2）证明：令 x1 =x2=－ 1，有 f［（－ 1）×（－ 1）］=f（－ 1）+f（－ 1） .解得 f（－1）=0.令 x1 =－1，x2=x，有 f（－ x）=f（－ 1）+f（ x），∴ f（－ x）=f（ x） .∴f（x）为偶函数.（3）解： f （ 4× 4） =f （4）+f （4）=2，f （ 16×4）=f （ 16）+f （4） =3.∴ f （3x+1）+f （2x －6）≤ 3 即 f ［（3x+1）（ 2x －6）］≤ f （64） .（* ）∵f （x ）在（ 0， +∞）上是增函数，∴（ * ）等价于不等式组或 (3x 1)( 2x 6) 0,(3x 1)(2 x 6) 64,x 3或x1 , 1 3,或3 或x 375x R.x3∴3＜x ≤5 或－ 7≤x ＜－ 1或－ 1＜x ＜3.333∴x 的取值范围为 { x|－ 7≤x ＜－ 1或－ 1＜x ＜3 或 3＜ x ≤5}.33 3评论：解答此题易出现以下思想阻碍：（1）无从下手，不知怎样脱掉“ f ” .解决方法 :利用函数的单一性 .（2）没法获得另一个不等式 .解决方法：对于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性同样，偶函数的单一性相反 .深入拓展已知 f （ x ）、g （x ）都是奇函数， f （ x ）＞ 0 的解集是（ a 2，b ）， g （ x ）＞ 0 的解集2是（a， b ）， b＞a 2，那么 f （x ）· g （ x ）＞ 0 的解集是 2 2 2A. （ a 2 ， b）2）2 2 B.（－ b ，－ aC.（ a 2， b）∪（－ b，－ a 2）222 D.（a，b ）∪（－ b 2，－ a 2）2提示： f （ x ）·g （x ）＞ 0f (x) 0, 或 f ( x) 0,g( x) 0g ( x)0.∴x ∈（ a 2， b ）∪（－ b，－ a 2） .2 2答案： C【例 4】 （2004 年天津模拟试题）已知函数 f （x ）=x+ px+m （ p ≠ 0）是奇函数 .（1）求 m 的值 .（2）（理）当 x ∈［ 1， 2］时，求 f （x ）的最大值和最小值 .（文）若 p ＞ 1，当 x ∈［ 1，2］时，求 f （x ）的最大值和最小值 .解：（1）∵ f （x ）是奇函数，∴ f （－ x ）=－f （x ）.∴－ x － p +m=－x － p－m.xx∴ 2m=0.∴m=0.（2）（理）（ⅰ）当 p ＜ 0 时，据定义可证明 f （x ）在［ 1， 2］上为增函数 .∴ f （x ）max =f （2）=2+ p，f （ x ） min =f （1）=1+p.2（ⅱ）当 p ＞ 0 时，据定义可证明 f （x ）在（ 0， p ］上是减函数，在［p ，+∞）上是增函数 .①当 p ＜1，即 0＜ p ＜ 1 时， f （x ）在［ 1，2］上为增函数，∴ f （x ）max =f （2）=2+ p， f （x ）min =f （1）=1+p.2②当 p ∈［ 1，2］时， f （ x ）在［ 1，p ］上是减函数 .在［ p ， 2］上是增函数 .f （ x ） min =f （ p ）=2 p .f （ x ） max =max{ f （ 1），f （2） }=max{1+ p ，2+ p}.2当 1≤p ≤2 时，1+p ≤2+ p，f （x ）max =f （ 2）；当 2＜p ≤4 时，1+p ≥2+ p，f （x ）max =f22（1）.③当p ＞ 2，即 p ＞ 4 时，f （ x ）在［1，2］上为减函数， ∴ f （ x ）max =f （1）=1+p ，f （x ）min =f （2）=2+ p.2（文）解答略 .评论： f（ x） =x+ p（ p＞0）的单一性是一重要问题，利用单一性求最值是重要方x 法.深入拓展f（ x） =x+ p的单一性也可依据导函数的符号来判断，此题怎样用导数来解？x●闯关训练夯实基础1.定义在区间（－∞，+∞）上的奇函数 f （ x）为增函数，偶函数g（ x）在区间［ 0， +∞）上的图象与f（x）的图象重合，设a＜ b＜ 0，给出以下不等式，此中建立的是①f（b）－ f（－ a）＞ g（ a）－ g（－ b）②f（b）－ f（－ a）＜ g（ a）－ g（－ b）③f（a）－ f（－ b）＞ g（ b）－ g（－ a）④f（a）－ f（－ b）＜ g（ b）－ g（－ a）A. ①④B.②③C.①③D. ②④分析：不如取切合题意的函数f（x）=x 及 g（x） =|x|进行比较，或一般地g（x）f ( x)x0, =x f（0）=0， f（a）＜ f（b）＜ 0.f ( x)0,答案： D2.（2003 年北京海淀区二模题）函数f（x）是定义域为 R 的偶函数，又是以 2 为周期的周期函数 .若 f（x）在［－ 1，0］上是减函数，那么 f（ x）在［ 2，3］上是A. 增函数B.减函数C.先增后减的函数D.先减后增的函数分析：∵偶函数f（x）在［－ 1，0］上是减函数，∴ f（ x）在［ 0，1］上是增函数 .由周期为 2 知该函数在［ 2，3］上为增函数 .答案： A3.已知 f（ x）是奇函数，当 x∈（ 0，1）时， f（x）=lg1，那么当x∈（－1，0）1 x时， f（ x）的表达式是 __________.分析：当 x∈（－ 1，0）时，－ x∈（ 0，1），∴ f（x）=－f（－ x）=－lg 1=lg（1 1 x－x） .答案： lg（1－x）x2x1,4.（2003 年北京）函数 f（x）=lg（ 1+x2），g（x）= 0| x | 1, h（x）=tan2x中，x2x 1.______________是偶函数 .分析：∵ f（－ x）=lg［1+（－ x）2］=lg（1+x2） =f（x），∴f（x）为偶函数 .又∵ 1°当－ 1≤x≤1 时，－ 1≤－ x≤1，∴g（－ x） =0.又 g（ x） =0，∴ g（－ x）=g（ x）.2°当 x＜－ 1 时，－ x＞ 1，∴g（－ x） =－（－ x）+2=x+2.又∵ g（ x） =x+2，∴ g（－ x）=g（ x） .3°当 x＞ 1 时，－x＜－ 1，∴g（－ x） =（－ x）+2=－x+2.又∵ g（ x） =－ x+2，∴ g（－ x）=g（x）.综上，对随意 x∈ R 都有 g（－ x） =g（x）.∴g（x）为偶函数 .h（－ x）=tan（－ 2x） =－tan2x=－ h（ x），∴h（x）为奇函数 .答案： f（ x）、g（x）5.若 f（x）= a 2x a 2为奇函数，务实数 a 的值 .2 x1解：∵x∈ R，∴要使 f（x）为奇函数，一定且只需 f（ x）+f（－ x）=0，即 a－2+2 x1 a－2=0，得 a=1.x216.（理）定义在［－ 2， 2］上的偶函数 g（x），当 x≥0 时， g（x）单一递减，若 g （1－ m）＜ g（m），求 m 的取值范围 .解：由 g（1－m）＜ g（m）及 g（x）为偶函数，可得g（|1－ m|）＜ g（ |m|）.又 g（x）在（0，+∞）上单一递减，∴ |1－m|＞|m|，且 |1－m|≤ 2，|m|≤2，解得－ 1≤m＜1 . 2说明：也能够作出g（x）的表示图，联合图形进行分析.（文）（ 2005 年北京西城区模拟试题）定义在R 上的奇函数 f（ x）在（ 0，+∞）上是增函数，又 f（－ 3）=0，则不等式 xf（x）＜ 0 的解集为A. （－ 3，0）∪（ 0， 3）B.（－∞，－ 3）∪（ 3，+∞）C.（－ 3，0）∪（ 3， +∞）D.（－∞，－ 3）∪（ 0，3）分析：由奇偶性和单一性的关系联合图象来解.答案： A培育能力已知（）＝（1＋1）.7.f xx2 x 1 2（1）判断 f（x）的奇偶性；（2）证明 f（x）＞ 0.（1）解：f（x）＝ x·2x1，其定义域为 x≠0 的实数 .又 f（－ x）＝－ x·22( 2x1)2( 2xx11)＝－x· 1 2x＝x· 2 x 1＝f（x），2(1 2 x )2(2 x1)∴f（x）为偶函数 .（2）证明：由分析式易见，当x＞0 时，有 f（x）＞ 0.又 f（x）是偶函数，且当 x＜ 0 时－ x＞0，∴当 x＜0 时 f（x）＝ f （－ x）＞ 0，即对于 x≠0 的任何实数 x，均有 f（ x）＞ 0.研究创新8.设 f（x）=log 1（1ax）为奇函数，a为常数，2x1（1）求 a 的值；（2）证明 f（x）在（ 1， +∞）内单一递加；对于［ 3， 4］上的每一个x 的值，不等式 f（ x）＞（1）x+m 恒建立，求2实数 m 的取值范围 .（1）解： f（ x）是奇函数，∴ f（－ x）=－f（x）.∴ log 11ax=－ log 12x 12 a=1（舍），∴ a=－1.1 ax1 ax=x 1＞ 0 1－ a2x2=1－ x2a=± 1.查验x 1x 1 1 ax（2）证明：任取 x1＞ x2＞1，∴ x1－ 1＞ x2－1＞0.220＜ 1+ x 21＜ 1+ x2x11x21x11∴0＜x 1＜x211210＜x11＜x21 log 1x11＞12log 1x21，即 f（x1）＞ f（ x2）.∴f（x）在（ 1， +∞）内单一递加 .2x21（3）解： f（ x）－（1）x＞m 恒建立 . 2令 g（x） =f（x）－（1）x.只需 g（x）min＞ m，用定义能够证 g（ x）在［ 3， 4］2上是增函数，∴ g（ x）min（）－9∴＜－9时原式恒建立 .=g 3 =. m88●思悟小结1.函数的奇偶性是函数的整体性质，即自变量x 在整个定义域内随意取值 .2.有时可直接依据图象的对称性来判断函数的奇偶性.●教师下载中心教课点睛1.函数的奇偶性常常与函数的其余性质，如单一性、周期性、对称性联合起来考察.所以，在复习过程中应增强知识横向间的联系.2.数形联合，以形助数是解决本节问题常用的思想方法.3.在教课过程中应重申函数的奇偶性是函数的整体性质，而单一性是其局部性质 .拓展题例2【例 1】 已知函数 f （x ）=ax1（a 、b 、c ∈ Z ）是奇函数，又 f （ 1）=2，f （2）bx c＜3，求 a 、b 、c 的值 .解：由 f （－ x ）=－f （x ），得－ bx+c=－（ bx+c ）.∴ c =0.由 f （1）=2，得 a+1=2b.由 f （2）＜ 3，得4a 1＜3，a 1解得－ 1＜a ＜2.又 a ∈ Z ，∴a=0 或 a=1.若 a=0，则 b= 1，与 b ∈Z 矛盾 .∴a=1， b=1，c=0.2【例 2】 已知函数 y=f （x ）的定义域为R ，对随意 x 、 x ′∈ R 均有 f （x+x ′） =f（x ） +f （x ′），且对随意 x ＞0，都有 f （x ）＜ 0，f （3）=－3.（1）试证明：函数 y=f （ x ）是 R 上的单一减函数；（2）试证明：函数 y=f （ x ）是奇函数；（3）试求函数 y=f （x ）在［ m ， n ］（m 、 n ∈ Z ，且 mn ＜0）上的值域 .分析：（1）可依据函数单一性的定义进行论证， 考虑证明过程中怎样利用题设条件 .（2）可依据函数奇偶性的定义进行证明，应由条件先获得f （ 0）=0 后，再利用条件 f （x 12）=f （ 1 ） +f （ 2）中 x 1、 2 的随意性，可使结论得证.+xx x x（3）由（ 1）的结论可知 f （ m ）、f （n ）分别是函数 y=f （x ）在［ m 、 n ］上的最大值与最小值，故求出 f （m ）与 f （n ）便可得所求值域 .（1）证明：任取 x 1、 x 2∈R ，且 x 1＜x 2，f （x 2） =f ［x 1+（x 2－x 1）］，于是由条件f（x+x′） =f（x）+f（ x′）可知 f（x2） =f（x1）+f（x2－x1） .∵x2＞ x1，∴ x2－ x1＞0.∴f（x2－x1）＜ 0.∴f（x2）=f（x1）+f（ x2－x1）＜ f（x1） .故函数 y=f（x）是减函数 .（2）明：∵ 随意x、x′∈ R 均有 f（x+x′） =f（x） +f（x′），∴若令 x=x′ =0， f（ 0） =f（0）+f（0）.∴f（0）=0.再令 x′=－x，可得 f（0） =f（x）+f（－ x） .∵f（0）=0，∴ f（－ x）=－f（ x） .故 y=f（ x）是奇函数 .（3）解：由函数 y=f（x）是 R 上的减函数，∴y=f（x）在［ m，n］上也减函数 .∴y=f（x）在［ m，n］上的最大 f（m），最小 f（n）.∴f（n）=f［1+（n－1）］ =f（1）+f（ n－ 1） =2f（ 1） +f（n－2）=⋯=nf（1）.同理， f（ m）=mf（1）.∵f（3）=－3，∴ f（3）=3f（1）=－3.∴f（1）=－1.∴f（m）=－m， f（n）=－n.所以，函数 y=f（x）在［ m， n］上的域［－ n，－ m］.述：（ 1）足条件f（ x+x′） =f（x）+f（ x′）的函数，只需其定域是关于原点称的，它就奇函数.（2）若将条件中的x＞0，均有 f（ x）＜ 0 改成均有 f（x）＞ 0，函数 f（x）就是 R 上的增函数 .（3）若条件中的m、n∈Z 去掉，我就没法求出f（m）与 f（n）的，故 m、n∈Z 不行少 .。
高三数学第一轮复习11函数的奇偶性·知识梳理·模块01：函数的奇偶性1、函数奇偶性的定义：偶函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有,D x ∈-并且)()(x f x f =-，那么就把函数()y f x =叫做偶函数。
奇函数：如果对于函数()y f x =定义域D 内的任意实数x ，都有都有,D x ∈-并且)()(x f x f -=-，那么就把函数()y f x =叫做奇函数。
2、判断函数奇偶性的方法：步骤：第1步：看定义域是否是对称区间（是的话就继续，不是就是非奇非偶函数）；第2步：找)(x f 与)(x f -之间的关系，若)()(x f x f -=,那么)(x f 就叫做偶函数；)()(x f x f --=,那么)(x f 就叫做奇函数。
[注意]定义本身蕴涵着：①函数的定义域必须是关于原点的对称区间，这是奇（偶）函数的必要条件——前提；②“定义域内任意”：意味着不存在＂某个区间（段）上的＂的奇（偶）函数——不研究；③判断函数奇偶性最基本的方法：先看定义域，再用定义——)()(x f x f -±=。
模块02：函数的奇偶性的应用关于函数奇偶性的几个重要结论：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）。
（2）若奇函数()y f x =在0x =处有定义，则(0)0f =。
（3）函数()f x 是奇函数⇔曲线()y f x =关于原点对称；函数()f x 是偶函数⇔曲线()y f x =关于y 轴对称。
（4）()f x 既是奇函数又是偶函数()0f x ⇔=（定义域关于原点对称）．（5）若()f x 的定义域关于原点对称，则()()()F x f x f x =+-是偶函数，()()()G x f x f x =--是奇函数。
（6）若函数()f x 的定义域关于原点对称，则()f x 可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和。
