1987年高考数学试卷及详解【独家收藏,绝对珍品!】

高考数学普通高等学校招生全国统一考试87第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分散。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.函数2log 2y x =-的定义域是( )A.(3,+∞)B.[3, +∞)C.(4, +∞)D.[4, +∞) 2.数列{n a }满足:113a =,且对于任意的正整数m,n 都有m n m n a a a +=⋅,则 12lim()n n a a a →∞+++= ( )A.12 B.23 C.32D.2 3.过平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1任意两条棱的中点作直线,其中与平面DBB 1D 1平行的直线共有 ( )A.4条B.6条C.8条D.12条4.“a=1”是“函数()||f x x a =-在区间[1, +∞)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( )A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ6.某外商计划在四个候选城市3个不同的项目,且在同一个城市的项目不超过2个,则该外商不同的方案有 ( )A.16种B.36种C.42种D.60种7.过双曲线M:2221y x b-=的左顶点A 作斜率为1的直线l ,若l 与双曲线M 的两条渐近线分别相交于B 、C,且|AB|=|BC|,则双曲线M 的离心率是 ( ) A.10 B.5 C.103D.528.设函数()1x a f x x -=-,集合M={|()0}x f x <,P='{|()0}x f x >,若M P,则实数a 的取值范围是 ( )A.(-∞,1)B.(0,1)C.(1,+∞)D. [1,+∞)9.棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,图中三角形(正四面体的截面)的面积是 ( )A.22B.322310.若圆2244100x y x y +---=上至少有三个不同点到直线l :0ax by +=的距离为22,则直线l 的倾斜角的取值范围是 ( )A.[,124ππ]B.[5,1212ππ]C.[,]63ππD.[0,]2π第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，(第15小题每空2分)共20分，把答案填在图1答题卡相应位置上。

A BEDC A 1977年普通高等学校招生考试文科(北京市)数学试题参考答案 满分100分，120分钟1．（本小题满分10分）解：101271433(1)=1=0933-+-+-.2．（本小题满分10分）21=24=3．（本小题满分10分） 解：已知方程变形得21142x x x ++-=-，即 2320x x -+=，解得2x =，或1x =（舍去）.4．（本小题满分10分）解：sin105sin 75sin(3045)︒=︒=︒+︒=. 5．（本小题满分10分） 解：正三棱柱形的体积3122sin 6010)2V cm =⋅⋅⋅︒⋅=. 6. （本小题满分10分）解：∵直线250x y +-=的斜率2k =-, ∴所求直线斜率2k '=-.∴过点(1,3)-且与已知直线平行的直线为32(1)y x +=--,即210x y ++=.7．（本小题满分10分）证：如图，在△BDC 与△CEB 中， ∵∠DBC =∠ECB ，∠BDC =∠CEB =900, BC =BC ，∴△BDC ≌△CEB ，CD =BE .8．（本小题满分10分） 解：由余弦定理可得AB70=米.9．（本小题满分10分）解：设此数列为2,,,30(0,0)x y x y >>，则由已知条件得22302x y x y ⎧=⎨+=⎩，，解得6,18x y ==. ∴插入的两个正数为6，18， ∴所成的数列为2，6，18，30. 10．（本小题满分10分） 解：（1）∵2(2)1y x =--， ∴顶点坐标为(2,1)-， 对称轴方程为2x =. (2)函数243y x x =-+ 的图象如右图所示.（3）解方程组2433y x x y x ⎧=-+⎨=-⎩，，得交点坐标为(2,1)-）和(3,0).1978年普通高等学校招生全国统一考试数学满分100分，120分钟（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题.） 一、（下列各题每题4分，五个题共20分） 1.解：222444x xy y z -+-22(2)(2)x y z =--(22)(22)x y z x y z =---+.2.解：设底面半径为r ，则22ra a π=，即2a r π=，∴22224a a V r a a ππππ⎛⎫=⋅=⋅=⎪⎝⎭. 3．解：∵lg(2)0x +≥, ∴21x +≥，即1x ≥-， ∴函数定义域为[)1,-+∞.4.解：原式=sin100cos350+cos100sin350=sin(100+350)=sin450=22. 5. 解：原式12425b = . 二 、（本题满分14分）解：1）0k >时，方程的图形是椭圆，中心在坐标原点，此时又可分为：①1k >时,长轴在y 轴上，2a =，b =; ②1k =时,为半径2r =的圆; ③1k <时,长轴在x 轴上，a =，2b =.如图：2) 0k =时，方程为24y =.图形是两条平行于x 轴的直线2±=y .如图.3）0k <时，方程为22124x y k-+=，这时图形是双曲线，中心在坐标原点，实轴在y 轴上.如图所示. 三、（本题满分14分）证：1)连接CA ，CB ，则∠ACB =900. 由条件得∠ACM =∠ABC ,∠ACD=∠ABC ，∴∠ACM =∠ACD ，∴△AMC ≌△ADC ， ∴CM =CD .同理CN =CD ，∴CD =CM =CN . 2）∵CD ⊥AB ，∠ACD =900， ∴ CD 2=AD ·DB .由1）知AM =AD ，BN =BD ， ∴CD 2=AM ·BN . 四、（本题满分12分） 解：∵185b=，∴ 18log 5b =， ∴ 183618log (59)log 45log (182)⨯=⨯18181818log 5log 9log 18log 22a b a++==+-. 五、（本题满分20分）解：由条件得180A B C ++=︒， 2B A C =+，∴60,120B A C =︒+=︒.∵tan tan 2A C =∴tan tan (1tan tan )tan()A C A C A C +=-+(13=-=，……②∴由①，②知tan ,tan A C 是方程2x -(320x +=的两个根.解这个方程得121,2x x ==tan 1,tan 2A C ==tan 21A C ==， ∴45,75A C =︒=︒，或 75,45A C =︒=︒，∴45,60,75A B C =︒=︒=︒，或 75,60,45A B C =︒=︒=︒.∵顶点C 的对边c 上的高等于34，∴8,a b ====cos 45cos 60c AD DB b a =+=︒+︒4=，或8a ==，b ==cos 75cos 60c AD DB b a =+=︒+︒8=.六、（本题满分20分）证明：由223sin 2sin 1αβ+= 得2c o s 23s i n βα=，由3sin 22sin 20αβ-= 得3sin 2sin 23sin cos 2βααα==，2249sin cos 9sin ααα+22sin 2cos 21ββ=+=，即29sin 1α=.∵α为锐角，∴1sin 3α=.∴sin(2)sin cos2cos sin 2αβαβαβ+=+2sin (3sin )cos (3sin cos )ααααα=+ 223sin (sin cos )3sin 1αααα=+==.∵,αβ为锐角，∴22παβ+=.七、（本题满分20分） 解：已知函数配方得：2214524m m y x ++⎛⎫=+-⎪⎝⎭， ∴y 的极小值为454m +-.1）由4504m +-=，得54m =-， ∴当54m =-时，y 的极值是0.2）设函数的顶点坐标为(,)x y ，则21122m x m +=-=--，45544m y m +=-=--，消去m 得1l ：34x y -=，∴不论m 是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l 上. 当1,0,1m =-时，函数式分别为211()42y x +=-，293()42y x +=+，251()42y x +=+（图略）.3）设l ：x y a -=为任一条平行于1l 的直线，与抛物线方程22(21)1y x m x m =+++-联立求解，消去y ，得22210x mx m a ++-+=，即2()1x m a +=-.当1-a ≥0，即a ≤1时，直线l 与抛物线相交，而a ＞1时，直线l 与抛物线不相交.当1a ≤时，x m =-直线l 与抛物线两交点的横坐标分别为m m --由条件知直线l 的倾斜角为45︒，直线l 被抛物线截出的线段长为[((m m ---=m 无关，因此直线l 被各抛物线截出的线段都相等.F aαN MEDCBA 1E D CB A 一九七八年副题1．（下列各题每题4分，五个题共20分）（1）解：原式=(1)(3)x y x y ---+.(2)解：原式2130124=-+-=⎝⎭． （3）解：由255010x x ⎧->⎨+≠⎩得2x <,且1x ≠-，∴函数的定义域∞(-,-1)(-1,2).（4）解：)(3312131322cm V ππ=-⋅⋅=．（5）解：原式=30．2．（本题满分14分） 解：由已知条件得121239,40x x x x +==-， ∴121212113940x x x x x x ++==-， 1211140x x ⋅=-， ∴所求方程为：2403910x x +-=. 3. （本题满分14分）证：∵AD 是△ABC 的外接 圆的切线， ∴∠B =∠1，∴△ABD ∽△ACD ，∴22ABC AB ACD AC ∆=∆的面积的面积．作AE ⊥BD 于点E ，则.2121CD BDAE CD AEBD ACD ABC =⋅⋅=∆∆的面积的面积 ∴CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积. 4．（本题满分12分）证：作ME BD ⊥于E ，由△ABC 是 等边三角形知，在直角△MBE 中，12BE BM =，2ME BM =，2tan 122ME ED a BM α==-，BM =类似地，过N 作NF BC ⊥于F ，在直角△NFC中，可证：CN =5．（本题满分20分）证：1）∵244(1)0p q m --+=，∴2414p q m -+=，∴432()444f x x px qx =-+ 222442()44p q p q p x --+⋅+2222(2x )(4)px p q x =---22244(2)()44p q p q px --+⋅+22222244(2x )2(2x )()44p q p q px px --=---⋅+2224(2x )4p q px -=--，∴()f x 恰好是一个二次三项式的平方.2）由条件得43224442(1)(1)x px qx p m m -+++++ 22(2)x ax b =++4322244(4)2x ax a b x abx b =-++++，B /P /P l CBA O y x∴22244 (1)44 (2)2(1)2 (3)(1). (4)p a q a b p m ab m b -=⎧⎪=+⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，由（1）得a p =-，代入（2）得244q p b -=，将,a b 代入（3）得242(1)24q p p m p -+=-⋅，即2[44(1)]0p p q m --+=，∵0p ≠，∴244(1)0p q m --+=.6．（本题满分20分） 证（一）：∵,a b 不同时为0， ∴①可变形为0x x +=，设in s y y ==，则上式即为sin cos cos sin sin()0x y x y x y -=-=， ∴()x y k k Z π-=+∈，即 ()x y k k Z π=+∈.∴sin 2cos 2A x B x C +-sin(22)cos(22)A y k B y k C ππ=+++- sin 2cos 2A y B y C =+-222sin cos (cos sin )A y y B y y C =+--22222220ab a b A B C a b a b -=-+-=++，即22222()()0abA b a B a b C +-++=. 证（二）：当0,0a b =≠时，由①得 cos 0x =，结合②得B C -=，∴22222()()0abA b a B a b C +-++=； 同理可得，当0,0a b ≠=时，22222()()0abA b a B a b C +-++=；当0,0a b ≠≠时，由由①得tan bx a=-，sin 2cos 2A x B x C +-2222222sin cos cos sin sin cos sin cos x x x x A B C x x x x-=⋅+⋅-++2222tan 1tan 1tan 1tan x x A B C x x -=⋅+⋅-++ 2222222111b b a a A B C b b a a -⋅-=⋅+⋅-++ 22222220ab a b A B C a b a b -=-⋅+⋅-=++,即22222()()0abA b a B a b C +-++=.综上可知，结论成立. 7．（本题满分20分）解：1）直线l ，圆C 和抛物线Q的方程为:L y x =；2: Q y x =； 22:1C x y +=. 草图如右图所示.2)由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩， 得A点横坐标为2x =- 线段PA 的函数关系为1(),()322f x x x =-≤≤-；由222,1y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得B 点横坐标为2x =， ∴圆弧AB 的函数关系式为2())22f x x =-≤≤；抛物线上OB 一段的函数表达式为3()(02f x x =≤≤,POP S '∆=724OAB π=扇形S ， 14BOB S '∆=，71244π=+阴S .PβαCBAF ECBA1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分9分）解：∵2211221222y x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭，∴12min y =.二、（本题满分9分）解：()()2224241sin cos 1cos sin θθθθ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()22221sin cos 1sin cos θθθθ=+++-⨯()()22221cos sin 1cos sin θθθθ+++-()()41cos21cos2θθ=-+ 224(1cos 2)4sin 2θθ=-=．三、（本题满9分）解：由条件知，甲中纯酒精与水的重量分别为1111m v m n +，1111n vm n +；乙中纯酒精与水的重量分别为2222m v m n +，2222n vm n +．混合后所得液体中纯酒精量为11221122m v m vm n m n +++112222111122()()()()m v m n m v m n m n m n +++=++；混合后所得液体中水的量为11221122n v n vm n m n +++112222111122()()()()n v m n n v m n m n m n +++=++．混合后所得液体中纯酒精与水之比是11222211[()()]:m v m n m v m n +++11222211[()()]n v m n n v m n +++．四、（本题满分9分）解：略． 五、（本题满分14分） 解：作PC AB ⊥于C ， 设PC d =，在直角三角形PAC 中， cot AC d α=；在直角三角形PBC 中，cot BC d β=，∴(cot cot )S AC BC d αβ=+=+． 当d D ≤，即cot cot SDαβ+≥时，应向外国船发出警告．六、（本题满分14分）解：设年增长率为x ，则由条件得40100(1)500x +=,即40(1)5x +=．取自然对数有40ln(1)ln5x +=． 又lg5=1-0.3=0.7 ， ln5=ln10lg5=2.3×0.7=1.61． 利用ln(1)x x +≈,有x ≈ln5/40=1.61/40=0.04025≈4%． 答：每年约增长百分之四． 七、（本题满分18分） 证：连接CD ．∵∠CFD =900，∴CD 为圆O 的直径， 又AB 切圆O 于D ， ∴CD ⊥AB ．又在直角三角形ABC 中，∠ACB =900， ∴2AC =AD ·AB ，2BC =BD ·AB ，∴22BD BC AD AC=．…⑴ 又∵2BD =BC ·BF ，2AD =AC ·AE ，∴22BD BC BFAD AC AE⋅=⋅．…⑵ 由（1）与（2）得44BC BF BC AC AE AC ⋅=⋅，∴33BF BC AE AC=． 八、（本题满分18分） 解：设割线12OPP 的直线方程为y kx =， 代入圆的方程，得2222440x k x x kx +--+=，即22(1)2(12)40k x k x +-++=.由条件知，224(12)16(1)430k k k ∆=+-+=->，即34k >.设111222(,),(,)P x y P x y ，则12,x x 是上述方程的两个根，且1222(12)1k x x k ++=+，1222(12)1k ky y k++=+． 设P 点的坐标是(,)x y ，P 是12PP 的中点， ∴2211212k kx x x ++=+=， 122(12)21y y k k y k ++==+.又P 点在直线y kx =上，∴yk x=，代入上式得2121()yx x y x+=+，即 222x y x y +=+，∴2215()(1)24x y -+-=8(0)5x <<．这是以1(,1)22为半径的圆，所求轨迹是这个圆在所给圆内的一段圆弧． 说明：本题主要考查直线与圆的位置关系，韦达定理，中点坐标公式及点的轨迹方程．B Aβy xOP (x,y )O F E D C B A 1980年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分6分） 解：1313)(32)=3213i i i i --+-（ 9797131313i i -==-.二．（本题满分10分）解：（略）方程组的解为123.x y z =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，，三．（本题满10分）证：以圆O 的直径AB 所在的直线为x 轴，圆心O 为原点建立如图所示的平面直角坐标系，设圆O 的半径为1，则圆O 的方程是221x y +=，且(1,0),(1,0)A B -． 设(,)P x y 是圆上异于A ，B 任一点，则有221y x =-， 且1AP y k x =+，1BP yk x =-， ∴22221111AP BP y x k k x x -⋅===---， ∴PA ⊥PB ，∠APB 为直角.∴直径所对的圆周角是直角. 四．（本题满分12分） 解：设1979年的工业总产值为a ，又设1980的轻工业产值比上一年增长x %，则按题意，1980年的轻工业产值为)10024()100101()1001()10020(⋅+⋅=+⋅⋅a x a ， 解得：x =32.答：1980年轻工业产值应比上一年增长32%. 五．（本题满分14分）解：原式sin()4θ+sin()4sin()sin()44πθπθθ+==++． ∵3544ππθ<<， ∴342πππθ<+<，∴sin()04πθ+<，∴原式1=-．六．（本题满分16分） 证：1 A D C A B C S S ∆∆=，且△ABC 与△ADC 有同底AC ， ∴两高线相等：BE DF =， 设AC 与BD 交于点O ，则Rt △BOE ≌Rt △DOF .∴OB OD =. 即AC 平分BD （若,,E O F 重合、则已有OB BE DF OD ===）.2．逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形. 这个逆命题是正确的.证明如下：在上图中，由于OB OD =， ∠BOE =∠DOF （对顶角）， ∠BEO =∠DFO =2π， ∴△BOE ≌△DOF .∴BE DF =，即两高线相等. ∴S △ABC =21AC ·BE =21AC ·DF =S △ADC . 七．（本题满分16分）1．证明A E B D '''⊥； 2.求AE 的长解：1. AA '⊥平面A B C D ''''，EA B D D /C /B /A /C ∴AA B D '''⊥ ， 又AE B D ''⊥，∴B D ''⊥平面AA E '， ∴B D A E '''⊥.2．1122A B A D A E B D '''''''⋅=⋅，∴68A E '⨯=∴ 4.8,6A E AE '===． 八．（本题满分16分） 解：1.由22sec tan 1t t -=得2214y x -=．∴曲线的普通方程为2214y x -=． 2．当20π<≤t 时，1,0x y ≥≥,得到的是曲线在第一象限的部分（包括(1,0)点）;当23π<≤πt 时，1,0x y ≤-≥,得到的是曲线在第二象限的部分（包括(1,0)-点）．cb a EDCBA 1981年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分6分）解：1. A ∪B ={实数},2. A ∩B =φ. 二、（本题满分8分） 解：原式1444448263()()8=3()()a b a b a b a b a b a b a +-⨯⨯+-28()3b a b =-． 三、（本题满分6分）解：1.选举种数2412P =（种）． 所有可能的选举结果为：,,,,,AB AC AD BC BD CD ， ,,,,,BA CA DA CB DB DC ．2.选举种数C 43=4（种）所有可能的选举结果：,,,ABC ABD ACD BCD . 四、（本题满分10分）解：()sin cos )4f x x x x π=+=+，()f x是以2π为周期的周期函数，()f x 在区间(,)ππ-上的最大值为，当且仅当4x π=时()f x取最大值五、（本题满分10分）解：sin sin sin A B Ca b c==． 证：在钝角三角形ABC 中，作AD 垂直BC 于D ，BE 垂直CA 的延长线于E ． 设△ABC 的面积为S ，则111sin(180)sin 222S AC BE bc A bc A =⋅=︒-=．12S BC AD =⋅又1sin 2ac B =， 12S BC AD =⋅1sin 2ab C =，∴111sin sin sin 222S bc A ac B ab C ===，将上式除以1,2abc 得：sin sin sin A B Ca b c ==. 六、（本题满10分）解：设AC 中点为(,)P x y ,则有02151,222x y +-+====，即 (,)(1,2)P x y P =.又设AC 斜率为k ，则3k =，∴BD 的斜率为13-，∴直线BD 的方程为12(1)3y x -=--.………①以P 点为圆心，PA 为半径的圆的方程为 22(1)(2)10x y -+-=.………② 解方程①，②得,B D 的坐标为 (4,1),(2,3)-.（注：用复数法或向量方法求解） 七、（本题满分17分）解：1.所求人口数x （亿）是等比数列10,10×1.02,10×（1.02）2，…的第21项，即2010(1.02)x =． 两边取对数，得lg x =1+20lg1.02=1.17200, ∴x=14.859（亿) .2．设人口每年比上年平均递增率最高是y %，按题意得10×（1+y %)20≤12，即（1+y %)20≤1.2. 对上述不等式两边取对数得 20lg(1+y %)≤lg1.2，即 lg(1+y %)≤0.00396，∴1+y %≤1.0092, y %≤0.0092.B 1D 1C 1AB CD O A 1答：略. 八、（本题满分15分）证：设,AC BD 交于O 点，作截面1ACB ，联结1OB ，则 面11DBB D 面11ACB OB =.∵1111ABCD A BC D -是正四棱柱， ∴ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD .又∵1BB ⊥底面ABCD ， ∴1BB ⊥AC . ∴AC ⊥面11DBB D . ∵AC 在截面1ACB 内， ∴截面1ACB ⊥对角面11DBB D . 九、（本题满分18分）解：1.设直线与抛物线的交点为 111222(,),(,)P x y P x y .解方程组24,2y x y x k⎧=⎨=+⎩得2(2)4x k x +=，即2244(1)0x k x k +-+=.………①由条件知2216(1)1616(21)0k k k ∆=--=-+>，即12k <.由条件知12,x x 是方程①的两个根，且212121,4k x x k x x +=-=，∴由条件知====4k =-.2.设x 轴上一点P 的坐标为(,0)P a ，又点P 到直线12PP 的距离为h ，则有5|42|-=a h . 依题意得△12PPP 的面积关系：192=⋅，即6|24|a =-，∴5a =或1a =-.D 1C 1B 1A 1D C1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分8分） 解：1．{}0；2．R ；3．(0,)+∞；4．R 二、（本题满分7分）解：第15项146141520(1)()T C i =- 62038760C =-=-.三、（本题满分7分）解：1。

1987年数学高考试卷理工农医类一、本题每一个小题都给出代号为A ，B ，C ，D 四个结论，其中只有一个是正确结论。

把正确结论的代号写在题后的括号内。

（1）设S 、T 是两个非空集合，且S T Ú，T S Ú，令X S T = ，则S X = （ ） A 、X B 、T C 、∅ D 、S（2）椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，令222c a b =-，那么它的准线方程是（ ）A 、2a y c =±B 、2b y c =±C 、2a x c =±D 、2b x c=±（3）设a ，b 满足0ab <，那么（ ）A 、a b a b +>-B 、a b a b +<-C 、a b a b -<-D 、a b a b -<+（4）已知E 、F 、G 、H 为空间中的四个点，设命题甲：点E 、F 、G 、H 不共面；命题乙：直线EF和GH 不相交，那么（ ）A 、甲是乙的充分条件，但不是必要条件B 、甲是乙的必要条件，但不是充分条件C 、甲是乙的充要条件D 、甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件（5）在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ） A 、12log ()y x =-- B 、1x y x=- C 、2(1)y x =-+ D 、21y x =+（6）要得到sin(2)3y x π=-的图像，只要将sin 2y x =的图像（ ）A 、向左平移3πB 、向右平移3πC 、向左平移6πD 、向右平移6π（7）极坐标方程sin 2cos ρθθ=+表示的曲线是（ ） A 、直线 B 、圆 C 、双曲线 D 、抛物线（8）函数arccos(cos )([,])22y x x ππ=∈-的图像是（ ）二、只要求直接写出结果 （1）求函数2tan3xy =的定义域； （2）已知方程22121x y λλ-=++表示双曲线，求λ的范围；（3）若(1)nx +的展开式中，3x 的系数等于7x 的系数，求n ； （4）求极限22221232lim()1111n nn n n n →∞++++++++ ； （5）在抛物线24y x =上求一点，使该点到直线45y x =-的距离为最短；（6）由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且1与2不相邻的五位数，求这种五位数的个数（7）一个正三棱台的下底和上底周长分别为30cm 和12cm ，而层面积等于两底面积之差，求斜高三、求sin10sin30sin50sin70°°°°的值四、如图三棱锥P ABC -中，已知PA BC ⊥，PA BC L ==，PA 、BC 的公垂线ED h =，求证：三棱锥P ABC -的的体积216V L h =五、设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a++++>+恒成立，求a 的取值范围六、设复数1z 和2z 满足关系式12120z z Az Az ++=，其中A 是不为零的复数，证明： （1）212z A z A A +⋅+=； （2）1122z A z Az A z A++=++七、设数列12,,,n a a a 的前n 项和n S 与n a 的关系是11(1)n n nS ba b =-+-+，其中b 是与n 无关的常数，且1b ≠-（1）求n a 和1n a -的关系式； （2）写出用n 和b 表示n a 的式子； （3）当01b <<时，求lim n n S →∞八、定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线2y x =上移动，记线段AB 的中点为M ，求点M 到y 轴的最短距离，并求此时点M 的坐标九、附加题，不计入总分 （1）求极限1lim(1)2xx x→∞-； （2）设2ln(1)y x x =+，求y '答案： 一、（1）B ；（2）C ；（3）B ；（4）A ；（5）B ；（6）D ；（7）B ；（8）A ； 二、（1）32π；（2）1λ>-或2λ<-；（3）8；（4）2；（5）1(,1)2；（6）72；（7三、116四、证明略 五、01a << 六、证明略七、（1）11(2)1(1)n n n b b a a n b b -+=+≥++；（2）111,1(1)(1),12n n n n b b b b b a n b +++⎧-≠⎪⎪-+=⎨⎪=⎪⎩；（3）lim 1n n S →∞= 八、最小值是54，坐标是5(,42或5(,42-九、（1）12e -；（2）2222ln(1)1x y x x '=+++文史类一、本题每一个小题都给出代号为A ，B ，C ，D 四个结论，其中只有一个是正确结论。

1977年普通高等学校招生考试文科(北京市)数学试题满分100分，120分钟1．（本小题满分10分）计算：.)971(33211-+-2．（本小题满分10分） 化简：2626-+．3．（本小题满分10分） 解方程.1241112--=+-x x x 4．（本小题满分10分）不查表求sin1050的值. 5．（本小题满分10分）一个正三棱柱形的零件，它的高是10cm ，底面边长是2cm ，求它的体积. 6. （本小题满分10分） 一条直线过点(1,3)-，并且与直线250x y +-=平行，求这条直线的方程.7．（本小题满分10分）证明：等腰三角形两腰上的高相等. 8．（本小题满分10分）为了测湖岸边,A B 两点的距离，选择一点C ，测得50CA =米，30CB =米，120ACB ∠=︒，求AB .9．（本小题满分10分）在2和30中间插入两个正数，这两个正数插入后使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，求插入的两个正数． 10．（本小题满分10分） 已知二次函数243y x x =-+.（1）求出它的图象的顶点坐标和对称轴方程;（2）画出它的图象; （3）求出它的图象与直线3y x =-的交点坐标.cb aACD1978年普通高等学校招生全国统一考试数学（理科考生五，六两题选做一题.文科考生五，六两题选做一题，不要求做第七题.）一、（下列各题每题4分，五个题共20分）1.分解因式：222444x xy y z-+-.2.已知正方形的边长为a，求侧面积等于这个正方形的面积，高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积.3．求函数)2lg(xy+=的定义域.4.不查表求cos800cos350+cos100cos550的值.5.化简：12234214(0.1)()a b---⎛⎫⎪⎝⎭二、（本题满分14分）已知方程224kx y+=，其中k为实数.对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出显示其数量特征的草图.三、（本题满分14分）（如图）AB是半圆的直径，C是半圆上一点，直线MN切半圆于C点，AM⊥MN于M点，BN⊥MN于N点，CD⊥AB于D点，求证：1)CD=CM=CN. 2)CD2=AM·BN.四、（本题满分12分）已知18log9(2),185ba a=≠=.求36log45.五、（本题满分20分）已知△ABC的三内角的大小成等差数列，tan tan2A C=，求角,,A B C的大小，又已知顶点C的对边c上的高等于,,a b c的长（提示：必要时可验证324)31(2+=+）．六、（本题满分20分）已知,αβ为锐角，且223sin2sin1αβ+=，3sin22sin20αβ-=.求证22παβ+=.七、（本题满分20分，文科考生不要求作此题）已知函数22(21)1y x m x m=+++-(m R∈）.1）m是什么数值时，y的极值是0？2）求证：不论m是什么数值，函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线1l上.画出1,0,1m=-时抛物线的草图，来检验这个结论.3）平行于1l的直线中，哪些与抛物线相交，哪些不相交？求证：任一条平行于1l而与抛物线相交的直线，被各抛物线截出的线段都相等.1E DC B A F aαN MEDCBA B /P /P lC B AO y x一九七八年副题1．（1）分解因式：222223x xy y x y -++--．(2)求25sin 30tan 0cot cos 46ππ︒-︒+-的值．（3）求函数lg(255)1x y x -=+的定义域．（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm ，母线的长等于2cm ，求它的体积． （5）计算(1111222112511023050095--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值.2．已知两数12,x x 满足下列条件： 1）它们的和是等差数列1，3，…，的第20项;2）它们的积是等比数列2，-6，…，的前4项和．求根为211,1x x 的方程．3.已知：△ABC 的外接圆的切线AD 交BC 的延长线于D 点，求证： CDBDAC AB ACD ABC ==∆∆22的面积的面积.4．（如图）CD 是BC 的延长线，AB BC = CA CD a ===，DM 与AB ，AC 分别交于M 点和N 点，且BDM ∠=α.求证：BM CN ==.5．设432()444f x x px qx =-+22(1)(1)(0)p m x m p ++++≠.求证：①如果()f x 的系数满足244(1)0p q m --+=,那么()f x 恰好是一个二次三项式的平方. ②如果()f x 与22()(2)F x x ax b =++表示同一个多项式，那么244(1)0p q m --+=. 6．已知：sin cos 0a x b x +=. ………① sin 2cos 2A x B x C +=.………………② 其中,a b 不同时为0.求证：22222()()0abA b a B a b C +-++=.7．已知l为过点3()22P --，倾斜角为300的直线，圆C 为中心在坐标原点而半径等于1的圆，Q 表示顶点在原点而焦点在)0,82(的抛物线．设A 为l 和C 在第三象限的交点，B 为C 和Q 在第四象限的交点．1）写出直线l ，圆C 和抛物线Q 的方程，并作草图 2）写出线段PA ，圆弧AB 和抛物线上OB 一段的函数表达式． 3）设,P B ''依次为从,P B 到x 轴的垂足求由圆弧AB 和直线段,,,BB B P P P PA ''''所包含的面积．F 1E D CBA βαP CB A 1979年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分9分） 求函数2221y x x =-+的极小值. 二、（本题满分9分）化简()()2224241sin cos 1cos sin θθθθ⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦． 三、（本题满9分）甲，乙二容器内都盛有酒精．甲有1v 公斤，乙有2v 公斤．甲中纯酒精与水（重量）之比为1m :1n ,乙中纯酒精与水之比为2m :2n ．问将二者混合后所得液体中纯酒精与水之比是多少？四、（本题满分9分）叙述并且证明勾股定理． 五、（本题满分14分）外国船只，除特许外，不得进入离我海岸线D 里以内的区域．设A 及B 是我们的观测站，A 及B 间的距离为S 里，海岸线是过A ，B 的直线，一外国船在P 点，在A 站测得∠BAP =α，同时在B 站测得∠ABP =β．问α及β满足什么简单的三角函数值不等式，就应当向此未经特许的外国船发出警告，命令退出我海域？六、（本题满分14分）美国的物阶从1939年的100增加到四十年后1979年的500，如果每年物价增长率相同，问每年增长百分之几？（注意：0.1x <,可用：ln(1)x x +≈，取lg2=0.3, ln10=2.3) 七、（本题满分18分）设CEDF 是一个已知圆的内接矩形，过D 作该圆的切线与CE 的延长线相交于点A ，与CF 的延长线相交于点B ．求证：33ACBC AE BF =．八、（本题满分18分）过原点O 作圆222440x y x y +--+=的任意割线交圆于12,P P 两点．求12PP 的中点P 的轨迹.D /A /EDBA C数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分6分）化简.2331ii-- 二、（本题满分10分）解方程组235,4239,32 1.x y z x y z x y --=⎧⎪++=⎨⎪+=-⎩三、（本题满10分）用解析法证明直径所对的圆周角是直角. 四、（本题满分12分）某地区1979年的轻工业产值占工业总产值的20%，要使1980年的工业总产值比上一年增长10%，且使1980年的轻工业产值占工业总产值的24%，问1980年轻工业产值应比上一年增长百分之几？ 五、（本题满分14分） 设3544ππθ<<，化简sin()4θ+六、（本题满分16分）1．若四边形ABCD 的对角线AC 将四边形分成面积相等的两个三角形，证明直线AC 必平分对角线BD .2．写出（1）的逆命题，这个逆命题是否正确？为什么？2．逆命题：若四边形ABCD 的对角线AC 平分对角线BD ，则AC 必将四边形分成两个面积相等的三角形. 这个逆命题是正确的. 七、（本题满分16分）如图，长方形框架ABCD A B C D ''''-.三边,,AB AD AA '的长分别为6，8，3.6，AE与底面的对角线B D '' 垂直于E .1.证明A E B D '''⊥；2.求AE 的长. 1.把参数方程（t 为参数）sec ,2tan x t y t =⎧⎨=⎩化为直角坐标方程，并画出方程的曲线的略图. 2.当2320π<≤ππ<≤t t 及时，各得到曲线的哪一部分？y=2x+k y 2=4x y x P 2P 1O B 1D 1C 1A BC D OA 1数学（文科） 满分100分，120分钟一、（本题满分6分）设A 表示有理数的集合，B 表示无理数的集合，即设A ={有理数}，B ={无理数}，试写出：1. A ∪B , 2. A ∩B . 二、（本题满分8分） 化简：3242222227]2)([][])(3[a b a ba b a b a b a -÷-⨯+-.三、（本题满分6分）在,,,A B C D 四位候选人中，（1）如果选举正、副班长各一人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果：（2）如果选举班委三人，共有几种选法？写出所有可能的选举结果. 四、（本题满分10分）求函数()s i n c f x x x =+在区间(,)ππ-上的最大值，五、（本题满分10分）写出正弦定理，并对钝角三角形的情况加以证明， 六、（本题满10分）已知正方形ABCD 的相对顶点(0,1),(2,5)A C -，求顶点,B D 的坐标， 七、（本题满分17分）设1980年底我国人口以10亿计算.（1）如果我国人口每年比上年平均递增2%，那么到2000年底将达到多少？ （2）要使2000年底我国人口不超过12亿，1111ABCD A BC D -为一正四棱柱，过1,,A C B 三点作一截面，求证： 截面1ACB ⊥对角面11DBB D .九、（本题满分18分）1．设抛物线24y x =截直线2y x k =+所得的弦长为53，求k 的值.2．以本题（1）得到的弦为底边，以x 轴上的点P 为顶点做成三角形当这三角形的面积为9时，求P 的坐标.1982年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）满分100分，120分钟一、（本题满分8分）填表：求20(1)i-+展开式中第15项的数值．三、（本题满分7分）四、（本题满分10分）已知,1,2122=+=-yxyx求22yx-的值．五、（本题满分10分）以墙为一边，用篱笆围成长方形的场地，并用平行于一边的篱笆隔开（如图）．已知篱笆的总长为定值L，这块场地的长和宽各为多少时场地的面积最大？最大面积是多少？六、（本题满分12分）已知正方体1111ABCD A BC D-的棱长为a．1．用平面11A BC截去一角后，求剩余部分的体积;2．求1A B和1B C所成的角．七、（本题满分12分）已知定点,A B且2AB a=，如果动点P到点A的距离和到点B的距离之比为2∶1，求点P的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．八、（本题满分16分）求︒-︒-︒+︒3512431179ctgtgctgtg的值．九、（本题满分18分）如图，已知△AOB中，,OA b OB a==，(,AOB a bθθ∠=≥是锐角）作1AB OB⊥，11B A∥BA;再作12A B OB⊥，22B A∥BA;1ABB，△112A B B，…的面积为S1，S2，…．求无穷数列S1，S2，…的和．h45°20m 60°30°PO BA三、（本题满分10分）1求函数)36(log 522x x y -+=的定义域.2.一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学要从小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法. 四、（本题满分12分） 已知复数c o s s i n z i αα=+，求证：3312c o s 3z zα+=.五、（本题满分14分） 在圆心为O ，半径为常数R 的半圆板内画内接矩形（如图）.当矩形的长和宽各取多少时，矩形的面积最大？求出这个最大面积. 六、（本题满分14分） 如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一基线AB ，AB =20米，在A 点处测得P 点的仰角∠OAP =300，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP =450，又测得∠AOB =600，求旗杆的高度h （结果可以保留根号）. 七、（本题满分16分） 如图，已知一块直角三角形板ABC 的BC边在平面α内，∠ABC =600，∠A C B =300，BC =24cm ，A 点在平面α内的射影为N ，AN =9cm A 为顶点的三棱锥A NBC -的体积（结果可以保留根号）.l 2l 1M O yx 八、（本题满分17分）一个等比数列有三项.如果把第二项加上4，那么所得的三项就成为等差数列；如果再把这等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列. 九、（本题满分17分）如图，已知两条直线1l :2320x y -+=, 2l :3230x y -+=.有一动圆（圆心和半径都在变动）与1l ，2l 都相交，并且1l ，2l 被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26，24求圆心M 的轨迹方程，并说出轨迹的名称.AE D C B 1984年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（这份试题共八道大题，满分120分） 一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分1.数集{}(21),X n n Z π=+∈与数集{}(41),Y n k Z π=±∈之间的关系是A.X ⊂YB.X ⊃YC.X =YD.X ≠Y2.函数()y f x =与它的反函数1()y f x -=的图象 A.关于y 轴对称B.关于原点对称C.关于直线0x y +=对称D.关于直线0x y -=对称3.复数i 2321-的三角形式是A.)3sin()3cos(π-+π-iB.3sin 3cos π+πiC.3sin 3cos π-πiD.65sin 3cos π+πi4.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交5.方程27910x x -+=的两根可分别作为A.一椭圆和一双曲线的离心率B.两抛物线的离心率C.一椭圆和一抛物线的离心率D.两椭圆的离心率二、（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1.已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值范围.2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积.3．已知实数m ，x 满足22(21)x i x --0m i +-=,求m 及x 的值.4.求)2)(1()()2()1(lim222--++++++∞→n n n n n n n n 的值. 5．求6)12(xx -的展开式中x 的一次幂的系数.6.要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）. 三、（本题满分12分）本题只要求画出图形1．画出方程24y x =-的曲线. 2．画出函数2)1(1+=x y 的图象. 四、（本题满分12分）已知等差数列,,a b c 中的三个数都是正数，且公差不为零.数列cb a 1,1,1不可能成等差数列. 五、（本题满分14分） 把α-β-α-422cos sin 2sin 411化成三角函数的积的形式(要求结果最简）. 六、（本题满分14分） 如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300角的平面，已知截面三角形ABD的面积为32cm 2，求截得的三棱锥D ABC -的体积.七、（本题满分14分）某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%.问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) . 八、（本题满分15分） 已知两个椭圆的方程分别是221:9450C x y +-=， 222:96270C x y x +--=.1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标. 2．求经过这两个椭圆的交点且与直线2110x y -+=相切的圆的方程.1985年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题满分120分，120分钟一、（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对的得3分、不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分1.如果正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为a ，那么四面体A ABD '-的体积是 A .3 2a B .33a C .34a D .36a 2.tan 1x =是54x π=的 A.必要条件 B.充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要的条件3.设集合{}{}0,1,2,4,5,7,1,3,6,8,9X Y ==，{}3,7,8Z =，那么集合()X Y Z 是 A .{{}0,1,2,6,8 B .{}3,7,8C .{}1,3,7,8D .{}1,3,6,7,8 4.在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间)2,0(π上的增函数又是以π为周期的偶函数？A.).(2R x x y ∈= B.)(|sin |R x x y ∈= C.)(2cos R x x y ∈= D.)(2sin R x e y x∈=5.用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大，并且百位数不是数字3的没有重复数字的五位数，共有A .96个B .78个C .72个D .64个 二、（本题满分20分）本题共5小题，每一个小题满分4分只要求直接写出结果）1.求函数的定义域142--=x x y .2.求圆锥曲线2236210x y x y -++-=的离心率.3.求函数242y x x =-+-在区间[]0,3上的最大值和最小值. 4.设6656510(31)x a x a x a x a -=++++,求6510a a a a ++++的值. 5.设i 是虚数单位，求()61i +的值. 三、（本题满分14分）设211S =， 2222121S =++，22222312321S =++++，………… 222221221n S n =++++++.用数学归纳法证明：公式3)12(2+=n n S n 对所有的正整数n 都成立. 四、（本题满分13分） 证明三角恒等式42432sin sin 25cos 4x x x ++2cos3cos 2(1cos )x x x -=+. 五、（本题满分16分）1.解方程40.25log (3)log (3)x x -++40.25log (1)log (21)x x =-++.2.解不等式.152+>+x x六、（本题满分15分）设三棱锥V ABC -的三个侧面与底面所成的二面角都是β，它的高是h ．求这个所棱锥底面的内切圆半径． 七、（本题满分15分） 已知一个圆C ：22412390x y x y ++-+=和一条直线l : 3450x y -+=.求圆C 关于直线l 的对称的圆的方程. 八、（本题满分12分） 设首项为1，公比为(0)q q >的等比数列的前n 项之和为n S 1,1,2,nn n S T n S +==，求lim n n T →∞.1986年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题 满分120分，120分钟一、（本题满分30分）1.在下列各数中，已表示成三角形式的复数是 A.)4sin 4(cos2π-πi B.)4sin 4(cos 2π+πi C.)4cos 4(sin 2π-πi D.)4cos 4(sin 2π-π-i2.函数15+=x y 的反函数是A.)1(log 5+=x yB.15log +=x yC.)1(log 5-=x yD.5log )1(-=x y 3.已知全集{1,2,3,4,5,6,7,8}I =，A ={3,4,5},{1,3,6}B =，那么集合{2,7,8}是A.A ∪BB.A ∩BC.A ∪BD.A ∩B 4.函数x x y 2cos 2sin 2=是A.周期为2π的奇函数B.周期为2π的偶函数C.周期为4π的奇函数D.周期为4π的偶函数5.已知0c <，在下列不等式中成立的一个是 A.c c 2> B.c c )21(> C.c c )21(2< D.c c )21(2>6.给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88.它们的和是A.1789B.1799C.1879D.18997.已知某正方体对角线长为a 那么，这个正方体的全面积是A.222aB.22aC.232aD.223a 8.如果方程220x y Dx Ey F ++++=22(40)D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有 A.D E = B.D F =C.E F =D.D E F ==9.设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的 A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要的条件10. 在下列各图中，2y ax bx =+与 (0)y ax b ab =+≠的图象只可能是A. B. C. D.二、（本题满分24分. 1.求方程4)5.0(5252=-+x x 的解.2.已知1,2312+ω+ω--=ω求i的值.3.在xoy 平面上，四边形ABCD 的四个顶点坐标依次为(0,0),(1,0),(2,1),(0,3).求这个四边形绕x 轴旋转一周所得到的几何体的体积．4.求.4572lim 22+++∞→n n n n 5.求523)12(x x -展开式中的常数项.6. 求椭圆14922=+y x 有公共焦点，且离心率为25的双曲线方程. 三、（本题满分10分）如图，AB 是圆O 的直径，PA 垂直于圆O 所在的平面，C 是圆周上不同于,A B 的任一点，求证：平面PAC 垂直于平面PBC ．四、（本题满分10分）求满足方程|3|z +=的辐角主值最小的复数Z . 五、（本题满分12分） 已知抛物线21y x =+，定点(3,1)A ，B 为抛物线上任意一点，点P 在线段AB 上，且有BP :PA =1:2，当点B 在抛物线上变动时，求点P 的轨迹方程，并指出这个轨迹为那种曲线． 六、（本题满分10分）甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1项，丙、丁两个公司各承包2项，问共有多少种承包方式． 七、（本题满分12分）已知sin sin 3sin 5A A A a ++=， cos cos3cos5A A A b ++=. 求证：（1）当0b ≠时，tan 3aA b=； (2)222(12cos2)A a b +=+. 八、（本题满分12分） 已知数列{}n a ,其中,913,3421==a a 且当3n ≥时，).(31211----=-n n n n a a a a （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求.lim n n a ∞→(-2.0)(2,0)(0,3)yx O 1987年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题 满分120分，120分钟一、（本题满分24分）本题共有8个小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的，把你认为正确结论的代号写在题后的圆括号内选对的得3分. 1.设S ，T 是两个非空集合，且S T ， T S ，令X S T =，那么S X = A.X B.T C.φ D.S 2.设椭圆方程为22221x y a b+=(0)a b >>，令222b a c -=，那么它的准线方程为A.c a y 2±=B.cb y 2±=C.c a x 2±=D.cb x 2±= 3.设3484log 4log 8log log 16m ⋅⋅=，那么m 等于A.29B.9C.18D.27 4.复数︒-︒40cos i 40sin 的辐角为 A.400 B.1400 C.2200 D.31005. 二次函数()y f x =的图象如图所示，那么此函数为 A.24y x =- B.24y x =- C.23(4)4y x =- D.23(2)4y x =-6.在区间)0,(-∞上为增函数的是A.)(log 21x y --= B.x xy -=1C.2)1(+-=x y D.21x y += 7.已知平面上一点P 在原坐标系中的坐标为(0,)(0)m m ≠，而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为(,0)m ，那么新坐标系的原点O '在原坐标系中的坐标为A.(,)m m -B.(,)m m -C.(,)m mD.(,)m m -- 8.要得到函数)32sin(π-=x y 的图象，只需将函数x y 2sin =的图象 A.向左平行移动3π B.向右平行移动3πC.向左平行移动6πD.向右平行移动6π二、（本题满分28分.）本题共7小题，每一个小题满分4分.只要求写出结果. 1.求函数x 2sin y 2=的周期. 2.已知方程11y 2x 22=λ+-λ+表示双曲线，求λ的范围. 3.若(1)n x +的展开式中，3x 的系数等于x 的系数的7倍，求n . 4.求极限22221232lim n n n n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭.5.由数字1，2，3，4，5组成没有重复数字且数字1与2不相邻的五位数.求这种五位数的个数.6.求函数)x 3x 21(lo g y 22-+=的定义域. 7.圆锥底面积为3π，母线与底面所的成角为600，求它的体积. 三、（本题满分10分.）发电厂发出的电是三相交流电，它的三根导线上的电流强度分别是时间t 的函数：sin ,sin(120)A B I I t I I t ωω==+︒，sin(240)C I I t ω=+︒. 求A B C I I I ++的值.四、（本题满分12分）在复平面内，已知等边三角形的两个顶点所表示的复数分别为i 2321,2+，求第三个顶点所表示的复数. 五、（本题满分12分） 如图，三棱锥P ABC -中，已知PA BC ⊥，PA BC l ==，,PA BC 的公垂线ED h =.⊆⊆AB C E DP 求证三棱锥P ABC -的体积216V l h =.六、（本题满分12分） 设对所有实数x ，不等式2222224(1)2(1)log 2log log 014a a a x x a a a++++>+恒成立，求a 的取值范围.七、（本题满分12分）设数列12,,,,n a a a 的前n 项的和n S 与n a 的关系是1n n S ka =+， 其中k 是与n 无关的常数，且1k ≠).1. 试写出用n ，k 表示的n a 的表达式;2. 若,1S lim n n =∞→求k 的取值范围.八、（本题满分10分）正方形ABCD 在直角坐标平面内，已知其一条边AB 在直线4y x =+上，,C D 在抛物线2x y =上，求正方形ABCD 的面积.。