2019-2020年版新课标高考数学题型全归纳文科PPT.第四章 三角幻灯片

§4.4解三角形考纲解读分析解读解三角形是高考中的热点,以正、余弦定理为载体考查解三角形问题,命题呈现出如下几点:1.能利用正、余弦定理解决平面图形的计算问题,解题时要在平面图形中构造出三角形;2.解三角形时,观察图形中的几何条件,再数形结合求解;3.正、余弦定理与三角形的面积公式、两角和与差的三角公式、二倍角公式结合起来考查,注意公式间的联系,会用方程与函数的思想解决三角形的最值问题.解三角形知识常以解答题的形式出现,有时也会出现在选择题或填空题中,分值大约为5分或12分.答案:60°解析:解法一:由正弦定理得2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A,即sin 2B=sin(A+C),即sin 2B=sin(180°-B),可得B=60°.解法二:由余弦定理得2b·-=a·-+c·-,即b·-=b,所以a2+c2-b2=ac,所以cos B=,又0°<B<180°,所以B=60°.五年高考考点一用正、余弦定理解三角形1.(2017课标全国Ⅰ,11,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin B+sin A(sin C-cos C)=0,a=2,c=,则C=()A. B. C. D.答案B2.(2016山东,8,5分)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2(1-sin A).则A=()A. B. C. D.答案C3.(2015广东,5,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=且b<c,则b=()A.3B.2C.2D.答案C4.(2014江西,5,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对边的分别是a,b,c.若3a=2b,则-的值为()A.-B.C.1D.答案D5.(2013安徽,9,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=()A. B. C. D.答案B6.(2017课标全国Ⅲ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=则A=.答案75°7.(2016北京,13,5分)在△ABC中,∠A=,a=c,则=.答案 18.(2015重庆,13,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cos C=-,3sin A=2sin B,则c=.答案 49.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=,求cos C的值.解析(1)证明:由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由cos B=得sin B=,cos 2B=2cos2B-1=-,故cos A=-,sin A=,cos C=-cos(A+B)=-cos Acos B+sin Asin B=.10.(2016四川,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且+=.(1)证明:sin Asin B=sin C;(2)若b2+c2-a2=bc,求tan B.解析(1)证明:根据正弦定理,可设===k(k>0).则a=ksin A,b=ksin B,c=ksin C.代入+=中,有+=,变形可得sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B).在△ABC中,由A+B+C=π,有sin(A+B)=sin(π-C)=sin C,所以sin Asin B=sin C.(2)由已知,b2+c2-a2=bc,根据余弦定理,有cos A=-=.所以sin A==.由(1),sin Asin B=sin Acos B+cos Asin B,所以sin B=cos B+sin B,故tan B==4.11.(2015山东,17,12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知cos B=,sin(A+B)=,ac=2,求sin A和c的值. 解析在△ABC中,由cos B=,得sin B=,因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B)=.因为sin C<sin B,所以C<B,可知C为锐角,所以cos C=.因此sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C=×+×=.由=,可得a===2c,又ac=2,所以c=1.教师用书专用(12—23)12.(2013辽宁,6,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则∠B=()A. B. C. D.答案A13.(2013北京,5,5分)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=,则sin B=()A. B. C. D.1答案B14.(2013湖南,5,5分)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=则角A等于()A. B. C. D.答案A15.(2015福建,14,4分)若△ABC中,AC=,A=45°,C=75°,则BC=.答案16.(2015安徽,12,5分)在△ABC中,AB=∠A=75°,∠B=45°,则AC=.答案 217.(2015北京,11,5分)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B=.答案18.(2014山东,17,12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cos A=,B=A+.(1)求b的值;(2)求△ABC的面积.解析(1)在△ABC中,由题意知,sin A==,因为B=A+,所以sin B=sin=cos A=.由正弦定理可得b===3(2)由B=A+得cos B=cos=-sin A=-.由A+B+C=π,得C=π-(A+B).所以sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×-+×=.因此△ABC的面积S=absin C=×3×3×=.19.(2014课标Ⅱ,17,12分)四边形ABCD的内角A与C互补,AB=1,BC=3,CD=DA=2.(1)求C和BD;(2)求四边形ABCD的面积.解析(1)由题设及余弦定理得BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C,①BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C.②由①,②得cos C=,故C=60°,BD=.(2)四边形ABCD的面积S=AB·DAsin A+BC·CDsin C=sin 60°=2.20.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,且c=2a,求cos B的值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).(2)由题设有b2=ac,∵c=2a,∴b=a,由余弦定理得cos B=-=-=.21.(2014湖南,19,13分)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=,EA=2,∠ADC=,∠BEC=.(1)求sin∠CED的值;(2)求BE的长.解析设∠CED=α.(1)在△CDE中,由余弦定理得EC2=CD2+DE2-2CD·DE·cos∠EDC,得7=CD2+1+CD,即CD2+CD-6=0,解得CD=2(CD=-3舍去). 在△CDE中,由正弦定理得=,得sin α=·==,即sin∠CED=.(2)由题设知,0<α<,于是由(1)知,cos α===.而∠AEB=-α,所以cos∠AEB=cos-=cos cos α+sin sin α=-cos α+sin α=-×+×=.在Rt△EAB中,cos∠AEB==,故BE===4.∠22.(2013湖北,18,12分)在△ABC中,角A,B,C所对应的边分别是a,b,c.已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin Bsin C的值.解析(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=或cos A=-2(舍去).因为0<A<π,所以A=.(2)由S=bcsin A=bc·=bc=5,得bc=20.又b=5,所以c=4.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=25+16-20=21,故a=由正弦定理得sin Bsin C=sin A·sin A=sin2A=×=.23.(2013天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知bsin A=3csin B,a=3,cos B=.(1)求b的值;(2)求sin-的值.解析(1)在△ABC中,由=,可得bsin A=asin B,又由bsin A=3csin B,可得a=3c,又a=3,故c=1.由b2=a2+c2-2accos B,cos B=,可得b=.(2)由cos B=,得sin B=,进而得cos 2B=2cos2B-1=-,sin 2B=2sin Bcos B=.所以sin-=sin 2Bcos-cos 2Bsin=.考点二解三角形及其应用1.(2016课标全国Ⅲ,9,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则sin A=()A. B. C. D.答案D2.(2014四川,8,5分)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60 m,则河流的宽度BC等于()A.240(-1)mB.180(-1)mC.120(-1)mD.30(+1)m答案C3.(2013课标全国Ⅰ,10,5分)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos 2A=0,a=7,c=6,则b=()A.10B.9C.8D.5答案D4.(2013课标全国Ⅱ,4,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=,C=,则△ABC的面积为()A.2+2B.+1C.2-2D.-1答案B5.(2017浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.答案;6.(2016课标全国Ⅱ,15,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.答案7.(2014课标Ⅰ,16,5分)如图,为测量山高MN,选择A和另一座山的山顶C为测量观测点.从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°.已知山高BC=100 m,则山高MN=m.答案1508.(2017山东,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,·=-6,S△ABC=3,求A和a.解析因为·=-6,所以bccos A=-6,又S△ABC=3,所以bcsin A=6,因此tan A=-1,又0<A<π,所以A=.又b=3,所以c=2.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,得a2=9+8-2×3×2×-=29,所以a=.9.(2016天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知asin 2B=bsin A.(2)若cos A=,求sin C的值.解析(1)在△ABC中,由=可得asin B=bsin A,又由asin 2B=bsin A得2asin Bcos B=bsin A=asin B, 所以cos B=,得B=.(2)由cos A=可得sin A=,则sin C=sin[π-(A+B)]=sin(A+B)=sin=sin A+cos A=.10.(2015课标Ⅰ,17,12分)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sin Asin C.(1)若a=b,求cos B;(2)设B=90°,且a=求△ABC的面积.解析(1)由题设及正弦定理可得b2=2ac.又a=b,所以b=2c,a=2c.由余弦定理可得cos B=-=.(6分)(2)由(1)知b2=2ac.因为B=90°,所以由勾股定理得a2+c2=b2.故a2+c2=2ac,故c=a=.所以△ABC的面积为1.(12分)11.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD=2DC.(1)求∠∠;(2)若∠BAC=60°,求∠B.解析(1)由正弦定理得∠=∠,∠=∠.因为AD平分∠BAC,BD=2DC,所以∠==.(2)因为∠C=180°-(∠BAC+∠B),∠BAC=60°,所以sin∠C=sin(∠BAC+∠B)=cos∠B+sin∠B.由(1)知2sin∠B=sin∠C,所以tan∠B=,即∠B=30°.教师用书专用(12—25)12.(2013山东,7,5分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=,则c=()A.2B.2C. D.113.(2013陕西,9,5分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC的形状为()A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.不确定答案A14.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14 cm和62 cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12 cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40 cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40,所以MC=-=30,从而sin∠MAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,=16.从而AP1=∠答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24 cm)(2)如图,O,O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1==24,从而GG1===40.设∠EGG1=α,∠ENG=β,则sin α=sin∠=cos∠KGG1=.因为<α<π,所以cos α=-.在△ENG中,由正弦定理可得=,解得sin β=.因为0<β<,所以cos β=.于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sin αcos β +cos αsin β=×+-×=.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG,Q2为垂足,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2==20.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20 cm)15.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asin B-由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,而a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos +cos Bsin =.所以△ABC的面积为absin C=.16.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知tan=2.(1)求的值;(2)若B=,a=3,求△ABC的面积.解析(1)由tan=2,得tan A=,所以==.(2)由tan A=,A∈(0,π),得sin A=,cos A=.又由a=3,B=及正弦定理=,得b=3.由sin C=sin(A+B)=sin得sin C=.设△ABC的面积为S,则S=absin C=9.17.(2015天津,16,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-.(1)求a和sin C的值;(2)求cos的值.解析(1)在△ABC中,由cos A=-,可得sin A=.由S△ABC=bcsin A=3,得bc=24,结合b-c=2,解得b=6,c=4.由a2=b2+c2-2bccos A,可得a=8.由=,得sin C=.(2)cos=cos 2A·cos-sin 2A·sin=(2cos2A-1)-×2sin A·cos A=-.18.(2015四川,19,12分)已知A,B,C为△ABC的内角,tan A,tan B是关于x的方程x2+px-p+1=0(p∈R)的两个实根.(1)求C的大小;(2)若AB=3,AC=,求p的值.解析(1)由已知得,方程x2+px-p+1=0的判别式Δ=(p)2-4(-p+1)=3p2+4p-4≥0.所以p≤-2,或p≥.由韦达定理,有tan A+tan B=-于是1-tan Atan B=1-(1-p)=p≠0,从而tan(A+B)==-=-.所以tan C=-tan(A+B)=,所以C=60°.(2)由正弦定理,得sin B==°=,解得B=45°,或B=135°(舍去).于是A=180°-B-C=75°.则tan A=tan 75°=tan(45°+30°)=°°==2+.所以p=-(tan A+tan B)=-(2++1)=-1-.19.(2014辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由·=2得c·acos B=2.又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因为a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B===.由正弦定理,得sin C=sin B=×=.因为a=b>c,所以C为锐角,因此cos C===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.20.(2014大纲全国,18,12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知3acos C=2ccos A,tan A=,求B.解析由题设和正弦定理得3sin Acos C=2sin Ccos A.故3tan Acos C=2sin C,因为tan A=,所以cos C=2sin C,tan C=.所以tan B=tan[180°-(A+C)]=-tan(A+C)=-1,=-所以B=135°.21.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,△ABC的面积为,求cos A与a的值. 解析由三角形面积公式,得×3×1·sin A=,故sin A=.因为sin2A+cos2A=1,所以cos A=±=±=±.①当cos A=时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×=8,所以a=2.②当cos A=-时,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=32+12-2×1×3×-=12,所以a=2.22.(2014重庆,18,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+b+c=8.(1)若a=2,b=,求cos C的值;(2)若sin Acos2+sin Bcos2=2sin C,且△ABC的面积S=sin C,求a和b的值.解析(1)由题意可知c=8-(a+b)=.由余弦定理得cos C=-=-=-.(2)由sin Acos2+sin Bcos2=2sin C可得sin A·+sin B·=2sin C,化简得sin A+sin Acos B+sin B+sin Bcos A=4sin C.因为sin Acos B+cos Asin B=sin(A+B)=sin C,所以sin A+sin B=3sin C.由正弦定理可知a+b=3c.又因为a+b+c=8,所以a+b=6.由于S=absin C=sin C,所以ab=9,从而a2-6a+9=0,解得a=3,b=3.23.(2013重庆,18,13分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2=b2+c2+bc.(1)求A;(2)设a=,S为△ABC的面积,求S+3cos Bcos C的最大值,并指出此时B的值.解析(1)由余弦定理得cos A=-=-=-.又因0<A<π,所以A=.(2)由(1)得sin A=,又由正弦定理及a=得S=bcsin A=··asin C=3sin Bsin C,因此,S+3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C).所以,当B=C,即B=-=时,S+3cos Bcos C取最大值3.24.(2013浙江,18,14分)在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2asin B= b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.解析(1)由2asin B=b及=,得sin A=.因为A是锐角,所以A=.(2)由a2=b2+c2-2bccos A,得b2+c2-bc=36.又b+c=8,所以bc=.由S=bcsin A,得△ABC的面积为.25.(2013四川,17,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-.(1)求sin A的值;(2)若a=4,b=5,求向量在方向上的投影.解析(1)由cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C)=-,得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-.则cos(A-B+B)=-,即cos A=-.又0<A<π,所以sin A=.(5分)(2)由正弦定理=,得sin B==.由题知a>b,则A>B,故B=.根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×-,解得c=1或c=-7(负值舍去).故向量在方向上的投影为||cos B=.(12分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一用正、余弦定理解三角形1.(2018河南中原名校第三次联考,7)△ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若B=2A,a=1,b=,则c=()A.1B.C.2D.2答案C2.(2017湖北黄冈3月质检,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若a=b,A=2B,则cos B=()A. B. C. D.答案B3.(2017福建厦门12月联考,6)在锐角△ABC中,a,b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边,若向量m=(a-b,1)和n=(c-b,1)平行,且sin B=,当△ABC的面积为时,b=()A. B.C.4D.2+答案A考点二解三角形及其应用4.(2018江西师大附中10月模拟,7)已知△ABC中,满足b=2,B=60°的三角形有两解,则边长a的取值范围是()A.<a<2B.<a<2C.2<a<D.2<a<2答案C5.(2018河南许昌、平顶山联考,8)如图所示,为了测量A,B两处岛屿间的距离,小张以D为观测点,测得A,B分别在D处的北偏西30°、北偏东30°方向,再往正东方向行驶40海里到C处,测得B在C处的正北方向,A在C处的北偏西60°方向,则A,B两处岛屿间的距离为()A.20海里B.40海里C.20(1+)海里D.40海里答案B6.(2018河北衡水中学四调,9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2c·cos B=2a+b,若△ABC的面积S=c,则ab的最小值为()A.18B.12C.6D.3答案B7.(2018千校联盟12月模拟,10)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若c=b(cos A+cos B),则△ABC为()A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D8.(2016广东肇庆三模,10)在△ABC中,AB=3,BC=则边AC上的高为()A. B. C. D.3答案B9.(2017江西南昌十校二模,16)在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若=,sin B=,S△ABC=,则b的值为.答案10.(2017江西六校联考,19)△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a,b,c,m=(sin B,5sin A+5sin C)与n=(5sin B-6sin C,sin C-sin A)垂直.(1)求sin A的值;(2)若a=2,求△ABC的面积S的最大值.解析(1)因为m=(sin B,5sin A+5sin C)与n=(5sin B-6sin C,sin C-sin A)垂直,所以m·n=5sin2B-6sin Bsin C+5sin2C-5sin2A=0,即sin2B+sin2C-sin2A=.根据正弦定理得b2+c2-a2=.由余弦定理得cos A=-=.∵角A是△ABC的内角,∴sin A==.(2)由(1)知b2+c2-a2=≥2bc-a2.又∵a=2,∴bc≤10.∵△ABC的面积S==≤4,∴△ABC的面积S的最大值为4.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:70分时间:60分钟)一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2018湖南益阳、湘潭9月联考,9)《数书九章》中对“已知三角形三边长求三角形面积”的求法,填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代具有很高的数学水平,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减去斜幂,余半之,自乘于上;以小斜幂乘大斜幂,减上,余四约之,为实;一为从隅,开平方得积.”若把这段文字写成公式,即S=--.现有周长为2+的△ABC满足sin A∶sin B∶sinC=(-1)∶∶(+1),用上面给出的公式求得△ABC的面积为()A. B. C. D.答案B2.(2018湖北荆州中学11月模拟,9)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且=-,则角A的最大值为()A. B. C. D.答案A3.(2018四川成都摸底考试,11)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin A-csin C=(a-b)sin B,c=3,则△ABC的面积的最大值为()A. B. C. D.答案D4.(2017湖南长沙长郡中学12月模拟,6)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,b=,∠A=,则∠B=()A. B.或 C.或 D.答案B5.(人教A必5,一,1,B2,变式)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若满足c=,acos C=csin A的三角形ABC有两个,则边BC的长度的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(,2)D.(,2)答案D6.(2016云南昆明三中月考,8)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S,且2S=(a+b)2-c2,则tan C等于()A. B. C.- D.-答案C二、填空题(共5分)7.(2017山西五校联考,15)已知△ABC的面积为S,三内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若4S+a2=b2+c2,则sin C-cos取最大值时,C=. 答案三、解答题(共35分)8.(2018湖北重点高中期中联考,21)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且-=-.(1)求角B的大小;(2)点D满足=3,且AD=2,求3a+c的取值范围.解析(1)∵-=-,∴由正弦定理得-=-,(2分)∴c(a-c)=(a+b)(a-b),即a2+c2-b2=ac,又∵a2+c2-b2=2accos B,∴cos B=.(4分)∵B∈(0,π),(5分)∴B=.(6分)(2)∵=3,∴BD=3a.在△ABD中,由余弦定理知c2+(3a)2-2·3a·c·cos =22, ∴(3a+c)2-4=3·3ac.(7分)∵a>0,c>0,∴3ac≤,∴(3a+c)2-4≤(3a+c)2,即(3a+c)2≤16,当且仅当3a=c,即a=,c=2时取等号,所以3a+c的最大值为4.(10分)又在△ABD中,3a+c>2,(11分)故3a+c的取值范围是(2,4].(12分)9.(2018河北石家庄摸底考试,17)某学校的平面示意图如图中的五边形区域ABCDE,其中三角形区域ABE为生活区,四边形区域BCDE为教学区,AB,BC,CD,DE,EA,BE为学校的主要道路(不考虑宽度).∠BCD=∠CDE=,∠BAE=,DE=3BC=3CD= km.(1)求道路BE的长度;(2)求生活区△ABE的面积的最大值.解析(1)如图,连接BD,在△BCD中,BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD=,∴BD= km.∵BC=CD,∠BCD=,∴∠CBD=∠CDB=-=,又∠CDE=,∴∠BDE=.∴在Rt△BDE中,BE===(km). 故道路BE的长度为 km.(6分)(2)设∠ABE=α,∵∠BAE=,∴∠AEB=-α.在△ABE中,∠=∠=∠==,∴AB=sin-km,AE=sin α km.(8分)∴S△ABE=AB·AEsin =sin-sin α=·-km2,∵0<α<, ∴-<2α-<.∴当2α-=,即α=时,S△ABE取得最大值,最大值为×= km2,故生活区△ABE面积的最大值为 km2.(12分)10.(2017山西、河南、河北三省12月联考,17)如图,在△ABC中,sin C=,且<C<π,AB=8,若12sin∠BAC=AB·sin B.(1)求△ABC的面积;(2)已知D在线段BC上,且∠BAD=∠CAD,求sin∠CAD的值以及AD的长.解析(1)记AC=b,BC=a,AB=c,因为sin C=,且<C<π,所以cos C=-=-.因为12sin∠BAC=AB·sin B,且AB=8,所以12sin∠BAC=8sin B,由正弦定理得3a=2b.在△ABC中,c2=a2+b2-2abcos C=a2++2·a··⇒64=4a2,解得a=4,又3a=2b,故b=6.故△ABC的面积S=absin C=×4×6×=3.(2)依(1)得cos∠BAC=-=,又由已知得cos∠BAC=1-2sin2∠CAD,所以sin∠CAD=,故sin∠ADC=sin(∠DAC+∠C)=×-+×=,⇒=⇒AD=.故=∠C组2016—2018年模拟·方法题组方法1正弦定理和余弦定理的应用方法1.(2017广东七校第一次联考,7)在△ABC中,a,b,c是角A,B,C的对边,若a,b,c成等比数列,A=45°,则=()A. B. C. D.答案C2.(2018豫北、豫南精英对抗赛,16)已知锐角△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,其外接圆半径为,b=2,则△ABC的周长的取值范围是.答案(2+2,6]3.(2018河南信阳第一次质检,20)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin A+cos A=2.(1)求角A的大小;(2)现给出三个条件:①a=2;②B=45°;③c=试从中选出两个可以确定△ABC的条件,写出你的选择,并以此为依据求△ABC的面积.(只写出一个方案即可)解析(1)sin A+cos A=2可化为2sin=2,所以sin=1.因为0<A<π,所以A+=,所以A=.(2)方案一:选择①②.在△ABC中,由正弦定理得b==°=2.因为sin C=sin(A+B)=×+×=,所以△ABC的面积为absin C=×2×2×=+1.方案二:选择①③.在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=b2+3b2-2·b2cos=b2=4,所以b=2,所以c=2.所以△ABC的面积为bcsin A=×2×2×sin=.说明:若选择②③,则由c=b可得sin C=sin B=>1,故这样的△ABC不存在.4.(2017河北唐山一模,17)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a2-ab-2b2=0.(1)若B=,求A,C;(2)若C=,c=14,求S△ABC.解析(1)由已知B=,a2-ab-2b2=0结合正弦定理化简整理得2sin2A-sin A-1=0,于是sin A=1或sin A=-(舍).因为0<A<π,所以A=,又A+B+C=π,所以C=π--=.(2)由题意及余弦定理可知a2+b2+ab=196,①由a2-ab-2b2=0得(a+b)(a-2b)=0,因为a+b>0,所以a-2b=0,即a=2b,②联立①②解得b=2,a=4.所以S△ABC=absin C=14.方法2三角形形状的判断方法5.(2018湖南师大附中12月月考,6)在△ABC中,若=,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形答案D6.(2017湖北荆州中学12月模拟,9)a,b,c为△ABC三边长,a≠1,b<c,若log(c+b)a+log(c-b)a=2log(c+b)alog(c-b)a,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.无法确定答案B7.(2016江西丰城中学月考,10)在△ABC中,已知2acos B=c,sin Asin B·(2-cos C)=sin2+,则△ABC为()A.等边三角形B.钝角三角形C.锐角非等边三角形D.等腰直角三角形答案D方法3解三角形应用题的方法8.(2017湖北七校联考,16)三国魏人刘徽自撰《海岛算经》,专论测高望远.其中有一题:今有望海岛,立两表齐,高三丈,前后相去千步,令后表与前表相直.从前表却行一百二十三步,人目著地取望岛峰,与表末参合.从后表却行一百二十七步,人目著地取望岛峰,亦与表末参合.问岛高及去表各几何?译文如下:要测量海岛上一座山峰A的高度AH,立两根高均为3丈的标杆BC和DE,前后标杆相距1 000步,使后标杆杆脚D与前标杆杆脚B与山峰脚H 在同一直线上,从前标杆杆脚B退行123步到F,人眼著地观测到岛峰,A、C、F三点共线,从后标杆杆脚D退行127步到G,人眼著地观测到岛峰,A、E、G三点也共线,则岛峰的高度AH=步.(古制:1步=6尺,1里=180丈=1 800尺=300步)答案 1 2559.(2016吉林五校第一次联考,14)2015年8月6日凌晨,马来西亚总理纳吉布在吉隆坡确认,7月29日在法属留尼汪岛发现的飞机残骸来自515天前失联的马航MH370.若一架侦察机以500米/秒的速度在留尼汪岛上空平行于地面匀速飞行时,发现飞机残骸在侦察机前方且俯角为30°的地面上,半分钟后,侦察机发现飞机残骸仍在其前方且俯角为75°的地面上,则侦察机的飞行高度是米.(保留根号)答案 3 750(+1)10.(2018河南商丘九校12月联考,20)如图所示,某公路AB一侧有一块空地△OAB,其中OA=3 km,OB=3 km,∠AOB=90°,当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN,其中M,N都在边AB上(M,N不与A,B重合,M在A,N之间),且∠MON=30°.(1)若M在距离A点2 km处,求点M,N之间的距离;(2)为节省投入资金,人工湖△OMN的面积要尽可能小,试确定M的位置,使△OMN的面积最小,并求出最小面积.解析(1)在△OAB中,因为OA=3,OB=3∠AOB=90°,所以∠OAB=60°.在△OAM中,由已知及余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO·AM·cos A=7,所以OM=,所以cos∠AOM=-=,在△OAN中,sin∠ONA=sin(∠A+∠AON)=sin(∠AOM+90°)=cos∠AOM=.在△OMN中,由=得MN=×=.故点M,N之间的距离为 km.(2)设∠AOM=θ,0<θ<.在△OAM中,由=得OM=.在△OAN中,由∠=∠得ON==.所以S△OMN=OM·ON·sin∠MON=···====,因为0<θ<,所以2θ+∈,所以当2θ+=,即θ=时,S△OMN取最小值. 所以应设计∠AOM=,可使△OMN的面积最小,最小面积是 km2.。

§4.5解三角形考纲解读分析解读 1.利用正弦定理、余弦定理解三角形或者求解平面几何图形中有关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形有关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵活,在高考中常与面积或取值范围结合进行考查.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.五年高考考点一正弦定理和余弦定理1.(2017山东,9,5分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若△ABC为锐角三角形,且满足sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是()A.a=2bB.b=2aC.A=2BD.B=2A答案A2.(2016天津,3,5分)在△ABC中,若AB=,BC=3,∠C=120°,则AC=()A.1B.2C.3D.4答案A3.(2017浙江,14,5分)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.答案;4.(2016课标全国Ⅱ,13,5分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.答案5.(2017天津,15,13分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值;(2)求sin的值.解析(1)在△ABC中,因为a>b,所以由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.由正弦定理=,得sin A==.所以,b的值为,sin A的值为.(2)由(1)及a<c,得cos A=,所以sin2A=2sin Acos A=,cos2A=1-2sin2A=-.故sin=sin2Acos+cos2Asin=.6.(2017北京,15,13分)在△ABC中,∠A=60°,c=a.(1)求sin C的值;(2)若a=7,求△ABC的面积.解析(1)在△ABC中,因为∠A=60°,c=a,所以由正弦定理得sin C==×=.(2)因为a=7,所以c=×7=3.由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A得72=b2+32-2b×3×,解得b=8或b=-5(舍).所以△ABC的面积S=bcsin A=×8×3×=6.教师用书专用(7—21)7.(2013辽宁,6,5分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asin Bcos C+csin Bcos A=b,且a>b,则∠B=()A. B. C. D.答案A8.(2013天津,6,5分)在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=()A. B. C. D.答案C9.(2013湖南,3,5分)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asin B=b,则角A等于()A. B. C. D.答案D10.(2015天津,13,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为3,b-c=2,cos A=-,则a的值为. 答案811.(2015重庆,13,5分)在△ABC中,B=120°,AB=,A的角平分线AD=,则AC=.答案12.(2015广东,11,5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=,sin B=,C=,则b=.答案113.(2015福建,12,4分)若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于.答案714.(2014广东,12,5分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bcos C+ccos B=2b,则=.答案215.(2014天津,12,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sin B=3sin C,则cos A的值为. 答案-16.(2014福建,12,4分)在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC的面积等于.答案217.(2013安徽,12,5分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c.若b+c=2a,3sin A=5sin B,则角C=.答案π18.(2013浙江,16,4分)在△ABC中,∠C=90°,M是BC的中点.若sin∠BAM=,则sin∠BAC=.答案19.(2014辽宁,17,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求:(1)a和c的值;(2)cos(B-C)的值.解析(1)由·=2得c·acos B=2,又cos B=,所以ac=6.由余弦定理,得a2+c2=b2+2accos B.又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.解得a=2,c=3或a=3,c=2.因a>c,所以a=3,c=2.(2)在△ABC中,sin B===,由正弦定理,得sin C=sin B=×=.因a=b>c,所以C为锐角,因此cos C===.于是cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C=×+×=.20.(2013山东,17,12分)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a+c=6,b=2,cos B=.(1)求a,c的值;(2)求sin(A-B)的值.解析(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accos B得b2=(a+c)2-2ac(1+cos B),又b=2,a+c=6,cos B=,所以ac=9,解得a=3,c=3.(2)在△ABC中,sin B==,由正弦定理得sin A==.因为a=c,所以A为锐角,所以cos A==.因此sin(A-B)=sin Acos B-cos Asin B=.21.(2013重庆,20,12分)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且a2+b2+ab=c2.(1)求C;(2)设cos Acos B=,=,求tanα的值.解析(1)因为a2+b2+ab=c2,由余弦定理有cos C=-=-=-,故C=.(2)由题意得--=,因此(tanαsin A-cos A)(tanαsin B-cos B)=,tan2αsin Asin B-tanα(sin Acos B+cos Asin B)+cos Acos B=, tan2αsin Asin B-tanαsin(A+B)+cos Acos B=.①因为C=,A+B=,所以sin(A+B)=,因为cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B,即-sin Asin B=,解得sin Asin B=-=.由①得tan2α-5tanα+4=0,解得tanα=1或tanα=4.考点二正、余弦定理的应用1.(2016课标全国Ⅲ,8,5分)在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cos A=()A. B. C.- D.-答案C2.(2017课标全国Ⅱ,17,12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.解析本题考查了三角公式的运用和余弦定理的应用.(1)由题设及A+B+C=π得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=.(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=acsin B=ac.又S△ABC=2,则ac=.由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2accos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2××=4.所以b=2.3.(2016浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若△ABC的面积S=,求角A的大小.解析(1)由正弦定理得sin B+sin C=2sin Acos B,故2sin Acos B=sin B+sin(A+B)=sin B+sin Acos B+cos Asin B,于是sin B=sin(A-B).又A,B∈(0,π),故0<A-B<π,所以,B=π-(A-B)或B=A-B,因此A=π(舍去)或A=2B,所以,A=2B.(2)由S=得absin C=,故有sin Bsin C=sin2B=sin Bcos B,因sin B≠0,得sin C=cos B.又B,C∈(0,π),所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.4.(2016山东,16,12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2(tan A+tan B)=+.(1)证明:a+b=2c;(2)求cos C的最小值.解析(1)证明:由题意知2=+,化简得2(sin Acos B+sin Bcos A)=sin A+sin B,即2sin(A+B)=sin A+sin B.因为A+B+C=π,所以sin(A+B)=sin(π-C)=sin C.从而sin A+sin B=2sin C.由正弦定理得a+b=2c.(2)由(1)知c=,所以cos C=-=-=-≥,当且仅当a=b时,等号成立.故cos C的最小值为.教师用书专用(5—16)5.(2014江西,4,5分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.若c2=(a-b)2+6,C=,则△ABC的面积是()A.3B.C. D.3答案C6.(2014重庆,10,5分)已知△ABC的内角A,B,C满足sin2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面积S满足1≤S≤2,记a,b,c分别为A,B,C所对的边,则下列不等式一定成立的是()A.bc(b+c)>8B.ab(a+b)>16C.6≤abc≤12D.12≤abc≤24答案A7.(2015湖北,13,5分)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=m.答案1008.(2013福建,13,4分)如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=,AB=3,AD=3,则BD的长为.答案9.(2017江苏,18,16分)如图,水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm,容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10 cm,容器Ⅱ的两底面对角线EG,E1G1的长分别为14cm和62cm.分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水,水深均为12cm.现有一根玻璃棒l,其长度为40cm.(容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计)(1)将l放在容器Ⅰ中,l的一端置于点A处,另一端置于侧棱CC1上,求l没入水中部分的长度;(2)将l放在容器Ⅱ中,l的一端置于点E处,另一端置于侧棱GG1上,求l没入水中部分的长度.解析(1)由正棱柱的定义,CC1⊥平面ABCD,所以平面A1ACC1⊥平面ABCD,CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=10,AM=40,所以MC=-=30,从而sin∠MAC=.记AM与水面的交点为P1,过P1作P1Q1⊥AC,Q1为垂足,则P1Q1⊥平面ABCD,故P1Q1=12,从而AP1==16.答:玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为24cm)(2)如图,O,O 1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义,OO1⊥平面EFGH,所以平面E1EGG1⊥平面EFGH,O1O⊥EG.同理,平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1,O1O⊥E1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GK⊥E1G1,K为垂足,则GK=OO1=32.因为EG=14,E1G1=62,所以KG1==24,从而GG1===40.设∠EGG1=α,∠ENG=β,则sinα=sin∠=cos∠KGG1=.因为<α<π,所以cosα=-.在△ENG中,由正弦定理可得=,解得sinβ=.因为0<β<,所以cosβ=.于是sin∠NEG=sin(π-α-β)=sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=×+-×=.=20.记EN与水面的交点为P2,过P2作P2Q2⊥EG交EG的延长线于Q2,则P2Q2⊥平面EFGH,故P2Q2=12,从而EP2=∠答:玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”,则结果为20cm)10.(2016北京,15,13分)在△ABC中,a2+c2=b2+ac.(1)求∠B的大小;(2)求cos A+cos C的最大值.解析(1)由余弦定理及题设得cos B=-==.又因为0<∠B<π,所以∠B=.(6分)(2)由(1)知∠A+∠C=.cos A+cos C=cos A+cos-=cos A-cos A+sin A=cos A+sin A=cos-.(11分)因为0<∠A<,所以当∠A=时,cos A+cos C取得最大值1.(13分)11.(2015课标Ⅱ,17,12分)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,△ABD面积是△ADC面积的2倍. (1)求∠;(2)若AD=1,DC=,求BD和AC的长.解析(1)S△ABD=AB·ADsin∠BAD,S△ADC=AC·ADsin∠CAD.因为S△ABD=2S△ADC,∠BAD=∠CAD,所以AB=2AC.==.由正弦定理可得∠∠(2)因为S△ABD∶S△ADC=BD∶DC,所以BD=.在△ABD和△ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,AC2=AD2+DC2-2AD·DCcos∠ADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.12.(2015浙江,16,14分)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知A=,b2-a2=c2.(1)求tan C的值;(2)若△ABC的面积为3,求b的值.解析(1)由b2-a2=c2及正弦定理得sin2B-=sin2C,所以-cos2B=sin2C.又由A=,即B+C=π,得-cos2B=sin2C=2sin Ccos C,解得tan C=2.(2)由tan C=2,C∈(0,π)得sin C=,cos C=.又因为sin B=sin(A+C)=sin,所以sin B=.由正弦定理得c=b,又因为A=,bcsin A=3,所以bc=6,故b=3.13.(2015陕西,17,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求A;(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.解析(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,由正弦定理,得sin Asin B-sin Bcos A=0,又sin B≠0,从而tan A=,由于0<A<π,所以A=.(2)解法一:由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A及a=,b=2,A=,得7=4+c2-2c,即c2-2c-3=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC的面积为bcsin A=.解法二:由正弦定理,得=,从而sin B=,又由a>b,知A>B,所以cos B=.故sin C=sin(A+B)=sin=sin Bcos+cos Bsin=.所以△ABC的面积为absin C=.14.(2015江苏,15,14分)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.(1)求BC的长;(2)求sin2C的值.解析(1)由余弦定理知,BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos A=4+9-2×2×3×=7,所以BC=.(2)由正弦定理知,=,所以sin C=·sin A==.因为AB<BC,所以C为锐角,则cos C===.因此sin2C=2sin C·cos C=2××=.15.(2014安徽,16,12分)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.(1)求a的值;(2)求sin的值.解析(1)因为A=2B,所以sin A=sin2B=2sin Bcos B.由正、余弦定理得a=2b·-.因为b=3,c=1,所以a2=12,a=2.(2)由余弦定理得cos A=-==-.由于0<A<π,所以sin A===.故sin=sin Acos+cos Asin=×+-×=.16.(2014陕西,16,12分)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.(1)若a,b,c成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C);(2)若a,b,c成等比数列,求cos B的最小值.解析(1)证明:∵a,b,c成等差数列,∴a+c=2b.由正弦定理得sin A+sin C=2sin B.∵sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C),∴sin A+sin C=2sin(A+C).(2)∵a,b,c成等比数列,∴b2=ac.由余弦定理得cos B=-=-≥-=,当且仅当a=c时等号成立.∴cos B的最小值为.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一正弦定理和余弦定理1.(2018广东百校联盟联考,6)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若sin A=3sin B,c=,且cos C=,则a=()A.2B.3C.3D.4答案B2.(2017安徽合肥一模,6)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos C=,bcos A+acos B=2,则△ABC的外接圆面积为()A.4πB.8πC.9πD.36π答案C3.(人教A必5,一,1-1B,2,变式)在△ABC中,已知a=2,则bcos C+ccos B等于()A.1B.C.2D.4答案C4.(2018广东茂名二模,14)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,a=4,b=5,c=6,则=.答案15.(2017江西抚州7校联考,15)在△ABC中,D为线段BC上一点(不能与端点重合),∠ACB=,AB=,AC=3,BD=1,则AD=.答案考点二正、余弦定理的应用6.(2018福建德化一中、永安一中、漳平一中三校联考,8)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若=,A=,b=1,则△ABC的面积为()A. B. C. D.答案B7.(2018四川泸州一诊,7)如图,CD是山的高,一辆汽车在一条水平的公路上从正东方向往正西方向行驶,在点A处时测得点D的仰角为30°,行驶300m后到达B处,此时测得点C在点B的正北方向上,且测得点D的仰角为45°,则此山的高CD=()A.150mB.75mC.150mD.300m答案C8.(2016福建厦门一中期中,5)如图,D,C,B在地平面同一直线上,DC=10m,从D,C两地测得A点的仰角分别为30°和45°,则A点离地面的高AB等于()A.10mB.5mC.5(-1)mD.5(+1)m答案D9.(2017河南天一大联考(一),14)在△ABC中,边AB的垂直平分线交边AC于D,若C=,BC=8,BD=7,则△ABC的面积为.答案20或24B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:40分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共15分)1.(2017安徽江南十校3月联考,9)设△ABC的面积为S1,它的外接圆面积为S2,若△ABC的三个内角大小满足A∶B∶C=3∶4∶5,则的值为()A. B. C. D.答案D2.(2017湖北武昌一模,12)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2bsin C,则tan A+tan B+tan C的最小值是()A.4B.3C.8D.6答案C3.(2016河南开封四模,9)在△ABC中,角A、B、C所对边的长分别为a、b、c,设AD为BC边上的高,且AD=a,则+的最大值是()A.2B.C.D.4答案B二、填空题(每小题5分,共15分)4.(2018吉林长春一模,15)在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-cos A=sin Acos C,且a=2,△ABC面积的最大值为.答案35.(2018河北邯郸临漳一中月考,16)我国南宋著名数学家秦九韶发现了由三角形三边长求三角形面积的“三斜求积”公式,设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,面积为S,则“三斜求积”公式为S=--.若a2sin C=4sin A,(a+c)2=12+b2,则用“三斜求积”公式求得△ABC的面积为.答案6.(2017山西四校第一次联考,15)已知△ABC是斜三角形,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若csin A=acos C,c=,且sin C+sin(B-A)=5sin2A,则△ABC的面积为.答案三、解答题(共10分)7.(2018湖北荆州一模,17)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=.(1)若C=,△ABC的面积为,求c的值;(2)若B=,求2c-a的取值范围.解析(1)由三角形的面积公式,得absin C=.因为C=,b=,所以a=2.所以c=-=.(2)由正弦定理,得===2,故a=2sin A,c=2sin C.因为B=,所以a=2sin=cos C+sin C.于是2c-a=3sin C-cos C=2sin-.因为C∈,所以C-∈-,所以sin-∈-,故2c-a的取值范围为(-,2).C组2016—2018年模拟·方法题组方法1解三角形的常见题型及求解方法1.(2017广东海珠调研,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若c=2a,bsin B-asin A=asin C,则sin B=()A. B.C. D.答案A2.(2018湖南永州二模,15)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若sin A=2sin B,且a+b=c,则角C的大小为.答案3.(2017河北石家庄二中3月模拟,16)已知在△ABC中,角C为直角,D是边BC上一点,M是AD上一点,且CD=1,∠DBM=∠DMB=∠CAB,则MA=.答案2方法2利用正、余弦定理判断三角形的形状4.(2018江西南城一中期中,6)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若-=-,则这个三角形必含有()A.90°的内角B.60°的内角C.45°的内角D.30°的内角答案B5.(2016河南郑州质检,5)在△ABC中,若sin C(cos A+cos B)=sin A+sin B,则△ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形答案B6.(2017宁夏育才中学月考,14)在△ABC中,若-=-,则△ABC的形状一定是.答案等腰三角形或直角三角形方法3正、余弦定理的实际应用策略7.(2018福建莆田月考,8)A在塔底D的正西面,在A处测得塔顶C的仰角为45°,B在塔底D的南偏东60°处,在塔顶C处测得B的俯角为30°,AB间距84米,则塔高为()A.24米B.12米C.12米D.36米答案C8.(2017山西康杰中学月考,10)海上有三个小岛A,B,C,测得∠BAC=135°,AB=6km,AC=3km,若在连接B,C两岛的线段上建一座灯塔D,使得灯塔D到A,B两岛距离相等,则B,D间的距离为()A.3kmB.kmC.kmD.3km答案B9.(2016河北邢台三模,17)如图,在海岛A上有一座海拔1千米的山,山顶设有一个观察站P,上午11时,测得一轮船在岛北偏东30°,俯角为30°的B处,到11时10分又测得该船在岛北偏西60°,俯角为60°的C处.(1)求船的航行速度;(2)又经过一段时间后,船到达海岛的正西方向的D处,问此时船距岛A有多远?解析(1)在Rt△PAB中,∠APB=60°,PA=1,∴AB=.在Rt△PAC中,∠APC=30°,∴AC=.在△ACB中,∠CAB=30°+60°=90°,∴BC===.则船的航行速度为÷=2(千米/时).(2)在△ACD中,∠DAC=90°-60°=30°,sin∠DCA=sin(180°-∠ACB)=sin∠ACB===,sin∠CDA=sin(ACB-30°)=sin∠ACB·cos30°-cos∠ACB·sin30°=·-·=-.由正弦定理得∠=∠.∴AD=·∠∠=·-=.故此时船距岛A千米.。