一、直接（或转化）由等差、等比数列的求和公式求和
例1（07高考山东文18）设{}n a 是公比大于1的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和．已
知37S =，且123334a a a ++，
，构成等差数列． （1）求数列{}n a 的等差数列．
（2）令31ln 12n n b a n +==L ，，，，求数列{}n b 的前n 项和T ．
练习：设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *
,求1
)32()(++=
n n
S n S n f 的最大值.
二、错位相减法
例2（07高考天津理21）在数列{}n a 中，1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*
+==++-∈N ，，
其中0λ>．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ；
．
例3（07高考全国Ⅱ文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且
111a b ==，3521a b +=，5313a b +=
（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和n S ．
三、逆序相加法
例4（07豫南五市二联理22.）设函数2
22)(+=x x
x f 的图象上有两点P 1(x 1, y 1)、P 2(x 2,
y 2)，若)(2
1
2
1OP +=,且点P 的横坐标为21. （I ）求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个定值；
（II ）若;求,),()3()2()1(*n n S N n n
n f n f n f n f S ∈+⋯+++=
四、裂项求和法 例5 求数列
⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,
,3
21,
2
11n n 的前n 项和.
例6（06高考湖北卷理17）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为
'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图
像上。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设11n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m
T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；
五、分组求和法
例7数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311*
+∈+==N n b a b b n n n .
（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n 。
例8求2222121234(1)n S n -=-+-++-L （n N +∈）
六、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
例9 求3
211
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++之和. 解：由于)110(91
99999111111
1
-=⋅⋅⋅⨯=
⋅⋅⋅k k k 43421321个个 （找通项及特征）
∴ 3
211
1111111111个n ⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++ ＝
)110(9
1
)110(91)110(91)110(91321-+⋅⋅⋅+-+-+-n （分组求和）
＝
)1111(91
)10101010(911
3214434421个n n +⋅⋅⋅+++-+⋅⋅⋅+++ ＝9110)110(1091n
n ---⋅
＝)91010(81
11n n --+ 例10 已知数列{a n }：∑∞
=+-+++=
1
1))(1(,)3)(1(8
n n n n a a n n n a 求的值. 解：∵ ])
4)(2(1
)3)(1(1)[
1(8))(1(1++-+++=-++n n n n n a a n n n （找通项及特征）
＝])4)(3(1
)4)(2(1[
8+++++⋅n n n n （设制分组）
＝)4
1
31(8)4121(4+-+++-+⋅n n n n （裂项）
∴ ∑∑∑∞
=∞=∞=++-+++-+=-+1
111)41
31(8)4121(4))(1(n n n n n n n n n a a n （分组、裂项求和）
＝4
18)4131
(4⋅++⋅ ＝
3
13 类型1 )(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列{}n a 满足211=
a ，n
n a a n n ++=+211，求n a 。 解：由条件知：1
1
1)1(1121+-=+=+=-+n n n n n n a a n n
分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即
)()()()(1342312--+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n
n --+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-+-=
所以n
a a n 1
11-=-
211=a Θ，n
n a n 1231121-=-+=∴
类型2 n n a n f a )(1=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a
n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。
例:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n
a 1
1+=+，求n a 。
解：由条件知1
1+=+n n
a a n n ，分别令)1(,,3,2,1-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n ，代入上式得)1(-n 个等
式累乘之，即
1342312-•⋅⋅⋅⋅⋅⋅•••n n a a a a a a a a n n 1
433221-⨯⋅⋅⋅⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n a a n 11=⇒又321=a Θ，n
a n 32=∴ 例:已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=+ )1(≥n ，求n a 。
12
3132231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-•+⨯-⨯•⋅⋅⋅•+---•+---=
3437526331348531n n n n n --=⋅⋅⋅⋅=---L 。
类型3 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=1，再
利用换元法转化为等比数列求解。
例:已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式321+=+n n a a 可以转化为)(21t a t a n n -=-+即321-=⇒-=+t t a a n n .
故递推公式为)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且
233
11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的等比数列，则 11224+-=⨯=n n n b ,所以321-=+n n a .
变式:递推式：()n f pa a n n +=+1。解法：只需构造数列{}n b ，消去()n f 带来的差异．
类型4 n
n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。
