魔方与群论

魔方数学原理

通常所说的魔方，其国际标准称呼是鲁比克魔方，由匈牙利布达佩斯应用艺术学院的建筑学教授鲁比克—艾尔内于年发明! 关于鲁比克发明魔方的初衷，流传甚广的一个说法是为了发明一种教具，以帮助学生理解、认识立体空间的构造。

鲁比克一开始并没有意识到他发明了一个极其具有挑战性的益智玩具，当他第一次将自己发明的魔方打乱，才发现了这个后来被无数人反复证明的事实：原始状态的魔方一旦被打乱，想要将其复原是一件极其困难的事情。

年初，一家玩具公司将魔方带往在巴黎、伦敦和美国举行的国际玩具博览会展览。此后没多久，随着魔方生产技术的改良，魔方快速红遍全球。至年，短短的3年间魔方在全球就卖出了多万只，而至今天，全世界卖出了数亿只魔方，魔方已经沦为全球最为盛行的玩具之一。

魔方核心是三个相互垂直的轴，保证魔方的顺利转动。外观上，由26个小正方体组成一个正方体。其中包括与中心轴相连的中心方块6个，相对位置固定不动，仅一面涂有颜色;棱块12个，两面有颜色;角块8个，三面有色。复原状态下，魔方每面都涂有相同的颜色，六个面的颜色各不相同。魔方每个面都可以自由转动，从而打乱魔方，形成变化多端的组合。

魔方女团的数量可以按照如下方式排序：8个角块可以交换边线，存有8!种女团(8=8*7*6*5*4*3*2*1)，又可以滑动，每个角块可以具备’种空间边线，但因为无法单独滑动一个角块，须要除以3，总共存有8!* 37种女团;12个棱块可以交换边线，获得12!，又可以滑动，获得，但因为无法单独滑动一个棱块，也无法单独互换任一两个棱块的边线，须要分别除以2，获得12!*/(2*2)种女团。综上，获得魔方的所有可能将女团数为：8!*37*12!*/(2*2)=43,,,,,,≈4.33*

这是一个天文数字，如果某位玩家想要尝试所有的组合，哪怕不吃不喝不睡，每秒钟转出十种不同的组合，也要花上千亿年的时间才能如愿，这约是当前宇宙年龄的10倍。

数学趣味实验用实验探索数学的乐趣

数学对于很多人来说是一个枯燥乏味的学科，但实际上，数学也可以非常有趣。通过实验探索数学的乐趣，我们可以更加深入地理解数学的概念和原理，并培养对数学的兴趣。本文将介绍一些有趣的数学实验，通过这些实验，我们可以学到很多有趣的数学知识。

一、魔方的奥秘

魔方是一种非常受欢迎的益智玩具，它的核心是一个由27个小立方体组成的大立方体。魔方的每一面都有9个小正方形，我们需要通过转动魔方的各个面，使得每一面上都是同一个颜色的小正方形。那么，魔方的奥秘是什么呢？

通过实验我们可以发现，魔方的每一个小正方形都是通过魔方的旋转变换得到的。而魔方的旋转变换可以用数学中的群论来描述。群论是数学中的一个重要分支，它研究一类带有某种运算的数学对象。魔方的旋转变换满足了群论中的一些基本性质，这也就解释了为什么魔方可以通过旋转变换来复原。

二、斐波那契数列与黄金分割

斐波那契数列是一个非常有趣的数列，它的前两项是1，1，以后的每一项都是前两项的和。斐波那契数列的前几项是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89……通过观察我们可以发现，斐波那契数列中的每一个数除以它前面一个数的商越来越接近一个特殊的常数，即约等于1.618。 这个常数被称为黄金分割，用希腊字母φ表示。它可以用一个无理数表示，即1+√5/2。黄金分割在几何中有很多应用，也在艺术和建筑中被广泛运用。通过实验我们可以验证斐波那契数列中的数与黄金分割之间的关系，进一步探索数学与自然之间的奥秘。

三、虚数与复平面

虚数是一个非常特殊的数，它可以表示为一个实数与虚数单位i的乘积，其中虚数单位i定义为i²=-1。虚数在数学中具有重要的地位，它在代数和解析几何中经常被使用。那么虚数具体代表了什么呢？

通过实验我们可以将虚数与复平面联系起来。复平面是一个由实轴和虚轴组成的平面，虚数可以看作是复平面上的一个点。虚数与复平面的关系可以用欧拉公式表示，即e^iθ=cosθ+isinθ。通过实验我们可以验证欧拉公式，并进一步了解虚数与复平面之间的关系。

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魔方中的数学

作者：曹学军

来源：《学园》2014年第11期

【摘 要】本文从群论的角度出发，论述了魔方的数学性质。主要讨论了群论中的概念及相关性质在魔方复原中的实际应用，并给出了魔方复原的一种方法。

【关键词】群 魔方 魔方复原

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】1674-4810（2014）11-0073-02

魔方（Rubik’Cube）是匈牙利建筑师鲁比克教授发明的益智玩具，1980年在一家玩具公司的推动下走向世界，风靡全球。经过数十年的发展、演化，魔方不仅仅限于3阶，又出现了4阶，5阶，7阶……甚至出现了异形魔方。

魔方不再是一种儿童手中的玩具，更是一种休闲放松的方式和体育竞技形式，而且极具刺激性与挑战性。联系到数学方面，魔方中蕴含了群论中的许多概念及其相关性质。本文借助三阶魔方，在群论的基础上，讨论了群论在魔方复原中的实际应用。

几乎所有的人拿到一个打乱的魔方都会不由自主地尝试去复原它，也就是将同种颜色的面组合在一起。魔方复原的方法已经得到了解决，而且随着魔友越来越多，解法也层出不穷。那么复原一个魔方最少的步骤（“上帝之数”）是多少呢？这个问题困扰了科学家几十年。2010年8月，美国肯特州立大学数学家Morley Davidson和Google工程师John Dethridge揭开了“上帝之数”的神秘面纱，“上帝之数”等于20，并给出了详细的统计数据。本文不对“上帝之数”进行探讨，为了满足读者的兴趣，在文中最后给出了魔方复原的一种方法。如果想要了解更多的魔方玩法，可以参考。

一 基本介绍

三阶魔方由26块组成，分别为6个中心块、12个边块和8个角块组成，其中一种颜色的是中心块，两种颜色的是边块，三种颜色的是角块。魔方不仅仅有一种配色，目前常用的配色为白黄相对，红橙相对，蓝绿相对。魔方各个面的表示见图1。

浅谈魔方中的数学思想

学生姓名：之花127

一、引言

魔方是一种休闲益智玩具.生活中人们所熟知的魔方(Rubik’s cube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克(Rubik)教授于1974年发明的教学道具.这种方魔

(Rubik’s cube)是由333个块方的成组, 个每块方都能绕心中转意任向方的体方立.总来的说,方魔的法玩就是转动魔方令其上每个面的方块颜色一致(还原)或排列组合出有规律的图案.魔方转动一次相当于魔方一层上所有的方块(有限元素)进行了一次数学意义上的变换.所以,魔方的构造与操作过程中蕴含着一定的数学思想.简而言之一些数学思想比如变换、坐标、组合等都可以在魔方上找到现实具体的运用.

二、魔方的基础知识

（一）魔方的历史与结构

生活中人们所常见的魔方(Rubik’s cube)是匈牙利布达佩斯建筑学院鲁比克(Rubik)教授于1974年设计的教学道具.这种魔方是由333个方块组成的,每个方块都能绕中心转任意方向的立方体.经过近40年的发展,原始的传统意义上的魔方已经创造性的衍生出了由方块组成的各个方向都能够转动的多种多样的几何体魔方玩具.在外形设计的角度,传播最早的魔方(Rubik’s cube)也可以称作三阶立方体魔方,继相有还阶二、阶四、阶五等种多数阶的体方立方魔,目前络网上一方魔者好爱计设并造制了高最的阶十七体方立方魔(2011).除体方立方魔外之有还它其体面多方魔和型异方魔.设计各种外形的几何体魔方时使其各个组成部分具有良好的旋转性是基本要求.这就使得魔方的内部结构的设计丰富多样、精简巧妙.

1.阶

从外形设计来看,立方体魔方每条棱上方块数目就是该魔方的阶数.因此,生活中人们普遍见到玩赏的方魔可称作阶三体方立方魔.

最初魔方在作为增加学生空间方位感觉的教学道具设计时,魔方发明人Rubik教授考虑到从数学思维角度来说,222(即二阶立方体魔方)理论上是外形结构最简单的体方立魔方,然而在过经验实后作操现发他,在械机计设的度角上虑考话的,333魔方在部内造构上是最易容现实块方各度角转旋并备具最单简械机构结的体方立魔方.