数学初中教案：圆的基本性质

圆基本性质

1、圆的定义

(1)圆的定义

点集定义：圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合．定点称为圆心，定长称为半径．

(2)弦与直径

①弦：连结圆上任意两点间的线段叫做弦．

②直径：经过圆心弦，称为直径．（注意：直径是最长的弦，直径是弦，但弦不一定是直径．）

(3)弧、优弧、劣弧、半圆

①弧：圆上任意两点问的部分叫做圆弧，简称弧，用“⌒”表示．

②半圆．圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

③优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧；小于半圆的弧叫做劣弧．

2、圆的对称性

圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．

注意：圆有无数条直径，所以圆有无数条对称轴．

3、垂径定理及推理

定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦并且平分弦所对的两条弧．

4、圆心角

圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．

5、圆心角、弧、弦之间的关系

定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量分别相等．

注意：(1)在具体运用定理或推论解决问题时可根据需要，选择有关部分，比如“等弧所对圆心角相等”，“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等”等．

(2)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，若没有这一条件，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．

(3)结合图形深刻理解圆心角、弧、弦这几个概念与“所对”一词的含义．

(4)若无特殊说明，定理推论中“弧”一般指劣弧．

6、圆周角

(1)圆周角：顶点在圆上，两边和圆相交的角叫做圆周角．

(2)圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

圆的基本性质复习课教案

学习目标：

1．进一步理解圆的轴对称性和旋转不变性；

2．进一步掌握由这两个性质得到的垂径定理，以及圆心角定理、圆周角定理.

3．通过例题的探究，进一步培养学生的探究能力、思维能力和解决问题的能力。

学习重点：圆的对称性、垂径定理，以及圆心角定理、圆周角定理及推论。

学习难点：相关性质的应用

学习过程：

一 基础过关

1、圆的对称性

（1）、圆是______图形,圆的对称轴是______________,它有_____条对称轴.

（2）、圆是___________图形，它的对称中心是________.

（3）、 圆具有_____________.

中考链接:（2014湖南娄底）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）

A．

B．

C．

D．

2、垂径定理

垂直于弦的直径

弦，并且 弦所对的两条弧．

推论：平分弦(不是直径)的直径 弦，并且平分弦所对的两条弧．

中考链接（2015遂宁）如图，在半径为5cm的⊙O中，弦AB=6cm，OC⊥AB于点C，则OC=_______

变式训练：一条排水管的截面如图所示，已知排水管的截面圆半径OB=10，截面圆圆心O到水面的距离OC是6，则水面宽AB是（ ）

A.16 B.10 C.8 D.4

3、圆心角、弧、弦之间的关系 (1)定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 相等．

(2)推论：同圆或等圆中,两个_____、两条___、两条___中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等.

4、圆周角定理:

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于这条弧所对的圆心角的 ．

推论：半圆(或直径)所对的圆周角是 ，90°的圆周角所对的弦是 ．

中考链接：

1、（2015湖南娄底）如图4，在⊙O中，AB为直径，CD为弦，已知∠ACD=40°，则∠BAD=__________度.

- 1 - 圆——基础知识

一、圆的定义：

圆是到定点到距离等于定长的点的集合，此定点为圆心，定长为半径．如图23-1-1，这个以点O为圆心，以OA的长为半径的圆称作“圆O”，记作“⊙O”．

注意：

(1)圆心和半径是确定一个圆的两个必要条件，圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小，二者缺一不可．

(2)圆心相同，但半径不相等的圆称为同心圆；圆心不同，半径相等的圆是等圆．

二、圆的基本元素

1．弦和直径：

连结圆上任意两点的线段叫弦，如图23-1-2中，线段AC、AB、BC都是⊙O的弦，其中AB是直径，直径的是圆中最长的弦．圆心到弦的距离叫此弦的弦心距，如图中的线段OM的长，表示圆心到弦AC的弦心距．

注意：直径是过圆心的弦，凡直径都是弦，但弦不一定都是直径．

2．弧和半圆：

圆心任意两点间的部分叫做弧，弧可分为劣弧、半圆、优弧三种．一条直径把圆分成了两个半圆，大于半圆的弧叫优弧，在表示时必须用三个大写字母表示，如图23-1-3中的优弧，小于半圆的弧叫劣弧，如图中的劣弧．

注意：

(1)弄清半圆与弧之间的关系，半圆是一种特殊的弧，而弧不一定是半圆；

(2)在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧，等弧成立的前提首先是存在于“同圆或等圆中”．

3．圆周角和圆心角．

顶点在圆上，且角的两边都与圆相交的角叫圆周角；顶点在圆心上的角叫圆心角；如图23-1-4中的∠ABC是圆周角，∠AOD是圆心角． - 2 - 注意：圆周角具备两大特征：(1)顶点在圆周上，(2)角的两边都与圆相交，二者缺一不可，如图23-1-4中的∠ABE就不是圆周角．

三、圆的基本性质

1．弧、弦、弦心距与圆心角之间的关系：

圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少度，它都能与自身重合，其旋转中心即为圆心．根据圆的这一特性，可以得出关于“弧、弦、弦心距与圆心角”之间的“等对等”关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等．

初中数学《圆的基本概念和性质》教案

§27.1 圆的基本概念和性质

一、课题 §27.1 圆的基本概念和性质

二、教学目标

1.在同圆或等圆中，等弧与等弦的关系.

2.垂径定理.

三、教学重点和难点

重点：通过探索掌握垂径定理.

难点：垂径定理的应用.

四、教学手段

现代课堂教学手段

五、教学方法

启发式教学

六、教学过程设计

（一）、观察与思考

让学生拿出课前准备的两张半透明的纸，在纸上分别画出半径相等的⊙O1 , ⊙O2及相等的两条弦AB,CD,把两张纸叠放在一起，使⊙O1 ,和 ⊙O2，固定圆心，将一张纸绕圆心旋转适当的角度，使弦AB和CD重合.

让学生观察，讨论，得到什么结论

在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等，相等的弦所对的优弧和劣弧相等.

一起探究

将画有圆(如右图)的纸片对折，探究圆中的相等的线段、弧.

学生操作，交流

得出：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.

通过＂大家谈谈＂进而得出：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.

垂径定理的应用

例：课本第7页以赵州桥背景的题目.

（三）、小结

在同圆或等圆中，等弦和等弧的关系是将圆中的线段和弧建立了关系；垂径定理的应用非常广泛，要注意它的应用.

七、练习设计

P6练习和习题

八、教学后记

后备练习：

1. 如图，已知⊙O的半径 ，弦 的弦心距 ，那么 ______________．

2. 如图，AB是半圆的直径，O是圆心，C是半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于D.若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为 cm．

3. ⊙O的半径为5cm，弦 ， ，则 和 的距离是

Ａ．7cm Ｂ．8cm Ｃ．7cm或1cm Ｄ．1cm

4. 工人师傅为检测该厂生产的一种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图8－1所示的

工件槽，其中工件槽的两个底角均为 ，尺寸如图（单位：cm）．