空间几何体的外接球与内切球问题(学生版)
- 格式：pdf
- 大小：721.27 KB
- 文档页数：7
1空间几何体的外接球与内切球问题
目录
一、必备秘籍
二、典型题型
题型一：内切球等体积法
题型二：内切球独立截面法
题型三：外接球公式法
题型四：外接球补型法
题型五：外接球单面定球心法
题型六：外接球双面定球心法
三、专项训练
一、必备秘籍
1．球与多面体的接、切
定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体
的外接球。
定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多
面体的内切球。
类型一球的内切问题(等体积法)
例如：在四棱锥P-ABCD中，内切球为球O，求球半径r.方法如下：
VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PBC+VO-PCD+VO-PAD+VO-PAB
即：VP-ABCD=1
3SABCD⋅r+1
3SPBC⋅r+1
3SPCD⋅r+1
3SPAD⋅r+1
3SPAB⋅r，可求出r.
类型二球的外接问题
1、公式法
正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点
2、补形法(补长方体或正方体)
①墙角模型(三条线两个垂直)
题设：三条棱两两垂直(重点考察三视图)
2②对棱相等模型(补形为长方体)
题设：三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB=CD，AD=BC，AC=BD)
3、单面定球心法(定+算)
步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥P-ABC中，选中底面ΔABC，确定其外接圆圆
心O1(正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心2r=a
sinA)；
②过外心O1做(找)底面ΔABC的垂线，如图中PO1⊥面ABC,则球心一定在直线(注意不一定在线段
PO1上)PO1上；
③计算求半径R:在直线PO1上任取一点O如图：则OP=OA=R，利用公式OA2=O1A2+OO12可计算出
球半径R.
4、双面定球心法(两次单面定球心)
如图：在三棱锥P-ABC中：
①选定底面ΔABC，定ΔABC外接圆圆心O1
②选定面ΔPAB，定ΔPAB外接圆圆心O2
③分别过O1做面ABC的垂线，和O2做面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球球心O.
二、典型题型
题型一：内切球等体积法
1(22·23
·
全国·专题练习)正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接
球的半径之比为()
3A.1：3B.1：3+3C.3+1：3D.3-1：3
2(22·23下·朔州·阶段练习)正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比
为．
3(23·24上·萍乡·期末)已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正
四面体表面上的一个动点，则PA⋅PB
的取值范围为.
4(22·23上·张家口·期中)球O为正四面体ABCD的内切球，AB=4，PQ是球O的直径，点M在正四
面体ABCD的表面运动，则MP⋅MQ
的最大值为．
5(22·23上·河南·阶段练习)已知正四面体ABCD的棱长为12，球O内切于正四面体ABCD,E,F是
球O上关于球心O对称的两个点，则AE⋅BF
的最大值为.
6(22·23上·扬州·期中)中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四
棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内
切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为．
题型二：内切球独立截面法
1(23·24上·淮安·开学考试)球M是圆锥SO的内切球，若球M的半径为1，则圆锥SO体积的最小值
为()
A.4
3πB.42
3πC.8
3πD.4π
2(22·23下·咸宁·期末)已知球O内切于圆台(即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切)，且圆台的
上、下底面半径r1:r2=2:3，则圆台的体积与球的体积之比为()
A.3
2B.19
12C.2D.19
6
3(22·23·全国·专题练习)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的半径为1，当该圆锥
体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为.
4(23·24上·佛山·开学考试)若圆锥的内切球(球面与圆锥的侧面以及底面都相切)的体积为4π
3，当该
圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为．
5(22·23下·成都·阶段练习)已知圆锥的底面半径为2，高为42，则该圆锥的内切球表面积为.
题型三：外接球公式法
41(16·17·全国·单元测试)若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表
面积为 ()
A.50πB.100πC.150πD.200π
2(22·23·全国·专题练习)设球O是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球O的截
面，则最小截面的面积为()
A.3πB.4πC.5πD.6π
3(14·15上·佛山·阶段练习)正方体的外接球(正方体的八个顶点都在球面上)与其内切球(正方体的六个面都与球相切)的体积之比是．
题型四：外接球补型法
1(23·24上·成都·开学考试)在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=2，PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥
PC,则该三棱锥的外接球的表面积为()
A.43πB.12πC.48πD.323π
2(22·23下·揭阳·期中)在三棱锥S-ABC中，SA=BC=5，SB=AC=41，SC=AB=34，则该
三棱锥的外接球表面积是()
A.50πB.100πC.150πD.200π
3(23·24上·成都·开学考试)已知四面体ABCD满足AB=CD=3，AD=BC=5，AC=BD=2，
且该四面体ABCD的外接球的表面积是()
A.2πB.6πC.6π
11D.4π
4(22·23下·黔西·阶段练习)正三棱锥P-ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外
接球的半径之比为.
5(22·23下·黔西·期中)如图，已知在三棱锥P-ABC中，PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，且PA=
2PB=2PC=2，求该三棱锥外接球的表面积是．
题型五：外接球单面定球心法1(23·24上·汉中·模拟预测)如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC,PA=6,BC=3,∠CAB=
π
6,O为△ABC外接圆的圆心，O为三棱锥P-ABC外接球的球心，OQ⊥PA，则三棱锥P-ABC的外
接球O的表面积为．
5
2(23·24上·秦皇岛·开学考试)三棱锥P-ABC中，AB⊥BC,P在底面的射影O为△ABC的内心，
若AB=4,BC=3，PO=5，则四面体PABC的外接球表面积为.
3(22·23下·石家庄·阶段练习)已知球O是正四面体P-ABC的外接球，E为棱PA的中点，F是棱
PB上的一点，且FC=2EF，则球O与四面体P-EFC的体积比为.
4(22·23下·淄博·期末)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD为等边三角形，平面
PAD⊥平面ABCD，其中AD=2，AB=3，则四棱锥P-ABCD的外接球表面积为.
题型六：外接球双面定球心法
1(22·23上·抚州·期中)已知菱形ABCD的各边长为2,∠D=60°.如图所示，将△ACD沿AC折起，使
得点D到达点S的位置，连接SB，得到三棱锥S-ABC，此时SB=3.若E是线段SA的中点，点F在三棱
锥S-ABC的外接球上运动，且始终保持EF⊥AC则点F的轨迹的面积为.
2(22·23·赣州·模拟预测)如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中AB=4，把
△ADE沿着DE翻折至△ADE的位置，得到四棱锥A-BCED，则当四棱锥A-BCED的体积最大时，四
棱锥A-BCED外接球的球心到平面ABC的距离为.
3(22·23下·湖南·期末)为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材
开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图(一)所示的四
6边形PABC中，AB=BC=2，PA=PC，∠ABC=60°，PA⊥PC.第二步：以AC为折痕将△PAC折起，
得到三棱锥P-ABC，如图(二).第三步：折成的二面角P-AC-B的大小为120°，则活动结束后计算得
到三棱锥P-ABC外接球的表面积为.
三、专项训练
一、单选题
1(22·23下·河南·模拟预测)已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的
表面积为( ).A.16πB.20πC.24πD.25π
2(22·23下·宁德·期中)正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的
最小值为()
A.2π
3B.4π3C.8π
3D.3π
3(23·24上·河北·开学考试)长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面
上，这个球的体积是()
A.1252
3πB.1252πC.50πD.125π
4(22·23下·临夏·期末)已知四棱锥P-ABCD的体积为8
3，侧棱PA⊥底面ABCD，且四边形
ABCD是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为()
A.12πB.8πC.4πD.2π
5(23·24上·广东·阶段练习)如图，在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC的中点，将
△AED，△BEF，△DCF分别沿DE，EF，DF折起，使得A,B,C三点重合于点A，若三棱锥A-EFD的所
有顶点均在球O的球面上，则球O的表面积为()
A.2πB.3πC.6πD.8π
6(23·24上·安徽·开学考试)在封闭的等边圆锥(轴截面为等边三角形)内放入一个球，若球的最大半
径为1，则该圆锥的体积为()
