高二数学平均变化率PPT教学课件
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2.1平均变化率与瞬时变化率(教学课件)——高二数学北师大版(2019)选择性必修第二册
＝10(20＋0.1)＋5(20＋0.1)2－10×20－5×202
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
Δs 21.05
＝
＝210.5(m/s)．
Δt
0.1
Δs 10 20+Δt +5 20+Δt 2 −10×20−5×202
(2)∵ ＝
＝5Δt＋210，
Δt
Δt
Δs
当Δt趋于0时， 趋于210，
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
答案：D
Δs 5−3 1+Δt 2 − 5−3
解析： ＝
Δt
Δt
故选D.
＝－6－3Δt.
3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
2
100＋
，其中x为产量数，
1200
19
12
生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
§1 平均变化率与瞬时变化率
要点一 平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)
−
−
变为f(x2)，它的平均变化率为___________．通常我们把自变量的变
x2－x1
改变量
化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化
Δy 2Δx+ Δx 2
∴ ＝
＝2＋Δx.
Δx
Δx
故选C.
)
题型二 平均变化率的实际应用
例2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试
比较两人的速度哪个快？
解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，
＝1＋20＋5×0.01＝21.05(m)，
Δs 21.05
＝
＝210.5(m/s)．
Δt
0.1
Δs 10 20+Δt +5 20+Δt 2 −10×20−5×202
(2)∵ ＝
＝5Δt＋210，
Δt
Δt
Δs
当Δt趋于0时， 趋于210，
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
答案：D
Δs 5−3 1+Δt 2 − 5−3
解析： ＝
Δt
Δt
故选D.
＝－6－3Δt.
3．设某产品的总成本函数为C(x)＝1
2
100＋
，其中x为产量数，
1200
19
12
生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为________．
§1 平均变化率与瞬时变化率
要点一 平均变化率
对一般的函数y＝f(x)来说，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)
−
−
变为f(x2)，它的平均变化率为___________．通常我们把自变量的变
x2－x1
改变量
化________称作自变量x的________，记作________，函数值的变化
Δy 2Δx+ Δx 2
∴ ＝
＝2＋Δx.
Δx
Δx
故选C.
)
题型二 平均变化率的实际应用
例2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示，试
比较两人的速度哪个快？
解析：在t0处，s1(t0)＝s2(t0)，
《函数的平均变化率》课件
在投资决策中，平均变化率可以帮助投资 者评估投资标的的潜在收益和风险。
平均变化率在物理学中的应用
速度和加速度的测量
在物理学中，平均速度和平均 加速度是通过计算位移和时间
的平均变化率来定义的。
热传导研究
在研究热传导的过程中，材料 的热容和导热系数可以通过测 量温度随时间的变化率来计算 。
波动现象
在波动现象的研究中，波的传 播速度是通过测量波峰或波谷 随时间的变化率来定义的。
02
平均变化率是函数在区间上的整 体表现，反映了函数值随自变量 变化的平均速度。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具。
通过比较不同区间的平均变化率，可 以了解函数在不同区间上的表现，从 而对函数的整体性质有更深入的理解 。
平均变化率的计算方法
复杂函数的平均变化率计算
总结词
掌握复杂函数的平均变化率计算技巧。
详细描述
对于复杂的函数，如多项式函数、三角函数等，其平均变化率的计算需要更高级的技巧。通过具体的计算实例， 可以掌握如何处理复杂函数的平均变化率计算，并理解其在实际问题中的应用。
实际问题的平均变化率计算
总结词
将平均变化率应用于实际问题中。
在优化问题中，平均变化率可 以帮助我们找到函数的极值点
，从而找到最优解。
平均变化率在经济学中的应用
经济预测
成本分析
通过分析经济数据的平均变化率，可以预 测未来的经济走势。
在成本分析中，平均变化率可以帮助我们 了解成本随时间的变化趋势，从而制定出 更合理的成本控制策略。
供需关系
投资决策
平均变化率可以用来分析供需关系的变化 ，从而帮助企业做出更合理的生产和销售 决策。
《函数平均变化率》课件
函数平均变化率的性质
函数平均变化率与函数的斜率有着密切的关系，我们将深入探讨这一性质。此外，我们还将讨论函数平 均变化率是否具有单调性。
实际应用
函数平均变化率在实际应用中具有广泛的用途。我们将通过两个应用案例来探讨其在统计个人收入变化 率和计算公司股价变化率中的应用。
如何优化平均变化率
优化平均变化率的计算结果需要考虑统计样本的影响，并学习如何剔除异常 值。这将使我们能够得到更准确的结果。
结论
函数平均变化率在数据分析中起着重要的作用。我们将总结其意义，并探讨 其在数据分析中的实际应用。
参考文献
为了更深入地了解函数平均变化率，我们准备了一些参考文献，供您进一步 研究和学习。
《函数平均变化率》PPT 课件
欢迎来到《函数平均变化率》课件！在本课程中，我们将探讨函数平均变化 率的概念、计算变化率是指函数在某个区间内的平均变化速度。我们将介绍它的定 义以及一些常见的应用场景。
如何计算函数平均变化率
函数平均变化率可以通过使用定义公式来计算。我们将提供详细的计算示例， 帮助您更好地理解计算过程。
6.1.1函数的平均变化率课件高二下学期数学人教B版选择性
C.0.41
(3+2.12 )-(3+22 )
解析:平均速度为
=4.1.
0.1
答案:B
D.3
3.某手机配件生产流水线共有甲、乙两条,产量s(单位:个)与时间t(单位:天)
的关系如图所示,则接近t0天时,下列结论正确的是(
A.甲的日生产量大于乙的日生产量
B.甲的日生产量小于乙的日生产量
C.甲的日生产量等于乙的日生产量
均变化率是多少呢?你能估计出当x=2时y的值吗?
Δ 9-1
提示: Δ = 3-1 =4.直线AB的方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3.当x=2时,y=5,故估
计y的值为5.
四、平均速度与平均变化率
1.如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h(t),则物体在[t1,t2](t1<t2时)
Δ (2 )-(1 ) (1 +Δ)-(1 )
=
=
表示的是什么吗?
Δ
Δ
2 -1
提示:直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).
2.函数在一个区间内的平均变化率,等于这个区间端点对应的函数图象上
两点连线的 斜率 .如图,函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率,等于直线
Δ (4.1)-(4) 40.92-39
(2)Δ =
=
=19.2,
4.1-4
4.1-4
即 f(x)在区间[4,4.1]上的平均变化率为 19.2.
探究二
平均变化率的物理意义及应用
【例2】 已知一物体运动的位移s(单位:m)是时间t(单位:s)的函数,且当t=3
时,s=29;当t=5时,s=77.
平均变化率 课件
1 2 1 2 ������ ×3 . 1 ������ ×3 2 2 =29.89(m/s).
1 2
.(g 取 9.8
=
0. 1
答案:29.89 m/s
-18-
3.2 双曲线的简单性质
目标导航
知识梳理
典型透析
随堂演练
1
2
3
4
5
5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图,试指出哪一个厂 治污效果较好.
易错辨析 易错点 不理解平均变化率的概念而致误 【例 3】 若函数 f(x)=x2-1,其图像上点 P(2,3)及其邻近点
Q(2+Δx,3+Δy),则 =( ) Δ������ A.4Δx+(Δx)2 B.4Δx C.4+Δx D.Δx 错解:∵3+Δy=(2+Δx)2-1=4+4Δx+(Δx)2-1, ∴Δy=4Δx+(Δx)2.故选 A. 错因分析:因对平均变化率的概念理解不透彻而导致求解错误 , 其实,平均变化率就是 的值. 正解:∵Δy=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,
典型透析
随Байду номын сангаас演练
函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为 量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自 变量的改变量之比,即
目标导航
知识梳理
典例透析 典型透析
随堂演练
【变式训练1】 求函数y=-2x2+3在区间[2,2+Δx]内的平均变化率, 1 并求当 Δx= 时平均变化率的值 . 2
1 2
.(g 取 9.8
=
0. 1
答案:29.89 m/s
-18-
3.2 双曲线的简单性质
目标导航
知识梳理
典型透析
随堂演练
1
2
3
4
5
5.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图,试指出哪一个厂 治污效果较好.
易错辨析 易错点 不理解平均变化率的概念而致误 【例 3】 若函数 f(x)=x2-1,其图像上点 P(2,3)及其邻近点
Q(2+Δx,3+Δy),则 =( ) Δ������ A.4Δx+(Δx)2 B.4Δx C.4+Δx D.Δx 错解:∵3+Δy=(2+Δx)2-1=4+4Δx+(Δx)2-1, ∴Δy=4Δx+(Δx)2.故选 A. 错因分析:因对平均变化率的概念理解不透彻而导致求解错误 , 其实,平均变化率就是 的值. 正解:∵Δy=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,
典型透析
随Байду номын сангаас演练
函数的平均变化率 对于函数 y=f(x),当自变量 x 从 x1 变为 x2 时,函数值从 f(x1)变为 f(x2),它的平均变化率为 量的改变量,记作 Δx,函数值的变化 f(x2)-f(x1)称作函数值的改变量, 记作 Δy.这样,函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自 变量的改变量之比,即
目标导航
知识梳理
典例透析 典型透析
随堂演练
【变式训练1】 求函数y=-2x2+3在区间[2,2+Δx]内的平均变化率, 1 并求当 Δx= 时平均变化率的值 . 2
【教育课件】苏教版选修2-2高中数学1.1.1《平均变化率》课件ppt.ppt
做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数 s ＝s(t)描述，设 Δt 为时间改变量，在 t0＋Δt 这段时间内，物 体的位移(即位置)改变量是 Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)，那么位移改 变量 Δs 与时间改变量 Δt 的比就是这段时间内物体的平均速 度 v ，即 v ＝ΔΔst＝st0＋ΔΔtt－st0.
【变式2】 求下列函数在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率． (1)f(x)＝ax＋b(a≠0)；(2)f(x)＝x3.
解 (1)平均变化率ΔΔyx＝fx0＋ΔΔxx－fx0 ＝ax0＋Δx＋Δbx－ax0＋b＝a； (2)函数 f(x)＝x3 在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 fx0＋ΔΔxx－fx0＝x0＋ΔΔxx3－x03 ＝x30＋3x20Δx＋3x0ΔΔx x2＋Δx3－x03＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2.
题型二 求函数的平均变化率
【例2】 已知函数f(x)＝x2＋x，分别计算f(x)在区间[1,3]， [1,2]，[1,1.5]上的平均变化率． [思路探索] 利用求函数平均变化率的步骤求解．
解
函数
f(x)
在
区
间
[1,3]
上
的
平
均
变
化
率
为
f3－f1 3－1
＝
32＋3－212＋1＝5，
函数
题型一 求运动物体的平均变化率 【例 1】 已知自由落体的运动方程为 s＝12gt2，求：
(1)物体在 t＝3 s 到 t＝3.1 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在 到 t0＋Δt 这段时间内的平均速度． [思路探索] 物体在某一段时间内的平均速度 v 即为位移 s 对 于时间 t 的平均变化率．
题型三 平均变化率的实际应用
高中数学人教A版选修2-2 1.1.1 平均变化率课件(20张)
平均变化率趋近于2
问题：
设函数 y = f(x)，当自变量 x 由 x0 改变到 x 0 x 时， 函数的增量 y 等于（ A． f ( x 0 x ) C． f ( x 0 ) x)
11 8.6 6.5 3.5
o
3 6
12 t/月
[问题8] 本例中两个平均变化率的数值不同的实际意
义是什么？
[练习1] 如图，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s t 3）， 后容器甲中水的体积V（ｔ）＝5 20.1 （单位： cm 试计算第一个10s内V的平均变化率。 解：在第一个 10 秒内，体积 V的平均变化率为 V (10) V (0) 即第一个10s内容器甲中水的体 积V的平均变化率为－0．25 3 （ cm ／ｓ）。
气温曲线
o
1
32 34
t /d
[问题7] 你能发现“平均变化率的数值”和“曲线的陡 峭程度”以及“气温变化的速度”之间有什么样的对应 关系吗？
如图，分别计算曲线在区间[1，2]和[2，4]上 的平均变化率。
y 6
曲线在区间[1，2] 上 的平均变化率为-3； 曲线在区间 [2，4]上 1 的平均变化率为 。 2
[情境2] 某 市2004年3 月18日到4 月20日期间 的日最高气 温记载.
T/oC 33.4
时间
日最高气温
3月18日 4月18日 4月20日 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃ 联想 直线？
气温变化慢 气温变化快 C(34,33.4) B(32,18.6)
陡 峭 yC-yB
3 2
o
1
2
4
x
[结论] 平均变化率的绝对值越大，曲线越陡峭， 变量变化的速度越快。
问题：
设函数 y = f(x)，当自变量 x 由 x0 改变到 x 0 x 时， 函数的增量 y 等于（ A． f ( x 0 x ) C． f ( x 0 ) x)
11 8.6 6.5 3.5
o
3 6
12 t/月
[问题8] 本例中两个平均变化率的数值不同的实际意
义是什么？
[练习1] 如图，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s t 3）， 后容器甲中水的体积V（ｔ）＝5 20.1 （单位： cm 试计算第一个10s内V的平均变化率。 解：在第一个 10 秒内，体积 V的平均变化率为 V (10) V (0) 即第一个10s内容器甲中水的体 积V的平均变化率为－0．25 3 （ cm ／ｓ）。
气温曲线
o
1
32 34
t /d
[问题7] 你能发现“平均变化率的数值”和“曲线的陡 峭程度”以及“气温变化的速度”之间有什么样的对应 关系吗？
如图，分别计算曲线在区间[1，2]和[2，4]上 的平均变化率。
y 6
曲线在区间[1，2] 上 的平均变化率为-3； 曲线在区间 [2，4]上 1 的平均变化率为 。 2
[情境2] 某 市2004年3 月18日到4 月20日期间 的日最高气 温记载.
T/oC 33.4
时间
日最高气温
3月18日 4月18日 4月20日 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃ 联想 直线？
气温变化慢 气温变化快 C(34,33.4) B(32,18.6)
陡 峭 yC-yB
3 2
o
1
2
4
x
[结论] 平均变化率的绝对值越大，曲线越陡峭， 变量变化的速度越快。
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3.1.1平均变化率
法国《队报》网站的文章称刘翔以不可思议的速度统治 了赛场。这名21岁的中国人跑的几乎比炮弹还快，赛道 上显示的12.94秒的成绩已经打破了12.95奥运会记录,但 经过验证他是以12.91秒平了世界纪录，他的平均速度 达到8.52m/s。
平均速度的数学意义是什么 ?
现有深圳市2007年3月和4月某天日最高气温记 载
30
34 t(d)
1、平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [x1, x2]的平均变化率为
f (x1)f (x2) x1x2
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭 程
度是平均变化率“视觉化”．
例1、在经营某商品中，甲用5年时 间挣到10万元，乙用5个月时间挣 到2万元，如何比较和评价甲、乙 两人的经营成果？
时间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃
“气温陡增”这一句生活用语，用数学方法如何刻
画?
T (℃) 30
20
10 A (1, 3.5)
2
02
10
联想 直线
C (34, 33.4)
K=7.4
B (32, 18.6)
K=0.5
20
解:甲: 10 1,乙:2,12 125 6 5 6 5
乙的经营效果 . 较好
例2、已知函数 f( x ) 2 x 1 ,g ( x ) 2 x , 分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
上 f (x)及 g(x) 的平均变化率。
由本例得到什么结论? 一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的 平均变化率就等于k.
1、 已知函数f(x)3x1，分
别计算 f (x) 在下列区间上的平
均变化率：
（1）[-1，2]；
（2）[-1，1]；
（3）[-1，-0.9]；
1、 已知函数 f(x)x2，分别计
算 f (x)在下列区间上的平均变化
率： （1）[1，3]；
（2）[1，2]；（3）[1，ຫໍສະໝຸດ .1]（4）[1，1.001]