关于,π-左零半群的结构及其同余格
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关 于 ‘左零 半群 的结构 及 其 同余 格 ＂‘ Ｉ‘ Ｔ。
罗 肖强
（ 四川文理学院 数学系， 四川 达州 ６ ５０ ） ３００
Байду номын сангаас
【 要】 摘 通过研究叮 左零半群的结构， ｒ一 利用所得的结论证明： ｓ 若 是有限 叮一左零半群 Ｉ（） ≤ ， ｒ Ｅ ＳＩ ４则
Ｃ Ｓ 是半模格。 （）
【 关键词】ｒ 左零半群 ； 叮一 同余格； 半模格 ［ 中图分类号］ １２７ Ｏ ５ ． ［ 文献标识码】 Ａ ［ 文章编号】０８ ４８ （０７ ０ － ０８－ ２ １０ — ８６ ２０ ）５ ０ ０ ０
又由． （ ）：（ ） ， 知 口： Ⅱ 口 Ⅱ 口＝ 可 。 由此 可 见对 于 上 面规 定 的运算 是半群 ， 个半 群记 为（ Ｅ 。 这 Ⅳ， 引理 １． （ Ｅ 是 仃 一左零 半群 。 ３ Ⅳ， 证 明 从运 算 定义 （ ） （ ） 见 Ｅ是 ．的理 想 ， １ 、２ 可 ｓ 因 此 Ｅ是 ． ｓ 的左 零理 想 ， ｏ ∈Ｑ 因为 Ｎ是 幂零半 群 ， 有 设 ， 则 正 整数 １ ｏ ： ， １是适 合此 性 质 的最小 正整 数 ， １ ０令 １ ， 使 ， 则 口 ’ ≠０ 因而 口・ …口（， 口 １一１次 ）＝口 ～， １ 又有 口 ・ 口∈Ｅ。 故 ｏ・ … ｏ（， ） ∈Ｅ 故 ． ｏ １次 １ ， ｓ是 的 幂 零 扩 张 。 因 而 （ Ｅ 是 仃 一左零 半群 。 Ⅳ，
ＸＯ ，＝ ０
设． 仃 一 ｓ 是 左零半群 ， Ｎ： ＳＥ Ｓ ， Ｅ Ｓ ， Ⅳ 令 ／ （ ）Ｅ： （ ）则 和 Ｅ各为幂零半群及左零半群 ， Ｎ： ．— （ ） 因为 （ Ｅ ． ）ｕ｛ ｝ ｓ ｓ ０， 故 Ⅳ一｛ ｝ ． Ｅ ． 是 相 等的集 合 ， ０ 和 ｓ （） — ｓ 因而 （ 一｛ ｝ ｕＥ Ⅳ ０） 和 ．是相 等的集 合。仃 一 ｓ 左零半 群和 （／ （ ）Ｅ Ｓ ） ＳＥ Ｓ ， （ ） 是 同 构 的 ， 很 显 然 ， 里 就不 证 明了 。 由此 有 下 面结 这 这 论： ． 定理 １ 仃一 ． ４ 左零半群 ． ｓ 必同构于（／ （ ）， （） ） ＳＥ Ｓ Ｅ Ｓ 其中．的作用如下： ｏ Ｓ Ｅ ｓ Ｅ Ｓ 则 ｆ ａ ： 厂 设 ∈ － （），∈ （ ）， （） 托
，
１ 构造
半群 ． ｓ称为 仃 一左 零半群 ， 果 ． 如 ｓ是左零 半群 的幂零 扩张， 即存在 ． ｓ的左 零理 想 ， 对于 任意 ∈Ｓ有 正整 数 ｎ 使 （ ） Ｋ ∈ 。 ’
引理 １１ 设 ． 仃 一 ． ｓ 是 左零半群 ， （ ） ．的幂等元 Ｅ．是 ｓ ｓ 的集合 ， （ ） （ ） ．的 理想 ， 的幂 等元 是 ．的 左零 则 １Ｅ ． 是 ｓ ｓ ． ｓ ｓ 元 ， 是 Ｅ ． 的幂 零扩 张 ； （ ） 的同态 象 ．也 是 仃 一 ． ｓ （） ｓ ２． ｓ ｓ 左 零半群 。 证明 （） ． １设 ｓ 是左零 理想 的 幂零 扩张 ， ∈ 因 若 Ｋ， 为 是 的左零元 ， 故 ： 因而 ∈Ｅ（ ） 故 Ｅ ． ， Ｓ， （ ） ｓ 设 ｅ ＥＳ ， ∈ （ ）则有 ｎ使 ｅ Ｋ ， ∈ 因为 ｅ ＝ 故 ｅ Ｋ ， ｅ， ∈ 因而 Ｅ（ ） ， 就证 明 了 Ｅ（ ）：Ｋ ； Ｅ（ ） 理想 且 ． ． 这 ｓ Ｓ 故 ．是 ｓ ｓ是 Ｅ（ ） ． 的幂零扩 张 ， ｅ ｓ 设 ∈Ｅ（ ） ∈ Ｓ 则 ｘ ∈Ｅ（ ） 因此 Ｓ， ， ｅ Ｓ， （ｅｅ ） ：ｅ即 ｅ： ， ｅ ． ｅ 故 是 ｓ的左 零元 。 （） ２ 设 ． ｓ 是满 同态 ， Ｋ ： Ｋ ， ｓ 一． 令 ）则 是 ．的 ｓ 理想 ， 为 是左零 半群 ， 因 故 也是 左零 半 群 。设 Ｙ ’ ∈Ｓ， 则有 ∈ 使 ） Ｙ设 ∈ ， Ｓ ： ， Ｋ 则 ＝（（ ） ） 厂 ） ＝ ∈厂Ｋ）： ， ． 是 的幂零 扩张 ， （ Ｋ 故ｓ 因此 ．是 仃 一左零 ｓ 半群 。 例 设 Ｎ是幂 零半群 ， Ｅ是 左零 半 群 。Ｔ（ 是 Ｅ上 Ｅ） 所有左 变换组成 的半群 ， 存在 由 Ｑ＝ 假设 Ｎ一｛ ｝ Ｔ Ｅ ０到 （ ） 的 映射，， 得对 于任 意 ｏ ｂ ∈Ｑ， ａ 使 、 当 ｂ∈Ｑ ａ ≠ ０ 时 （ｂ ） ｏ ｂ 厂 ａ ） 当 ａ ） ）＝ （ ｂ ， ｂ隹Ｑ（ ｂ： ） 厂 ｏ ｂ 是 常变 ａ ０时 （） ） 换 ∈ Ｅ） 即对 于任 意 ｕ∈ Ｅ有 ｏ ｂ ：ｕ ： （ ， ） ） 。 在上 述假定下 ， ．是 Ｑ与 Ｅ的不相 交并 ， 令ｓ 并在 Ｓ Ｑｕ Ｅ ： 中定义运算如 下 ： （） １ 设 、 ∈ Ｅ， Ｙ 令 ・ Ｙ＝Ｙ； ２） （ 设 ∈Ｅ、 口∈Ｑ ， 令 口・ ＝ ・ 厂口 ；３ 设 口 ｂ ， ａ ≠０， 口 ・ ， 口 （ ） （） ，∈Ｑ 若 ｂ 令 ｂ ＝ ｂ； ａ ： 令 口・ ＝ 其 中元 素 使 口 ： 。 ａ 若 ｂ ０， ｂ ， ） ｘ 我们来 证明上 述运算适 合结 合律 （ ）・ ＝ （ ｕ・ ｓ ｕ・ ・ ） ＶⅡ ，∈ ）， １ 及 （ ） 以看 出 Ｅ的元 素 是左 ５ （ ， ５ Ｓ 由（ ） ２ 可 零 元且 似 ∈ （ ∈ ， ∈ｐ ， Ｅ Ｖ Ｅ 口 ） 因此 当 ∈Ｅ或 ５ Ｅ时结 ∈ 合 律显然成立 ， 下情形 的检验需 利用 下面 的结论 。 剩 引理 １２ 设 口是 Ｅ的左 变 换 ， ． ∈Ｅ， 有 ＝口 则 ，
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第ｌ ７卷第 ５期
四川 文理学 院学报 （ 自然 科学 ）
２０ ０ ７年 ９月
Ｓｐ ２０ ｅ．０７
Ｖ １１ Ｎ ． Ｓｃ ｕ ｎ Ｕ ｉｅｓ ｙｏ ｔ ａ ｄＳ ｉｎ ｅＪ ｕ ｎ ｌＮａｕ ａ ｃ ｎ ｅＥ ｉｏ ） ｏ． ７ ｏ５ ｉｈ ａ ｎｖ ｒｉ ｆ ｓ ｎ ｃ ｃ ｏ ｒ ａ （ ｔｒ ｌ ｉ ｃ ｄｔ ｎ ｔ Ａｒ ｅ Ｓｅ ｉ
