椭圆综合专题整理
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精心整理 2 、已知 椭圆两焦点 F1 、 F2 在 y 轴上，短轴长为 2 2 ，离心率为 2 ， P 是椭圆在第一象限弧上一
2
点，且 PF1 PF2 1，过 P 作关于直线 F1P 对称的两条直线 PA、PB 分别交椭圆于 A、 B 两点。求：
（1）求 P 点坐标；（ 2 ）求证直线 AB 的斜率为定值；
（1 ）求椭圆 E 的标准方程；
（2 ）对于 x 轴上的点 P(t,0) ，椭圆 E 上存在点 M ，使得 MP MH 求 t 的取值范围 .
x2 y2
2
11. 已知椭圆 C : a2
b2
1 (a
b
0) 的离心率为 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆 2
与直线 x y 2 0 相切．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
1中
3
得 (1 3k 2) x2 6k 2x 3k2 5 0 36 k 4 4(3k 2 1)(3k 2 5) 48k 2 20 0 ，
x1 x2
6k 2
3k2
， x1x2 1
3k 2 5 3k 2 1
所以 MA MB
( x1
7 , y1)( x2
7 , y2 )
( x1
7 )( x2
7 )
y1 y2
的。
（1 ）直线恒过定点问题 1 、已知点 P( x0, y0) 是椭圆 E : x2 y2 1 上任意一点，直线 l
2 x0 x y0 y 1，直线 l0 过 P 点与直线 l 垂直，点 M （-1 ，0 ） 2
点为 N ，直线 PN 恒过一定点 G，求点 G 的坐标。
的方程为 关于直线 l0 的对称
3
3
3
3
3k4 16k2 3k 2 1
5 49 9
5. 根据条件重转化； 常有以下类型：
①“以弦 AB 为直径的圆过点 0”（ 提醒： 需讨论 K 是否存在）
②“点在圆内、圆上、圆外问题”
“直角、 锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题”
x1x2 y1 y2 0 >0 ；
③“等角、角平分、角互补问题”
斜率关系（ K 1 K 2 0 或 K 1 K 2 ）；
在圆
2
x
2
y
1
上运动时。
（I）求点 M 的轨迹 C 的方程； （Ⅱ）过点 T (0, t)作圆 x2 y2 1的切线 l 交曲线 C 于
面 积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标。
x2 14 、已知椭圆 G :
y2
1 .过点 (m,0) 作圆
4
A ，B 两点，求△AOB
2
x
2
y
1的切线 l 交
椭圆 G 于 A,B 两点 .将 | AB| 表示为 m 的函数，并求 |AB| 的最大值 .
Байду номын сангаас
（1）求椭圆的方程
（ 2）设直线 y kx m(k 0) 与椭圆相交于不同的两点
M , N .当
| AM | | AN |时，求 m 的取值范围 . 9.如图所示， 已知圆 C : ( x 1) 2 y2 8,定点 A(1,0), M 为圆
上一动点，点 P
在 AM 上，点 N 在 CM 上，且满足 AM 2 AP, NP AM 0,点 N 的轨迹为曲线 E .
(2) 利用题中其他变量的范围，借助于方程产生参变量的函数表达式 ,确定参数的取值范围 .
6、已知点 M (4, 0) ， N (1, 0) ， 若动点 P 满足 MN MP 6| PN |．
（Ⅰ）求动点 P 的轨迹 C 的方程；
（Ⅱ）设过点 N 的直线 l 交轨迹 C 于 A ， B 两点，若
18 ≤ NA NB ≤
（ I）求曲线 E 的方程；
（II）若过定点 F（ 0， 2 ）的直线交曲线 E 于不同的两
点 G , H （点 G 在点 F , H 之 间），且满足 FG FH ，
求 的取值范围 .
10 、.已知椭圆 E 的中心在坐标原点 O ，两个焦点分别为 A( 1,0) 、 B(1,0) ，一个顶点为 H (2,0) .求：
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2k (k 2)
k 2 2 2k 2
设 B (xB , yB ), 则 xB
2 k2
1
2 k2
k2 2 2k 2
4 2k
同理可得 xA
2 k2
，则 xA xB 2 k 2
所以直线 AB 的斜率 kAB
yA yB xA xB
2 为定值。
x2 3 、解 :将 y k( x 1) 代入
5
y2 5
值为 1．
精心整理 （Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程； （Ⅱ）若直线 l : y kx m 与椭圆 C 相交于 A ， B 两点（ A， B 不是左右顶点），且以 AB 为直径的 圆过椭圆 C 的右顶点，求证：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标． 4. 如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 M （2，1 ）， 平行于 OM 的直线 l 在 y 轴上的截距为 m （m ≠0 ）， l 交椭圆于 A、B 两个不同点。
2
2
3 、已知动直线 y k( x 1) 与椭圆 C : x 5
y 5
1 相交于 A 、B 两点 ,已知点 M ( 7 ,0) ，求证：MA MB 3
3
为定值 .
x2 4 、在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C :
y2
1 .如图所示，
3
斜率为 k(k＞0) 且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A ，B 两点，线段 AB
（Ⅱ）若过点 M (2 ，0) 的直线与椭圆 C 相交于两点 A, B ，设 P 为椭圆上一点，且满足
OA OB tOP （O 为坐标原点），当 PA PB ＜ 2 5 时，求实数 t 取值范围．
3
椭圆中的最值问题
一、常见基本题型： （1 ）利用基本不等式求最值，
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12 、已知椭圆两焦点 F1 、 F2 在 y 轴上，短轴长为 2 2 ，离心率为
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椭圆专题总结
一、直线与椭圆问题的常规解题方法 :
1. 设直线与方程； （提醒 ：①设直线时分斜率存在与不 - 存在；②设为 y=kx+b 与 x=my+n 的区别）
2. 设交点坐标； （提醒 :之所以要设是因为不去求出它 ,即“设而不求”）
3. 联立方程组；
4. 消元韦达定理； （提醒：抛物线时经常是把抛物线方程代入直线方程反而简单 ）
n
x0
m1 则
2y0
m1 2y0 2
x0n 2
x0 y0
，解得 0
m n
2x03
3x02 4 x0 x02 4
2x04 4x0 3 4x0 2 2 y0(4 x02)
4 8x0
直线 PN 的斜率为 k n y0 m x0
x04 4x03 2x02 8x0 8 2 y0 ( x03 3x02 4)
从而直线 PN 的方程为： y y0
（2 ）若动圆 M 和（ 1）中所求轨迹 C 相交于不同两点 A, B ，是否存在一组正实数 m, n, r ，使得直线
MN 垂直平分线段 AB ，若存在，求出这组正实数；若不存在，说 明理由．
3 、已知椭圆 C 的中心在坐标原 点，焦点在 x 轴上，椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为 3 ，最小
24
2
4 从而
y02
2
(2
y02 )
1 ，得 y0
2 ，则点 P 的坐标为 (1, 2) 。
（2 ）由（ 1）知 PF1 // x 轴，直线 PA 、PB 斜率互为相反数，
设 PB 斜率为 k (k 0) ，则 PB 的直线方程为： y 2 k( x 1)
y 由 x2
2
2 k (x 1)
y2 1
4
得 (2 k 2 ) x2 2k ( 2 k )x ( 2 k )2 4 0
12 ，求直线 l 的斜率的取值
7
5
范围 .
精心整理 (3) 利用基本不等式求参数的取值范围 7、已知点 Q 为椭圆 E ： x2 y2 1上的 一动点，点 A 的坐标为 (3,1) ，求 AP AQ 的取值范围．
18 2
8.已知椭圆的一个顶点为 A(0, 1) ，焦点在 x 轴上 .若右焦点到直线 x y 2 2 0的距离为 3.求：
过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解
.
(1) 从直线和二次曲线的位置关系出发，利用判别式的符号，确定参数的取值范围。 5 、已知直线 l 与 y 轴交于点 P(0, m) ，与椭圆 C : 2x2 y 2 1交于相异两点 A 、B，且 AP 3PB ，求
m 的取值范围．
轴负半轴的交点，且 | DP | | DQ | .求实数 t 的取值范围．
2. 已知圆 M ： ( x
2
m)
2
( y n)
2
r 及定点 N (1,0) ，点 P 是圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 G 在 MP
上， 且满足 NP ＝ 2 NQ ， GQ ·NP ＝ 0 ．
（1）若 m 1,n 0, r 4 ，求点 G 的轨迹 C 的方程；
④“共线问题”
（如： AQ QB 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）；
（如 ：A 、O 、B 三点共线 直线 OA 与 OB 斜率相等）；
⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；
⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（ 提醒 ：注意两个面积公式的
合理选择）；
6. 化简与计算；
7. 细节问题不忽略；
思维拓展训练
