事件的独立性与条件概率专题

高考数学总复习考点知识与题型专题讲解§10.5事件的相互独立性与条件概率、全概率公式考试要求1.了解两个事件相互独立的含义.2.理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．知识梳理1．相互独立事件(1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)·P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．(2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．2．条件概率(1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝P(AB)P(A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率．(2)两个公式①利用古典概型：P(B|A)＝n(AB) n(A)；②概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)．3．全概率公式一般地，设A1，A2，…，A n是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪A n＝Ω，且P(A i)>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，有P (B )＝∑i ＝1nP (A i )P (B |A i )． 常用结论1．如果事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)P (A 2)…P (A n )．2．贝叶斯公式：设A 1，A 2，…，A n 是一组两两互斥的事件，A 1∪A 2∪…∪A n ＝Ω，且P (A i )>0，i ＝1,2，…，n ，则对任意的事件B ⊆Ω，P (B )>0，有P (A i |B )＝P (A i )P (B |A i )P (B )＝P (A i )P (B |A i )∑k ＝1n P (A k )P (B |A k )，i ＝1,2，…，n . 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( × )(2)若事件A ，B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )．( √ )(3)抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”为事件A ，“第2枚正面朝上”为事件B ，则A ，B 相互独立．( √ )(4)若事件A 1与A 2是对立事件，则对任意的事件B ⊆Ω，都有P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)．( √ ) 教材改编题1．甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为12，23，则谜题没被破解出的概率为( )A.16 B.13 C.56D．1答案 A解析设“甲独立地破解出谜题”为事件A，“乙独立地破解出谜题”为事件B，则P(A)＝12，P(B)＝23，故P(A)＝12，P(B)＝13，所以P(A B)＝12×13＝16，即谜题没被破解出的概率为1 6.2．在8件同一型号的产品中，有3件次品，5件合格品，现不放回地从中依次抽取2件，在第一次抽到次品的条件下，第二次抽到次品的概率是()A.128 B.110 C.19 D.27答案 D解析当第一次抽到次品后，还剩余2件次品，5件合格品，所以第二次抽到次品的概率为2 7.3．智能化的社区食堂悄然出现，某社区有智能食堂A，人工食堂B，居民甲第一天随机地选择一食堂用餐，如果第一天去A食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.6；如果第一天去B食堂，那么第二天去A食堂的概率为0.5，则居民甲第二天去A食堂用餐的概率为________．答案0.55解析由题意得，居民甲第二天去A食堂用餐的概率P＝0.5×0.6＋0.5×0.5＝0.55.题型一相互独立事件的概率例1(1)(2021·新高考全国Ⅰ)有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则()A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立答案 B解析事件甲发生的概率P(甲)＝16，事件乙发生的概率P(乙)＝16，事件丙发生的概率P(丙)＝56×6＝536，事件丁发生的概率P(丁)＝66×6＝16.事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为16×6＝136，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为16×6＝136，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．(2)(2023·临沂模拟)“11分制”乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，若甲先发球，两人又打了2个球后该局比赛结束的概率为________；若乙先发球，两人又打了4个球后该局比赛结束，则甲获胜的概率为________.答案0.50.1解析记两人又打了X个球后结束比赛，设双方10∶10平后的第k个球甲获胜为事件A k(k＝1,2,3…)，则P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(AA2)＝P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A2)1＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.由乙先发球，得P(X＝4且甲获胜)＝P(A1A2A3A4)＋P(A1A2A3A4)＝P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)＋P(A1)P(A2)P(A3)·P(A4)＝0.4×0.5×0.4×0.5＋0.6×0.5×0.4×0.5＝0.1.思维升华求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)相互独立事件同时发生的概率等于他们各自发生的概率之积．(2)当正面计算较复杂或难以入手时，可从其对立事件入手计算．跟踪训练1小王某天乘火车从重庆到上海，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8,0.7,0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列火车正点到达的概率；(2)这三列火车恰好有一列火车正点到达的概率；(3)这三列火车至少有一列火车正点到达的概率．解用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则P(A)＝0.8，P(B)＝0.7，P(C)＝0.9，所以P(A)＝0.2，P(B)＝0.3，P(C)＝0.1.(1)由题意得A，B，C之间相互独立，所以恰好有两列火车正点到达的概率为P1＝P(A BC)＋P(A B C)＋P(AB C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)恰好有一列火车正点到达的概率为P2＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A B C)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.(3)三列火车至少有一列火车正点到达的概率为P3＝1－P(A B C)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.题型二条件概率例2(1)(2022·哈尔滨模拟)七巧板是中国民间流传的智力玩具．据清代陆以湉《冷庐杂识》记载，七巧板是由宋代黄伯思设计的宴几图演变而来的，原为文人的一种室内游戏，后在民间逐步演变为拼图版玩具．到明代，七巧板已基本定型为由如图所示的七块板组成：五块等腰直角三角形(其中两块小型三角形、一块中型三角形和两块大型三角形)、一块正方形和一块平行四边形，可以拼成人物、动物、植物、房亭、楼阁等1 600种以上图案．现从七巧板中取出两块，已知取出的是三角形，则两块板恰好是全等三角形的概率为()A.35B.25C.27D.15答案 D解析 设事件A 为“从七巧板中取出两块，取出的是三角形”，事件B 为“两块板恰好是全等三角形”，则P (AB )＝2C 27＝221，P (A )＝C 25C 27＝1021， 所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝2211021＝15. (2)逢年过节走亲访友，成年人喝酒是经常的事，但是饮酒过度会影响健康，某调查机构进行了针对性的调查研究．据统计，一次性饮酒4.8两，诱发某种疾病的频率为0.04，一次性饮酒7.2两，诱发这种疾病的频率为0.16.将频率视为概率，已知某人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，则他还能继续饮酒2.4两，不诱发这种疾病的概率为( ) A.78 B.56 C.34 D.2021答案 A解析 记事件A ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，事件B ：这人一次性饮酒7.2两未诱发这种疾病，则事件B |A ：这人一次性饮酒4.8两未诱发这种疾病，继续饮酒2.4两不诱发这种疾病， 则B ⊆A ，AB ＝A ∩B ＝B ，P (A )＝1－0.04＝0.96，P (B )＝1－0.16＝0.84，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝P (B )P (A )＝0.840.96＝78. 思维升华 求条件概率的常用方法(1)定义法：P(B|A)＝P(AB) P(A).(2)样本点法：P(B|A)＝n(AB) n(A).(3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解．跟踪训练2(1)(2023·六盘山模拟)已知5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中抽取一道题，抽出的题不再放回．在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为()A.14 B.25 C.12 D.35答案 C解析设事件A＝“第1次抽到代数题”，事件B＝“第2次抽到几何题”，所以P(A)＝35，P(AB)＝310，则P(B|A)＝P(AB)P(A)＝31035＝12.(2)某射击运动员每次击中目标的概率为45，现连续射击两次．①已知第一次击中，则第二次击中的概率是________；②在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是________．答案①45②12解析①设第一次击中为事件A，第二次击中为事件B，则P(A)＝4 5，由题意知，第一次击中与否对第二次没有影响，因此已知第一次击中，则第二次击中的概率是4 5.②设仅击中一次为事件C，则仅击中一次的概率为P(C)＝C12×45×15＝825，在仅击中一次的条件下，第二次击中的概率是P(B|C)＝15×45825＝12.题型三全概率公式的应用例3(1)一份新高考数学试卷中有8道单选题，小胡对其中5道题有思路，3道题完全没有思路．有思路的题做对的概率是0.9，没有思路的题只能猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率为()A.79160 B.35 C.2132 D.58答案 C解析设事件A表示“小胡答对”，事件B表示“小胡选到有思路的题”．则小胡从这8道题目中随机抽取1道做对的概率P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(B)P(A|B)＝58×0.9＋38×0.25＝21 32.(2)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为()A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.51答案 D解析设事件A＝“发送的信号为0”，事件B＝“接收的信号为1”，则P(A)＝P(A)＝0.5，P(B|A)＝0.07，P(B|A)＝0.95，因此P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝0.5×(0.07＋0.95)＝0.51.思维升华利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个互斥事件A i(i＝1,2，…，n)．(2)求P(A i)和所求事件B在各个互斥事件A i发生条件下的概率P(A i)P(B|A i)．(3)代入全概率公式计算．跟踪训练3(1)设甲乘汽车、动车前往某目的地的概率分别为0.4,0.6，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.7,0.9，则甲正点到达目的地的概率为()A．0.78 B．0.8 C．0.82 D．0.84答案 C解析设事件A表示“甲正点到达目的地”，事件B表示“甲乘动车到达目的地”，事件C表示“甲乘汽车到达目的地”，由题意知P(B)＝0.6，P(C)＝0.4，P(A|B)＝0.9，P(A|C)＝0.7.由全概率公式得P(A)＝P(B)P(A|B)＋P(C)P(A|C)＝0.6×0.9＋0.4×0.7＝0.54＋0.28＝0.82.(2)(2022·郑州模拟)第24届冬奥会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行，中国邮政陆续发行了多款纪念邮票，其图案包括“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”等．小王有3张“冬梦”、2张“冰墩墩”和2张“雪容融”邮票；小李有“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”邮票各1张．小王现随机取出一张邮票送给小李，分别以A1，A2，A3表示小王取出的是“冬梦”“冰墩墩”和“雪容融”的事件；小李再随机取出一张邮票，以B表示他取出的邮票是“冰墩墩”的事件，则P(B|A2)＝________，P(B)＝________.答案1 2 9 28解析 P (B |A 2)＝24＝12，由题知P (A 1)＝37，P (A 2)＝27，P (A 3)＝27，则P (B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3)＝37×14＋27×24＋27×14＝928.课时精练1．若P (AB )＝19，P (A )＝23，P (B )＝13，则事件A 与B 的关系是( ) A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立 C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立 答案 C解析 ∵P (A )＝1－P (A )＝1－23＝13， ∴P (A )P (B )＝19， ∴P (AB )＝P (A )P (B )≠0，∴事件A 与B 相互独立，事件A 与B 不互斥也不对立．2．(2023·开封模拟)某盏吊灯上并联着4个灯泡，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.8，那么在这段时间内该吊灯上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是()A．0.819 2 B．0.972 8C．0.974 4 D．0.998 4答案 B解析4个都不能正常照明的概率为(1－0.8)4＝0.001 6，只有1个能正常照明的概率为4×0.8×(1－0.8)3＝0.025 6，所以至少有两个能正常照明的概率是1－0.001 6－0.025 6＝0.972 8.3．根据历年的气象数据可知，某市5月份发生中度雾霾的概率为0.25，刮四级以上大风的概率为0.4，既发生中度雾霾又刮四级以上大风的概率为0.2.则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为()A．0.8 B．0.625 C．0.5 D．0.1答案 A解析设“发生中度雾霾”为事件A，“刮四级以上大风”为事件B，所以P(A)＝0.25，P(B)＝0.4，P(AB)＝0.2，则在发生中度雾霾的情况下，刮四级以上大风的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝0.20.25＝0.8.4．(2022·青岛模拟)甲、乙两名选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为()A．0.36 B．0.352C．0.288 D．0.648答案 D解析由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，概率为0.6×0.6＝0.36，二是前两局甲一胜一负，第三局甲胜，概率为C12×0.6×0.4×0.6＝0.288，这两种情况互斥，∴甲最终获胜的概率P＝0.36＋0.288＝0.648.5．某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100%，而不知道正确答案时猜对的概率为25%，那么他答对题目的概率为()A．0.625 B．0.75 C．0.5 D．0.25答案 A解析记事件A为“该考生答对题目”，事件B1为“该考生知道正确答案”，事件B2为“该考生不知道正确答案”，则P(A)＝P(A|B1)·P(B1)＋P(A|B2)·P(B2)＝1×0.5＋0.25×0.5＝0.625.6．将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则()A．事件A与B相互独立B．事件A与C相互独立C．P(B|A)＝5 12D．P(C|A)＝5 12答案 D解析将甲、乙、丙、丁4名医生派往①，②，③三个村庄进行义诊包含C24A33＝36(个)样本点，它们等可能，事件A含有的样本点个数为A33＋C23A22＝12，则P (A )＝1236＝13， 同理P (B )＝P (C )＝13，事件AB 含有的样本点个数为A 22＝2，则P (AB )＝236＝118， 事件AC 含有的样本点个数为C 22＋C 12C 12＝5，则P (AC )＝536， 对于A ，P (A )P (B )＝19≠P (AB )，即事件A 与B 不相互独立，故A 不正确；对于B ，P (A )P (C )＝19≠P (AC )，即事件A 与C 不相互独立，故B 不正确； 对于C ，P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16，故C 不正确； 对于D ，P (C |A )＝P (AC )P (A )＝512，故D 正确． 7．(2022·石家庄模拟)某电视台举办知识竞答闯关比赛，每位选手闯关时需要回答三个问题．第一个问题回答正确得10分，回答错误得0分；第二个问题回答正确得20分，回答错误得0分；第三个问题回答正确得30分，回答错误得－20分．规定，每位选手回答这三个问题的总得分不低于30分就算闯关成功．若某位选手回答前两个问题正确的概率都是23，回答第三个问题正确的概率是12，且各题回答正确与否相互之间没有影响，则该选手仅回答正确两个问题的概率是 ________；该选手闯关成功的概率是 ________. 答案 4912解析 该选手仅回答正确两个问题的概率是P 1＝23×23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23×12＝49，该选手要闯关成功，则只有第3个问题回答正确或者第1,3两个问题回答正确或者第2,3两个问题回答正确或者三个问题都回答正确，所以闯关成功的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－232×12＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－23×23×12＋23×23×12＝12. 8．某医生一周(7天)晚上值2次班，在已知他周二晚上一定值班的条件下，他在周三晚上值班的概率为________． 答案 16解析 设事件A 为“周二晚上值班”，事件B 为“周三晚上值班”，则P (A )＝C 16C 27＝27，P (AB )＝1C 27＝121，故P (B |A )＝P (AB )P (A )＝16. 9．(2022·襄阳模拟)某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为P 1＝110，P 2＝19，P 3＝18.(1)求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率；(2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验．在芯片智能自动检测显示合格率为90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率． 解 (1)该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率P ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－19×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18＝310.(2)设“该款智能自动检测合格”为事件A ，“人工抽检合格”为事件B ， 则P (A )＝910，P (AB )＝1－310＝710，则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率P (B |A )＝P (AB )P (A )＝710910＝79.10．(2023·佛山模拟)男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞.2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛．比赛规则：12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组(每组4个队)．正赛分小组赛阶段与决赛阶段： 小组赛阶段各组采用单循环赛制(小组内任意两队需且仅需比赛一次)；决赛阶段均采用淘汰制(每场比赛胜者才晋级)，先将12支球队按照小组比赛成绩进行排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛(且不在四分之一决赛中相遇)，其余8支球队按规则进行附加赛(每队比赛一次，胜者晋级)，争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．(1)本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？ (2)某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队(甲、乙、丙、丁队)实力相当，假设他们在接下来的四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜的概率都依次为34，12，12，12，且每支球队晋级后每场比赛相互独立．试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．解(1)根据赛制，小组赛共安排3×C24＝18(场)比赛，附加赛共安排8÷2＝4(场)比赛，四分之一决赛共安排8÷2＝4(场)比赛，半决赛共安排4÷2＝2(场)比赛，铜牌赛、金牌赛各比赛一场，共2场，故本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排18＋4＋4＋2＋2＝30(场)比赛．(2)设甲、乙、丙、丁队获得冠军分别为事件A，B，C，D，都没有获得冠军为事件E，∵晋级后每场比赛相互独立，∴P(A)＝34×12×12＝316，∵四队实力相当，∴P(B)＝P(C)＝P(D)＝P(A)＝3 16，∵事件A，B，C，D互斥，∴甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为P(E)＝1－P(A∪B∪C∪D)＝1－[P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)]＝1－4×316＝14.故甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为1 4.11．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i ”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为23，而乙、丙、丁之间相互比赛，每人胜负的可能性相同．则甲获得冠军的概率为( )A.827B.1627C.3281D.4081 答案 D解析 甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜，故甲获得冠军的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＝4081.12．(多选)甲罐中有5个红球、2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球、3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件．则下列结论中正确的是( ) A ．P (B )＝25 B ．P (B |A 1)＝511C ．事件B 与事件A 1相互独立D ．A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件 答案 BD解析 由题意知，A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件，故D 正确；P (A 1)＝510＝12，P (A 2)＝210＝15，P(A3)＝310，P(B|A1)＝12×51112＝511，由此知，B正确；P(B|A2)＝411，P(B|A3)＝411；而P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝12×511＋15×411＋310×411＝922，由此知A，C不正确．13．(2022·全国乙卷)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为p1，p2，p3，且p3>p2>p1>0.记该棋手连胜两盘的概率为p，则()A．p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B．该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C．该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D．该棋手在第二盘与丙比赛，p最大答案 D解析设该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率为P甲，在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率为P乙，在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率为P丙，方法一由题意可知，P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝2p1p2＋2p1p3－4p1p2p3，P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝2p1p2＋2p2p3－4p1p2p3，P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝2p1p3＋2p2p3－4p1p2p3.所以P丙－P甲＝2p2(p3－p1)>0，P丙－P乙＝2p1(p3－p2)>0，所以P丙最大．方法二(特殊值法)不妨设p1＝0.4，p2＝0.5，p3＝0.6，则该棋手在第二盘与甲比赛连胜两盘的概率P甲＝2p1[p2(1－p3)＋p3(1－p2)]＝0.4；在第二盘与乙比赛连胜两盘的概率P乙＝2p2[p1(1－p3)＋p3(1－p1)]＝0.52；在第二盘与丙比赛连胜两盘的概率P丙＝2p3[p1(1－p2)＋p2(1－p1)]＝0.6.所以P丙最大．14．(2023·舟山模拟)根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验有如下的效果：若以A 表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C)＝0.95，P(A|C)＝0.95，现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即P(C)＝0.005，则P(C|A)＝________.(精确到0.001)答案0.087解析∵P(A|C)＝0.95，∴P(A|C)＝1－P(A|C)＝0.05，∵P(C)＝0.005，∴P(C)＝0.995，由全概率公式可得，P(A)＝P(A|C)P(C)＋P(A|C)P(C)，∵P(AC)＝P(C|A)P(A)＝P(A|C)P(C)，∴P(C|A)＝P(A|C)P(C)P(A|C)P(C)＋P(A|C)P(C)＝0.95×0.0050.95×0.005＋0.05×0.995＝19218≈0.087.21 / 21。

条件概率与事件的独立性例题和知识点总结在概率论中，条件概率和事件的独立性是两个非常重要的概念。

理解和掌握它们对于解决各种概率问题至关重要。

下面，我们将通过一些具体的例题来深入探讨这两个概念，并对相关知识点进行总结。

一、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。

用符号表示为：＄P(B|A)＄，表示在事件 A 发生的条件下，事件 B 发生的概率。

条件概率的计算公式为：＄P(B|A) ＝＼frac{P(AB)｝｛P(A)｝＄，其中$P(AB)＄表示事件 A 和事件 B 同时发生的概率。

例题 1一个盒子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机取出一个球，已知取出的是红球，求它是第 2 个红球的概率。

解析首先，取出一个红球的概率为$P(A) ＝＼frac{5}｛8}＄。

然后，取出第 2 个红球的概率，即在已经取出一个红球的情况下，再取出一个红球的概率。

此时盒子里还剩下 7 个球，其中 4 个红球，所以$P(AB) ＝＼frac{4}｛7}＄。

根据条件概率公式，＄P(B|A) ＝＼frac{P(AB)｝｛P(A)｝＝＼frac{4 ／ 7}｛5 ／ 8} ＝＼frac{32}｛35}＄。

知识点总结1、条件概率的本质是在缩小的样本空间中计算概率。

2、条件概率的计算要注意确定已知条件和所求事件，并准确计算相关的概率。

二、事件的独立性如果事件 A 的发生与否不影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生与否也不影响事件 A 发生的概率，那么称事件 A 和事件 B 相互独立。

即：若$P(B|A) ＝ P(B)＄且$P(A|B) ＝ P(A)＄，则事件 A 和事件 B 相互独立。

当事件 A 和事件 B 相互独立时，＄P(AB) ＝ P(A)P(B)＄。

例题 2设事件 A 表示“明天晴天”，事件 B 表示“明天去公园”，已知$P(A) ＝ 06$，＄P(B) ＝ 04$，＄P(B|A) ＝ 04$，判断事件 A 和事件 B 是否独立。

专题47 事件的相互独立性、条件概率与全概率公式【考点预测】 知识点1、条件概率 （一）定义一般地，设A ，B 为两个事件，且()0P A >，称()()()|P AB P B A P A =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率．注意：（1）条件概率|()P B A 中“|”后面就是条件；（2）若()0P A =，表示条件A 不可能发生，此时用条件概率公式计算|()P B A 就没有意义了，所以条件概率计算必须在()0P A >的情况下进行．（二）性质（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即1|0()P B A ≤≤． （2）必然事件的条件概率为1，不可能事件的条件概率为0． （3）如果B 与C 互斥，则(||()(|))P B C A P B A P C A =+．注意：（1）如果知道事件A 发生会影响事件B 发生的概率，那么()|)(P B P B A ≠；（2）已知A 发生，在此条件下B 发生，相当于AB 发生，要求|()P B A ，相当于把A 看作新的基本事件空间计算AB 发生的概率，即()()()()()()()()|()n AB n AB n P AB P B A n A n A P A n Ω===Ω． 知识点2、相互独立与条件概率的关系 （一）相互独立事件的概念及性质 （1）相互独立事件的概念对于两个事件A ，B ，如果)(|)(P B A P B =，则意味着事件A 的发生不影响事件B 发生的概率．设()0P A >，根据条件概率的计算公式，()()()()|P AB P B P B A P A ==，从而()()()P AB P A P B =． 由此我们可得：设A ，B 为两个事件，若()()()P AB P A P B =，则称事件A 与事件B 相互独立． （2）概率的乘法公式由条件概率的定义，对于任意两个事件A 与B ，若()0P A >，则()|)()(P AB P A P B A =．我们称上式为概率的乘法公式．（3）相互独立事件的性质如果事件A ，B 互相独立，那么A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立． （4）两个事件的相互独立性的推广两个事件的相互独立性可以推广到(2)n n n >∈*N ，个事件的相互独立性，即若事件1A ，2A ，…，n A 相互独立，则这n 个事件同时发生的概率1212()()()()n n P A A A P A A P A =．（二）事件的独立性（1）事件A 与B 相互独立的充要条件是()()()P AB P A P B =⋅． （2）当()0P B >时，A 与B 独立的充要条件是()()|P A B P A =． （3）如果()0P A >，A 与B 独立，则()()()()()()()|P AB P A P B P B A P B P A P A ⋅===成立． 知识点3、全概率公式 （一）全概率公式（1）|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+；（2）定理1若样本空间Ω中的事件1A ，2A ，…，n A 满足： ①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n =，，，，，i j ≠； ②12n A A A +++=Ω；③()0i P A >，12i n =，，，．则对Ω中的任意事件B ，都有12n B BA BA BA =+++，且11()()()()|nni i i i i P B P BA P A P B A ====∑∑．注意：（1）全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计算，即运用了“化整为零”的思想处理问题．（2）什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式．（二）贝叶斯公式（1）一般地，当0()1P A <<且()0P B >时，有()()()()()()()()()()||||P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A ==+ （2）定理2若样本空间Ω中的事件12n A A A ，，，满足： ①任意两个事件均互斥，即i j A A =∅，12i j n =，，，，，i j ≠； ②12n A A A +++=Ω；③()01i P A <<，12i n =，，，．则对Ω中的任意概率非零的事件B ，都有12n B BA BA BA =+++，且1()()()()()()()()|||j j j j j niii P A P B A P A P B A P A B P B P A P B A ===∑注意：（1）在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式．贝叶斯公式的意义是导致事件B 发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率．（2）贝叶斯公式充分体现了|()P A B ，()P A ，()P B ，|()P B A ，|()P B A ，()P AB 之间的转关系，即()()()|P AB P A B P B =，()()()()()||P AB P A B P B P B A P A ==，|()()()()(|)P B P A P B A P A P B A =+之间的内在联系．【题型归纳目录】 题型一：条件概率题型二：相互独立事件的判断 题型三：相互独立事件概率的计算 题型四：相互独立事件概率的综合应用 题型五：全概率公式及其应用 题型六：贝叶斯公式及其应用题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 【典例例题】 题型一：条件概率例1．（2022·浙江·绍兴鲁迅中学高三阶段练习）甲､乙两人到一商店购买饮料，他们准备分别从加多宝､农夫山泉､雪碧这3种饮品中随机选择一种，且两人的选择结果互不影响.记事件A =“甲选择农夫山泉”，事件B =“甲和乙选择的饮品不同”，则()|P B A =（ ）A ．14B ．12C ．13D ．23例2．（2022·全国·高三专题练习（理））若将整个样本空间想象成一个1×1的正方形，任何事件都对应样本空间的一个子集，且事件发生的概率对应子集的面积.则如图所示的涂色部分的面积表示（ ）A ．事件A 发生的概率B ．事件B 发生的概率C ．事件B 不发生条件下事件A 发生的概率D ．事件A 、B 同时发生的概率例3．（2022·全国·高三专题练习）端午节这天人们会悬菖蒲、吃粽子、赛龙舟、喝雄黄酒．现有9个粽子，其中2个为蜜枣馅，3个为腊肉馅，4个为豆沙馅，小明随机取两个，设事件A 为“取到的两个为同一种馅”，事件B 为“取到的两个均为豆沙馅”，则()P B A =（ ）A ．12B ．34C ．35D ．23变式1．（2022·全国·高三专题练习）如果{}n a 不是等差数列，但若k N *∃∈，使得212k k k a a a +++=，那么称{}n a 为“局部等差”数列.已知数列{}n x 的项数为4，记事件A ：集合{}{}1234,,,1,2,3,4,5x x x x ⊆，事件B ：{}n x 为“局部等差”数列，则条件概率()|P B A =（ ） A ．415B ．730 C ．15D ．16变式2．（2022·江苏·南京市秦淮中学高三阶段练习）现有甲、乙、丙、丁四位同学到夫子庙、总统府、中山陵、南京博物馆4处景点旅游，每人只去一处景点，设事件A 为“4个人去的景点各不相同”，事件B 为“只有甲去了中山陵”，则|P A B （）=____________.变式3．（2022·全国·高三专题练习）已知事件A 和B 是互斥事件，()16P C =，()118P B C ⋂=，()()89P A B C ⋃=，则()P A C =______．变式4．（2022·辽宁·抚顺市第二中学三模）2022年3月，全国大部分省份出现了新冠疫情，对于出现确诊病例的社区，受到了全社会的关注．为了把被感染的人筛查出来，防疫部门决定对全体社区人员筛查核酸检测，为了减少检验的工作量，我们把受检验者分组，假设每组有k 个人，把这k 个人的血液混合在一起检验，若检验结果为阴性，这k 个人的血液全为阴性，因而这k 个人只要检验一次就够了；如果为阳性，为了明确这k 个人中究竟是哪几个人为阳性，就要对这k 个人再逐个进行检验．假设在接受检验的人群中，随机抽一人核酸检测呈阳性概率为0.003p =，每个人的检验结果是阳性还是阴性是相互独立的．(1)若该社区约有2000人，有两种分组方式可以选择：方案一是：10人一组；方案二：8人一组．请你为防疫部门选择一种方案，并说明理由；(2)我们知道核酸检测呈阳性，必须由专家二次确认，因为有假阳性的可能；已知该社区人员中被感染的概率为0.29%，且已知被感染的人员核酸检测呈阳性的概率为99.9%，若检测中有一人核酸检测呈阳性，求其被感染的概率．（参考数据：（8100.9970.976,0.9970.970==，）【方法技巧与总结】用定义法求条件概率)(A B P 的步骤 （1）分析题意，弄清概率模型；（2）计算()P A ，()P A B ；（3）代入公式求(()|))(P A B P B A P A =．题型二：相互独立事件的判断例4．（2022·山东·潍坊七中高三阶段练习）已知A ，B 是一次随机试验中的两个事件，若满足2()()3P A P B ==，则（ ）A ．事件A ，B 互斥 B ．事件A .B 相互独立C ．事件A ，B 不互斥D ．事件A ，B 不相互独立例5．（2022·湖北·荆州中学高三阶段练习）已知A ，B 为两个随机事件，()P A ，()0P B >，则“A ，B 相互独立”是“()()P A B P A B =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件例6．（2022·全国·高三专题练习）若1()9P AB =，2()3P A =，1()3P B =，则事件A 与B 的关系是（ ） A ．事件A 与B 互斥 B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 既互斥又相互独立变式5．（2022·全国·高三专题练习）袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A 表示“第一次摸得白球”，如果“第二次摸得白球”记为B ，“第二次摸得黑球”记为C ，那么事件A 与B ，A 与C 间的关系是（ ）A ．A 与B ，A 与C 均相互独立 B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥 C ．A 与B ，A 与C 均互斥D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立变式6．（2022·全国·高三专题练习）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A ，“第二枚为正面”记为事件B ， “两枚结果相同”记为事件C ，那么事件A 与B ，A 与 C 间的关系是（ ） A ．A 与B ，A 与C 均相互独立 B ．A 与B 相互独立，A 与C 互斥 C ．A 与B ，A 与C 均互斥 D ．A 与B 互斥，A 与C 相互独立变式7．（2022·江苏·常州市第一中学高三开学考试）袋子里装有形状大小完全相同的4个小球，球上分别标有数字1，2，3，4，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，A 表示事件“第一次取出的球上数字是1”，B 表示事件“第二次取出的球上数字是2”，C 表示事件“两次取出的球上数字之和是5”，D 表示事件“两次取出的球上数字之和是6”，通过计算，则可以得出（ ）A．B与D相互独立B．A与D相互独立C．B与C相互独立D．C与D相互独立变式8．（多选题）（2022·山东·高三开学考试）拋掷一枚质地均匀的骰子，观察向上的面出现的点数，在下列事件中与事件“出现的点数为偶数”相互独立的事件为（）A．“出现的点数为奇数”B．“出现的点数大于2”C．“出现的点数小于4”D．“出现的点数小于3”【方法技巧与总结】判断事件是否相互独立的方法（1）定义法：事件A，B相互独立⇔()()()P A B P A P B⋅=．（2）由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．（3）条件概率法：当()0P A>时，可用(|)()P B A P B=判断．题型三：相互独立事件概率的计算例7．（2022·河南河南·模拟预测（理））某士兵进行射击训练，每次命中目标的概率均为34，且每次命中与否相互独立，则他连续射击3次，至少命中两次的概率为（）A．2732B．916C．2764D．932例8．（2022·全国·高三专题练习（理））甲、乙两人独立地破解同一个谜题，破解出谜题的概率分别为12，23.则谜题被破解的概率为（）A．16B．13C．56D．1例9．（2022·全国·高三专题练习）甲乙两名运动员进行射击比赛，甲的中靶概率为0.8，乙的中靶概率为0.9，则至少有一人中靶的概率为（）A．0.26B．0.72C．0.74D．0.98变式9．（2022·陕西·长安一中高三阶段练习（理））某中学组织高三学生进行一项能力测试，测试内容包括A、B、C三个类型问题，这三个类型所含题目的个数分别占总数的12，13，16.现有3名同学独立地从中任选一个题目作答，则他们选择的题目所属类型互不相同的概率为（）A．136B．112C．16D．13变式10．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）重庆的8月份是一段让人难忘的时光，我们遭遇了高温与山火，断电和疫情．疫情的肆虐，让我们再次居家隔离．为了保障民生，政府极力保障各类粮食和生活用品的供应，在政府的主导与支持下，各大电商平台也纷纷上线，开辟了一种无接触式送货服务，用户在平台上选择自己生活所需要的货物并下单，平台进行配备打包，再由快递小哥送货上门．已知沙坪坝某小区在隔离期间主要使用的电商平台有：某东到家，海马生鲜，咚咚买菜．由于交通、配送等多方面原因，各电商平台并不能准时送达，根据统计三家平台的准点率分别为23，34，45，各平台送货相互独立，互不影响，某小哥分别在三家电商各点了一份配送货，则至少有两家准点送到的概率为（）A．97120B．56C．910D．5360变式11．（2022·陕西·咸阳市高新一中高三开学考试（理））乒乓球是我国的国球，“乒乓精神”激励了一代又一代国人. 为弘扬国球精神，传承乒乓球文化，强健学生体魄，某中学举行了乒兵球单打比赛. 比赛采用7局4胜制，每局比赛为11分制，选手只要得到至少11分，并且领先对方至少2分（包括2分），即赢得该局比赛. 在一局比赛中，每人只发2个球就要交换发球权，如果双方比分为10:10后，每一个球就要交换一个发球权. 经过紧张的角逐，甲、乙两位选手进入了决赛.(1)若甲赢得每局比赛的概率为23，求甲以4:1赢得比赛的概率;(2)若在某一局比赛中，双方战成10:10. 且甲获得了下一球的发球权，若甲发球时甲赢1分的概率为34，乙发球时甲赢1分的概率为12，求两人打了5ξξξ∈N（，）个球后，甲蠃得了该局比赛的概率.【方法技巧与总结】（1）求相互独立事件同时发生的概率的步骤①首先确定各事件之间是相互独立的．②求出每个事件的概率，再求积．（2）使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的．题型四：相互独立事件概率的综合应用例10．（2022·全国·高三专题练习）“五一”劳动节放假期间，甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为（）A ．5960B ．35C ．12D ．160例11．（2022·河北衡水·高三阶段练习）一个电路如图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 为7个开关，其闭合的概率均为23，且是相互独立的，则灯亮的概率是（ ）A ．75513- B ．71113-C ．7233 D ．553例12．（多选题）（2022·广东佛山·高三阶段练习）九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则（ ）A ．三人选择社团一样的概率为19B ．三人选择社团各不相同的概率为89C ．至少有两人选择篮球社的概率为727D ．在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57变式12．（多选题）（2022·山西长治·高三阶段练习）以石墨烯电池、量子计算、AI 等颠覆性技术为引领的前沿趋势，正在或将重塑世界工业的发展模式，对人类生产力的创新提升意义重大，我国某公司为了抢抓机遇，成立了A 、B 、C 三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知A 、B 、C 三个小组攻克该技术难题的概率分别为12，12，23，且三个小组各自独立进行科研攻关．下列说法正确的（ ）A ．三个小组都受到奖励的概率是16B ．只有A 小组受到奖励的概率是12 C ．只有C 小组受到奖励的概率是211D ．受到奖励的小组数的期望值是53变式13．（2022·重庆八中高三阶段练习）女排世界杯比赛采用5局3胜制，前4局比赛采用25分制，每个队只有赢得至少25分，并同时超过对方2分时，才胜1局；在决胜局（第五局）采用15分制，每个队只有赢得至少15分，并领先对方2分为胜.在比赛中，每一个回合，赢球的一方可得1分，并获得下一球的发球权，输球的一方不得分.现有甲乙两队进行排球比赛.(1)若前三局比赛中甲已经赢两局，乙赢一局.接下来的每局比赛甲队获胜的概率为23，求甲队最后赢得整场比赛的概率；(2)若前四局比赛中甲､乙两队已经各赢两局比赛.在决胜局（第五局）中，两队当前的得分均为14分，且甲已获得下一发球权.若甲发球时甲赢1分的概率为25，乙发球时甲赢1分的概率为35.求甲队在4个球以内（含4个球）赢得整场比赛的概率.变式14．（2022·陕西·渭南市华州区咸林中学高三阶段练习（理））甲､乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，己知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X表示甲队总得分.(1)求2X 的概率；(2)求甲队和乙队得分之和为4的的概率.【方法技巧与总结】1、求复杂事件的概率一般可分三步进行（1）列出题中涉及的各个事件，并用适当的符号表示它们；（2）理清各事件之间的关系，恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件；（3）根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算．2、计算事件同时发生的概率常用直接法，当遇到“至少”“至多”问题，考虑逆向思维，考查原事件的对立事件，用间接法处理．题型五：全概率公式及其应用例13．（2022·浙江·高三开学考试）设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.40.6､，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.70.9､，则甲正点到达目的地的概率为（ ） A ．0.78 B ．0.8 C ．0.82 D ．0.84例14．（2022·全国·高三专题练习）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．根据贝叶斯统计理论，事件A ，B ，A （A 的对立事件）存在如下关系：()()()()()P B P BA P A PB A P A =⋅+⋅∣∣．若某地区一种疾病的患病率是0.02，现有一种试剂可以检验被检者是否患病，已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性，该试剂的误报率为5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有5%的可能会误报阳性．现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（ ） A ．0.0688 B ．0.0198C ．0.049D ．0.05例15．（2022·全国·高三专题练习）某种电路开关闭合后会出现红灯或绿灯闪动，已知开关第一次闭合后，出现红灯和绿灯的概率都是12．从开关第一次闭合起，若前次出现红灯，则下一次出现红灯的概率是13，出现绿灯的概率是23；若前次出现绿灯，则下一次出现红灯的概率是35，出现绿灯的概率是25，那么第二次闭合后出现红灯的概率是____________．变式15．（2022·全国·高三专题练习）某考生回答一道四选一的考题，假设他知道正确答案的概率为0.5，知道正确答案时，答对的概率为100％，而不知道正确答案时猜对的概率为0.25，那么他答对题目的概率为______．变式16．（2022·全国·高三专题练习）盒中放有12个乒乓球，其中9个是新的，3个是旧的．第一次比赛时，从中任意取出了3个来用，用完后仍放回盒中（新球用后成了旧球）．第二次比赛时再从盒中取出3个来用，求第二次取出的3个球均为新球的概率．变式17．（2022·全国·高三专题练习）鲜花饼是以云南特有的食用玫瑰花入料的酥饼，是具有云南特色的云南经典点心代表，鲜花饼的保质期一般在三至四天.据统计，某超市一天鲜花饼卖出3箱的概率为15，卖出2箱的概率为12，卖出1箱的概率为15，没有卖出的概率为110，为了保证顾客能够买到新鲜的鲜花饼，该超市规定当天结束营业后检查货架上存货，若卖出2箱及以上，则需补货至3箱，否则不补货.假设第一天该超市开始营业时货架上有3箱鲜花饼.(1)在第一天结束营业后货架上有2箱鲜花饼的条件下，求第二天结束营业时货架上有1箱存货的概率；(2)求第二天结束营业时货架上有1箱存货的概率.变式18．（2022·全国·高三专题练习）某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，且当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2.从以上数据可知，当乙球员参加比赛时，求该球队某场比赛不输球的概率.变式19．（2022·全国·高三专题练习）有3箱同种型号零件，里面分别装有50件、30件、40件，而且一等品分别有20件、12件和24件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出2个零件．(1)求先取出的零件是一等品的概率；(2)求两次取出的零件均为一等品的概率．（结果保留两位小数）【方法技巧与总结】全概率公式1()()()|ni i i P B P A P B A ==∑在解题中体现了“化整为零、各个击破”的转化思想，可将较为复杂的概率计算分解为一些较为容易的情况分别进行考虑．题型六：贝叶斯公式及其应用例16．（2022·全国·高三专题练习）有3台车床加工同一型专的零件，第1台加工的次品率为6%，第2､3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起，已知第1､2､3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%，现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品，且是第1台车床加工的概率为___________.例17．（多选题）（2022·山东·高密三中高三阶段练习）英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A ､B 存在如下关系：()()()()P A P B A P A B P B =.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（）A．第二天去甲餐厅的概率为0.54B．第二天去乙餐厅的概率为0.44C．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为5 9D．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为4 9例18．（2022·河南省上蔡第一高级中学高三阶段练习（文））阅读不仅可以开阔视野，还可以提升语言表达和写作能力.某校全体学生参加的期末过程性评价中大约有30%的学生写作能力被评为优秀等级.经调查知，该校大约有20%的学生每天阅读时间超过1小时，这些学生中写作能力被评为优秀等级的占70%.现从每天阅读时间不超过1小时的学生中随机抽查一名，该生写作能力被评为优秀等级的概率为（）A．0.25B．0.2C．0.15D．0.1变式20．（2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习）某工厂有,A B两个生产车间，所生产的同一批产品合格率分别是99%和98%，已知某批产品的60%和40%分别是,A B两个车间生产，质量跟踪小组从中随机抽取一件，发现不合格，则该产品是由A车间生产的概率为（）A．34B．47C．12D．37变式21．（2022·全国·高二课时练习）设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2:1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．变式22．（2022·全国·高二课时练习）设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的概率为0.95，而未患肺结核病的人通过胸透被误诊为有病的概率为0.002，已知某城市居民患肺结核的概率为0.001．若从该城市居民中随机选出一人，通过胸透被诊断为肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率．【方法技巧与总结】1、利用贝叶斯公式求概率的步骤第一步：利用全概率公式计算()P A ，即1()()()|ni i i P A P B P A B ==∑；第二步：计算()P AB ，可利用()()()|P AB P B P A B =求解； 第三步：代入()()()|P AB P B A P A =求解． 2、贝叶斯概率公式反映了条件概率()()()|P AB P B A P A =，全概率公式1()()()|n i i i P A P B P A B ==∑及乘法公式()()()|P AB P B P A B =之间的关系，即1|()()()()()()()()()(||)j j j j j j n i ii P B A P B P A B P B P A B P B A P A P A P B P A B ====∑．题型七：全概率公式与贝叶斯公式的综合应用例19．（2022·全国·高三专题练习）一道考题有4个答案，要求学生将其中的一个正确答案选择出来.某考生知道正确答案的概率为13，在乱猜时，4个答案都有机会被他选择，若他答对了，则他确实知道正确答案的概率是（ ）A ．13B ．23 C ．34 D ．14例20．（多选题）（山东省潍坊市2021-2022学年高三上学期10月优生抽测数学试题）已知编号为1，2，3的三个盒子，其中1号盒子内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号盒子内装有两个1号球，一个3号球；3号盒子内装有三个1号球，两个2号球．若第一次先从1号盒子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）A ．在第一次抽到2号球的条件下，第二次抽到1号球的概率为12B ．第二次抽到3号球的概率为1148C ．如果第二次抽到的是1号球，则它来自2号盒子的概率最大D ．如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有300种例21．（多选题）（2022·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以12,A A 和3A 表示由甲箱取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱取出的球是红球的事件，则下列结论正确的是（ ）A ．事件B 与事件(1,2,3)i A i =相互独立B ．()1522P A B =C ．()25P B =D ．()245|8P A B =变式23．（2022·全国·高三专题练习）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球（球除颜色外，大小质地均相同）.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以1A ，2A 和3A 表示由甲箱中取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以B 表示由乙箱中取出的球是红球的事件，下列说法正确的序号是__________.①事件1A ，2A 相互独立；②()315P A =；③9()22P B =；④()24|11P B A =；⑤()159P A B =∣．变式24．（2022·全国·高三专题练习）两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．(1)求任意取出1个零件是合格品的概率；(2)如果任意取出的1个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．变式25．（2022·全国·高二课时练习）设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分17、15、14．现从这三个地区任抽取一个人． (1)求此人感染此病的概率；（结果保留三位小数）(2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率．（结果保留三位小数）．变式26．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市恒昌中学校高三开学考试）某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M ，其中由本厂自主生产的配件M 可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M 的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M 的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M 的平均成本控制为640元/件．(1)分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M 的数量；(2)已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M 的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M 是次品的概率；(3)现有一辆轿车由于使用了次品配件M 出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M 来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？。