椭圆典型题型归纳
题型一 •定义及其应用
例1.已知一个动圆与圆 C:(x 4)2
寸100相内切，且过点A(4,0)，求这个动圆圆心 M
的轨迹方程； _____________________________________
例2.方程3^(x 1)
2
(y 1)2
x J2y 2所表示的曲线是 _____________
3.方程.x 2
(y 3)2
x 2
(y 3)2
10成立的充要条件是(
)
2 2 2 2 2 2
A
x y x
y
x y
, A.
1 B.
1 C.
1 D.
25 16
25 9
16 25
4.如果方程 x 2
(y m)
2
x 2
(y m)2
m 1表示椭圆，则 m 的取值范围是 ____________
2 2
5. 过椭圆9x 4y 1的一个焦点F 1的直线与椭圆相交于 A, B 两点，则A, B 两点与椭圆的
另一个焦点F 2构成的 ABF 2的周长等于 ______________ ； 6. 设圆(x 1)
2
y 2
25的圆心为C ，A(1,0)是圆内一定点，Q 为圆周上任意一点，线段
AQ 的垂直平分线与CQ 的连线交于点 M ，则点M 的轨迹方程为 ______________ ； 题型二.椭圆
的方程
(一) 由方程研究曲线
点的轨迹；
(二) 分情况求椭圆的方程
例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴， 且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程;
1
.方程(x
3)2 y 2 .
(x 3)2 y 2 6对应的图形是(
)
A.直线
B. 线段
C. 椭圆
D.
圆
2.方程,(x
3)2 y 2
(x 3)2 y 2 10对应的图形是(
)
A.直线
B.
线段
C.
椭圆 D. 圆
2
y 25
x
2 例1.方程—
16 2
y
25 1的曲线是到定点 _________ 和 _________ 的距离之和等于 练
（三）用待定系数法求方程
例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点 求椭圆的方程；
例4.求经过点（2, 3）且与椭圆9x
2
4y 2 36有共同焦点的椭圆方程;
（四）定义法求轨迹方程;
练习：
1.三角形ABC 中，B （-2,0），C （2，0），AB AC 边上的中线长之和为 30,求三角形 ABC 的 重心的轨
迹方程。
2.已知动圆 C 和定圆 O:（x-3）2 +y 2
= 64 相内切，且 A （ 3，0）在动圆 C 上，求动圆圆心 的轨迹方程。
（五）相关点代入法求轨迹方程；
2
X
2
例6.已知X 轴上一定点A （2，-3），Q 为椭圆 y
1上任一点，求 AQ 的中点M 的轨
4
迹方程；
（六）直接法求轨迹方程；
例7.设动直线l 垂直于x 轴，且与椭圆x
2
2y 2
4交于A, B 两点，点P 是直线l 上满足
PAgPB 1的点，求点P 的轨迹方程；
PG/6,1）、P 2（品 返）
2
注：一般地，与椭圆笃 a
2 缶1
共焦点的椭圆可设其方程为
2
x a 2 k
b 2)；
例5.在
ABC 中，A,B,C 所对的三边分别为a,b,c ，且B （
1,0),C(1,0)，求满足 b
且 sinB ， sinA ， sinC 成等差数列时顶点 A 的轨迹;
(七)列方程组求方程
例8.中心在原点，一焦点为F(0, ...50)的椭圆被直线y 3x 2截得的弦的中点的横坐标1
为丄，求此椭圆的方程；
2
题型三•焦点三角形问题
2 2 5
例1.已知椭圆—匕1上一点P的纵坐标为一，椭圆的上下两个焦点分别为F2、F l，
16 25 3
求PF1、PF2 及cos F1PF2 ；
题型四•椭圆的几何性质
2 2
例1.已知P是椭圆笃y2
a2 b21上的点，的纵坐标为5，F1、F2分别为椭圆的两个焦点,
3
椭圆的半焦距为c，贝V PF1gPF2的最大值与最小值之差为 ___________
2 2
例2.椭圆务每1 (a
a2 b2
b 0)的四个顶点为A,B,C,D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为__________
例3.若椭圆
2
y_
4
1
1的离心率为一，则k
2
2 2
例4.若P为椭圆务占1(a b 0)上一点，F1、F2为其两个焦点，且PF1F2 150,
a b
PF2F1 750，则椭圆的离心率为__________
题型五.求范围
例1.方程
2
X
2
m
2
y
(m 1)2
1表示准线平行于x轴的椭圆，求实数m的取值范围;
