全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案答案速查： 一、选择题二、填空题三、解答题（17）曲线()y y x =在点（1，1）附近是凸的. （18）11)3+ （19）略（20）11011(1)()()(1),(1,3)532n nn n n f x x x ∞++=-=-+-∈-∑（21）1a =，此时所有公共解为[1,0,1]Tx k =-，其中k 为任意常数；2a =，此时唯一公共解为[0,1,1]Tx =-（22）（Ⅰ）B 的特征值为-2,1,1；B 的属于特征值-2的全部特征向量为11k α（1k 为非零的任意常数），B 的属于特征值1的全部特征向量为2233k k αα+（23,k k 为不全为零的任意常数）（Ⅱ）011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（23）（Ⅰ）{}7224P X Y >=；（Ⅱ）2(2),01,()(2),12,0,Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他（24）（Ⅰ）1ˆ=22X θ-;（Ⅱ）24()X 不是2θ的无偏估计量 一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1）【答案】（B ） 【解析】利用当0x →时的等价无穷小关系ln(1)x x +:，即知当0x +→时ln(1:故选B..（2）【答案】 (D)【解析】方法1:论证法，由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以00()(0)lim ()lim()0,x x f x f f x x x→→===（A ）正确；由于00()(0)()lim lim0x x f x f f x x x→→-=-存在，所以'(0)f 存在.（C ）也正确； 由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而()()f x f x +-在0x =处连续，将它看成（A ）中的()f x ，从而推知(0)(0)0,f f +-=即有2(0)0,(0)0f f ==.所以（B ）正确，此题选择（D ）.方法2：举例法，举例说明（D ）不正确.例如取()f x x =，有00()()lim lim 00x x x x f x f x x x→→----==- 而'(0)f 并不存在. （D ）不正确，选（D ）. （3）【答案】（C ）【解析】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而323223(3)()()(),288(2)(),2F f t dt f t dt f t dt F f t dt ππππ==+=-===⎰⎰⎰⎰所以(3)F - 3(2)4F =，选择C （4）【答案】（B ）【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D ，交换为先x 后y11sin 0sin 2(,)(,)xarc ydx f x y dy dy f x y dx ππππ-=⎰⎰⎰⎰， 所以选择(B).（5）【答案】（D ） 【解析】'()22.()16021602Q P PP P Q P P P-===--需求弹性 由题知，它等于1，解之，40.P =所以选(D)（6）【答案】（D ） 【解析】001lim lim ln(1),x x x y e x →→⎛⎫=++=∞⎪⎝⎭所以0x =是一条垂直渐近线；1lim lim ln(1)0,x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线； 又 21ln(1)ln(1)1lim lim lim lim 1,xx x x x x x x e y e e e x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+++=+== ⎪⎝⎭洛 ()()1lim lim ln(1)lim ln(1)x x x x x y x e x e x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=++-=+- ⎪⎝⎭ 1lim ln()lim ln(1)0,xx x x x e e e-→+∞→+∞+=+== 所以y x =也是一条渐近线，所以共有3条，选择（D ） （7）【答案】(A)【解析】根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立.则称123,,ααα线性相关.因1223310αααααα-+-+-=， 故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. （8）【答案】（B ）【解析】2111111111211210311211203E A λλλλλλλλλλ--=-=-=----()230λλ=-=因为A 的特征值是3，3，0，B 的特征值1，1，0，因为特征值不等，故不相似. A 与B 有相同的正惯性指数2，秩都等于2，所以A 与B 合同，应选（B ）.（9）【答案】(C)【解析】根据独立重复的贝努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为123(1).C p p -再加上第4次是成功的，其概率为p .根据独立性，第4次射击为第二次命中目标的概率为12223(1)3(1).C p p p p p -=-g 所以应选（C ）.（10）【答案】(A)【解析】由于二维正态的(,)X Y 中X 与Y 不相关，故X 与Y 独立，且(,)()()X Y f x y f x f y =.根据条件概率密度的定义，当在Y y =条件下，如果()0,Y f y ≠则(,)()()X Y Y f x y f x y f y =()()()()X Y X Y f x f y f x f y ==.现()Y f y 显然不为0，因此()().X X Y f x y f x = 应选(A).二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）【答案】 0【解析】方法1：由洛必达法则，()32223213262lim lim lim 22ln 232ln 26x x xx x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞++++==+++ ()36lim0,2ln 26xx →+∞==+而(sin cos )x x +是有界变量，所以3231lim (sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+ 方法2：32133311lim(sin cos )lim (sin cos )221x x x x x x x x x x x x x x ---→+∞→+∞+++++=+++ 而 233222ln 22(ln 2)lim 2lim lim lim 36x x x xx x x x x x x x-→+∞→+∞→+∞→+∞===32(ln 2)lim 6x x →+∞==+∞， 所以 3231lim(sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+（12）【答案】1(1)2!3n n n n +-【解析】()()()1232123,'(1)223,''(1)(2)223,,23y x y x y x x ---==+=-+=--++L由数学归纳法知()1()(1)2!23,n n nnyn x --=-+()1(1)2!(0)3n n n n n y +-= （13）【答案】''122()y x f f x y-+【解析】12122211'';'',z y z x f f f f x x y y x y ⎛⎫∂∂⎛⎫=⋅-+⋅=⋅+⋅- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭''122()z z y xxy f f x y x y∂∂-=-+∂∂ （14）【解析】典型类型按标准解法.命,y ux =有,dy duu x dx dx=+原方程化为 31,2du u x u u dx +=- 即 32,du dx u x =-积分，得 21ln x C u=+化为y ，得 22ln x y x C=+解出y =再以(1,1)代入，1,C =所以得特解y =.（15）【答案】 1 【解析】2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32001001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⋅==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然()31.r A=(16) 【答案】34【解析】所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ，12X Y -<。
2007年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是( ) （A ）1e x - （B ）1ln1xx+- （C ）11x +- （D ）1cos x - （2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：( )（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()l im x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：( )（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F =（C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =--（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于( )（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( )(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. （6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为( ) （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3.（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则( ) (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++.（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B ( )(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为( ) （A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -. （C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p -（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为( )(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D) ()()X Y f x f y .二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） 3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________. （12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________.（13） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y =________.（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为 . （16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性.设二元函数222,||||11(,),1||||2x x y f x y x y x y ⎧+≤⎪=⎨<+≤⎪+⎩，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.（21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵. （I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B .设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >；(II) 求Z X Y =+的概率密度.2007年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案1.解:当0x +→时，1exx --，1112x x +-，()2111cos 22x xx -=， 故用排除法可得正确选项为（B ）.事实上，0001111lnln(1)ln(1)1112lim lim lim 112x x x x x x x x x x x xx+++→→→++⋅+--+--==，或1lnln(1)ln(1)()()()1xx x x o x x o x x o x x x+=+--=+++=+-.所以应选（B ） 2.解:取()||f x x =，则0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =.在（C ）中，0()limx f x x →存在，则00()(0)()(0)0,(0)limlim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)3.解:利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰. 所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.4.解:由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）. 5.解:选（D ）.商品需求弹性的绝对值等于d 2140Q P PP -⋅==⇒=，故选（D ）.6.解:()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0x x x x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e x x x y x →→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线；()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0limlim 11xxx x x x x x yx x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==， []()1lim lim ln 1e 0x x x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线.故选（D ）.7.本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性. 一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.解:由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.8.本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.解: 由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B合同，故选（B ）.9.解:p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.10.本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 解:因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）. 11.本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.解:因为323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++， 所以3231lim (sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+.12.本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.解:()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 13.本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 解:利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂， 所以122z z y x xy f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭. 14.本题为齐次方程的求解，可令yu x=. 解:令yu x=，则原方程变为33d 1d d d 22u u x u xu u x u x+=-⇒=-. 两边积分得 2111ln ln 222x C u -=--， 即222111e e y u x x x C C=⇒=，将11x y ==代入左式得 e C =，故满足条件的方程的特解为 22e e x y x =，即ln 1xy x =+，1e x ->. 15.先将3A 求出，然后利用定义判断其秩.解:30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 16.根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.解:利用几何概型计算. 图如下：所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.17.】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得. 解: 方程 ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=， A1/2 11 /2Oyx即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y'''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的.18.由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分. 解:因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以 1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而 1222D 1,0,012,0,01(,)d d d x y x y x y x y f x y x x yσσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222222220011011d d d d d d xx x x x x y x y x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()12ln 1212=++. 所以 ()D1(,)d 42ln 123f x y σ=++⎰⎰.【评】被积函数包含22y x +时, 可考虑用极坐标，解答如下：2212120,00,01(,)d d x y x y x y x y f x y x yσσ≤+≤≤+≤>>>>=+⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰2ln(12)=+.19.由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.解:令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=，于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<， 于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 ，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【评】对命题为()()0n f ξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n f x -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件. 20.本题考查函数的幂级数展开，利用间接法. 解:211111()34(4)(1)541f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，而10011111(1),2414333313nnn n n x x x x x ∞∞+==--⎛⎫=-⋅=-=--<< ⎪--⎝⎭-∑∑， 10011111(1)(1),1311222212nn nn n n x x x x x ∞∞+==---⎛⎫=⋅=-=-<< ⎪-+⎝⎭+∑∑ ， 所以 1111000(1)(1)(1)1(1)()(1)3232n n n n n n n n n n n n x x f x x ∞∞∞++++===⎡⎤----=-+=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑， 收敛区间为 13x -<<.21.将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a . 解:将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪-+-- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭.显然，当1,2a a ≠≠时无公共解.当1a =时，可求得公共解为 ()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数； 当2a =时，可求得公共解为 ()T 0,1,1ξ=-.22.本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.解:（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-， 则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量. 同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=. 所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T 2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数. 由前可知B 的属于－2的特征向量为 T 3(1,1,1)k -，其中3k 不为零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则011101110B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.23.（I ）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得. 解:（I ）{}()()12002722d d d 2d 24xx yP X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰.(II) 利用卷积公式可得 ()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他.（24） (本题满分11分)【分析】利用EX X =求（I ）；判断()?224E X θ=.解:（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令112242X X θθ=+⇒=-. （II ）()()()()222214444E X E X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而()2221221()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰，所以 ()2225121248DX EX EX θθ=-=-+， 所以()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故24X 不是2θ的无偏估计量.。
考研2007数学三答案【篇一：2007年考研数学三试题解析超详细版】发布供大家参考！想只要真题的童鞋请搜索cz_victor的文库下载，谢谢！2007年考研数学（三）真题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当x?0 ） ?a.1?b.ln? )c1d.1?c（2）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是： ( )f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0b.若lim存在，则f(0)?0 x?0x?0xx f(x)f(x)?f(?x)c..若lim存在，则f(0)存在 d.若lim存在，则f(0)存在 x?0x?0xxa.若lim（3）如图.连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设f(x)??035a..f(3)??f(?2) b.f(3)?f(2) 4435c.f(?3) ??f(2) d.f(?3)?f(?2) 44（4）设函数f(x,y)连续，则二次积分x（） f(t)dt,则下列结论正确的是：???2dx?1sinxf(x,y)dy等于（）?a. ?1010dy?2???arcsinxf(x,y)dx b.f(x,y)dxd.??10dy???arcsiny??arcsinyf(x,y)dx f(x,y)dxc.?dy???arcsiny10dy?2（5）设某商品的需求函数为q?160?2?，其中q，?分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）a. 10b. 20c.30d.40（6）曲线y?1?ln(1?ex),渐近线的条数为（） xa. 0b.1c.2d.3( ) （7）设向量组线性无关（a）?1??2,?2??1,?3??1 (b)?2??1,?2??3,?3??1（c）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (d)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1?2?1?1??100?????（8）设矩阵a???12?1?，b??010?则a与b （）??1?12??000?????（a）合同，且相似 (b) 合同，但不相似(c) 不合同，但相似(d) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ()(a)3p(1?p)2 (b)6p(1?p)2(c)3p2(1?p)2 (d)6p2(1?p)2(10) 设随机变量(x,y)服从二维正态分布，且x与y不相关，fx(x),fy(y)分别表示x, y的概率密度，则在y?y条件下，x的条件概率密度fxy(xy)为()（a）fx(x) (b)fy(y)(c)fx(x)fy(y)(d)fx(x) fy(y)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上x3?x2?1(sinx?cosx)?________. （11）limx??2x?x3（12）设函数y?1(n)，则y(0)?_________. 2x?3（13）设f(u,v)是二元可微函数，z?f(,),则yxxy?z?z?y?________. ?x?y（14）微分方程dyy1y3??()满足ydxx2xx?1?1的特解为?0?0（15）设距阵a???0??0100??010?,则a3的秩为_______. 001??000?1的概率为________. 2(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数y?y(x)由方程ylny?x?y?0确定，试判断曲线y?y(x)在点（1，1）附近的凹凸性.设二元函数?x2.?f(x,y)?计算二重积分dx?y?1.1?x?y?2. ??f(x,y)d?.其中d??(x,y)x?y?2 ?（19）（本题满分11分）设函数f(x)，g(x)在?a,b?上内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明：（Ⅰ）存在??(a,b),使得f(?)?g(?)；（Ⅱ）存在??(a,b),使得f(?)?g(?).（20）（本题满分10分）将函数f(x)?1展开成x?1的幂级数，并指出其收敛区间. 2x?3x?4(21)(本题满分11分)?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0?2?x1?4x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵a的特征值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)t是a的属于?1的一个特征向量.记(1) (2)有公共解，求a的值及所有公共解b?a5?4a3?e，其中e为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证?1是矩阵b的特征向量，并求b的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵b.（23）（本题满分11分）设二维随机变量(x,y)的概率密度为?2?x?y,0?x?1,0?y?1. f(x,y)??0,其他?（Ⅰ）求p?x?2y?；（Ⅱ）求z?x?y的概率密度fz(z).设总体x的概率密度为?1?2?,0?x??,??1f(x;?)??,??x?1,. 2(1??)??0,其他??其中参数?(0???1)未知，x1,x2,...xn是来自总体x的简单随机样本，x是样本均值.（Ⅰ）求参数?的矩估计量??；（Ⅱ）判断4x2是否为?2的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（7）当x?0b） ?a.1?b.ln? )c1d.1?c（8）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是： (d)f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0b.若lim存在，则f(0)?0 x?0x?0xx f(x)f(x)?f(?x)c..若lim存在，则f(0)存在 d.若lim存在，则f(0)存在 x?0x?0xxa.若lim（9）如图.连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设f(x)??035f(?2) b.f(3)?f(2) 44352)c.f(?3) ??f(2) d.f(?3)?f(? 44a..f(3)??（10）设函数f(x,y)连续，则二次积分a.c.x（c ） f(t)dt,则下列结论正确的是：???2dx?1sinxf(x,y)dy等于（b） xf(x,y)d?1010dy?2???arcsinxf(x,y)dx b.f(x,y)d xd.??10dy????arcysin??arcsiny?dy????arcysin10dy??f(x,y)dx 2（11）设某商品的需求函数为q?160?2?，其中q，?分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（d）a. 10b. 20c.30d.40（12）曲线y?1?ln(1?ex),渐近线的条数为（d） xa. 0b.1c.2d.3(a) （7）设向量组线性无关（a）?1??2,?2??1,?3??1 (b)?2??1,?2??3,?3??1(c)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (d)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1?2?1?1??100?????（8）设矩阵a???12?1?，b??010?则a与b （b）??1?12??000?????【篇二：2007考研数学三试题及解析】> 一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当x?0b）?a.1?b.ln(? )c1d.1?c（2）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是： (d)f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0b.若lim存在，则f(0)?0x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x)c..若lim存在，则f(0)存在d.若lim存在，则f(0)存在x?0x?0xxa.若lim（3）如图.连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设f(x)?则下列结论正确的是：（c ）?xf(t)dt,35f(?2) b.f(3)?f(2) 4435?f(?2)c.f(?3) ??f(2) d.f(?3)44a..f(3)??（4）设函数f(x,y)连续，则二次积分 a.c.??101?2dx?1sinxf(x,y)dy等于（b）?dy??01021??arcsinxf(x,y)dx b.f(,xy) d x d.?dy???dy??2??arcysinf(,xy) dx?dy????arcysin??arcsinyf(x,y)dx（5）设某商品的需求函数为q?160?2?，其中q，?分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（d）a. 10b. 20c.30d.40 （6）曲线y?1?ln(1?ex),渐近线的条数为（d） xa. 0b.1c.2d.3(a)（7）设向量组线性无关（a）?1??2,?2??1,?3??1 (b)?2??1,?2??3,?3??1(c)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (d)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1?2?1?1??100?????（8）设矩阵a???12?1?，b??010?则a与b（b）??1?12??000?????（a）合同，且相似 (b) 合同，但不相似(c) 不合同，但相似(d) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (c)(a)3p(1?p)2 (b)6p(1?p)2 (c)3p2(1?p)2 (d)6p2(1?p)2(10) 设随机变量(x,y)服从二维正态分布，且x与y不相关，fx(x),fy(y)分别表示x, y的概率密度，则在y?y条件下，x的条件概率密度fx(xy)为 (a) （a）fx(x) (b)fy(y) (c)fx(x)fy(y)(d)fx(x)fy(y)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上x3?x2?1(sinx?cosx)?___0_________. （11）limx??2x?x31(?1)n2nn!(n)_________. （12）设函数y?，则y(0)?__n?12x?33（13）设f(u,v是二元可微函数，yxz?f(,),xy则?z?zyyxxyx?y??2f1(,)?2f2(,). ?x?yxxyyxydyy1y3??()满足y（14）微分方程dxx2xx2. x?1?1的特解为y?1?lnx2?0?0（15）设距阵a???0??0100??010?,则a3的秩为＿＿1＿＿＿.001??000?的概率为＿＿. 24(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数y?y(x)由方程ylny?x?y?0确定，试判断曲线y?y(x)在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】：对方程两边求导得ylny?2y?1?0?y?从而有yx?1?12?lny11?2?ln121(y)2再对两边求导得y(2?lny)?yy?0?y??yy(2?lny)(yx?1)21求在(1,1)的值：yx?1?????01(2?ln1)8所以y?y(x)在点(1,1)处是凸的（18）（本题满分11分）设二元函数?x2.?f(x,y)?计算二重积分dx?y?1.1?x?y?2.??f(x,y)d?.其中d??(x,y)?x?y?2?【详解】：积分区域d如图，不难发现d分别关于x轴和y轴对称，设d1是d在第一象限中的部分，即d1?d?(x,y)x?0,y?0利用被积函数f(x,y)无论关于x轴还是关于y轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得???f(x,y)d??4??f(x,y)d?d1设d1?d11?d121，其中d1??(x,??d11?y)?x11??y,2?x0??f(x,y)d??4??f(x,y)d??4??f(x,y)d??4??f(x,y)d?于是dd1d12?4??xd??4??f(x,y)d?d11d122由于d11?(x,y)0?x?1,0?y?1?x，故22xd??x???dx?d11011?x1111dy??x2(1?x)dx???03412??为计算d12上的二重积分，可引入极坐标(r,?)满足x?rcos?,y?rsin?.在极坐标系(r,?)中x?y?1的方程是r?而12,x?y?2的方程是， r?，因cos??sin?cos??sin??12??d12??0???,?r??，故2cos??sin?cos??sin???d12???20??d?2cos??sin?1cos??sin??r1??2d?0cos??sin?r令tan?2?t作换元，则??2arctant，于是?:0??2?t:0?1且2dt1?t22td??,cos??,sin??，代入即得2221?t1?t1?td12?????21112dt2dtd????(1?t?u)22?00cos??sin?1?2t?t2(1?t)0 12du2du1??du02?u2?02?u2???110??1)综合以上计算结果可知??df(x,y)d??4?11?1)??1) 123（19）（本题满分11分）设函数f(x)，g(x)在?a,b?上内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明：（Ⅰ）存在??(a,b),使得f(?)?g(?)；（Ⅱ）存在??(a,b),使得f(?)?g(?).【详解】：证明：(1)设f(x),g(x)在(a,b)内某点c?(a,b)同时取得最大值，则f(c)?g(c)，此时的c就是所求点?使得f(?)?g(?).若两个函数取得最大值的点不同则有设f(c)?maxf(x),g(d?)maxgx()f(c)?g(c)?0,g(d)?f(d)?0故有，由介值定理，在(c,d)内肯定存在?使得f(?)?g(?)(2)由(1)和罗尔定理在区间(a,?),(?,b)内分别存在一点?1,?2,使得f(?1)＝f(?2)＝0在区间(?1,?2)内再用罗尔定理，即存在??(a,b)，使得f(?)?g(?). （20）（本题满分10分）将函数f(x)?【详解】：1展开成x?1的幂级数，并指出其收敛区间.x2?3x?41111?(?)(x?4)(x?1)5x?1?3x?1?21111??5x?1?35x?1?211111?x?1n记f1(x)???()???()x?15x?4151?(15n?03)3x?1其中?1??2?x?43f(x)?11111?x?1nf2(x)??()??()(?1)n5x?1101?()10n?022x?1其中?1??1?x?221?x?1n1?x?1n则f(x)???()??()(?1)n15n?0310n?02故收敛域为：?1?x?2(21)(本题满分11分)?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0?2?x1?4x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1(2)有公共解，求a的值及所有公共解【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组(1)【篇三：2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案解析】ss=txt>数学三试题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1）当x?0? ）a.1?b.ln(1c?1d.1? )（2）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是： ( )f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0b.若lim存在，则f(0)?0x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)存在 d.若lim存在，则f(0)存在 c..若limx?0x?0xxa.若lim（3）如图.连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设f(x)?确的是：（）?xf(t)dt,则下列结论正53f(?2) b.f(3)?f(2)4435c.f(?3) ??f(2)d.f(?3)??f(?2)44a..f(3)??（4）设函数f(x,y)连续，则二次积分???2dx?101sinxf(x,y)dy等于（）?a.?101dy?2???arcsinxf(x,y)dx b.?dy?10??arcsinyf(x,y)dxc.?dy???arcsinyf(x,y)dx d.?dy???arcsinyf(x,y)dx2（5）设某商品的需求函数为q?160?2?，其中q，?分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）a. 10b. 20c.30d.40（6）曲线y?1?ln(1?ex),渐近线的条数为（） xa. 0b.1c.2d.3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（a）?1??2,?2??1,?3??1 (b)?2??1,?2??3,?3??1（c）?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (d)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1?2?1?1??100?????（8）设矩阵a???12?1?，b??010?则a与b（）??1?12??000?????（a）合同，且相似 (b) 合同，但不相似(c) 不合同，但相似(d) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ()(a)3p(1?p)2 (b)6p(1?p)2(c)3p2(1?p)2 (d)6p2(1?p)2(10) 设随机变量(x,y)服从二维正态分布，且x与y不相关，fx(x),fy(y)分别表示x, y的概率密度，则在y?y条件下，x的条件概率密度fxy(xy)为() （a）fx(x) (b)fy(y) (c)fx(x)fy(y)(d)fx(x)fy(y)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上x3?x2?1（11）lim(sinx?cosx)?________.x??2x?x3（12）设函数y?1，则y(n)(0)?_________. 2x?3（13）设f(u,v)是二元可微函数，z?f(,),则yxxy?z?z?y?________. ?x?y（14）微分方程dyy1y3??()满足ydxx2xx?1?1的特解为?0?0（15）设距阵a???0??0100??010?,则a3的秩为_______.001??000?1的概率为________. 2(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数y?y(x)由方程ylny?x?y?0确定，试判断曲线y?y(x)在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分）设二元函数?x2.?f(x,y)?计算二重积分dx?y?1.1?x?y?2.??f(x,y)d?.其中d??(x,y)x?y?2?（19）（本题满分11分）设函数f(x)，g(x)在?a,b?上内二阶可导且存在相等的最大值，又f(a)＝g(a)，f(b)＝g(b)，证明：（Ⅰ）存在??(a,b),使得f(?)?g(?)；（Ⅱ）存在??(a,b),使得f(?)?g(?). （20）（本题满分10分）将函数f(x)?1展开成x?1的幂级数，并指出其收敛区间.x2?3x?4(21)(本题满分11分)?x1?x2?x3?0?设线性方程组?x1?2x2?ax3?0?2?x1?4x2?ax3?0与方程x1?2x2?x3?a?1(2)有公共解，求a的值及所有公共解（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵a的特征值?1?1,?2?2,?3??2,?1?(1,?1,1)t是a的属于?1的一个特征向量.记b?a5?4a3?e，其中e为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证?1是矩阵b的特征向量，并求b的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵b. （23）（本题满分11分）设二维随机变量(x,y)的概率密度为(1)?2?x?y,0?x?1,0?y?1.f(x,y)??0,其他?（Ⅰ）求p?x?2y?；（Ⅱ）求z?x?y的概率密度fz(z). （24）（本题满分11分）设总体x的概率密度为?1?2?,0?x??,??1f(x;?)??,??x?1,.2(1??)??0,其他??其中参数?(0???1)未知，x1,x2,...xn是来自总体x的简单随机样本，x是样本均值.?；（Ⅰ）求参数?的矩估计量?（Ⅱ）判断4x是否为?2的无偏估计量，并说明理由.22007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（7）当x? 0?b）a.1?b.ln(1c?1d.1? )（8）设函数f(x)在x?0处连续，下列命题错误的是： (d)f(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)?0b.若lim存在，则f(0)?0x?0x?0xxf(x)f(x)?f(?x)存在，则f(0)存在 d.若lim存在，则f(0)存在 c..若limx?0x?0xxa.若lim（9）如图.连续函数y?f(x)在区间??3,?2?,?2,3?上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间??2,0?,?0,2?上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设f(x)?确的是：（c ）?xf(t)dt,则下列结论正53f(?2) b.f(3)?f(2)4435c.f(?3) ??f(2)d.f(?3)??f(?2)44a..f(3)??（10）设函数f(x,y)连续，则二次积分 a.c.??10?2dx?1sinxf(x,y)dy等于（b）f(x,y)dx?101dy?2???arcsinxf(x,y)dx b.?dy?10???arcsyin?dy????arcsyinf(x,y)d xd.?dy???arcsinyf(x,y)dx2（11）设某商品的需求函数为q?160?2?，其中q，?分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（d）a. 10b. 20c.30d.40 （12）曲线y?1?ln(1?ex),渐近线的条数为（d） xa. 0b.1c.2d.3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是(a)（a）?1??2,?2??1,?3??1 (b)?2??1,?2??3,?3??1(c)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1 (d)?1?2?2,?2?2?3,?3?2?1?2?1?1??100?????（8）设矩阵a???12?1?，b??010?则a与b（b）??1?12??000?????（a）合同，且相似 (b) 合同，但不相似(c) 不合同，但相似(d) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (c)(a)3p(1?p)2 (b)6p(1?p)2(c)3p2(1?p)2 (d)6p2(1?p)2(10) 设随机变量(x,y)服从二维正态分布，且x与y不相关，fx(x),fy(y)分别表示x, y的概率密度，则在y?y条件下，x的条件概率密度fxy(xy)为 (a) （a）fx(x) (b)fy(y) (c)fx(x)fy(y)(d)fx(x)fy(y)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上x3?x2?1（11）lim(sinx?cosx)?___0_________.x??2x?x31(?1)n2nn!(n)（12）设函数y?，则y(0)?___________. n?12x?33（13）设f(u,v)是二元可微函数，z?f(,),则yxxy?z?zyyxxyx?y??2f1(,)?2f2(,). ?x?yxxyyxy。
