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最新数值分析试题及答案

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、填空题(每题6分，共30分)
1、辛普生求积公式具有次代数精度，其余项表达式为
2、 f(x) =x 2 1,则 f[1,2,3]=丄，f[1,2,3,4] =0 。

3、 设l j (x)( j =0,1,2||( n)是n 次拉格朗日插值多项式的插值基函数，则
‘1 i = i n
l j (x)
(i, j ",1,2|l|n) ； - l j (x)=
1。

0,
j
j 占
4、 设l j (x)( j =0,1,2|l( n)是区间［a,b ］上的一组n 次插值基函数。

则插值 型求积公式的代数精度为
至少是n ；插值型求积公式中求积系数
A j 二
b
n
a l k (x)dx ； 且壬A j = b_a
- 口
5、按四舍五入原则数 2.7182818与8.000033具有五位有效数字的近似值分 别为 2.7183 和 8.0000 。

二、计算题(每题10分，共计60分，注意写出详细清晰的步骤) 1、已知函数y = f (x)的相关数据
由牛顿插值公式求三次插值多项式 P 3(x)，并计算、、的值近似值。

(注：要求给出差商表) 解：差商表
b _a ( -180 ( b -a
2
m • (a,b)。

4 3 2 8
P 3（x ）二 N 3（X ） x -2x —x 1,
3 3
厂 1 4 1 3 1 2 8 1
3 ： P 3（；） （;）3 -2（二）2 ；（；） 1 =2
2 3 2 2 3 2
解：设y = a • bx 则可得
5a 300b 二 52.90 300a 22000b 二 3797
于是 a =1.235, b =0.15575，即 y =1.235 0.15575x 。

4、已知 x^-,x 1 --,x ^3
,
4 2 4
(1)推导以这三点为求积节点在 [0,1]上的插值型求积公式
1
113
0 f(x)d^ A o f(-) A^f(-) AJ(：)；
4 2
4
1
2
(2)指明求积公式所具有的代数精度； (3)用所求公式计算 0x dx 。

解: (1)所求插值型的求积公式形如：
1
1 1 3 0 f (x)dx ： A g f H) A f (二)A
2 f F) 0 4 2
4
f(x) =X 3,X 4代入上述公式，可得
3 I 1
1
1 \3 / 1 \3 3\ 3、 X dx [2(匚)-()2(：)]
4 3 4 2 4 4 1 1 1 4 1 4 3 4 x 4dx
[2(：)4-(；)4 2(；)4] 5
3 4 2 4
故代数精度是3次。

1
2
1 1 2
1 2 3 2
1
(3)由 2)可得： xdx 蔦［2(匚)-(-)
2(-) 。

0 3 4
2
4
3
3
5、用二分法求方程 f(x)=x -x-1在区间［1,1.5］内的根时，若要求精确 到小数点后二位，(1)需要二分几次；(2)给出满足要求的近似根。

A 1 二 A 2 二
1
0l o (x)dx =
」1(x)dx 二
1 3
1(X -2)(X -4) dx = [ —2_-一牛 dx (X 。

-XJ(X o -X 2) 0
(1 _!)(^3) 4 2 4 4
1
(X -x °)(x -X 2)dx = 1(X 蔦朋-匸) (X 1-X °)(X 1 -X 2) 0
(! 1)(! 3) (2—4)
1(X -xj(x -X 2) 0 2； — J
3
dx —1;
3 (X -X o )(X -为)
(X 2 —X °)(X 2 —Xj
1
dxj 1 1
(x^)(
x —2)
1 -
2 -
3 -
4 /V
-
3
一 4
1
1
1
3
f (x )dx ： 3
[2f (
-^f(-
)
2f(4)]。

(2 )所求的求积公 式是插值 型，故至少具有 2次代数精度，再将
故
解：6 次；x* 1.32。

6、用列主元消去法解线性方程组
广4 3 30 32 ' t 0 七2
-38
^0 0 1 2』
4治 3x 2
30x 3 = 32, 治=13,
即 <
11x 2 —82x 3 = —38,二 < x 2 =8,
1
X 3 =2.
I X 3 =2.
2 3 4 6
z
4 3 30 32
‘4 3 30 32、
3 5 2
5 T 3 5
2 5
T
3 5
2
5
3 30 32 ;
<2 3 4 6
」
<2 3 4 6
」
‘4 3 30
32
、
‘4 3 30 32
T
0 11/4 —41/2 —19
T 0
11/4 -41/2 -19
卫 3/2 -11 -10』
©
2/11
4/11 丿
12x 1 3x 2 4x 3 二 6, 3x 1 5x 2 2x 3 = 5,
4x , 3x 2
30x 3 = 32.
解：。

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研究生《数值分析》试卷

研究生《数值分析》试卷

研究生“数值分析”试题一， 填空（20分）1，n ＋1个互异节点插值型数值求积公式的代数精度为________次，最高为________次。

2，SOR 方法收敛的必要条件：松弛因子ω满足条件_________。

3，对于插值型求积公式∑⎰=-≈nk k k x f A dx x f 011)()(，其节点),,1,0(n k x k =是高斯点的充分必要条件是_________。

4，设)(ij a A =为n ×n 矩阵，则1A =________，∞A =________。

5，设解方程组b Ax =的迭代法为d Bx x k k +=+1，则迭代收敛的充分必要条件是________。

6，判断下面的函数是否为三次样条函数（填是或否）（1）211001)1(0)(233≤≤<≤<≤⎪⎩⎪⎨⎧-+=x x x x x x x f － （2）⎩⎨⎧≤≤<≤-++++=100112212)(33x x x x x x x f二，（10分）在22-≤≤-x 上给出x e x f -=)(等距节点函数运用二次插值求x e -的近似值，要使误差不超过610-，问使用函数表的步长应取多大？三，（10分）四，（10分）设)(x f 在[]30,x x 上有三阶连续导数，且3210x x x x <<<，试作一个次数不高于四次的多项式)(x p ，满足条件)()(j j x f x p ==j 0，1，2，3)(')('11x f x p = 推导它的余项)()()(x p x f x E -=的表达式五，（10分）试用Romberg （龙贝格）方法，计算积分⎰311dx x，并精确到小数点后4位。

六，（10分）利用数值积分的Simpson （辛甫生）公式，导出公式)''4'(31111-+-++++=n n n n n y y y h y y 并指出次方法的阶七，（10分）设0)(=x f 的单根α，)(x F x =是0)(=x f 的等价方程，则：)(x F 可表为)()()(x f x m x x F -=证明： 当1)]('[)(-≠ααf m 时，)(x F 是一阶的。

数值分析期末考试和答案

数值分析期末考试和答案

数值分析期末考试和答案一、单项选择题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解线性方程组？A. 插值法B. 迭代法C. 直接法D. 拟合法答案：C2. 以下哪个数值方法是用于求解非线性方程的？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 拉格朗日插值法答案：B3. 在数值积分中，梯形法则的误差与下列哪个因素无关？A. 被积函数的二阶导数B. 积分区间的长度C. 积分区间的划分数量D. 被积函数的一阶导数答案：D4. 以下哪个数值方法是用于求解常微分方程的？A. 欧拉方法B. 牛顿迭代法C. 拉格朗日插值法D. 高斯消元法答案：A5. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂迭代法C. 牛顿迭代法D. 梯形法则答案：B6. 以下哪个数值方法是用于求解线性最小二乘问题的？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 正交分解法D. 牛顿迭代法答案：C7. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解非线性方程组？A. 高斯消元法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 欧拉方法答案：B8. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解偏微分方程？A. 有限差分法B. 牛顿迭代法C. 线性插值法D. 梯形法则答案：A9. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解优化问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 单纯形法答案：D10. 在数值分析中，下列哪个方法用于求解插值问题？A. 高斯消元法B. 梯形法则C. 牛顿迭代法D. 拉格朗日插值法答案：D二、填空题（每题2分，共20分）1. 在数值分析中，求解线性方程组的直接法包括______消元法和______消元法。

答案：高斯；LU2. 牛顿迭代法的收敛速度是______阶的。

答案：二3. 梯形法则的误差与被积函数的______阶导数有关。

答案：二4. 欧拉方法是一种求解______阶常微分方程的数值方法。

答案：一5. 幂迭代法是求解______特征值问题的数值方法。

数值分析习题和答案解析(最新整理)

数值分析习题和答案解析(最新整理)


(1)
要使
应满足（）.
(2) 已知方程组
，则解此方程组的
Jacobi 迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度 R(B)=
公式（6.13）直接计算即可。
对
，取 n=8,在分点处计算 f(x)的值构造函数表。
按式（6.11）求出
，按式（6.13）求得
，
积分
2. 用 Simpson 公式求积分 ，并估计误差 解：直接用 Simpson 公式（6.7）得
由（6.8）式估计误差，因
，故
3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量 高，并指明求积公式所具有的代数精确度.
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11. 填空题
(1) 满 足 条 件
的插值多项式
p(x)=( ).
(2)
,则 f［1,2,3,4］=( )，f［1,2,3,4,5］
=( ).
(3) 设
为互异节点， 为对应的四次插值基函
数，则
＝( )，
＝( ).
(4) 设
是区间［0,1］上权函数为 ρ(x)=x 的最
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误差估计由公式（5.19）得
这里 仍为 0.565 8． 求 一 个 次 数 不 高 于 四 次 的 多 项 式 p(x),使 它 满 足
解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处
可先造 使它满足
，显然 p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2
，再令
由 p(2)=1 求出 A＝ ，于是
5.计算
取 ，利用 ：
式计算误差最小。
四个选项： 第二、三章 插值与函数逼近
习题二、三
最新数值分析整理版试题及答案

最新数值分析整理版试题及答案

例1、 已知函数表求f (x)的Lagrang 「次插值多项式和Newtor 二次插值多项式。

解：(1)由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为k 03 1 x 1 x 20 1x 1 x 26 2 14 , ,X 1 x 2x 1 x 1 235 2 3 7X X —623(2) —阶均差、二阶均差分别为均差表为精品文档f X 0,X! f X 0 f Xif X 1,X 2 X 0 X 1 x 1 f x 2x 1 x 2 f X 0，X!，X 2f X 0,X 1 f X 1,X 2X 0 X 2l o (x)x X] x x 2 X oXiX o X 2l 1(x)X x 0 X x 2 Xi X o Xi X 2 x 1 x 2 1112l 2(X )X x 0 x x 1 x 2 x 0 x 2 x 1L 2(x) ykh x故所求Newton^次插值多项式为P2 x f X。

f X0, X1 x X0 f X0,X1,X2 X X0 X Xic 3 ‘ 5 ‘13 - x 1 X 1 X2 65 2 3 7x x —6 2 3例2、设f(x) x23x 2，x ［0,1］，试求f(x)在［0, 1］上关于(x) 1，的最佳平方逼近多项式。

解:若span1,x，贝U 0(x) 1，1(x) x，且(x) 1，这样，有所以，法方程为再回代解该方程，得到印4 , a o 口6故，所求最佳平方逼近多项式为S；(x) 114x6例3、设 f (x) e x，x ［0,1］，试求 f (x)在［0, 1］上关于(x) 1，平方逼近多项式。

解：spa n 1,xdxdx2XXxd23一62X3dx丄2 a oa i 236，经过消元得942312a oa1span 1,x的最佳span 1,x，则o(x) 1，1(x) x，这样，有解法方程，得到 a 0 0.8732 , a 1 1.6902 , 故，所求最佳平方逼近多项式为S ；(x) 0.8732 1.6902X例4、 用n 4的复合梯形和复合辛普森公式计算积分：xdx解：(1)用n 4的复合梯形公式 由于h 2， f xx ， x k1 2k k 1,2,3，所以，有<xdx T 4h 3[f 1 2 f X kf 9] 2 k 1-[1 2 35• 79]217.2277(2)用n 4的复合辛普森公式 由于 h 2， f x 、x ， x<1 2k k1,11dx0 1x 2dx1 31xdx所以，2 1 3e x dx0 1xe x dx法方程为 1.71831.7183 11,2,3 ， x 1 k 一2 2k k 0,1,2,3，所以，有1 .xdx S 4-[f314 f X1 6k 0k 21 3[1 42.4617.332132 f X kf 9 ]k 18 2,3 ,5 ,73]例5、 用列主元消去法求解下列线性方程组的解。